Моделирование процесса передачи тепла в пористом материале MP Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.071.7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА В ПОРИСТОМ МАТЕРИАЛЕ МР

© 2009 А. М. Жижкин

Самарский государственный аэрокосмический университет

В статье изложены принципы построения моделей структуры материала МР и процесса передачи тепла в условиях отсутствия конвекции среды, заполняющей поры.

Модель, теплопередача, материал МР

Настоящая статья является продолжением исследований, начатых в работе [1] и статье в настоящем сборнике, целью которых является исследование и моделирование процесса передачи тепла в материале МР. Для проверки принятых гипотез и допущений, определения численных значений коэффициентов в аналитических моделях были использованы результаты экспериментальных исследований эффективной теплопроводности (в дальнейшем теплопроводности) материала МР, приведенные в работах [1,2].

Пористый материал МР представляет собой гетерогенную систему с двумя компонентами. Одна компонента -пространственный скелет из отрезков растянутых с определённым шагом проволочных спиралей, уложенных с взаимным перекрещиванием и спрессованных в пресс-форме до размеров готового изделия, а вторая компонента - свободное пространство между проволокой - система связанных между собой сквозных пор различного размера.

При исследовании процесса теплопередачи в пористых материалах используется их тепловая характеристика -эффективная теплопроводность.

При определении эффективной теплопроводности материала МР были приняты следующие ограничения и допущения:

- значения параметров теплопроводностей материала проволоки Х1, вещества в порах Х2 и пористости П у модели и структуры - одинаковые;

- структура МР считать изотропной

- агрегатное состояние компонент при передаче тепла в модели и структуре не изменяется;

- теплопроводность компонент модели не зависят от температуры;

— изменение температуры вдоль направления теплового потока линейно;

— массообмен внутри порового объема отсутствует.

Теплопроводность в материале МР можно определить с помощью моделей структуры и контактов, описанных в статье автора по модели структуры МР, публикуемой в настоящем сборнике, в котором термическое сопротивления теплопроводной модели структуры МР представлено в виде зависимости

Я

п„

Хэ

■ +

(1 - Пн )

Х„

(1)

где Хэн и Хэ теплопроводности элементов с непроводящими и проводящими тепло контактами;

п = пн / пц — параметр, определяющийся отношением количества элементов с теплопроводностью Хэн к общему количеству элементов в цепи.

Теплопроводность Хэн можно

определить с помощью модели пористой структуры с взаимопроникающими элементами, полученной в работе [3] и приведенной в виде

Хэн = Х1 [С2 + Х01(1-С)2 + +2ХоС(1-С)/(ХоС+ 1-С)-1],

где Хо = Х2/Х1 — относительная тепло-

проводность (Х1 и Х2 — тепло-проводности материалов скелета и порового пространства соответственно); С = Ар /Ьр — относительный размер бруса (2Ар — ширина бруса упорядоченной решетки; 2Ьр — длина ребра куба).

Зависимость для определения теплопроводности Хэ приведена автором в статье по модели структуры МР, публикуемой в настоящем сборнике в виде выражений

кэ = к1 [С2 М + ко (1-С)2+ 2коС(1-С)/( коС+1-С)-1], М = (к1 L3 С2 4RK + 1)-1 ,

(З)

где Як - термическое сопротивление

контактов проволок в материале МР.

Величина теплового сопротивления Як в МР может быть приближенно определено с помощью выражения, предложенного там же в виде

Из представления единичного объема МР можно определить параметр

пц = 3N /3 . Число контактов на виток может быть рассчитано по формуле

п = 4Д p / d ,

к гЛспГ о п 5

(7)

где р0 = рМР /рм = (1-П) — относительная

плотность материала, рМР — плотность МР.

Число контактов в единице объема МР равно

Nк Пк N6

N = pмp /те ,

(8)

гдерМР = (1-П) рм,; тв - масса витка, которая равна тв= (пёп )2Дсрм /4. Ыв — число витков в единице объема.

Тогда число витков в единице объема равно

Ыв= 4(1-П)/(пёп )2Дс.

R

(1 - ко )2

ndпрк2 [ко - 1 + ln(1/ ко Г

(4)

где ёпр - диаметр проволоки.

