CC BY
96
Кашенков А.Р. Моделирование противозатратных механизмов управления с учетом различных видов областей противозатратности
Рассмотрим модель организации-монополиста, выпускающей какую-либо продукцию. Эта модель подходит для предприятия и для научной организации. Производимый продукт может быть как материальным продуктом, так и интеллектуальной продукцией или услугой. Аналогичная модель применима для систем внутрифирменного управления, когда подразделения фактически являются монополистами.
Продукт характеризуется себестоимостью производства с и эффектом I у потребителя от данного продукта. В качестве полезного эффекта I может выступать лимитная цена, то есть наибольшая цена, которую потребитель согласен платить за эту продукцию. В качестве показателя эффективности можно
взять э=С , то есть эффект на единицу себестоимости продукта. Цена продукта Ц представляет собой
сумму себестоимости и прибыли. Пусть Ц = с + ж = (1 + р) • с, где ж = р • с - прибыль, р - рентабельность. Эти соотношения записаны для единицы продукции, но если считать количество выпускаемой продукции постоянным, то эти выражения справедливы для любого объема выпуска.
Одним из путей обеспечения противозатратности механизма управления для монопольного производителя являются регулируемые цены. Противозатратность механизма ценообразования достигается за счет введения зависимости рентабельности от эффективности.
Механизм управления называется противозатратным по прибыли, если прибыль растет при уменьшении себестоимости и росте полезного эффекта, а цена продукта растет при росте себестоимости и полезного эффекта.
Поскольку при уменьшении себестоимости и росте полезного эффекта растет эффективность э=С , то для обеспечения противозатратности естественно увеличивать р вместе с ростом эффективности э. Предполагаем, что р(э) - возрастающая дифференцируемая функция.
Получим условие, которым должна удовлетворять зависимость р( э) для того, чтобы выполнялись требования противозатратности
дж < о дЦ > о дж > о дЦ > о (1)
дс < 0 дс > 0 д1 > 0 д1 > 0 . (1)
Для выполнения двух последних условий, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы р( э) была
(ёр Л
возрастающей функцией I > 0 1. Далее будем предполагать, что это требование всегда выполняется. Первое и второе требования приводят к следующему условию
0 < э ёэ - р( э)< 1. (2)
Множество значений эффективностей, для которых выполняется условие (2), называется множеством противозатратности механизмов по прибыли и обозначается V.
Функция М( э) = э -р — р( э) называется характеристической функцией множества противозатратности. Функция М(э) принимает значения в интервале (0,1) на элементах множества V и вне этого интервала на элементах, не принадлежащих множеству V. Знание характеристической функции позволяют сразу найти множество противозатратности.
Заметим, что
дс = — М э), ддЦ = 1 — М(э) .
дс = —М э , ~дс = 1 — Мэ)
Таким образом, характеристическая функция множества V имеет яркий содержательный смысл. Ее величина определяет влияние снижения себестоимости на рост прибыли, а величина 1-М(э) определяет влияние снижения себестоимости на снижение цены. Это позволяет подбирать М(э) в соответствие с желательными требованиями к снижению цены и росту прибыли на различных участках эффективности.
В качестве множества V для многих механизмов функционирования обычно выступает интервал эффективностей (эт,„, этах). Следует напомнить, что эффективность не может принимать отрицательные значения, и производство продукции осуществляется только при значениях эффективности не меньших единицы.
Теорема. Для того, чтобы механизм был противозатратным по прибыли на интервале (этгп, этах), необходимо и достаточно, чтобы характеристическая функция к(э) принимала на (этгп, этах) значения в интервале (0,1).
Доказательство. Необходимость. Если механизм является противозатратным по прибыли на интервале, то 0<к(э)<1 на этом интервале. Это следует из определений противозатратности механизма по прибыли и характеристической функции.
Достаточность. Пусть для некоторого механизма управления на интервале (этгп, этах) характеристическая функция 0<к(э)<1. Покажем, что в этом случае механизм является противозатратным по прибыли на интервале (этгт этах). Для этого надо показать, что на (этгп,этах) выполняются условия:
дж < 0 дц > 0 дж > 0 дц > 0
дс < 0, дс > 0, ді > 0, ді > 0 .
Последние два неравенства справедливы в силу того, что рассматриваются только те механизмы, ёр
для которых ёэ > 0 .
дС < 0, так как ^ = —И( э) .
дЦ дЦ ( )
> 0 , в силу того, что дс = 1 — Я\э .
Теорема доказана.
Рассмотрим механизмы, для которых в силу определенных условий эффективность меняется дискретно. Тогда, в качестве множества противозатратности может выступать некоторое множество точек
{эг1і = 1,...,п}, причем э1<э2<...<эп . Для того, чтобы механизм управления был противозатратным на этом множестве точек, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
К+1 — К < 0, Ці+1 — Ці > 0,
СІ + 1
(3)
^ > 0, > 0,
1г+1 1г 1г+1 1г
где 1=1, п-1.
В более общем случае множество V может представлять собой объединение непересекающихся
п
интервалов • (э2/_1, э21). Например, если технология меняется скачками, то скачками меняется и эф-
i=1
п
фективность. Тогда для того, чтобы механизм был противозатратным по прибыли на • (э21_1, э21 ),
i=1
необходимо и достаточно, чтобы для каждого из интервалов вида (э21-1, э21) , где .=1,2, ... ,п, выполнялись условия теоремы, а для множества пар точек {э21, э21+1] где 1=1, ... , п-1, выполнялись условия (3).
Можно решить обратную задачу, то есть восстановить шкалу р( э) по выбранной характеристической функции к(э). Рассмотрим дифференциальное уравнение
э Ж _ Р( э) = М э). (4)
Решение (4) имеет вид
р( э)
Ршт + Г М х)
Xі
г И( X)
J -хгёх
(5)
где рт1П = Р(этп ) - минимальная рентабельность, соответствующая минимально допустимой эффективности. Если эт1п=1 , то (5) принимает вид
, . г к(х) ,
р (1) + I ^х
1 х
Если эффективность может принимать не все значения из промежутка (эт1п, + “), то зависимость р( э) можно оставить той же самой. Таким образом, при проектировании противозатратных механизмов
р( э) =
(6)
можно выбирать шкалу р( э) независимо от конкретного вида множества значений эффективности.
Специфику множества в этом случае целесообразно учитывать при выборе функции к(э).
Все предыдущие выводы имеют силу для планируемой прибыли. Поскольку при росте планируе-
А А А
мой себестоимости цена растет, то фактическая прибыль ж = Ц _ с также растет (с - фактическая себестоимость). Для исключения этой тенденции ставка налога на сверхплановую прибыль ¡1С должна быть больше, чем ставка налога на планируемую прибыль ¡!п . Остаточная прибыль организации в случае
Если тс =1, то есть вся сверхплановая прибыль изымается в бюджет, условия противозатратности механизма управления для фактической и планируемой прибыли совпадают.
с < с имеет вид
Условия противозатратности (2) в этом случае примет вид
