CC BY
10
УДК 622.233.6 В. К. МАНЖОСОВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ НА ГРАНИЦЕ РАЗНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ СТЕРЖНЯ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ
Рассмотрена задача моделирования процесса преобразования продольной волны деформации на границе разнородных участков стержня с сосредоточенной массой. Составлены уравнения, описывающие распространение волн в пределах однородного участки малой длины и преобразование волн на границах сопряжения участков. Процедура расчета реализована при решении тестовой задачи о преобразовании прямоугольной волны деформации на границе сопряжения однородных полуограниченных стержней с сосредоточенной массой.
Анализируется распространение волн деформаций по стержневой системе в рамках моделей волновых процессов, изложенных в работах [1-3]. Рассматривается стержень неограниченной длины (- со < х < оо), представляющий множество разнородных участков (рис. 1).
Рис. 1. Схема стержня с последовательно сопряженными участками
В сечении п (х = х„) расположена сосредоточенная масса М. К этому сечению в момент времени t - 0 подходит продольная волна деформации. Этой волной охвачены участки стержня от 1 до п (0 < х < х„). Параметры продольной волны деформации на произвольном у'-м участке стержня в начальный момент времени описываются функцией /у(а/0 -х), ху_, <x<xjt где -скорость распространения волны на у-м участке стержня; Ю - начальное время; х - координата сечения; ху_, - координата начала у-го участка; Xj -координата концауго участка.
Участок 1 в сечении х = О сопряжен с нулевым (у = 0) однородным участком стержня (- оо < х < 0), имеющим такие же свойства материала и площадь поперечного сечения. Участок «Ь> в сечении х = хк сопряжен с (к+1)-м однородным участком стержня (хк < х < со), имеющим такие же свойства материала и площадь поперечного сечения, как и участок к.
В сечении х = х„ (сечение п), где расположена масса М, параметры падающей волны £п[аМ-х^ Часть падающей волны проходит через границу
л' = х„ и распространяется далее по участкам п + 1, п + 2 и т.д. Параметры волны, прошедшей через границу х = х,„ описываются некоторой неизвестной функцией
} = л.ги-^л+г... <
Часть падающей волны отражается от границы х = хп и распространяется от участка п в противоположном направлении по участкам п, п - 1, п - 2 и т.д. Параметры отраженной волны описываются неизвестной функцией
Данные представления о поведении волны, соответствуют модели, когда движение поперечных сечений на у-м участке стержня описывается волновым уравнением вида
&лкАх.Л 1 е^и ,(*,/)
-г* *нм
ОХ ЙГ"
" М>1У- /М/> - *) * ь (V+4
где Щ(хД) - продольное перемещение поперечного сечения стержня; ^ (с1^ - хj -функция, описывающая прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х ; ср ДяА + х) - функция, описывающая обратную волну, распространяющуюся в противоположном направлении.
Уравнение (1) должно быть дополнено соответствующими начальными и граничными условиями. Для участков стержня 1 < у < п, охваченных падающей волной ^ [сфО - л*), начальные условия имеют вид при I = Ю:
/М/'а-х)=1ф). оч
+ 0. Ч^аД + *)= 0. - до сд * я/у
/¡{с/* ~ х)~ О. И+И Х_1.1йх<аз,
Г "Ь л п
где w0(x), у0(х) - начальные перемещения и скорости поперечных сечений участков стержня.
Граничные условия для сопряженных участков стержня имеют вид:
/•'ОАА.^й+Ь (2)
(М,2,..,А-I,*+]„.,*, (3)
где уУу^х^), 1) - продольные силы в сопряженных сечениях (х = х у-го и
(/+1 )-го участков стержня; уАху,/), у;.+ 1(ху-,£) - скорости сопряженных сечений у-го и (/+1)-го участков; уМ(х,„?)- скорость сечения х = хп, где расположена сосредоточенная масса М 72 Вестник УлГТУ 1/2001
О)
Учитываем, что
а*, к. 4 г./ 1, , д
—(Ь) VI "О " I [/м{% 111 - ) + чНЛм' + Г . )|,
где Еj,EJ+[ - модуль упругости 1-го рода материала сопряженных у-го и (/+1)-го и участков; А}, А}+, - площадь поперечного сечения соответственно ^о участков
™ * д.
- продольная деформация в сечениях x-xj у-го и (/+1)-го
участков стержня.
Тогда для граничных условий (2) и (3) имеем
-+■\)}= - +*,)], да
/ = 0,1,2,. „л-1,л + 1.....к.
