CC BY
36
Я.В. ПАВЛЮК, аспірантінститутумеханікиім. С.П ТимошенкаНАН
України (м. Київ)
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ПОВЗУЧОСТІ НА ОСНОВІ
НЕЛІНІЙНОЇ ТЕОРІЇ В’ЯЗКОПРУЖНОСТІ
ІЗ НЕЗАЛЕЖНОЮ ВІД ЧАСУ НЕЛІНІЙНІСТЮ
Розглянуто задачу побудови одновимірних визначальних рівнянь нелінійної теорії в'язкопружності Розйязокотриманона гід ставі гіпотези єдиноїдіаграмццеформуваннииходячи
із подібності ізохронних діаграм повзучостіта діаграмим иттєвогодеформуванняПобудовано узагальнен>реологічнумодель На підставі моделіпобудованоодновимірнівизначальнрівняння повзучостщлянелінійно-в'язкопружнихматеріалівіл.: б.Бібліогр: 14 назв
Ключові слова нелінійна теоріяв’я зкопружності єдина діаграмадеформуванияізохронні діаграмиповзучості діаграмамиттєвогодеформуваннфеологічнамодель повзучість? нелінійно - в’язкопружні матеріали
Постановкап роблемй аналіз літератури Відоме* що повзучість більшості композитнихі полімерних матеріалів реалізується нелінійній області деформування Ця область характеризується не співпаданням дослідних кривих податливості і відповідно відсутністю єдиної функції повзучості При цьомув залежностівід матеріалу умов навантаження/юже виконуватись або подібністьк ривихп овзучості або подібність ізохронних діаграм повзучості На даний час опубліковано багато робіт, присвячених побудові нелінійних моделейспадковоготипу. Деякі із цих моделей методи визначенняматеріальниж онстант моделейа такожотриманіна їх основі результати обговорюються [1 - 4]. Однієюз найбільш обгрунтованих моделей є нелінійна модель в’язкопружності Работнова [5, 6], основне рівняння якої побудованевиходячиіз умови подібності ізохронних діаграм повзучості В роботі [7] умова подібності ізохронних діаграм повзучості розширеназа рахунок введеннядо подібних ізохрон діаграмим иттєвого деформування як ізохрони для нульового моменту часу яка визначає нелінійністьмоделі На основі цієї моделірозйязуєтьсязадачаіз розрахунку деформацій нелінійної повзучості деяких нелінійнов'язкопружних полімерних і композитних матеріалів при стаціонарних режимах навантаження
В [1 - 4, 8, 10 - 12] -нриведеннелінійні моделі повзучості спадкового типу. В [5, 6, 9, 14] -розглядаєтьсяюлінійна модельРаботноваВ [7] -приведенсрозширенунелінійну модельРаботноваВ [13] - викладенсметод мінімізації функціоналу
Мета статті - вирішення задачі із моделювання елінійнихп роцесів повзучості та релаксації напружень в’язкопружних матеріалів на основі нелінійноїтеоріїв’язкопружностііз незалежноквід часунелінійністю
ОсновніспіввідношенняПостановказадачідослідженняЗалежність
між деформаціям напруженнями і часом для нелінійнов'язкопружних матеріал ір виходячи із розширеної умови подібності ізохронних діаграм задається одновимірном^випадкурівняннями
j o(e(0) = s(0 + l TK(t- t)s(t)cft;
(° (1)
s(0=j o(e(0)" I T^(f- t)j 0(e(t))c/t,
0
де e(f), e(t) - повна деформація що включає пружну складову е® і деформаціюповзучості ec(f) в моменти часу t і т; s(i), s(t) — діюче напруженню моментичасу t і т; j 0(^І -функція щозадаедіаграмумиттєвого
деформуванчяК(£-t) - ядро повзучості Rt-t) —ядро релаксации І -реологічний араметр(І >0); t - час спостереження! - чар що передує моментуспостереження
В (1) на відміну від базово'нелінійноїспадковоїмоделі запропоноване» [8], функція j о(41 використовуєтьсянетільки при t = 0, але ідлявсіх значень t >0. Функція j 0(е) задаєтьсядночленнокстепеневоквпроксимацією
Іо(е) = -(^\ (2)
<7
де Н, q - константи що визначаються по результатах обробки експериментальнихданих випробувань зразків матеріалу на одновісний розтяп
Дробовеекспоненційне ядро запропоноване в [6], задається співвідношенням
1 ґ (-b)n(t- t)(1+a)n
K(t-1) =--------e —i- (3)
(t- t)'a 7=o G[(1 + a)(1 + n)]
длявипадкуповзучостіі співвідношенням
ш t\ -1 ~ (i +b)n4t- t)(1+a)(1+n)
П=0 G[l + (1 + a)(1 + n)]
для випадку релаксації Де а і ß - параметрицробовеекспоненційногоядра причому -1 <а <0, аь>0 .
