CC BY
28
УДК 687.02 (07)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ ПЕТЛИ И РАСЧЕТ ДЛИНЫ НИТИ В ПЕТЛЕ
© 2013 г. О.Н. Льыова, Н.С. Румянская
Лылова Ольга Николаевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Технология швейных изделий и материаловедение», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты. E-mail: lylo@list.ru
Румянская Наталья Сергеевна - канд. техн. наук, профессор, кафедра «Технология швейных изделий и материаловедение», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты. E-mail: nrum2@jandex.ru
Lylova Olga Nikolaevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Technology of Garments and Materials», South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty. E-mail: lylo@list.ru
Rumyanskaya Natalya Sergeevna - Candidate of Technical Sciences, professor, department «Technology of Garments and Materials», South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty. E-mail: nrum2@jandex.ru
Рассматриваются вопросы определения длины нити в петле трикотажного полотна, выработанного неполным переплетением на базе рисунчатых с последовательным чередованием рядов кожаной нити и пряжи. Длина нити в петле рассматривается в трёхмерном пространстве с учетом геометрических параметров кожаной нити, что позволяет прогнозировать длину нити в петле с высокой точностью как для полотен с содержанием кожаных нитей, так и для трикотажного полотна из традиционных текстильных пряж.
Ключевые слова: кожаная нить; трикотажное полотно с использованием кожаной нити; расчет длины нити в петле; трехмерное пространство; модель геометрического подобия; пространственная конфигурация.
The article deals with the issues of thread length determination in the loop of knitted fabric produced by incomplete interlacing on the basis of rows with patterned leather threads and yarns when rows are successively alternated. The thread length in the loop is examined in three-dimensional space with the account of geometrical parameters of leather thread. That allows to predict thread length in the loop with high accuracy both for the leather threads available in fabrics and knitted fabrics made of traditional filament.
Keywords: leather thread; knitted fabric with the use of leather thread; the calculation of thread length in the loop; three-dimensional space; model of geometric similarity; the spatial configuration.
Методы изготовления трикотажных полотен из различных видов сырья основаны на существующих видах главных кулирных переплетений и их производных. Параметры структуры трикотажа зависят от размеров, формы и взаимного расположения элементов структуры трикотажа - петли, наброска, протяжки относительно друг друга и размера игольно-платинных изделий, тем самым определяя свойства вырабатываемых полотен (длину нити в петле (ДНП), плотность петель, поверхностную плотность полотна, размеры, усадку, возможные дефекты и т.д.). В научных исследованиях по определению длины нити в петле используются модели геометрического подобия петельной структуры [1] или модели формы упругой нити в петле, основанные на теории гибких упругих стержней [2, 3]. Существующие модели определения ДНП не могут с достаточной точностью описывать её длину для нитей из натуральной кожи, а для проектирования нетрадиционных видов трикотажных полотен необходима зависимость, учитывающая пространственное положение изогнутой нити в петле.
В настоящей статье предлагается расчёт длины нити в петле трикотажного полотна, рассматриваемого в условно-равновесном состоянии с использованием модели геометрического подобия петельной структуры. Особенностью определения длины нити в петле, по сравнению с другими способами, является то, что петля рассматривается в трехмерном пространстве с
учетом её геометрических параметров, и решение задачи сводится к вычислению интеграла в элементарных функциях.
Так как сырьём для изготовления нити является натуральная кожа [4], то вырабатываемое трикотажное полотно является производным неполного переплетения на базе рисунчатых с последовательным чередованием рядов кожаной нити и пряжи, набор петель осуществляется 1*1 выключением игл из работы [5]. Моделирование пространственной конфигурации и расчёт длины нити в петле предполагает следующую систему допущений:
- расчет длины нити в петле трикотажа рассматривается в условно-равновесном состоянии с использованием модели геометрического подобия петельной структуры;
- за длину нити принимается длина её осевой линии;
- средний диаметр d, мм, нити на всех участках петли принят равным
d = ^;
2
- диаметр нити в свободном состоянии равен толщине и ширине нити (в сечении - квадрат) и приравнивается к расчётному диаметру dр, мм. Диаметр нити в деформированном состоянии (приложение нагрузки вдоль оси нити) приравнивается к условному диаметру dy, мм.