Из равенств (8) определяется функция I] | |а.1 |1 - х \:
/иК^-х, Ь ьШк/ Цн'+оо
где ' ^ ^ - - коэффициент прохождения прямой волны
падающей на границу х = х; со стороны у-го участка; Я, Л, а,., отношение волновых сопротивлении сопряженных участков;
^ +Г1 - коэффициент отражения обратной волны ф'ЧХ'^у+Хг + х;|, падающей на границу х = х со стороны (/ +1)-го участка . Функция Ф(а1+х^ из равенств (8) определяется как
бГ/ + л;)■= ЧГ 0)9}+I|' + +Г;(/)//{лл-хХ (10)
^ > ' л где д
(у) = —211—2. - коэффициент прохождения обратной волны, Фум(д,-+1* + )> падающей на границу х = xJ со стороны (/+1)-го участка;
- коэффициент отражения прямой волны /,'[а jt - х1), падающей на границу х-х - со стороны j -го участка. Из граничного условия (4) следует
Интегрируя, получим
из (5), что для j = пиx- = xп
^'' Учитывая
приходим после преобразования (11) к следующему уравнению:
еж ■ , .
р-у-Лк'^,}-
ЕЛ 1
"7- < (я^■+*„)- /¿н (д^-^)+^ !_'<34нНГ1+г„ ) Ь .
'"4+1 л 11
Учитывая из (6), что скорость я-го сечения ;п =в, - +. )],
-'.)- в, --0+< (¿¿с
получим из (12)
(ел ***„)++*„) + Е- Л
(12}
ащМ
оз,
<р: (в/ + 0+ Ф^ (о„,г+^ .
Из условия
равенства скоростей сопряженных сечений (8) для сечения х = хп следует
-<?'„(о*1)\ = о.миа«,,' - Л, +
+ О - - (14)
Учитывая (14) в (13), получим
Отдуда
+-о ■
Построим процедуру численного решения интегрального уравнения (15) на основе метода последовательных приближений. Первое приближение можно представить
- начальное значение функции - . Далее, под-
ставляя в подынтегральное выражение вместо (/„'+|)0 найденное значение этой функции в первом приближении (/„+,),, получим второе приближение
Дальнейшие приближения строятся по формуле где / = 1,2,3,... - число приближений.
Число приближений должно быть ограничено числом S , когда последующее приближение отличается от предыдущего на малую величину Д/: 75 Вестник УлГТУ 1/2001
Ол-И
[17)
После S приближений будет найдено значение функции /и+|(<яЛ+1/-хп) и путем подстановки этого значения в (14) можно определить функцию Ф(а1+хп>
Итак, по равенствам (9) и (10) в случае идеального сопряжения j-го и 1)-го участков стержня прямая волна, формируемая в сечении х = х-(/+1 )-го участка, определяется по (9):
/;. 1;, I' - *,}- ь Щ'Ц
j = QX2t....k, j гп.
Обратная волна, формируемая в сечении х = X] у-го участка, определяется по (10)
+?•(/№■ К**+-
) = ОДД,.....к,
Для сечения x = хп, где расположена сосредоточенная масса М, прямая волна, формируемая в сечении х = хп («+1)-го участка, определяется по (16):
П V " - ^
У/ -
.....
а обратная волна, формируемая в сечении х = хп п-го участка, определяется по (14) как
Если будет известна функция ^+\[а]+\1^] Для сечения х = х;-, то для произвольного сечения х*<х<х,+1 (/+1)-го участка
(18)
т.е. функция Соответствует функции Уу'+1(<Яу+1Г-Ху), но с за-
М, = ——-, х1 £ х 5 *,„_ паздыванием на величину "'' Если будет известна функция
фу(а;/ +х;) для сечениях = ху, то для произвольного сечения Ху_, < х < х. у-го участка
76 Вестник УлГТУ 1/2001
1 <1
! ъ , (19)
V
т.е. функция ф^\су! +*) соответствует функции ф(а1+г), но с запаздыванием на
величину £3 с
Рассмотрим предложенную процедуру расчета при решении тестовой задачи о преобразовании прямоугольной волны деформации на границе однородных полуограниченных стержней с сосредоточенной массой. Точное решение данной задачи приведено в работе [5].Схема сопряжения стержней представлена на рис. 2.
VI— 1
ч— - 4—1 : 7
.¿Г 1 р, к!