Параметри! і ß дробовеекспоненційногоядрд а також реологічний параметр Л у рівнянні (1) визначаються по результатах обробки експериментальниданихна одновіснуповзучістьпри фіксованійтемпературі
і при декількох рівнях постійнихн апруженнь В цьому випадку величина напруженню^) задаєтьсжпіввідношенням
де h(t) -одиничнафункціяХевісайда(Л(0= Опри i <0 і h(t) = 1 приf і 0),а sk = const.
В роботі в рамках рівнянь (1) розйязується задача із розрахунку деформаційіовзучостідлясклопластикуГС8/3-250 при розтягненніпід кутом Ф = 45“ до осі симетріїі фторопласт-yl. Результатірозрахункупорівнюютьсяз експериментальнимиданими запозиченими із [9, 10]. Задача включає побудовувизначальнихрівняньп овзучості визначенняобласті нелінійності в'язкопружних властивостейматеріалір визначення! араметрівдробове експоненційнихядерс падковост,і та експериментальн^пробаціюмоделі на прикладі розрахунку релаксації напружень та д еформаційповзучості при одноразовомртатичномунавантаженні
Побудова визначального рівняння повзучості нелінійних в'язкопружних матеріалів Відомц що характер нелінійності процесу повзучостів'я зкопружних матеріалів структура відповіднихн елінійних моделейювзучостізалежитьвід виконанняоднієїіз умов подібності В якості таких умов найчастішєрозглядаєтьсяодібністьпервиннихкривих повзучості і подібністьізохроннихдіаграмповзучості
Нелінійністьв'я зкопружних властивостейматеріалів проявляється як відомо[6], у порушенні умови суперпозицій умови однорідності В результаті залежність "деформація- чай' не може бути представлену вигляді ряду ступінчастих функцій, що задаються в різні моменти часу а функція повзучостівиявляєтьсаалежноквід напружень
Нелінійність в'язкопружних властивостей вибраних матеріалів обфунтовуєть&в роботі виходячи із порушенняумови однорідносте коли в довільній фіксований момент часу відношення між деформаціями не відповідає відношенню між напруженнями В цьому випадку функції повзучості Jk(t)
виявляютьсязалежнимивід рівня напружень так, що єдина функція
повзучості ,У({), інваріантнапо відношеннюдо рівня напружену, відсутня
Кількісна оцінка н елінійностів'я зкопружних властивостейматеріалів
може бути отриманаіз співставленнярозрахункових £а к і табличних (гк
значень квантиля статистики [11]. Вважається що матеріал володіє нелінійнимив’язкопружнимивластивостям,кякщовиконуєтьсяумова[12]
s(t) = h(t)sк\ (к = \т),
(5)
Ji(0 = *^W) = ^,S2) №..Na7m(0 =
Sm
(6)
си(Мл/л * —
іа,к = <*а ,к, І = \т, (7)
ьЛ1і>
де ^у) - вибірковесереднєзначенняфункції повзучості 8]^]) - середнє
квадратичне відхилення величини п - об’єм вибірки (кількість
функцій повзучост); сі-максимальняіохибкаміжзначеннями^^у) і 7(£у).
