CC BY
6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.444
В.Н. Козлов, ПЛ. Трофимов, А.И. Акимов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРОГРЕВА ПРОМЫШЛЕННОЙ УСТАНОВКИ, ПРИМЕНЯЕМОЙ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ ЛОНЖЕРОНОВ
В процессе изготовления лонжерона методом полимеризации из многослойной конструкции (МК) в специальной пресс-форме (ПФ) большое значение имеет равномерный прогрев ПФ при термической обработке М К.
Четкое соблюдение температурных режимов является необходимым условием получения продукта требуемого качества. Одна из функций ПФ — это передача тепла МК кондуктивным теплообменом. Но при управлении температурным режимом изготовления известна лишь температура внешней части ПФ.
Рассмотрим вопрос об управлении температурой на внутренней поверхности ПФ, примыкающей к внешней поверхности МК. Необходимо найти условия температурного распределения в ПФ и выяснить время полного отклика температуры внутренней части ПФ на ее изменение на внешней границе ПФ.
Сформулируем математическую модель в цилиндрической системе координат:
дТ(г,у,г,т) дх
= аЛГ(г,9,г,х),
(1)
где а — коэффициент температуропроводности; х — время; Т(г,ф,г,т) — искомая температура; А Г — оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.
Учитывая, что длина ПФ намного больше ее диаметра, т. е. 1/2Я >> 1, и допуская осевую симметрию ПФ, заключаем, что распределение температуры не будет зависеть от г и ф.
Таким образом, задача свелась к бесконечному цилиндру, температура которого меняется только по радиусу:
дГ(г,х) дх
■ = а
гд2т 1 дТЛ
к дг1 г дг ^
(2)
Имеем начальное условие
Г(г,0) = Гс, ^<г<Яи (3)
где Тс — температура среды, Д,, Я{ — внутренний и внешний радиусы ПФ.
Кроме того, имеем два граничных условия (так как цилиндр полый).
Для внутренней поверхности — граничное условие третьего рода:
У
дт_
дг
+ а
гЦ-ГсИ т>0'
(4)
где ПФ остывает; а, У — коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности.
Для внешней поверхности — граничное условие первого рода:
Г(Л„х) = Г0, х>0, (5)
где ПФ нагревается; Т0 — известная постоянная температура, поддерживаемая на внешней поверхности ПФ. Очевидно, что решение в исследуемой области должно быть конечным, т. е.
|Г(г,х)|<+<», (6)
В итоге выражения (2)—(6) формируют смешанную краевую задачу для нестационарного уравнения теплопроводности.
Проанализируем полученную модель и для удобства перейдем к безразмерным переменным. Уравнение теплопроводности, начальное и граничные условия примут следующий вид:
д©(г,х)
дИо
а20 | 1 д&
дг г д
(7)
д©
дг
(г,Ро) =т.-тл, Ло<г<1; (8)
V /ро=0 с и
¡{©((о,Ро) + (0-7;)}, Ро>0, (9)
= -В1
©(г,Ро)_ = 0, Ро>0; (10)
V } г=\
э(г,Ро)<+<», Ло<г<1, (И)
где & = Т-Т0 — избыточная температура; Я
г
— р _
характерный размер цилиндра; г = —, Я\ = — = 1,
Я1 Я1
— Ял _ ах „ . аЯ,
Яо = —; го = — — критерии Фурье; В1 = —1 — Я1 Я\ У
критерий Био.
Получили смешанную краевую задачу в безразмерных переменных, где 0 = 0(г,Ро,В1,Ло),
в отличие от Г = Г(г,т,Гс,У,а,^,Л,) содержит
меньше определяющих параметров.
Для решения задачи (7)—(11) воспользуемся интегральным преобразованием Ханкеля [1] для
конечных пределов 0 < Яо < 1 для смешанной краевой задачи. Применительно к нашей задаче
1 _ _ _
0(',Ро) = ^г0(г,Ро))('г)г, 1>Л0;(12) Ло
0
(г,Ро) =
= £ -М^. 03)
где
(/0 (г), С0 (г) — бесселевы функции первого
и третьего родов соответственно); ' — положительные корни трансцендентного уравнения
В^(^о) = -^¿(^о). (15)
Найдем образ оператора Лапласа для уравнения (7):
НО(А0) = ¡г
й,
д20 150
дг г д
А>((г) =
I д^О
Яо дг ог
Но
АП д2&И~
аи =—г-аг
и =
д©
д? дг
:д&
дг
а,
й (-
(1г
Ло До дг
Пусть / = '• ^-О^Х^'г^г, тогда
Ко О
1 =
йи = —=-С1У дг
и=©
V = гЦ ((г) ¿V = + Ц
Ио) '
Ло
('г ) + Ц ('г )))
л,,
Воспользуемся уравнением Бесселя, подставляя в него функцию (^¡х), которая является его решением:
Ц('х)+-^Ц('х) + 10('х) = О,
'¡х
т. е.
Тогда
'¡X
I =
'гЦ^) ©(г,р О)"
Ло
й,
4
Математическая физика.