Рис. 2. Схема сопряжения однородных полуограниченных стержней с сосредоточенной массой
К сечению х = х„, где расположена сосредоточенная масса М, в момент времени t = 0 подходит прямоугольная волна деформации. Эта волна охватывает п однородных участков стержня. Начальные условия при I = ДО = 0:
- £ Л £ х;,
Ф/Ц+*)=0, ф/д^ + ^-О, I хн<я<х,>
^(а1„~х}=01 я+1Й/ЁАГ+1. Х^
й, J = (¡, < %
/Аа1о-х)= — \. О. -<я<х<0,
4*}= о, Ц) Да/4*^0, } = о,
где V, - начальная скорость поперечных сечений участков стержня, охваченных волной деформации при 1 = 0\ а - скорость распространения волны в материале стержня; (^,,,/0) - скорость массы М при / = 0.
77 Вестник УлГТУ 1/2001
Так как скорость массы М в начальный момент времени равна нулю, то из равенства
следует, что при t = О
4>;,{ягп.+J=- j=-з. (2i}
а
Так как участки стержня однородные и имеют равные волновые сопротивления,
то ^ — ^ «fri/H* . Тогда для любого сопряженного
сечения (кроме j - п) из (9) и (10)
Ли titf - -'«1<J<<B,
;iJi. (12)
Для сечения j-n (x = xn) из (16)
а,, ш,
N h
- £{r,+1-^ ' - u.....*
Так как для рассматриваемой задачи г, = 1, ф'+1(д/ + = О,
в а
(23) о
ТО
ir \ ft, , \ Г. ЕЛ V ,
Если предположить, что в пределах малого интервала времени Д t = t -t0 значение (fn+x= const, то от интегрального уравнения (24) можно перейти к алгебраическому:
m +2 - 2 ^ (/;,) At, t „1.2.....i.
н Ma М&
Если принять за At величину, равную времени прохождения волной деформации расстояния, соответствующего длине малого у-го участка,
(25)
а а
малых участков стержня, охваченных волной в начальный момент времени (/ = Г0), то получим значение (/л'+1), при t = t0 + At 78 Вестник УлГТУ 1/2001
в Ма п
.....<*
Индекс «*» означает, что значение функции соответствует времени 1= tQ + At. Так как Е - а"р (где р - плотность материала), то
ЕЛ х^ _ рАх„ _ Лт Ма1 п Мп М '
(27)
где Аш= р/1--масса малого участка стержня длиной "
Тогда из (26) следует
СС,X - - ^-х„)-г£)•,,.t=и.....4.
Определив по (28) после £ приближений значение ^[а^ -хл|, находим из (14) с учетом, что ап+] =ап=а, ф'л+1 ^ + хп) = О
{29}
Из (18) для сечения х = х/+] с учетом , что
Ы*': (зо)
т.е. прямая волна 11 ' ' в сечении х = ху+1 в конце интервала вре-
мени t = /'соответствует прямой волне :^+](аЮ -*7)в сечении х = х} в начале рассматриваемого интервала времени = /0).
Из (19) для сечения х = х., с учетом, что 13 , имеем
-о'А
аг-
С")
т.е. обратная волна ф'Аа^ +Х]_в сечении х = л'у_, в конце интервала времени М соответствует обратной волне ф',(аЮ + X] ] в сечении х = xi в начале рассматриваемого интервала времени.
В таблице 1 приведены результаты численного расчета относительных значений продольной деформации с(а') в поперечных сечениях сопряжен-ных стержней 1 и 2 £,(*) для 0<Х] <1 и е2(х) в различные моменты времени Т (/ - длина стержня 1, охваченного падающей волной в начальный момент времени) для соотношения масс т = — с- = 1, где (пгс)г - масса стержня, охваченного падающей волной в начальный момент времени t. - 0.
