Моделирование позы больного ДЦП при хамстринг-синдроме после хирургической коррекции по А. М. Журавлеву Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

Механика

УДК 531:616.831-009.11

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЗЫ БОЛЬНОГО ДЦП

ПРИ ХАМСТРИНГ-СИНДРОМЕ ПОСЛЕ ХИРУРГИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИИ ПО А. М. ЖУРАВЛЕВУ

П. А. Кручинин1, О. В. Никитина2

Больные с хамстринг-синдромом (hamstring-синдромом) характеризуются повышенным напряжением группы задних двусуставных мышц бедра. Вертикальная поза таких больных принимает Z-образную форму. Выпрямлению конечностей способствуют операция Дж. Эггерса и операция тендомиопластики по А. М. Журавлеву. В работе строится математическая модель позы больного после операции по Журавлеву. Результаты вычислений показывают, что больной, перенесший эту операцию, может сохранять относительно вертикальную позу даже при повышенном тонусе прямой мышцы бедра, что невозможно после операции Эггерса.

Ключевые слова: математическая модель, детский церебральный паралич, спастич-ность мышц, вертикальная поза.

Cerebral palsy patients with hamstring muscle spasticity are characterized by a higher tension of posterior two-joint muscles of a thigh. The upright posture of such patients takes the Z-shaped form. The Eggers operation and the tendoplastic operation by Zhuravlev help the limbs to straighten. In this paper a mathematical model of the patient posture after a Zhuravlev operation is proposed. The numerical results obtained show that a patient underwent such an operation can keep the upright posture even with a higher tonus of the rectus muscle of the thigh. This is impossible for a patient after an Eggers operation.

Key words: mathematical model, infantile cerebral palsy, muscle spasticity, upright posture.

Работа посвящена математическому моделированию позы больного детским церебральным параличом (ДЦП). Это — заболевание центральной нервной системы, при котором поражение ее высших уровней в ряде случаев ограничивает возможность управления движением в суставах скелетного многозвенника. Для больных с хамстринг-синдромом характерно повышенное напряжение (гипертонус) группы задних двусуставных мышц бедра (hamstrings) [1]. Проявляется такое заболевание, в частности, невозможностью больного сохранять исходную вертикальную позу, которая вследствие тройного сгибания в суставах нижних конечностей приобретает Z-образную форму.

Один из способов помощи больным при этом заболевании — хирургическое вмешательство в опорно-двигательный аппарат. Наиболее адекватно задачу выпрямления конечностей решают операция Дж. Эггерса [2] и операция тендомиопластики по А. М. Журавлеву [3]. Операция Эггерса заключается в отсечении дистальных (нижних) сухожилий пораженных двусуставных мышц и фиксации их свободных концов в нижнем заднем отделе бедра. Таким образом, двусуставные мышцы группы хамстринг превращаются в односуставные (рис. 1, а). При этом у больного ограничивается сгибание колена, возможность самостоятельно приседать, и он вынужден передвигаться на прямых ногах. Операция по Журавлеву заключается во вживлении отсеченных сухожилий задних двусуставных мышц бедра в икроножную мышцу (рис. 1, б). Показанием к этой операции также является слабость икроножной мышцы. Клинические наблюдения свидетельствуют в пользу высокой эффективности этой операции.

При проведении такой операции существенно меняется геометрия скелетно-мышечной системы и образуется "трехсуставный" мышечный тракт, который не имеет прямых аналогов в естественных биологических системах. Описание механики "структурных изменений статики и локомоции у больных после

1 Кручинин Павел Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Никитина Оксана Вячеславовна — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

этой операции" носит гипотетический характер [3]. В связи с этим математическое моделирование позы больного, получаемой в результате подобной операции, представляется важным.

Для моделирования позы больного в сагиттальной плоскости после операции используем подход, примененный ранее [4, 5] при моделировании позы больного ДЦП. Модифицированная трех-звенная модель, учитывающая изменения в скелетно-мышечном аппарате пациента, приведена на рис. 2. Звенья системы соединены последовательно с основанием и друг с другом шарнирами, которые моделируют суставы: Ог — голеностопный, О2 — коленный, Оз — тазобедренный. Такая модель применима в предположении, что стопа не отрывается от земли, руки и голова неподвижны относительно корпуса, углы в одноименных суставах обеих ног совпадают.

Система находится в равновесии под действием сил тяжести и противодействующих ей мышечных усилий.