Величина похибки сі в подальших розрахунках задається ±5%, а ймовірність р попадання експериментальни)функцій повзучості/^) в
інтервал обмеженигееличиноюсі = ±5%, по відношеннюдо величини )
повиненбути не менше90%.
Експериментальні значення податливості нанесені на рис 1 для склопластикуТС8/3-250при розтягненніпід кутом] = 45* до осі симетрії^, та фторопласт-уі ( )б Експериментальні значення податливості для склопластикуТС8/3-250 отримані із даних випробуванша п овзучість при напруженняхв^= 20,3 р), 39,8 9). 59,7 £), 79,6 {)), 99,5 ф, 119,4 £) МПа і для фторопластуї - при напруженнях 5 (о), 7,5 9). 8,5 <?), 10 (•). Експериментальицані запозиченііз [9] і [10]. Штриховими лініями нанесені границі інтервалусітах = ±5% від величини 7(£у).
иЧІЇ, МПа'1 Л(?,МПа1
а б
Рис 1.
Розрахункові значення квантиля статистики ґаЛ, нанесені тонкими штриховими лініями, також не перевищують(рис 2) для цих напруженьїх критичні значення^* к, нанесеніговстимисуцільнимилініями
Із данихп риведенижа рис 1, видне) що в інтервали 2сІтах 7(ґу) попадають експериментальні значення функцій повзучості для досить
129
обмеженогфівня напружень Розрахунковвначеннжвантелястатистики їак
менші їх критичного значення Ґа к, що в цілому задовольняєумовам нелінійності(б) и(7).
Іа,к
1,2
0,8
0,4
Га,к
Іа,к
1,5
1.0
0,5
0
500
1000 І, ГОД
4000
Рис 2.
8000
б
12000 І,ХВ
Для побудови визначального нелінійного рівняння повзучості (1) використана концепція єдиної ізохронної діаграми деформування яка обфунтовуєтьсюкспериментальнвиходячиіз умови подібності ізохронних діаграмповзучостіі діаграм имиттєвогодеформування
Узагальнен^умову подібностіізохроннихдіаграмповзучості яка містить і діаграмумиттєвогодеформуванняіредставимсу вигляді [12]
І ,[Є)(0,М= Іо(8|') Ю1 + 6(?,)= ^о(Є/) = сопзї, (8)
1 + Є(ґу) Кі> і,[е>ОД
що задає подібністьв площині "] - є" для кожного із фіксованих рівнів
деформаційзДґ) в інтервалі / = 1,1 по параметр^. Тут 1 + в(ґу) - функція
подібності ] 0(^ і \ ^ - значеннянапружені? що визначаютьсяз діаграми миттєвогодеформуванняпо ізохрониихдіаграмахповзучостідля кожного із моментівчасу ; є, - компонентацеформацищо не залежитьвід часу і;, і
визначаєтьсяо діаграм і миттєвогодеформування 0(е,).
Вважається що єдина ізохронна діаграма деформування) (є) існуєз похибкою сі по відношенню до вибіркового середнього Пе) . ЯКЩО виконуєтьсянерівність
ІЕШ^цМиа, (9)
а інтервал
\ о (Є/)
Г(е,.)- С(е,)<] (е)<Г(е/) + сГ(е/); (#=гГ)
130
накриваб стине значенняєдиної ізохронної діаграми деформування (є) ¡3 деякоюймовірністю р.
Значенняймовірності р залежитьвід значеннжвантилястатистики ta k і визначаєтьсяв таблиць[11]. Значенняфункції подібності 1+G(f,), а також значеннувеличинГ(е,) і ta k розраховуютьсаавідомоюметодикою[12].