Таблица I
Относительная продольная деформация в поперечных сечениях стержня
ад Вцми* (
а .о 0,2 0.6 О.Л 1.0 и м 1.6 1,8 у>
<:,К1 .им: -1 0 0 А о -( -0Л6Т ■0.45" ■0.297 -0.143 -0.132
(яс.ад и 0 в -0,1(3 -0,5Я ■0иВ4 ■0443 ■0.170 (К7(«3
■ Г у А 0 0 или 41,533 434) 4131 -0^0
ЕЩПИ) -С 6 (1 (1 0 ■ОЛИ 41,4(14 -9.309 ■ОЛИ -».130 II ,4.113
■1 ■ 1 0 0 -Е ■0,46-3 -0,443 ия 0,379
-1 ■1 а □ 045
■1 ■1 о 0 -ОЛИ -1.50! 41,365 -0,176 ип
-1 -1 9 0 -о,™ -1,523 414« 41,311 -0,153 иди 0.4.44
-1 г! а 0 -о,™ ■1 ИЗ« -О.аоб о.ео; 0144
(нд.ад -1 -1 '1 -1 ЧШ7 -П.297 ■ 19В -1,132 0.5Ч ЛЗяь
вЛОЛЫ) -1 ■1 -1 -и,ваз -1,531 ■I ..зя ■0.176 0.7М 0.311 0.343
в|<0,52/) -1 -I ■1 ■0,7*4 -1,523. -1.344 0,233 4МИ (|.СЗ 0,434 0.305
-Г .[ -1 1.310 еда -0.13» 0,503 0,360
■ 1 -г -1X7 -1,44! или 4>,1Я ■1,133 04№ одо ■3.25В
(|(0,Л40 ■ 1 -1Л5 №1 -1,3*1 ■1,1В -С,174 0,749 0415 0^42
г| ■ |,7Я4 -1,523 ■ 1,3.19 -1,43 ■4,115 0.6Г #,4Я 0.3ОЗ (1202.
«,№710 ■ 1 -ММ ■1.304 -1.70* ■0,13« о.ьоз (1,401 И,24К
■1,547 -1,415 ■ЩТ -¡.та -1,132 0,579 с,т (ДЛ С. 173
■1,835 .ш -1,ОЁЗ 0-766 4411 0Д£ 0^2« 0,152
-1,751 -1,523 ■1449 -из; -0,131 0.61 0.303 0,203 0,135
•■(ПЖ) -ММ ИЛ» -1Д06 -11.131 О.НК с^-щг о^ии 0.17» 0,113
с,(10«) -1 -1,667 ■1.444 -Г .156 -1,132 0,31? 1,334 0^58 0,133 41.115
-0,332 ■оия -е.Тя -0,341 АР» ■п,3!4 -0,253 -0,172 4,311
4(1.0») и -0,34< -мм -0,773 41.15 ■ЬПМ 4).4Н -Л.ЗЯ II. IV! -0.33
«1(1.134 и ■0,140 ■мм -(>,63 [ 4,131 -0,492 -0429 -0,215 ■0.116
п 41.И9 -О.ЗЫ -0,572 -0,714 ■в, ВД) -04*5 ■0471 -0,244 -01143
«1.2110 0 41 -0,331 лцм -А.705 -0,367 -0.Я9 АМ1 -0258 -0.172
=1(1 .¿Ы) 0 -Г.гИЙ [1,105 -01Т75 -О.ВЗ -0.455 ■им)-:
•¿ЦП) 0 0 -о. но 4Ц4Д -0,745 -о.азз ■О.ТЭ1 -ичг -0429 ■0,214
Е^иИ) 0 0 ■лдщ- -а.ЦЕ -0.372 -0,714 -а.воо МЭЭ -0,171 41,ИЙ
0 о с .0412 ■0.5Н -0,7132 ■О.Я1Н .11. -0,57? -О.ЗЫ -АЯВ
>41 .-140 0 0 ■«44 ■Оц« -А, ОН 43,175 -0,85 4М14 41.43« ■О.И1
гЛиШЦ 0 0 -С. (21 •СДО -0,031 ■0,731 -О^та ■О^и
1,514 0 и 1) 4ДМ -о.зза -0,571 ■ад 14 -3,КЧ> -0,133 -0.53* 4У7Г
пП.ВД 0 0 о 0 -0,332 -0.554 ■0,745 -(1^1 -0,1157 -0.371» -0,304
д П в О -5,245 -0.4И -4,771 -045 ■мя -0,435
=1(1,йо 0 и о 0 41,41» №1 -0.716 ■0421 -0,492
<¿1,716 о II А -О.ОИ ■0.130 -0,57! -0,114. -0.!Й? -0.Н1 -0455
0Й1«Я<| 19 (1 А А 0 -0,377 -0,551 -0,702 -0.М1 -0,5^9
та*» 1} ( <1 в С -0.216 ■0,496 -0,775 -0,1=
".от 1 0 О С -0,149 ■0.4!3 -о.сЛ -0,744 41,831 №1
1 (1 0 0 0 и 41.03 Э1 -0131 -0.372 -О.ЗМ -0.И» -0433
чРЛМ л 0 и а 0 О АЗН 41,55* -0,703 0,ЕП1
<:(3,М,1 а I) о 0 в -олг -0454 -0,702 -0,301
и [> 0 0 О 0 0 ЛЛИ -0,154 ■0.702
А 0 11 0 в 0 0 0 0 -0.55*
« в № 0 А 0 0 0 0 ■0412
С 0 {1 и О О 0 0 0 0 0
•VI.ем 0 ■оагп ■о.и -3.09Р ■о.тов -0,3*4 «да -0.2А 41.174
Относительные значения продольной деформации вычислялись как отношение
Вх
уа vd
а а
la
где l/a=T - про-
Относительное время t определялось из отношения должительность действия падающей волны.