Используя формулы для термического сопротивления теплопроводной модели структуры (1), теплопроводностей составляя-ющих структуру элементов (2),

(3) и зависимость для определения термического сопротивления контакта в МР

(4), можно получить выражение для определения теплопроводности материала МР в виде

к = кІ

С2 + ко (1 - С)1 + 2Х оС(1 С) о коС +1 - С

(1 - п) С2М + к0 (1 - СУ +

2 ^2 2ХС(1 - С)

к0С +1 - С

(5)

С учетом последнего выражения зависимость (8) примет вид

N = 1б(1-П)2 /п2 dn3

(9)

Из модели структуры материала МР

известно, что П

ц

Число контактов в цепи можно определить с учетом формулы (9)

выражением

П

2

~d„

п

І/З

(10)

В работе [3] приведена зависимость между параметром С и объемной концентрацией наполняющей компоненты (для МР это пористость П)

Используя формулы (3) и (4), можно записать выражение для параметра М в виде

М

4С2 (1 - ко)2

ndпПцко [ко - 1 + ln(1/ ко )]

+1!

(б)

П = 2С3 - 3С2 + 1,

(11)

Для расчета параметра С рекомендовано использовать первый корень уравнения (11)

C = 0,5 + А cosy/3 , 270 < ф < 3б0

при 0 < П< 0,5 А = -1, ф = arc cos(1-2П),

2

-1

+

при 0,5 < П < 1 А = 1, ф = arc cos(2П-1).

Выражение (6) с учетом зависимостей (10) и (11) можно записать в виде

М

(12С2//3 (1 - Л0 )2

[[*( 3 - 2С )2 ]1/3 Яо [ка-1 + 1п(1/Яо)]

+ 1! .(12)

Для материала МР, как было показано выше, параметр п = 0,5. Тогда зависимости (5) и (6) с учетом (12) можно представить в виде выражения

_2ХоС(1 - С)'

Х = Х

С2 + Ло(1 - С)2 +.

ХоС + 1 - С

(1 - п)

С2М + Хо (1 - С)1 +

2 + 2ХоС(1 - С)

ХС + 1 - С

,(13)

М

1,56С2/3 (1 - Хо )

(3 - 2С)2/3 Х„ [Хо -1 + 1п(1/ Х„)]

+ 1!

для С < 0,5 (П> 0,5).

Рассмотрим предельные случаи значений теплопроводности компонент, параметров контакта и значений пористости для теплопроводности модельной структуры МР по зависимостям (13).

Пусть пористость материала МР П = 1. В этом случае С = 0, М = 1, а теплопроводность ХМР = Х2.

В случае, когда в порах модели непроводящая компонента (вакуум), то имеем X], Х2 = 0, Хо = 0. В этом случае М = 0, и теплопроводность ХМР = 0.

Если теплопроводность компонент одинаковая Х1 = Х2 = Х, а Хо = 1, то М = 1, при этом теплопроводность структуры модели равна ХМР = Х.

Теплопроводности, полученные по зависимостям (13) при предельных значениях параметров модели, физически обоснованы, что свидетельствует о правдоподобности исходных предпосылок при построении модели структуры и выбранном способе описания процесса переноса тепла.

На рис. 1 представлены результаты расчета теплопроводности МР по зависимостям (13) при разных значениях параметра п. Точками показаны

экспериментальные значения теплопроводности МР.

Расчетные данные, полученные при параметре п=0,5, хорошо сочетаются с экспериментальными значениями

теплопроводности МР. Характер изменения

Ямр

Зт/МК

06

ом

0.2

- 4

□

-5^ 2 □

| |

0,5

о. В

0,1

0.3

п

Рис. 1. Коэффициент эффективной теплопроводности МР:

1,2,3,4 - расчетные зависимости при значениях параметра пн соответственно 0; 0,5; 0,75; 0,8;

Х1 =14,6Вт/мК, Хо = 2,19.10-3.

□ - экспериментальные данные для МР из проволоки ЭЙ-708А расчетной кривой отличается в пределах погрешности измерений теплопроводности от экспериментальных данных. Такое

различие может быть обусловлено неучетом в модели структуры МР закономерностей образования пятна контакта элементов скелета, а также возможным влиянием пористости П на относительное количество непрерывных элементов п.

Зависимости (13) могут быть

использованы для анализа и определения теплопроводности МР в диапазоне

изменения пористости от 0,5 до 1.

С помощью разработанной модели теплопроводности можно проанализировать влияние параметров структуры материала МР на его теплопередающие свойства. Для обобщения влияния различных факторов на теплопередающие свойства МР используем её относительную теплопроводность.

Для этого, используя зависимость для вычисления коэффициента эффективной теплопроводности материала МР (13), получим выражение для вычисления параметра относительной теплопроводности в виде

-1

-1

Х =

МРо

Л

с2 + (і - С)2 + ЬСІ^С)

ХС + 1 - С

(і - п)

С2М + Хо(1 - С)2

2А. С( 1 - С)

хос+1 - с

(14)

Из анализа формул (13), (14) можно сделать вывод, что Х=/(С, пн, Хо), где С, пн, -параметры структуры модели, а Хо -

относительная теплопроводность характеристика соотношения теплопроводностей составляющих структуру МР компонент. Параметр модели

С связан с параметром структуры МР П соотношением (11). Параметр структуры модели пн связан с особенностями строения структуры МР.