При удержании вертикальной позы центр масс системы смещается вперед по отношению к оси голеностопного сустава [6]. При этом задействованы односуставные мышцы и три группы двусуставных мышц: задние двусуставные мышцы голени (далее обозначаемые индексами 1), передние двусуставные мышцы бедра (2), задние двусуставные мышцы бедра (2). Нижним индексом 1 помечены величины, связанные с голеностопным суставом и голенью, индексом 2 — с коленным суставом и бедром, индексом 3 — с тазобедренным суставом; верхней литерой а помечены величины или точки, принадлежащие к передней части скелета, а литерой Ь — к его задней части. Геометрические модели указанных групп мышц изображены на рис. 2: группе задних двусуставных мышц голени соответствует ломаная £0^2В4, группе задних двусуставных мышц бедра — отрезок В2В3, группе передних двусуставных мышц бедра — кривая А1А1А2А3.

Изменение в ходе операции по А. М. Журавлеву состоит в том, что сухожилия мышц группы хамстринг отсекаются и вживляются в брюшко икроножной мышцы у ее основания в точке В2. Сухожилие, связывающее место вживления с головкой бедренной кости, моделируем нерастяжимой связью В4В2. Положение системы опишем тремя суставными углами ф\, Ф2, фз и углом в, образованным сухожилием В4В2 и бедренной костью. Указанные углы считаем обобщенными координатами.

Считаем, что центры масс С г, С2, Сз звеньев расположены на оси звеньев, а длины звеньев равны расстояниям между центрами суставов: Ь = О102, ¿2 = О2О3.

Для записи уравнений равновесия аналогично [7] воспользуемся методом возможных мощностей. Для этого приведем выражения, связывающие возможные скорости сокращения мышц с возможными скоростями изменения обобщенных координат, и запишем уравнение для возможной мощности. Коэффициенты при скоростях изменения обобщенных координат — обобщенные силы Qф1, Qф2, Qф3 и Qв:

= -тдхс + в2 вшф + 02) + Гз втф + в + 02)) + М01,

Рис. 1. Положение мышц до операции (пунктир) и после операции Дж. Эггер-са (а) и операции по А. М. Журавлеву (б): 1 — икроножная мышца, 2 — мышцы группы хамстринг

Qф2 = -тд(хс - Кг сов фг) +

+ ^ (¿2 8ш(ф2 + 02) + Гз 8ш(ф2 + в + 02)) - ^2^2 + М02 Qф3 = -тдКз сов(фг + Ф2 + фз) -

(1)

- аз сов(фз + аз) + *|Ьз сов(фз + вз) + Моз, = ^Гз 8т(ф2 + в + 02) - Гз 8ш(в + 02),

Рис. 2. Расчетная модель крепления основных двусуставных мышц после операции по где т = тг + т2 + тз, тг, т2, тз — массы соответствующих звеньев; А. М. Журавлеву

S2 = O2B4; Г3 = B2B4; xc — горизонтальная координата центра масс антропоморфного трехзвенника:

xc = K cos фг + K2 cos(^i + Ф2) + K3 cos(^i + Ф2 + Фз), (2)

js mili + Ш2^1 + шзЬг m,2¡2 + m3L^ тз I3 2

л-i = -, Л2 = -, А3 = -, 11 = CiGi, ¿2 = (ЛС-2, Í3 = ^з^-з;

m mm

Fa, — силы, развиваемые группами двусуставных мышц бедра и голени; Moi, M02, M03 — моменты односуставных мышц; геометрические параметры пояснены на рис. 2.

Уравнения равновесия системы имеют вид

Яф! = 0, Яф2 = 0, Яф3 =0, Qe = 0. (3)

Для сил Fa, F2b примем A-модель Фельдмана [8]. Согласно этой модели, статические усилия, развиваемые мышцами, определяются текущей длиной мышцы l и значением управляющего параметра A, соответствующим порогу стрейч-рефлекса, задаваемого центральной нервной системой:

F2k(lk,Ak> = { кк (iak), t 1%; (4)

где k = a, b; K2k — имеющий размерность жесткости положительный коэффициент, который определяется уровнем иннервации мышечных волокон посредством обратных связей стрейч-рефлекса. Вообще говоря, зависимость F2k от l2k имеет нелинейный характер, однако параметры этой зависимости известны неточно, в связи с чем далее будем рассматривать линейное приближение. Величины l2k представляют собой длины мышц вместе с сухожильными окончаниями. Выражения зависимости этих величин от углов скелетного многозвенника получим в результате решения геометрической задачи аналогично [7]. Зависимости от углов многозвенника длин двусуставных мышц и l2, необходимых для решения задачи, имеют вид

la = ^(ф2, Фз) = (L2 + a2 + 2L2a3 sin^3 + аз) - R2) i/2 + - Таз + п), l2 = l2(фз, в) = (L2 + s2 + b2 + г2 + 2r3S2 cos в - 2r3L2 cos(o2 + в) +

(5)

+ 2гзЬз sin(фз + вз - О2 - в) - 2L2S2 cos О2 +

+ 2s2b3 sin(фз + вз - о2) - 2ЬзL2 sin(фз + вз))1 /2,

а R , аз cos(фз + аз)

гДе 723 = arceos — = + arctan-—--.