В таблице 1 строка Е2* (/) определяет относительные значения продольной деформации в сечении х = I 2-го стержня в различные моменты времени, вычисленные по формулам, приведенным в работе [2]:
Uj Í- + 1
ríl.'i
ГДР
-1 ff, £f £íj Г+ I
- Hk
1-е
I >1
m =
t t =■
м ! a!' Emi^i a.
Для рассматриваемой тестовой задачи т - 1, г = 1, д, = я2. Тогда
n&rj^-^y™ *r>i ■
Строка e2(/) определяет относительное значение продольной деформации в сечении х = / 2-го стержня в различные моменты времени 7, полученные в результате численного расчета. Длина Д/ последовательно сопряженных малых участков стержней равна при этом Д/ = 0,01/. Сопоставление результатов численного и аналитического расчетов показывает, что их различие составляет менее 1%. При необходимости точность вычислений может быть увеличена за счет более мелкого дробления стержней на участки малой длины.
Диаграммы, характеризующие распределение продольной деформации с(х,г) в поперечных сечениях сопряженных стержней в различные моменты времени t , приведены на рис. 3.
¿. ' .1м
"Ч-
Г 1,я" " Тл"
Я1* ЕЬтн ЧЯ) .и» ***
■а,' ил ~йл * ■ \А и 51 :
Рис. 3 . Диаграммы продольных волн деформаций в различные моменты времени при соотношении (те)г/ М = 1 На горизонтальной оси отложены относительные координаты поперечных сечений х=х/1. Для наглядности ординаты продольной деформации сжатия отложены в верхней полуплоскости от горизонтально оси, а деформации растяжения - в нижней полуплоскости.
В начальный момент времени / = 0 продольная деформация сжатия Б,(Л-) во всех поперечных сечениях стержня, охваченных падающей волной, равна 8,(х)- -1 (0<х<1). В сечении Зс = 1, где расположена сосредоточенная масса М, в момент времени 7 = 0 возникает эффект полного отражения. От-раженная волна сжатия и падающая волна сжатия в сумме определяют значение продольной деформации сжатия в данный момент времени в этом сечении е,(/)=-2. В сопряженном сечении х = 1 2-го стержня деформация при 7 = 0 s2(/,0)= 0.
Отраженная от сечения Зс = 1 волна, распространяясь в направлении сечений Зс = 0,8; 0,6 и т.д., суммируется с падающей волной, приводя к существенному увеличению продольной деформации сжатия в поперечных сечениях соответствующих участков. На рис. 3 это зоны участков 0,8 < Зс < 1 при 7 = 0,2 и 0,6 < Зс < 1 при 7 = 0,4.
При 7 = 0,6 и 7 = 0,8 падающая волна суммируется с хвостовой частью отраженной волны (на рис. 3 это зоны участков 0,6 < Зс < 1 при 7 = 0,6 и 0, 8 < Зс <1 при 7 = 0,8).
Падающая волна в сечении Зс = 1 2-го стержня возбуждает прямую волну, распространяющуюся в направлении продольной оси х. Относительные значения продольной деформации сжатия в этом сечении s2(/,/) на интервале времени 0 <7 < 1 возрастают по модулю от 0 (при 7 = 0) до 0,867 (при 7 = 1). Распределение продольной деформации сжатия z2(x,t) в поперечных сечениях 2-го стержня на участках 1 < х < 2 показано на диаграммах при Т е {0,2, 0,4,0,6, 0,8,1} .
В момент времени 7 = 1 действие падающей волны на массу в сечении х = ) завершено. Участок 0 < Зс < 1 первого стержня охвачен отраженной волной сжатия, а участок 1 < Зс < 2 второго стержня охвачен прошедшей через сечение х = 1 прямой волной сжатия. Эти волны распространяются во взаимно противоположных направлениях. Распределение продольной деформации сжатия в поперечных сечениях 1-го и 2-го стержней при 7 = 1 показано на рис. 3.