Єдині ізохронні діаграмцдеформуванндлясклопластикуГС8/3-250 при розтягненні під кутом j = 45° до осі симетрії (а) і фторопласт^ ( $> обгрунтовані експериментальчовиходячи із виконання умов (9) і (10), та приведені на рис 3. Вихідні ізохронні діаграми повзучості задані квадратиками товстими суцільним лініями показані діаграми миттєвого дефомуванняі 0(е). Для склопластикуТС8/3-250 £) точки відповідають моментамнасу tj = 54(з), 198 Р), 348 Р), 510 Р), 978 Ç1), 1200 Р) годин, дляфторопласт^ (б) точки відповідаютьмоментамнасу tj = 234 (□), 1849 р ), 4362 ÇS), 6517 Р), 84913), 10646Ç1), 13518Р) хвилин
о,МПа
0,08
Рис 3.
0,16
б
0,24
Диференціюючирівняння (1 ) по часу отримаємовизначальнфівняння моделі
"“.(ей)щ1
s(,)^
dt dt
№
ûfe
Із
ЬІ
(11)
де похідна від функції \ 0(е(?)) взятд як похідна від складної функції. Рівняннянелінійноїповзучості(8) є рівняннямшвидкісноготипу і встановлює в найбільш загальному вигляді залежність швидкості повзучості від напруження вихідних деформативнихвластивостейматеріалу враховує спадкові властивості форміінтегральногснасовогооператора Із врахування^) з моделі(8) отримуємоспіввідношення
4 О Ш _ н „„
<т) (е(о)1"4’
із врахуванням кого отримаємовизначальнерівняннян елінійної моделі повзучостів‘язкопружнихматеріалІЕ(8), що запишеться вигляді
-і
с/Й ' 11^ 1-І щ
^=^(«+тк('-ї)8а)ьіт^«Г7^1» ■ (13)
Н о Ще (щ й
ВизначенняіараметрІЕМоделіВ роботі невідомі параметрі®, Ь і І визначаютьсяіз даних отриманих із умови існування єдиної ізохронної діаграми миттєвого деформуванняі представлених у вигляді функції подібності 1 + ).
В якості к ритерію найкращого узгодження функції подібності (8) із експериментальними даними використовується умова мінімізації квадратичного відхилення розрахункових даних із експериментальними даними функції подібності [б(^-))в ■ Задача зводиться до знаходження
мінімуму функціоналу
т Л/м й Ґ (_Ь)Л£(1+аХ1+л) ІіЦ2
Р(а,Ь,І ) = Є Є нЄ«р(*/)- К1 + І Є .115 ■ 04)
*=і /=і0 N л=оЧІ + (1 + л)(1 + а)]щ
Мінімізація функціонал^ 4)здійснюєтьсяз використаннямтераційного методу ЛівенбергаМаркардта [13]. Значення знайдених таким чином параметріва , Ь и І длядосліджуваниж/іатеріалітриведенв табл
Експериментальна апробація моделі Найбільш обгрунтована експерементальнаперевірка доцільності застосування нелінійної теорії в'язкопружності (1), застосування дробовеекспоненційного ядра (3) і параметрівядрд знайденихіз данихна п овзучість, здійснюєтьсяна задачі розрахуй кудеформаційювзучостітарелаксаці'напружень
Диференційне визначальне рівняння нелінійної повзучості (6) із врахуванняіфівняння(З) дляядраспадковостконкретизуєтьс^ вигляді
0^(0 _ с/й й ґ (-Ь)п?(1+а>(і+п> т н щ1 М(-ч
Л ~3к 2)ф+(1+а)(1+п)]^(0)1-^ '
Інтегруючи дальше (15) із врахуванням початкових умов для залежності деформаційювзучостіє від напруження? і часу? отримуємрівняння
; (-ьг^а)(і+п) і (16)
и Н ш й п^,СІ1 + (1 + а)(1 + п)]ч деприйнятс? що 1 = 0, £ - і = /, а Л(0) = 1.