л/Ll + aj + 2Ь2а3 sin(^3 + аз) L2 + а3 sin(^3 + а3)

Соотношения (3) после подстановки в них выражений (1), (4) и (5) образуют систему из трех уравнений с десятью неизвестными ф!, Ф2, фз, в, F2, A^, A2>, Moi, M02, M03. Эта система имеет бесконечное множество решений.

Для решения задачи определения позы дополним систему уравнениями на основании предположений, вытекающих из клинических наблюдений [1, 6].

1. При стоянии человек удерживает центр масс над сводом стопы, т.е. на расстоянии xc 0 ~ 3 см кпереди по отношению к голеностопному суставу:

Xc = xc 0- (6)

2. Организм обеспечивает минимум некоторого функционала:

J(Fb, Fa, Fb, M0i, M02, M03) min . (7)

Последнее предположение принято для доопределения задачи. Функционал должен в первую очередь характеризовать метаболические затраты организма, его выбор представляется сложной самостоятельной задачей. При ее решении рассматривалось несколько типов функционалов, принятых при исследовании биомеханических систем [9]. Основным принят функционал

j=( Mqi V i (м°2 V+(м°з V+f^V+f^V+f^V, (8)

Voimoi) \l02m02) \l03m03J \m\) \m2 J \mb0 '

минимизирующий сумму квадратов удельных сил мышц, приведенных к единичной массе. Здесь moi, mo2, тоз, mi, m'a, m2 — мышечные массы соответствующих односуставных и двусуставных мышц, числовые значения этих параметров восстановлены по [10]; loi = So tan ao, lo2 = R2, 1оз = Ьз cos вз — характерные плечи приложения сил односуставных мышц.

3. Больной удерживает корпус в вертикальном положении, что выражается равенством Ф1 + Ф2 + Фз =

п/2.

Отметим, что при решении задачи необходимо учитывать и анатомические особенности, выражаемые в виде следуюЩих ограничений: Лk min ^ Х^ ^ Х^ max, lk min ^ lk ^ lk max, 0 ^ F.. < F.. тах, где П = 1, 2, k = а, Ь. Точные значения этих ограничений неизвестны, однако при анализе полученных результатов следует принимать во внимание, что максимальная сила, развиваемая мышцами, не превышает величин порядка тонны, а удлинения мышц и соответственно изменения параметра Л составляют величину, не превышающую 10 см.

Будем далее полагать, что вертикальная поза соответствует положению равновесия системы, задаваемому постоянными значениями управляющих параметров Л для рассматриваемых групп мышц.

В соответствии с современными представлениями [11] при ДЦП нервная система посылает патологический сигнал на мышцы, который приводит к снижению Лк. При моделировании позы больного значение Лк, для патологического состояния будем задавать следующим образом: = — А Лк, где lk(o) — длина обобщенной мышцы передней (задней) группы двусуставных мышц бедра в выпрямленной вертикальной стойке для здорового человека (Ф1 = 90°, Ф2 = фз = 0), а А Лк — аддитивная добавка, моделирующая повышенный мышечный тонус, k = а, Ь. Клинический опыт [3] показывает, что величина Л2

для оперируемых больных меньше длины l2(° на величину А Л2 ~ 4 см.

В итоге для решения задачи определения позы при моделировании требуется минимизировать функционал (7) с ограничениями, которые задаются соотношениями (1)—(6), представляющими собой функции девяти переменных: Ф1, Ф2, фз, в, F2, Л|, Moi, Mo2, Moз. Численное исследование такой задачи выявило ряд трудностей, которые преодолены уменьшением числа неизвестных.

Из (2) и (6) при условии вертикальности корпуса получим зависимости Ф1 = Ф1(Фз), Ф2 = Ф2(Фз) = п/2 — Фз — Ф1(Фз), подставляя которые последовательно в (5), (4), (1) и (3), придем к выражениям для сил F2a, F22 и моментов сил Mo1, Mo2, Moз как функций от углов скелетного многозвенника Фз, в, параметра управления мышечными усилиями группы передних двусуставных мышц бедра Ла и значения усилия F1, развиваемого икроножной мышцей.