Следует обратить внимание на то, что в этот момент времени 7=1 сумма продольной деформации в поперечном сечении отраженной волны и в соответствующем ему симметричном относительно Зс = 1 поперечном сечении прошедшей волны равна минус 1:
б, [0}и- £ ,{2) = % (ОД) + Е: (1,8) = е, {0,4)+ % (0.6) - ?, (0,6) + (0,4)=
Это свидетельствует о том, что падающая на сечение х = 1 волна сжатия «расщепилась» на отраженную волну сжатия и прошедшую через сечение волну сжатия
Волна сжатия во 2-м стержне возбуждается в результате движения со-
средоточенной в сечении х = 1 массы М, воспринимающей действие падающей волны со стороны 1-го стержня. Скорость движения массы М можно определить как скорость сечения х -1.
Перейдем к относительным величинам, разделив левую и правую части равенств на vo/a1:
Последнее равенство свидетельствует о том, что скорость массы пропорциональна продольной деформации в сечении х = / 2-го стержня (х = I).
Для рассматриваемой тестовой задачи в момент окончания действия падающей волны (7 = 1) е2 (/,/) =-0,867 . Следовательно, скорость массы М в этот момент равна
VI, . = -0М7 Гл| щ 2
Если для тестовой задачи принять, что — = 0,0005; а2 = 5 ООО .м/с, то аб солютное значение скорости массы при 7 = 1
Сосредоточенная масса, обладая такой скоростью движения, а, следовательно, и кинетической энергий, продолжает формировать во 2-м стержне хвостовую часть волны сжатия, а в 1-м стержне - волну растяжения.
На рис. 3 этому процессу соответствуют диаграммы при {1,2;1,4;1,6;1,8;2}. На этих диаграммах продольная деформация сжатия в поперечных сечениях 1-го стержня при х < 0 не показана.
Следует обратить внимание на то, что для рассматриваемой задачи при равенстве волновых сопротивлений 1-го и 2-го сопряженных стержней (/•= I), в этот период времени 7 е {1,2/1,4/1,6;1,8/2} в сечении х = 1 для 1-го и 2-го стерней имеют место равные по величине и противоположные по знаку относительные значения продольной деформации е1(/,7) = -е2(/,7) при 7 > 1.
Для рассматриваемой задачи в момент времени 7-2 (это соответствует двукратной длительности действия падающей волны) скорость движения массы М мала, незначительны по величине и продольная деформация (/,7) = 0,115; s2 (/, 7) = -0,115.
Характер распределения продольной деформации в поперечных сечениях 1-го и 2-го стержней, включая участок 1-го стержня для х < 0 при 7 = 2, по-казан на рис. 4.
Рис. 4. Распределение продольной деформации в поперечных сечениях стержня при I -2
На участке 1-го стержня — 1 < Зс < 1 расположена отраженная от сечения х = 1 волна, на участке 2-го стержня 1 <х < 3 расположена «прошедшая» через сечение х=\ волна. Прошедшая волна - это волна сжатия, отраженная волна состоит из участка волны сжатия (-1<х<1) и волны растяжения (0<*<1).
Итак, рассмотрена задача моделирования процесса преобразования продольной волны деформации на границе разнородных участков стержня с сосредоточенной массой. Составлены уравнения, описывающие распространение воли в пределах однородного участка малой длины и преобразование волн на фаницах сопряжения участков. Процедура расчета реализована при решении тестовой задачи о преобразовании прямоугольной волны деформации на границе сопряжения однородных полуограниченных стержней с сосредоточенной массой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Алимов О. Д., Дворников Л. Т. Бурильные машины. - М.: Машиностроение, 1976.
2.Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В.Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. - Фрунзе: Изд-во «Илим», 1978.
3.Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. - М.: Наука, 1985. - 386 с.
4.Манжосов В.К. Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границах стержневой системы // Механика и процессы управления. - Улья-новск: УлГТУ, 1996.-С. 13-29.
5.Манжосов В. К. Отражение и прохождение продольной волны деформации на границе сопряженных стержней // Вестник УлГТУ. - 1999г№1 - С. 70-78.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой « Теоретическая и прикладная механика » Ульяновского государственного технического университета. Окончил механический факультет Фрунзенского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах.