3наченнудеформаційповзучостіе(0 нелінійнов1 язкопружнихматеріалів розрахованихю співвідношенню(16) із використаннямзначеньп араметрів а ,Ь і І , приведений табл, співставленна рис 4 із експериментальними данимидлясклопластикуТС8/3-250при розтягненніпід кутом \ = 45* до осі симетрії(^ і фторопласт-уі (б). Результатірозрахункунанесеніштриховими лініями, а експериментальнідані показані точками Позначення рівнів прикладенижапруженьв^ співпадаютьіз прийнятиминарис 1.
Таблиці
В’ язкопружні матеріали Параметриндра Параметри діаграми миттєвого деформування
а Ь, под(1+сг) І , год(1+а) н, МПа Я
склопластикТС8/3-250, ер = 453 -0,7 -0,12 0,11 540,46 0,3917
фторопласїй -0,703 -0,13 0,062 21,806 0,3264
£'10г2
і, гощ
Рис 4.
ЗалежністшапруженняБ^ від часу ї, виходячиіз (1) із врахування^) записується вигляді
... И Ґ - (І +Ь)^(1-)(1-)Щ
8к(0 = вок1 - І Є ч/^ VIТ» (17)
Я П=о ЧІ + СІ + аКІ + п)]^
д^ прийнятр що І = 0, ? -1 = ?, а Л(О) = 1.
Криві релаксації напружені? розраховані по рівнянню (1) із використанням значеньп араметрів а , Ь і І , знайдених із дослідів на повзучість(таблицф, співставленнарис 5 із експериментальнимданимидля склопластикуТС8/3-250при розтягненніпід кутом \ = 45* до осі симетрії із експериментальними даними Початкове значення напружень для
склопластикаТС8/3-250складає8/с(0)= 59,72 £>), 79,63 9) і 99,5 (#)МПа. Результатірозрахунківнанесеніитриховимилініями, аекспериментальщані точками Експериментальщанізапозичен[14].
о, МПа
90
60
ЗО
0 125 250 375 t, ГОД
Рис 5.
В цілому як видно із рис 5, ядрорелаксації(4) резол ьвентжихідного дробовеекспоненційногоядра (3) і параметриядра а , b і І , знайдені із дослідів на повзучість, забезпечують повністю задовільне узгодження резул ьтаті фоз рахун ку релаксаці'напруженьіз експериментальнимданими
Висновок Як видно із результатіврозрахункуна рис. 4, 5 отримано задовільнеузгодження експериментальнизданих із розрахунковими Що підтверджує доцільність застосуваннянелінійної моделі ЩО будується на підставі гіпотези єдиної діаграми деформуваннявиходячи із подібності ізохронних діаграм повзучостіта д іаграмим иттєвого деформування для розрахунку релаксації напружень та деформацій повзучості Найбільша похибкабулаотриманадлясклопластикуТС8/3-250при розтягненніпід кутом Ф = 45> до осі симетрії при розрахунку деформацій повзучості при одноразовомртатичномунавантаженні становитьі 5%.
Список літератури 1. Ильюшин A.A. К вопросу о нелинейной теории вязкоупругости IА.А ИпьюшицБ.Е. Победря//В сб.: Прочностьи пластичность-М.: Наука 1971. - С. 270-276. 2. КаминскийА.А Механикаразрушенияполимеров/ А.А Каминский Г.В. Гаврилов- К.: Науковадумка, 1988. - 224с. 3. КолтуновМ.А Ползучестьи релаксаций М.А. Колтунов-
ь* •« • ••• ■ ■ • а а а а
^'Оо~о- в - в . в о - аоо —W- в-в О ©-© Г сто tfütJO О О (
М: Высшаяшкола 1976. - 278:. 4. КолтуноеМ.А К вопросуисследованивдномернойзадачи нелинейнойползучести/ М. АКолтунорА.С. НиколаевскийИ Механика полимеров- 1966. -№5. - С. 678-687.5. Работное Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием I Ю.Н. РаботноеII Прикл. математик» механика - 1948. -Т. 12. -№ 1. - С. 53-62.
