Моделирование профиля рабочей поверхности кулачка планетарной шариковой передачи Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

УДК 621.83.06

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОФИЛЯ РАБОЧЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КУЛАЧКА ПЛАНЕТАРНОЙ ШАРИКОВОЙ ПЕРЕДАЧИ

М. Е. ЛУСТЕНКОВ, И. И. МАКОВЕЦКИЙ

Государственное учреждение высшего профессионального образования «Белорусско-Российский университет», г. Могилев

Введение

Планетарные передачи с телами качения [1] обладают рядом преимуществ по сравнению с традиционными планетарными зубчатыми передачами: малыми габаритами в радиальном направлении, высокими значениями коэффициента перекрытия. Модель планетарной шариковой передачи (ПШП) представляет собой пересечение в пространстве двух кривых (синусоид) с амплитудой А, замкнутых на цилиндре с радиусом R образующей окружности. Одна синусоида однопериодная (Z1 = 1), другая -с числом периодов Z3. Математическое описание модели представляет собой систему двух уравнений синусоид (1) и (2), развернутых на плоскость, средние линии которых совпадают:

*1 (х ) = Asin^^ -A xj; (1)

/ ч . . (Z3 х j Z3(х)= A sin , (2)

j R J

где х - параметр (дуговая координата), изменяемый от 0 до 2nR; A х - приращение дуговой координаты, в начальный момент времени равное нулю.

Однопериодная синусоида, при движении вдоль оси абсцисс на плоской развертке, вынуждает перемещаться в ту же сторону группу точек пересечения, причем расстояние между этими точками остается неизменным. Это доказывается решением системы уравнений (1) и (2), справедливом при любом A х :

х = nR(2N + Р) , (3)

Z1 - Z3 + 2Z3P

где N и Р - переменные, означающие ряд натуральных чисел.

Наличие двух независимых переменных в формуле (3) означает наличие двух групп корней, т. е. двух групп точек пересечения синусоид. Первая группа на отрезке {0; 2nR} образуется при взаимодействии разноименных ветвей синусоид: восходящих и нисходящих, вторая группа - при взаимодействии одноименных ветвей синусоид на том же отрезке. Численные значения корней системы (1), (2) получим, приняв Р = 0 и изменяя N от 0 до t = Z3 - Z1 для второй группы точек и приняв Р = 1, при этом изменяя N от 0 до t = Z3 + Z1 - для первой группы точек пересечения кривых.

Механическая передача (для точек первой группы) реализуется следующим образом: внутренний кулачок с эллипсообразной (плоская развертка эллипса представ-

ляет собой однопериодную синусоиду) беговой дорожкой, вращаясь, вынуждает тела качения перемещаться по этой беговой дорожке, и, одновременно, по рабочей поверхности неподвижного (соединенного с корпусом) наружного кулачка, профиль которого представляет собой сочетание выступов и впадин, т. е. имитирует многопериодную синусоиду. Центры тел качения совпадают с точками пересечения кривых. Результирующее редуцированное вращение снимается валом с пазами, расположенными на внутренней цилиндрической поверхности с постоянным и равным угловым шагом. Основные детали передачи показаны на рис. 1.

Рис. 1. Основные детали планетарной шариковой передачи:

1 - составной внутренний кулачок; 2 - вал с пазами; 3 - наружный кулачок;

4 - тела качения

Дополнительным преимуществом передачи является технологичность ее деталей и возможность их изготовления на универсальном оборудовании (станках токарной и фрезерной группы) стандартным режущим инструментом. Сложности могут возникнуть лишь при изготовлении профиля рабочей поверхности наружного кулачка, который представляет собой чередование выступов и впадин. В работе [2] была предпринята попытка заменить сложный профиль графическими примитивами (трапеция - на рис. 1, окружность), однако практика показала, что при этом снижается кинематическая точность и возрастает шум при работе передачи.

Целью данной работы является получение математических зависимостей, позволяющих определить координаты профиля, удовлетворяющего условию высокой кинематической точности ПШП. Вывод параметрических уравнений необходим для последующих исследований кинематики и динамики передачи, так как массив координат, полученный в работе [3] с помощью пошагового алгоритма, анализировать в дальнейшем затруднительно.

Вывод параметрических уравнений профиля

Очевидно, что необходимый профиль рабочих поверхностей должен обеспечивать непрерывность контакта тел качения и рабочих поверхностей деталей передачи. Такой профиль будет образован следом окружности, центр которой перемещается по синусоиде с числом периодов Z3 (назовем ее «центральной» синусоидой).

Рассмотрим однопериодную синусоиду с единичной амплитудой, по которой перемещается центр окружности с радиусом гш (рис. 2) в системе координат X0Z.

Искомый профиль при движении центра окружности по центральной синусоиде будет образован перемещением конца отрезка (длиной гш) нормали п восстановленной к касательной т-т к синусоиде.

2 - 81ПХ0 = -

— (х - х0 )

СОБХ,

0

(х - х0 )2 + ( - б1пх0 )2 =

г2.

(4)

Рис. 2. Однопериодная синусоида с единичной амплитудой (к выводу уравнений профиля кулачка)

Второе уравнение системы (4) можно преобразовать с учетом значения левой части первого уравнения:

2 Г 1 (х - Х0 )2 +-------------------------------------(х - Х0 )

2

=

(5)

После дальнейшего преобразования выражения (5), была получена зависимость х(х0). Далее, подставив эту зависимость в первое уравнение системы (4), определим зависимость г(х0). Заменив в этих выражениях х0 на параметр ¿, получим искомые параметрические уравнения профиля:

ГСОБІ

х(і) = і ± - ш

л/ї

2(і) = БІПІ +

+ СОБ І

л/ї

+ СОБ І

(6)

С учетом значений радиуса Я образующей окружности цилиндра, на котором замкнута синусоида, числа периодов синусоиды 23, а также с учетом изменения параметра х от 0 до 2пЯ, система уравнений (4) будет преобразована к следующему виду:

Я

А2 зСобГ -Я-

-(х - і);

(х - і )2 +

2 - Абіпі ■іЯз Я

2

= г2.