Рассмотрим проекцию петли кожаной нити постоянной толщины и ширины d на плоскость ХОY (рис. 1 а, вид сверху) и на плоскость XOZ (рис. 1 б, вид сбоку). Прямая O1D является осью симметрии петли.
Половина длины петли CD является симметричной относительно своего центра, соответственно, достаточно найти длину дуги окружности АС, равной окружности BD для вычисления длины половины длины петли (рис. 1). Округлость игольных и платинных дуг петли можно приблизить дугами окружностей АС и BD, а петельную палочку между дугами - отрезком прямой линии АВ (рис. 1 а).
С1 Н1 б
Рис. 1. Модель формы нити в петле: а - вид сверху; б - вид с боку
Ось ОХ выбрана параллельно оси симметрии петли и проходит через точку С. Середину дуги окружности АС обозначим через Н. Чтобы определить длину полупетли кожаной нити, имеющей ширину d, достаточно найти длину ее срединной эквидистантной кривой, соответственно, точки С, Н, А, В принадлежат этой эквидистанте (рис. 1 а).
Рассмотрим только эквидистантную кривую CD (рис. 2), где центр окружности левой дуги петли совпадает с началом координат.
где R - радиус дуги окружности, полученной при аппроксимации петли нити.
и
Так как дуга окружности СА имеет уравнение
У
=^/Rг-'
2 2 2 X
то ордината точки А при x = R sin а равна
и
y = R cos а . Опишем расположение дуги СА в пространстве в параметрической форме
х = R cos ф;
л • л y = Rsinф; —-а<ф<л .
z = z (ф) ;
(1)
Из рис. 1 б видно, что касательные к кривой СА, расположенной в пространстве XOYZ, в точках С и А являются горизонтальными, тогда в этих точках производные функции г = z(ф) при соответствующих значениях параметра ф будут равны нулю. Из условия гладкости кривой СН (непрерывно дифференцируемая кривая) в точке С значение параметра ф равно л, тогда
z = Ь(ф-л) .
(2)
При этом в системе координат аппликата в точке С равна нулю. При заданном выборе кривой Г (ф) | = 2Ь (ф - л) = 0 . Так как точка Н - середина
Ф=л
дуги СН, то в системе координат ф OZ координаты точки Н и С (рис. 1 б) имеют вид
Н
3л а d
Ф =---; z = —
4 2 2
C [ф = л; z = 0].
Подставляя координаты этих точек в уравнение (2), получим:
d , (3л а i
- = b----Л I . (3)
2 I 4 2 1
Из уравнения (3) найдём значение коэффициента d
b = -
„i л а 2| - + -4 2
(4)
Рис. 2. Моделирование проекции половины петли
Так как в точках А и В угловой коэффициент окружностей и прямой совпадает, то для его нахождения обозначим острый угол между прямой АВ и осью ОХ через « - а », тогда угол между прямой ОА и осью ОХ
равен л/ 2 -а.
Воспользуемся системой координат в параметрической форме. Тогда часть полупетли, описываемая дугой окружности, имеет вид
х = R cos ф; л
--а < ф < л,
y = R sin ф; 2
С учётом (1) и (2) уравнение части петли СН имеет вид
X = R cos ф;
_ . 3л а
y = R sin ф; ---<ф<л
4 2
(5)
z = b (ф-л) ;
Известно, что длина пространственной кривой равна
Lch = IV [ х'(ф)] 2 +[ У'(Ф)] 2 +[ z '(ф)] 2 d ф
(6)
Ф1
2
Определим длину участка СН по формуле (6) на
отрезке
3л а
---; л
4 2
Для этого найдём производные функций x (ф),
x (ф), y (ф), z (ф):
х'(ф) = -R sinф; у'(ф) = R cosф; г'(ф) = 2b (ф-л) .(7)
Подставим выражения (7) в формулу (6):
ж I-2"
LCH = J yjR2 + 4b2 (ф-л)2dф.