6. РаботноёО.Н. Элементьнаследственномеханикитвердыхгел/ Ю.Н Работное- М.: Наука 1977. - 384г. 7. Golub V.P.An Approach to Construction a Rheological Model of a Strain-Hardening Medium IV.P. Golub, Y.M. Kobzar, P.V. FemM Int. Appl. Mech. - 2004. - Vol. 40. № 7. - P. 776-784.
8.РаботноёО.Н. Некоторые вопросы теории ползучести / Ю.Н. РаботноеII Вестник Московского университета - 1948. -№ 10. - С. 81-91.9. РаботноёО.Н. Нелинейная ползучесть стеклопластикаТС8/3-250 / Ю.Н. Работное АХ. Паперни/f Е.И. Степанычее //Механикаполимеров- 1971. -№3. -С. 391-397.10. ПавловП.А.Ползучестьполизтиленаїри плоском напряженном состоянии в условиях нестационарногонагружения / П.А Павло?
О.Н. Кондаковд В.Н. БеланГайкоИ Механикакомпозитныхматериалов- 1980. -№5. -С.793-801. 11 .Степное М.Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний I М.Н. Степнов- М.: Машиностроениэ1972. - 232с. 12. ГолубВ.П. Нелинейная) олзучесть вязкоупругихорганическихволоконпри растяжении/ В.П. Голуб Ю.М. Кобзарь П.В. Фернати //Прикл. механика-2005. -Т. 41. -№7. -С. 102-115.13. More J.J. Users guide to minipaddiJ. More,
B.S. Garbow, KEHillsbvm //Argone National Laboratory Publication ANL-80-74. - 1980. - 238 p. ЛА.РаботноеЮ.Н Приложение нелинейной теории наследственное™ описанию временных эффектов полимерныхматериала^ Ю. НРаботнорА.Х. ПапернщЕ.И. СтепанычеИ Механика полимеров- 1971. -Na 1. - С. 74-87.
Стаття представлена д.т.н проф Інституту механіки ім. С.П. ТимошенксНАН України ГэлубоыВЛ.
УДК 539.376
Моделированиароцесоэтолзучестта основенел инейной'еории вязкоупругостю независимой времен»нелинейності4 ПавлюкЯ.В. II ВестникНТУ "ХПИ". Тематический выпуск Информатикаї моделирование-Харьков НТУ "ХПИ". -2010. -№21. -С. 126 - 135.
Рассмотренаадачаюстроенияодномерныиэпределяющиуравненийнелинейнойгеории вязкоупругости Решение получено на основегипо тезы единой диаграммы деформирования исходяиз подобияизохронныхдиаграммползучести* диаграммьмгновенногодеформирования Построено обобщенную реологическую модель На основе модели получены одномерные определяющи^равненияюлзучесткдлянилинейновязкоупругихматериалоЕИл.: 5. Библиогр:
14 назв
Ключевыеслова нелинейнаэтеориявязкоупругости единаэдиаграммадеформирования изохронные диаграммы ползучести диаграммам гновенного деформированияреологическая модельползучест*>нилинейновязкоупругиематериалы
UDC 651.326
The creep processes modeling by nonlinear theory of viscoelasticity with time independent nonlinearity / Pavluyk Y.V// Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkiv: NTU "KhPI". - 201(№21. - P. 126 - 135.
The problem of the derivation of unidimentional constitutive equations of nonlinear viscoelastic theory is considered. The solution is obtained based on the hypothesis of the unified deformation diagram proceeding from the similarity of isochronous creep diagrams and a stress-strain diagram. A generalized reological model is constructed. On the basis of the generalized model unidimentional creep constitutive equations of nonlinear viscoelastic materilas have been constructed. Figs: 5. Refs: 14 titles.
Keywords: nonlinear theory of viscoelasticity, unified deformation diagram, isochronous creep diagrams, stress-strain diagram, reological model, creep, nonlinear viscoelastic materilas.
Поступилав редакціюі0.10.2009