() © (о))^'2© ((„И о)
(последнее получается в силу того, что //„(©(', Ро)) = ©((„Ро)).
Вернемся к вычислению //0( А©):
М А©) =
Зг
Ло
-'©('Ио). (16)
Рассмотрим первую группу слагаемых при г = 1. Счетом выражения (14)Х0(') = 0иизве-
стно, что Ц('•) = — [2, с. 597]; воспользуемся также формулой (10). Следовательно,
ог Г=1
Рассмотрим вторую группу слагаемых при г = Яо. Применим условие (15):
^¿о )© (о)
г=Ло
ЛоА>((,Ло)||©_ _ + В1©((,Ро)).
Выражение в фигурных скобках в силу формулы (9) равно -В¡(Г0 -Гс).
Наконец, получаем образ в виде
Теперь построим образ начального условия (8):
//(©(г,о)) = -1-(г0-т;), 1 _ _
где I = ^гЬц (' г^с!г — образ единичной функции.
Ло
Далее умножаем на гЦ0 ('г ) обе части уравнения теплопроводности (7) и интегрируем по сечению цилиндра; воспользовавшись Н0(А©), получаем уравнение в области изображений Хан-
келя. Этому уравнению соответствует начальное
условие//^ ©
Таким образом, мы получили следующую задачу: Э©
ЭРо
-'2©(',Ро) = -В1 ( -Тс)оА>('Яо))
0(^О) = -1-(7о-7;). Решение получаем в виде
© ('„И о) = -(Г0-Тс ) х
х |Т-е+ '"^оА) (о) 1
Переходим в область изображений по формуле (13):
© (г,Ро) = -2 (Г0-Тс) х
1-е
-'К)
+
М')-
И, наконец, вернемся кначальным переменным: Г(г,х) = Т0-2Л?(Т0 -Тс)х
Ьф-'^ + В^Хц
. Я
у ' Я1 у
1-е
-'То
у' у
('2 + В!2
Результат моделирования температурных изменений установки ПФ
Итак, нами получено аналитическое решение задачи (2)—(6); проанализируем его. Для этого воспользуемся вычислительным пакетом Math CAD 14.
Для вычислений были взяты следующие
значения: R(j =0,1 м; Я{ = 0,2 м; теплопроводность У = 240 Вт/(м-К); удельная теплоемкость Ср = 896 Дж/(кг-К); плотность р = 2700 кг/м3;
температуропроводность а = —= 9,92Т0-5 м2/с,
РСр
теплоотдача а = 30 Вт/(м2-К), температура среды Тс = 20 °С, температура внешней поверхности 7*0 = 50 °С.
Рассматривались десять первых членов ряда Ханкеля.
СПИСОК J
1. Козлов, В.Н. Обратное преобразование Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале [Текст] / В.Н. Козлов, П.А. Трофимов, А.И. Акимов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки,— 2011,- N° 1 (116).- С. 71-77.
2. Снеддон, И. Преобразование Фурье |Текст| / И. Снеддон; пер. с англ. А.Н. Матвеева; под ред.
На рисунке представлена полученная поверхность изменения температуры установки. Важно, что результат моделирования показывает плавный рост температуры в направлении от внешней поверхности цилиндра к его внутренней границе вплоть до достижения температуры Т().
Для выбранных значений параметров нагрев до 48 °С произошел за 100 с. Следовательно, можно сделать оценку, согласно которой полный отклик происходит достаточно быстро, а именно для Т0 ~ 50 °С — менее чем за две минуты для выбранных значений.
Таким образом, нами найдены условия распределения температуры в ПФ и проведена их численная интерпретация, сделаны выводы о полном отклике температуры внутренней части ПФ на ее изменение на внешней границе ПФ.
Ю.Л. Рабиновича,— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955,- 688 с.
3. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики [Текст]: учеб. пос. для мех.-мат. фак. ун-тов / Н.С. Кошляков, Э.Б. Хлинер, М.М. Смирнов,— М.: Высш. шк., 1970- 712 с.
УДК 537.87
А.В.Денисов
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ СИММЕТРИЧНЫМ ПЛАЗМЕННЫМ СЛОЕМ
Интерес к задаче о распространении волны вертикальной поляризации (другие используемые в литературе названия этой волны — волна 7Ж-поляризации, волна /^-поляризации) сквозь симметричные плазменные слои, характеризующиеся наличием максимума электронной концентрации и малыми диссипативными процессами, возник в конце 60-х годов XX века в связи с вопросом о поляризационной фильтрации поля. В радиофизике и астрофизике теперь уже стал хорошо известным эффект экранирования такой волны как плазменными слоями конечной тол-
щины [1, 2], так и бесконечно протяженными [3,4]. Он состоит втом, что на частоте поля, равной максимальной плазменной частоте, соответствующей такому слою, наклонно падающая плоская вертикально поляризованная волна не проходит за точку с максимальной концентрацией электронов, если потери в слое устремить к нулю [1,2]. Этот эффект имеет место для плазменного слоя, у которого в окрестности точки максимума электронной концентрации вещественная часть функции диэлектрической проницаемости имеет нуль четной кратности.
