CC BY
72
Автоматика. Информатика. Управление. Приборы.
УДК 53.08.001.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕНОСА ОТ ИМПУЛЬСНОГО ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ Н.П. Жуков1, Ю.Л. Муромцев2, Н.Ф. Майникова3, И.В. Рогов1
Кафедры: “Гидравлика и теплотехника” (1),
“Конструирование радиоэлектронных и микропроцессорных систем ” (2), “Теория механизмов машин и детали машин ” (3), ТГТУ
Ключевые слова и фразы: автоматизированные системы исследований; импульсное тепловое воздействие; неразрушающий контроль теплофизических свойств; линейный источник тепла; математическое моделирование; теплопроводность; температуропроводность.
Аннотация: Рассмотрены теоретические основы метода неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов. Предложена модель процесса нестационарного теплопереноса от линейного импульсного источника тепла, учитывающая различные состояния функционирования измерительной системы.
и - параметр интегрирования;____________________________________________________
Для определения теплофизических свойств (ТФС) материалов существует множество методов [1-3]. Однако исследования в этой области остаются на сегодняшний день актуальными. Это определяется тем, что ТФС материала находят на основании косвенных экспериментов и рассчитывают по определенным математическим моделям. В результате точность и надежность определения ТФС во многом обуславливается тем, насколько верно математическая модель описывает тепловые процессы, происходящие при измерении. В данной работе рассматриваются теоретические основы метода [4] неразрушающего контроля ТФС материалов, использующего модель процесса нестационарного теплопереноса от линейного импульсного источника тепла. Модель учитывает различные состояния функционирования измерительной системы. В эксперименте фиксируется температура на заданном расстоянии от нагревателя.
Рассмотрим модель нестационарного теплопереноса от линейного импульсного источника тепла, действующего на теплоизолированной поверхности полуограничен-ного тела.
Температурное поле в исследуемом материале от одного импульса (при выполнении условия полуограниченности тела) описывается уравнением [5, 6] (рис. 1) вида:
'■'р
Дж/(м3-К);
Обозначения и аббревиатуры
а - температуропроводность, м2/с; X - теплопроводность, Вт/(м-К);
ср - объемная теплоемкость, р - плотность, кг/м3;
Т - температура, K;
т - время, с;
ТФС - теплофизические свойства.
(1)
где Q - количество тепла, выделившееся на единице длины нагревателя; г - расстояние от нагревателя; т - время; X - теплопроводность; а - температуропроводность.
Рис. 1 Вид зависимости Дт) при единичном импульсном тепловом воздействии
Если подается последовательность п+1 тепловых импульсов с периодом Ат, то температурное поле в образце будет определяться выражением
T~(r •т)=ж!-
I = 1
ехр
4а(т - (/ - 1)Дт)
т - (/ - 1)Дт
• ((п - 1)Дт < т < пДт) .
(2)
которое мало подходит для вычисления ТФС образца.
Если нагрев осуществляется с постоянной мощностью q, то температурное поле в полуограниченной среде будет определяться формулой [5]
T<(r •т) =
exp[-u ]
4ат
du = -^ f
0
4ат
r 2 exp[------]
du,
u
(3)
где д - мощность, выделяющаяся на единицу длины нагревателя. Можно показать, что при выполнении условия
*-0
(4)
многоимпульсный источник тепла можно рассматривать (при больших т) как источ-
0
ник тепла постоянной мощности с * - — (рис. 2).
Ат
Нужно отметить, что на практике действие источника тепла не является мгновенным, а имеет определенную длительность т0 (с мощностью на единицу длины нагревателя - д0). Мощность на нагревателе является периодической функцией времени (рис. 3), т.е.
*(т) -{00, 0 т А0, *(т+ и Ат) - *(т). [О, то < т < Ат
Условие (4) в этом случае выглядит следующим образом
*0т0
q =
Дт
(5)
(6)
2
r
т, c
0 20 40 60 80 100
Рис. 2 Вид зависимостей Дт) при выполнении условия (4) в случае действия источника тепла постоянной мощности (кривая 1) и импульсного источника тепла (кривая 2)
Рис. З Мощность на нагревателе при многоимпульсном источнике тепла
Воспользовавшись методом источников [З, б] запишем формулу, определяющую температурное поле в полупространстве от линейного источника тепла с произвольным законом подачи мощности на нагревателе, в виде:
„2
q(u) exp
T (r,т)=тУ
4а(т - u)
(т - u)
du .