ш

(7)

Решение этой системы, при рассуждениях, аналогичных приведенным выше, представляет собой следующие параметрические уравнения.

г

ш

(

х = — Я

Я

А3Я3'$1п31 І - АЯ^іпі І - Абіпі I ±

іІ3

Я

ІІ 3 Я

І

Я4Г„2 - А2Я32Я2ГШ28ІП2 і 1 I + А2Я32Я2гШ

Я

^3^ 'ш

- Я2 + А2Я32 - А2Я32

+ А2із8іпГ -Я ^собГ Я ]+ Яі

■ +

(8)

Ґ

г = •

- Я2 + А І ^іп|^ I - А I

і23

22

іЯ

А3І328Іп31 Я і - А^япіЯ і - АЯ2б1п1 Я

іЯ

іЯ ІІ

(9)

1

іЯ

Я>Ш - А із2Я2Г„8ІП2 і я і + А2із2Я2г„2.

Знак « ± » отображает профиль сверху и снизу относительно центральной синусоиды. Результат вычислений по формулам (8) и (9) графически представлен на рис. 3: сплошной линией показан формируемый профиль, точками обозначена центральная синусоида.

Рис. 3. Профиль кулачка с числом периодов I = 4 (Я = 20 мм, А = 10 мм)

Устранение явления самопересечения

Явление самопересечения профиля [1], наблюдаемое на рис. 4, усложняет массив исходных данных. Необходимо найти максимальный подъем (высоту) реального профиля гн и исключить из рассмотрения точки, находящиеся выше точки N с координатами {хн,}. Угол а (рис. 4) является углом подъема кривой в соответствующей ее точке, и его тангенс равен ёг/ёх. Через точку О1 проведена нормаль к центральной синусоиде. Отрезок этой нормали O1N в точке N пересекает вертикальную линию, отсекающую от начала координат на оси ОХ отрезок, равный четверти периода синусоиды. Очевидно, что величина гН является максимальной высотой образующегося профиля.

При определении высоты профиля кулачка необходимо решить совместно следующую систему уравнений:

а = агС£

Г АІ

Я

з і І з Л*

3 сов 3

Я

(10)

1

1

2

хн = х + г^та;

2 H =

- rшcosа.

(11)

(12)

Рис. 4. Схема для определения высоты профиля кулачка

Уравнение (10) и уравнение (11), приведенное к виду х + rшcosa = пЯ/(2 2), преобразуем в одно квадратное уравнение:

х + г

А2

~Я

3 I 2 3х

3 cosl 3

Я

1 +

А2

Я

3 | ^2 3 Л*

3 cosl 3

пЯ 22 3

= 0.

(13)

Я

Данное уравнение - трансцендентное, и аналитически решить его не удалось. Однако с применением любого развитого математического пакета (МаШСаё®, Мар1е , Ма1ЬаЬ и др.) в численном виде с начальным приближением х0 = пЯ/423

оно решается без затруднений. Полученное значение х подставлялось в уравнение (10), далее с помощью найденного угла а по уравнениям (11) и (12) определялись соответствующие координаты кривой.

Таким образом, чтобы не учитывать самопересечения в модели, применим ограничение при выводе данных в текстовый файл: если г > гн, то 2 = гн. При данном условии абсцисса х остается неизменной, равной хн. Некоторое множество точек с одинаковыми координатами {хн, гн}, полученных в результате работы данного алгоритма, игнорируется программой, и после прохождения очередного участка самопересечения должна остаться одна точка с координатами пика профиля.

Для практической реализации данного профиля и изготовления фрезы полученную плоскую цилиндрическую кривую необходимо скорректировать с учетом проецирования на плоскость. Для построения фрагмента профиля полярный угол Рр, отсчитываемый в плоскости перпендикулярной оси передачи, и соответствующая ему абсцисса точек профиля хр1 определятся согласно следующим выражениям:

2

пЯ

X — ■

Р„ = -П-----, хр1 = ^ — Я81пРр. (14)

Я ^ з

Заключение

В данной работе получены параметрические уравнения, описывающие профиль рабочей поверхности наружного кулачка планетарной шариковой передачи. Данные уравнения, а также алгоритм обработки полученных данных, позволяют формировать профиль дисковой либо пальцевой фрезы для изготовления кулачка на универсальном оборудовании методом копирования. При четном числе периодов кулачка две впадины на нем могут фрезероваться за один проход. Полученный профиль кулачка обеспечит повышение кинематической точности передачи и увеличение ее КПД.

Литература

1. Лустенков, М. Е. Планетарные шариковые передачи цилиндрического типа : мо-ногр. / М. Е. Лустенков, Д. М. Макаревич. - Могилев : Белорус.-Рос. ун-т, 2005. -123 с. : ил.

2. Лустенков, М. Е. Расчет геометрии адаптированного профиля эллипсной шариковой передачи / М. Е. Лустенков // Технология машиностроения. - 2005. - № 5. -С. 36-38.

3. Лустенков, М. Е. Моделирование и изготовление многопериодного профиля торцового кулачка планетарной шариковой передачи / М. Е. Лустенков // Вестн. Бе-лорус.-Рос. ун-та. - 2006. - № 3. - С. 96-101.

Получено 09.04.2008 г.