Л0МР-/СҐ

50

40

30

го

№

о

0,5

07

ЛоМР

020 X. 5

0.10 N.

■і ■ ■

п

0,5

а

0,7

б

Л

Д мр

О ж

в г

Рис. 2. Влияние параметров структуры на эффективную теплопроводность МР: а - Хо = 2,19 10-3; 1 - пн = 0; 2 - пн = 0,5; 3 - пн = 0,75; 4 - пн = 0,8;

б - Хо = 2,19 10-3; 4 - пн = 0,8; 5 - пн = 1;.. в - Хо = 2,19 10-3; 1 - пн = 0; 2 - пн = 0,5; 3 - пн = 1; г - 1 - пн = 0; 2 - пн = 0,5; 3 - пн = 1 при Хо1 = 2,19 10-3; Хо2 = 0,2;

Хоз = 0,5; Хо4 = 0,8

-1

п

Х

МР

На рис. 2 представлены интерпретации зависимости теплопроводности от

пористости П при разных значениях параметров пн, и Хо.

Анализ результатов расчета показывает, что теплопроводность МР существенно зависит от параметра пн при малых значениях параметра Хо (Хо^-0).

Зависимость теплопроводности от

пористости при значениях параметра пн^ 0 становится малосущественной. Ее

изменение составляет 50...80% при

изменении пористости П от 0,9 до 0,5. При значениях параметра п ^ 1 зависимость теплопроводности от пористости становится существенной. Она изменяется более чем в 6

раз при изменении пористости П от 0,9 до

0,5.

Влияние параметра Хо на

теплопроводность МР иллюстрировано на рис. 2,г при трех значениях параметра пн (1 - пн = 0; 2 - пн = 0,5; 3 - пн = 1).

Анализ результатов расчетов позволяет сделать вывод о влиянии параметра Хо на относительную

теплопроводность ХМро в зависимости от значений параметра пн. С ростом значений параметра Хо влияние параметра пн на теплопроводность МР резко уменьшается.

Так при значениях Хо^ 0,2 влиянием параметра пн на теплопроводность МР можно пренебрегать, при этом погрешность вычисления эффективной теплопроводности не превысит 30% в рассматриваемом диапазоне изменения пористости П.

Библиографический список

1. Жижкин, А.М. Анализ физической картины процесса теплопередачи в материале МР / А. М. Жижкин, А. И. Белоусов // Математическое моделирование информациионных процессов и систем в науке, технике и обществе: Межвуз. сб. научн. трудов. Самара. 2004. С. 43 - 52.

2. Дульнев, Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов / Г.Н. Дульнев, Ю.П. Заричняк // Справочная книга. - Л.: Энергия, 1974. - 264 с.

3. Жижкин, А.М. Экспериментальные исследования эффективной теплопроводности образцов из материала МР / А.М. Жижкин // Вестник СГАУ «Проблемы и перспективы развития двигателестроения» -Ч. 2. - Самара: Самар. гос. аэрокосм. ун-т. 2006. - №2. - С. 15-18.

References

1. Zhizhkin A.M., Belousov A.I. Analyses of physics of heat conduction process in MR material// Mathematical modeling of information processes and systems in science, technology and society. Samara, 2004, pp. 4352.

2. Dul’nev G.N., Zarichnyak Yu.P. Heat conductivity of blends and composite materials. Handbook. Leningrad, Energy, 1974 - 264 p.

3. Zhizhkin A.M. Experimental research of effective heat conductivity of samples from material МР. SSAU bulletin “Problems and development prospects of propulsion engineering”, the Part 2, Samara: SSAU, 2006, №2, pp. 15-18.

MODELING OF HEAT CONDUCTION PROCESS IN POROUS MR MATERIAL

О 2009 A. M. Zhizhkin

Samara state aerospace university

Principles of modeling of structure of MR material and heat conduction process for absence of convection of media in holes are presented in this article.

Model, heat conduction, material HR

Информация об авторе Жижкин Александр Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры Конструкции и проектирования двигателей летательных аппаратов Самарского Государственного аэрокосмического университета. Тел. 267-46-87. Область научных интересов: виброизоляторы и уплотнения на основе материала МР.

Zhizhkin Alecsandr Mihailovich, Candidate of Engineering Science, lecturer of Aircraft Engine Design Department of Samara State Aerospace University. Phone: 267-46-87. Area of research: sealing made of MR material.

29З