(7)
Зависимость д(т), определяемая из (5), является периодической функцией с периодом Ат и ее можно разложить в ряд Фурье, т. е.
qb) =
q от о + q от о Ат
Атп {—L к к=1
2кпт о 2кпт + 11 - cos 2кпт о 1 ■ 2кпт
cos I sin
Ат Ат Ат \) Ат
(S)
Подставив выражение (8) в формулу (7), получим следующее выражение
4ат г i -
r2 exp ---
Ти(r• т) = f —L^Jdu +
о
qp 2- к
У1
к
к=1
sin
2кп . . — (т 0 - u) _ Ат + sin 2к%и ) exp r 2
Ат 4а(т - u)
(т - u)
du
(9)
Заметим, что из формулы (9) также можно получить выражение для температурного поля от мгновенного многоимпульсного источника тепла, тождественное выражению (2).
Если уменьшать промежуток подачи импульса т0 и одновременно увеличивать мощность д0 так, чтобы д0т0 = 2, то перейдя к пределу и учитывая, что
lim
т о ^ о
sin
2кпт0
Ат
т0
2кп
------, lim
Ат т 0 ^ 0
1 - cos
2кпт0
Ат
то
можем записать
4ат ' 1 -_ и.
Q Texp
2п-Ат Г u
du +
о
Q
п-Ат
е I-
к=1 о
2кпы
Ат
exp
4а(т - u)
(т - u)
du .
(10)
Суммы, стоящие в правой части выражений (9) и (10), представляют собой огра-
4ат г i -
-2 exp-----
du - есть мо-
ниченные и периодические функции т [7]. При больших Т ( f ------------L—u
u
4ат г I
r2 exp ----
нотонно возрастающая функция и при т^-да, f -------------^—u
J и
можно пренебречь, т.е. при больших т с учетом условий # = ид = — можно
Ат Ат
считать, что
Дг,т). Ти (r,т). Тс (r, т) = -П- I
exp[-K]
J u
r 2 4ат
du .
Теперь обратимся к анализу уравнения (3). Известно, что [5]
Г £xp^ du = In[x ] + y+Y -(-1)kxk u
к=1
к • к I
где у « 0,5772 - число Эйлера.
С учетом этого выражения можем записать
т
+
о
cos
Tc (r,т) =
2яЛ
(-■)* (£)
к=1
к • к!
(11)
и при больших т (рис. 4)
Tc(r’ т) ~ 2а ( 1П[’ГаТ] - YJ = 2ПГ ( Ш[т] + ln[a] - ] - 7
„2
(12)
Рис. 4 График Тс=/(1п[т])
Динамика теплового процесса будет характеризоваться входным воздействием (законом подачи мощности на нагреватель), выходной переменной (Т(т)), переменной состояния системы (в качестве которой можно выбрать тепловой поток, проходящий через точку измерения). В общем случае на термограммах можно выделить три участка (рис. 5).
Первый (I) участок термограммы характеризуется тем, что тепловой поток, проходящий через точку измерения, является переменным во времени и соответствует начальной стадии теплового процесса.
Рис. 5 Участки термограммы для рипора
Второй (II) участок термограммы характеризуется регуляризацией тепловых потоков (тепловой поток, проходящий через точку измерения, становится практически постоянным). Для этого участка будет справедливо выражение (12). Причем уравнение (12) будет справедливо для II участка и в случае, если учесть реальные размеры и теплоемкости нагревателя и термоприемников в устройстве, реализующем метод измерения.
Третий (III) участок термограммы характеризуется тем, что нарушается условие неограниченности исследуемого образца и тепловой поток, проходящий через точку измерения, становится переменным.
Таким образом, выражение (12) является расчетным для II (рабочего) участка термограммы (рис. 5, 6). С учетом того, что в процессе проведения эксперимента температура фиксируется через определенные промежутки времени Ат, т.е. т = «-Ат, п = 1,
2, 3..., можем записать выражение (12) в виде:
Т (tл )
q
2пХ
t]l + ln[a] - ln
4 Ат
■ Y
(1З)
где 1л = 1п[л].
Основным расчетным соотношением для определения ТФС будет выражение (13). Согласно уравнению (13) для определения ТФС необходимо знать ряд величин, определяемых режимными (д, Ат) и конструктивными (г) особенностями применяемого устройства. Поэтому при заданных режимах эксперимента можем считать эти величины постоянными прибора. Значения постоянных прибора будем определять на основе градуировочных экспериментов (достаточно одного образца с известными ТФС).