Задача минимизации решалась численно методом градиентов с помощью пакета MATLAB для следующих значений параметров: m1 = 4,7 кг; m2 = 14,7 кг; тз = 30,6 кг; L1 = О102 = 0,37 м; L2 = O2Оз = 0,40 м; h = О1С1 = 0,2 м; l2 = О2C2 = 0,22 м; 1з = ОзСз = 0,33 м; аз = 45°; вз = 52°; 02 = 2°30'; аз = 5,2 см; Ьз = 5,2 см; R2 = 5,5 см; Г2 = 4 см; S2 = 3 см. Эти значения рассчитаны по методикам [10] на основании антропометрических данных, приближенно соответствующих человеку щуплого телосложения ростом 1,5 м и весом 50 кг. Примем жесткости рассматриваемых групп мышц равными между собой: К2 = К2 = K = 104 кг/с2.

Решением этой задачи являются следующие значения суставных углов: Ф1 = 85°, Ф2 =4°, Фз = 1°, отвечающие выпрямленной позе больного. В то же время известно, что, хотя значения величин Ф2, Фз существенно снижаются, больные сохраняют Z-образную позу. Это можно объяснить наличием у больного еще и повышенного тонуса передней группы двусуставных мышц бедра. Будем моделировать его с помощью ограничения параметра управления Ла :

Ла < la(o) — а Ла, (9)

,a(o) „ „

где l2 — длина соответствующей группы мышц здорового человека в вертикальной стойке с выпрямленными ногами, А Ла — степень поражения. При этом слабость икроножной мышцы будем моделировать ограничением ее усилий:

F2 < F2 max- (10)

Предварительный анализ задачи показал, что данные функционалы достигают минимума вблизи границы неравенств (9) и (10). Поэтому рассмотрим упрощенную задачу, в которой F>2 и Ла принимают фиксированные значения.

Для этого случая подставим второе равенство из (5) в (4). Численно решив последнее уравнение (3) относительно переменной Фз с помощью системы MATLAB, получим зависимость для угла скелетного

многозвенника фз = фз(9). Таким образом, силы двусуставных мышц и моменты односуставных мышц представляют собой функции одной переменной 9.

В табл. 1 приведены значения углов скелетного многозвенника, полученные в результате решения задачи минимизации функционала (8) при Д Л^ = 4 см для различных фиксированных значений Д Л1?, ^. В верхней правой части таблицы пустые клетки отвечают значениям Д Л? и ^, для которых не существует суставных углов, удовлетворяющих условию (10) при заданных ограничениях.

Таблица 1

Результаты численного моделирования позы больного ДЦП после операции по А. М. ^Куравлеву

А А2 тах, см Н -*■ 1 тах?

100 150 200 250 300

1 01 = 83'"' 02 = 9° 03 = -2° в = 85° .] = 1,08 • 106 01 = 84'"' 02 = 8° 0з = -1,4° в = 95° .] = 0,89 • 106 01 = 84'-' 02 = 6° 03 = — 1 в = 105° .] = 0,87 • 106

2 01 = 81'-' 02 = 14° 03 = -5° в = 82° .] = 2,24 • 106 01 = 82'"' 02 = 12° 0з = -4° в = 92° .] = 1,76 • 106 01 = 82'-' 02 = 11 03 = -3° в = 101° .] = 1,5 • 10® 01 = 83'-' 02 = 10° 03 = -3° в = 110° .] = 1,41 • 106

3 01 = 79'"' 02 = 19° 03 = -7° в = 79° .] = 4,43 • 106 01 = 79'"' 02 =17° 03 = -6° в = 88° .] = 3,62 • 106 01 = 80'-' 02 = 16° 03 = —6 = в = 97° .] = 3,07 • 106 01 = 81'-' 02 = 14° 03 = -5° в = 105° .] = 2,73 • 106 01 = 81'-' 02 = 14° 03 = -5° в = 113° .] = 2,58 • 106

4 01 = 76'"' 02 = 23° 03 = -10° в = 76° .] = 7,75 • 106 01 = 77° 02 = 22° 0з = -9° в = 85° .] = 6,57 • 106 01 = 78'-' 02 = 20° 0з = -8° в = 93° .] = 5,7 • 10® 01 = 79'-' 02 = 19° 03 = -8° в = 101° .] = 5,09 • 106 01 = 79'-' 02 = 18° 0з = -7° в = 109° .] = 4,7 • 10®

5 01 = 74'"' 02 = 28° 0з = -12° в = ТГ .] = 12,34 • 106 01 = 75'-' 02 = 26° 03 = —11 в = 82° 7 = 10,74- 106 01 = 76'-' 02 = 25° 03 = -10° в = 90* .] = 9,52 • 106 01 = 76'-' 02 = 24° 03 = -10° в = 97° .] = 8,6 • 106 01 = 77'-' 02 = 22° 0з = -9° в = 104° .] = 7,94 • 106

Результаты вычислений показывают, что больной, перенесший операцию по А. М. Журавлеву, может сохранять относительно вертикальную исходную позу даже при повышенном тонусе прямой мышцы

бедра и ослабленной икроножной мышце. Последняя развивает ограниченные, но значительные усилия, превосходящие 50 Н, что невозможно после операции Эггерса. Это подтверждается клинической практикой [12].