(8)
3л а 4 2
Ф = л-|; d ф =-d
Ф1 =
3л а 4 2'
Ф2 =л;
(9)
ла
I = -+—; I2 = о.
1 4 2
л а
—I—
42
LCH = 2Й Hlfl+|2d^
(10)
Для упрощения введём следующие обозначения:
(11)
R л а
n =—; ß = -+—.
2b 4 2
Тогда интеграл (10) имеет вид
Р
LCH = 2b]4r\2 + |2d| .
(12)
Вычислим интеграл (12) с помощью интегрирования по частям.
В результате длина дуги петли кривой на участке СНравна
" _ Г г~п—— -V
Р^2 +Р2 +П21п
LCH = b
Vn2+ß2 +ß
n
Lch = 8b
ßVn2 +ß2 +n2ln
Vn2 +ß2 +ß
n
+ 2a , (13)
L = 8bßn
1 +ßl +n in I n2 ß
ß
Y
1+£i+n
n2 n
+ 2a.
Обозначим у = — =
4d
■. С учётом формул
^ Я (л + 2а)
(4) и (11) получим формулу длины кожаной нити в петле с учетом пространственной конфигурации этой петли:
L = R (л + 2а)
■y/i + у2 +—in
. У
(V12 +у)
+ 2а.
Выбор пространственной конфигурации участка СН в виде (5) позволяет получить длину дуги в виде интеграла, вычисляемого в элементарных функциях. Для этого выполним замену переменных:
В формуле (8) поменяем местами пределы интегрирования, из-под корня вынесем за знак интеграла константу 2Ь и, произведя замены в соответствии с (9), получим
Вся петля кожаной нити состоит из восьми участков вида СН. Длину участка АВ обозначим через а (рис. 1 а). Таким образом, длина всей петли будет определяться по формуле
где параметры ^ и р находятся по формулам (11), а параметр Ь - по формуле (4). Преобразуем формулу (13):
Оценка адекватности разработанной модели проводилась на основе сравнения расчетных значений и экспериментальных замеров параметров петли трикотажного полотна и выполнялась статистическими методами с применением пакета команд Maple 9,5. Результаты расчётов длины нити в петле и статистические характеристики (коэффициент вариации и относительная ошибка среднего для кожаных нитей находятся в пределах 2,7 ^ 3,8 и 1,3 ^ 1,9 % соответственно) подтверждают справедливость предлагаемой математической модели, учитывающей пространственное строение этой петли для определения её длины. Отклонение расчётной длины нити в петле от экспериментальной для кожаных нитей находится в пределах от 1,6 до 5,7 %. Для сравнения - текстильная пряжа имеет небольшой процент отклонения -1,0 ^ 1,2 %, так как выработана промышленным способом и образцы связаны из одного вида.
Таким образом, предложенная математическая модель для определения длины нити в петле трикотажного полотна, выработанного чередованием в каждом ряду кожаной нити и текстильной пряжи, позволяет на стадии проектирования и разработки структуры полотна прогнозировать необходимые свойства, определяющие требуемое качество без предварительной выработки образцов, и имеет достаточно высокую точность расчётов длины нити в петле как для рассматриваемых полотен, так и для полотен из традиционных текстильных пряж.
Литература
1. Шалов И.И. Технология трикотажного производства. Основы трикотажного производства. М., 1984. 296 с.
2. Щербаков В.П. Прикладная механика нити: учебник. М., 2001. 301с.
3. Труевцев А.В. Определение жесткости нити при изгибе с целью нахождения геометрических параметров петли ку-лирного трикотажа // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности. 1991. № 6. С. 71 - 77.
4. Лылова О.Н. Оптимизация технологических процессов изготовления нити из натуральной кожи для формирования трикотажных полотен // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 6. С. 145 - 148.
5. Способ получения трикотажного полотна. пат. RU 2395634 C1D04B 1/14, Рос. Федерация. №2009108801/12; заявл. 10.03.2009; опубл.27.07.2010. Бюл. № 21.
Поступила в редакцию
11 марта 2013 г.