1,5 2,0 2,5 ^
Рис. 6 11-ой участок термограммы в координатах Т = Т(*л)
Для расчета ТФС по экспериментальным данным представим выражение (13) в следующем виде:
Т(л ) = Ь1{л + Ь0 , (14)
где Ь=а, Ьо = а(1п[а] - р) - параметры модели, описывающей термограмму на X X
рабочем участке, а = , р = 1п
2п
4 Ат
■ у - постоянные прибора, определяемые кон-
структивными особенностями применяемого устройства и режимами опыта, іл= 1п[п], п - номер точки на термограмме (т = п-Ат).
2
2
Выражения для расчета ТФС и постоянных прибора имеют следующий вид:
а — X0bi0 ,
в — ink ]- —
bio
bi
a — exp
^+в bi
(16)
(17)
(18)
где X, а, Хо, ао - теплопроводности и температуропроводности исследуемого материала и образцовой меры ТФС; Ь0, Ь1, Ь0о, Ь1о - коэффициенты, определенные из термограмм (см. рис. 6), снятых на исследуемом материале и образцовой мере.
Разработана методика определения границ I - III участков термограмм [4] и операция определения коэффициентов уравнения (14).
Таким образом, разработана модель, учитывающая различные состояния функционирования измерительной системы. На основе модели получены расчетные уравнения, которые позволяют определять комплекс ТФС - теплопроводность и температуропроводность. Определение ТФС по экспериментальным данным, где реально выполняется расчетная зависимость (13), дает возможность существенно снизить методическую погрешность измерений. Так как ТФС определяют по участку, а не по отдельным точкам термограммы, то снижается также влияние случайных составляющих погрешности измерения. Это особенно важно для композиционных материалов, где к случайной добавляется погрешность, связанная с отличием локальных значений ТФС от средних для данного материала. Вследствие того, что модель (13) является линейной по параметрам, возникает возможность на основе классических статистических методов провести оценку случайной составляющей погрешности измерения ТФС для отдельного опыта.
Список литературы
1. Вавилов В.П. Тепловые методы неразрушающего контроля. Справочник. - М.: Машиностроение, 1991. - 240 с.
2. Платунов Е.С. и др. Теплофизические измерения и приборы. - Л.: Машиностроение, 1986. - 256 с.
3. Мищенко С.В., Муромцев Ю.Л., Цветков Э.И. и др. Анализ и синтез измерительных систем. - Тамбов: Тамб. гос. техн. ун-т, 1995. - 234 с.
4. Жуков Н.П., Муромцев Ю.Л., Майникова Н.Ф. и др. Патент РФ №
2161301 ЯИ, кл. О 01 N 25/18. Способ неразрушающего определения теплофизических свойств материалов. Б.И. № 36, 2000.
5. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964. - 487 с.
6. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - 599 с.
7. Смирнов В.И. Курс высшей математики: - Т. 3, часть 2. - М.: Наука, 1969. -672 с.
Modeling of Heat Transfer Processes from Impulse Linear Heat Source under Thermal Physical Measurements
N.P. Zhukov1, Yu.L. Muromtzev2, N.F. Mainikova3, LV.Rogov1
Departments: “Hydraulics and Heat Engineering” (1),
“Design of Radio-Electronic and Microprocessor Systems” (2),
“Theory of Machines Mechanisms and Machine Parts” (3), TSTU
Key words and phrases: automated systems of research; impulse heat influence; linear heat source; mathematical modeling; non-destructive control for thermal physical properties; heat diffusivity; heat conductivity.
Abstract: Theoretical foundations of non-destructive control method of thermal physical properties of materials are considered. The model of non-stationary heat transfer from linear heat source, allowing for various conditions of measurement system functioning is offered.
Modellierung des Prozesses der Warmeubertragung von der warmephysikalischen Abmessungen
Zusammenfassung: Es sind die theoretischen Grundlagen der ununterbrochenen Kontrolle der warmephysikalischen Eigenschaften der Stoffe betrachtet. Es ist das Modell des Prozesses der unstationaren Warmeubertragung von der linearen impulsiven Warmequelle, das verschiedene Zustande der Funktionierung des Meflsystems berucksichtigt vorgeschlagen.
Modelage du processus du transfert de masse a partir de la source lineaire de la chaleur au cours des changements thermophysiques
Resume: On a examine les bases theoriques de la methode du controle non destructif des proprietes thermophysiques des materiaux. On a propose le modele du processus du transfert non stationnaire de chaleur a partir de la source lineaire de la chaleur a impulsions qui tient compte des etats differents du fonctionement du systeme de mesure.