В первой и последней строках табл. 2 отражены значения суставных углов, восстановленные по фотографии больного до [5] и после операции по А. М. Журавлеву соответственно. В средней строке представлены значения суставных углов, полученные в результате моделирования позы больного до операции (при Д Л2 = 4 см). Изображение позы человека после операции приведено на рис. 3.

Таблица 2

Результаты моделирования позы больного ДЦП и клинические данные

Рис. 3. Поза больного, полученная в результате моделирования (а) и восстановленная по фотографии (б)

Суставные углы 01,° 02,° 03,°

Углы в суставах больного до операции 50 66 -28

Углы в суставах, полученные моделированием позы пациента до операции 60 59 -29

Углы в суставах больного после операции 74 25 -9

Определение значений величин Д X1? и Fb для конкретного больного не представляется возможным, однако табл. 1 можно использовать для сопоставления позы больного с результатами моделирования и для предположительной оценки этих величин: X1? ^ 3 см, Fb ^ 150 Н.

Итак, предложенная в работе модель операции тендомиопластики по А. М. Журавлеву описывает выпрямление исходной позы больного. Происходит подтягивание слабой мышцы голени за счет перенапряженной задней мышцы бедра. Результаты моделирования в основном совпадают с клиническими данными, и в соответствии с этим предлагаемый подход может служить основой для описания движений пациента.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00418).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Журавлев А.М., Перхурова И.С., Семенова К.А., Витензон А.С. Хирургическая коррекция позы и ходьбы при детском церебральном параличе. Ереван: Айстан, 1986.

2. Eggers G.W.N. Transplantation of hamstring tendous to femoral condyles in order to improve hip extension and to decrease knee flexion in cerebral spastic paralysis //J. Bone and Joint Surg. A. 1952. 34. 827-830.

3. Журавлев А.М. О хирургической коррекции хамстринг-синдрома, осложненного слабостью трехглавой мышцы голени, у больных детским церебральным параличом // Вестн. травматологии и ортопедии им. Н.Н. Приорова. 2006. № 3. 40-43.

4. Кручинин П.А. Математическое моделирование позных нарушений больного при rectus-синдроме // Новые технологии в медицине: Сб. докл. Первой Международной дистанционной научно-практической конференции. СПб., 2004. 116-118.

5. Математическое моделирование движений человека в норме и при некоторых видах патологии / Под ред. И.В. Новожилова, П.А. Кручинина. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2005.

6. Гурфинкель В.С., Коц Я.М., Шик М.Л. Регуляция позы человека. М.: Наука, 1965.

7. Копылов И.А., Кручинин П.А, Новожилов И.В. О реализуемости движений по Н.А. Бернштейну // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2003. № 5. 39-49.

8. Фельдман А.Г. Центральные и рефлекторные механизмы управления. М.: Наука, 1979.

9. Зациорский В.М., Прилуцкий Б.И. Нахождение усилий мышц человека по заданному движению// Современные проблемы биомеханики. Вып. 7. Нижний Новгород, 1992. 81-123.

10. Воронов А.В. Анатомическое строение и биомеханические характеристики мышц и суставов нижней конечности. М.: Физкультура, образование и наука, 2003.

11. Levin M.F. Sensorimotor deficits in patients with central nervous system lesion: Explanation based on the X-model of motor control // Hum. Mov. Sci. 2000. 19. 107-137.

12. Журавлев А.М. Система хирургической коррекции позы и ходьбы при детском церебральном параличе: Докт. дис. М., 1999.

Поступила в редакцию 02.07.2007

УДК 531.391

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ

В. Г. Вильке1, Б. А. Максимов2, С. А. Попов3

Исследуется качение железнодорожной колесной пары без проскальзывания по рельсам с учетом гипотезы увода. Колесная пара представляется двумя конусами, имеющими общее основание, а рельсы — двумя круговыми цилиндрами с параллельными осями. Определяются кинематические характеристики невозмущенного качения колесной пары,

1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Максимов Бадма Александрович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

3 Попов Сергей Александрович — асп. Матем. ин-та РАН, e-mail: [email protected].