Моделирование потока отказов по малому объему статистики Текст научной статьи по специальности «Математика»

3.Пурхало, Ю.В., Арешкин, В.П., Кульницкий, А.Э., Осина, И.О. (2009). Микросфера силикатная. Перспективы использования. Коррозия. Территория нефтегаз, 2, 52 -54.

4.Фасюра, В.Н., Фасюра, В.В., Фасюра, Д.В., Захваткин, С.С. (2013). Композиция для получения строительных материалов. Патент № 2529973.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА ОТКАЗОВ ПО МАЛОМУ ОБЪЕМУ

СТАТИСТИКИ

Копытов Иван Васильевич

Сибирский федеральный университет, г.Красноярск

АННОТАЦИЯ

Описание методики моделирования потока отказов по малым объемам статистики. Проведено моделирование потока отказов по малому объему статистики. Анализ полученных результатов.

ABSTRACT

Description of techniques for modeling the flow of failures on small volumes of &ati&ics. Simulation of flow failures for a small amount of &ati&ics. Analysis of the obtained results.

Ключевые слова: отказ, малая статистика, моделирование, имитация.

Keywords: failure, low &ati&ics, modeling, simulation.

Одним из важных показателей в технике является надежность, элементами которой являются: наработка до отказа, наработка между отказами. Согласно ГОСТ Р53480-2009 [1], отказ - это потеря способности изделия выполнять требуемую функцию; наработка до отказа - наработка, накопленная от первого использования изделия или от его восстановления до отказа; наработка между отказами - интервал времени между двумя последовательными отказами. На основе наработки между отказами формируется поток отказов, по параметрам которого можно судить о надежности.

При производстве штучных изделий с длительным сроком функционирования возникает проблема малой статистики. Это обусловлено тем, что для подобных изделий создание значительного числа опытных образцов для формирования статистики отказов становится нецелесообразным и экономически не выгодным [2]. В результате данные, формирующие потоки отказов таких изделий, поступают непосредственно после запуска в эксплуатацию, а количество данных получаемых на выходе очень мало и не позволяет обоснованно применить к ним вероятностные методы. Следовательно, имитация потока отказов требует специального подхода. В этом случае для восстановления распределения статистики можно воспользоваться гистограммным методом, рассматриваемым в рамках численного вероятностного анализа [3].

Гистограммой называется случайная величина, плотность распределения которой представлена кусочно-постоянной функцией. Гистограмма P определяется сеткой {xi | i = 0, ..., n}, на каждом отрезке [xi-1, xi], i = 1, . . . , n гистограмма принимает постоянное значение pi.

Пусть требуется найти гистограмму pz суммы

г = а\Х\ + а2х 2 +... + апхп

и пусть р(х1, х2, ..., хп) — плотность распределения вероятностей случайного вектора (х1, х2, ..., хп). Тогда вероятность попадания z в интервал ^ , zi+1) соответственно равна

ID(Zi < z <

I lik

р{х\, щ,....xn)dxidx2--..dxn,

где

П; - < ЩХ1 + а2х2 + ... + апхи <

Тогда pzi имеет вид

Реализация арифметических операций основана на работе с р(х, у) -совместной плотностью вероятности двух случайных величин х, у. Пусть pz - гистограмма, приближающая плотность вероятности, арифметической операции над двумя случайными величинами х * у, где *£ {+, —, •, /, |}. Тогда вероятность попадания величины z в интервал ^ , zi+1] определяется по формуле

Для решения задачи восстановления распределения отказов по малой выборке используют имитационное (статистическое) моделирование потока отказов.

Функционирование оборудования характеризуется случайной величиной Т, представляющей значение интервала времени между двумя последовательными отказами

Рассмотрим построение гистограммы РТ для величины Т. Пусть для величины Т известна выборка (Т1, Т2,...ТЫ).

Обозначим П количество членов Т повторной выборки, попавших в интервал ^-1, zi], тогда

Таким образом, для каждой входной величины Т может быть известно не только среднее значение Т^ но и гистограмма Р1 Такой подход можно интерпретировать как построение функции плотности вероятности некоторой случайной величины. Пр у в виде гистограммы, т.е. ставится задача: зная гистограммы РТ построить гистограмму Ру, аппроксимирующую распределение выходной величины у. Обычно для этих целей используется метод Монте-Карло [4].

Проблематичностью применения метода Монте-Карло является длительность и ресурсоемкость проведения имитационного эксперимента. Для каждой реализации случайной величины используется генератор псевдослучайных величин, осуществляющих набор действий сначала по генерации равномерно-распределенной псевдослучайной величины, а затем по ее отображению на ту форму представления, которая принята за основу в конкретной модели. Чем сложнее представление, тем больше затрачивается процессорного времени и тем дольше идет имитационный эксперимент. Поэтому там, где можно свести просчет модели к разумному по сложности аналитическому преобразованию, это приветствуется. Конечно, важна и алгоритмическая осуществи-

мость таких преобразований, которую система моделирования должна уметь осуществлять без участия человека [5].

Методика заключается в следующем:

1. Все данные хi разбиваются на интервалы

[ 0, и], ( и, и+1]..„ ( хъ ч+1].

2. Строится гистограмма распределения Рх.

3. Строиться гистограмма накопленной вероятности распределения Рх'.

4. Гистограмма накопленной вероятности разбивается на интервалы [0, хф, ( х^ х1+1]',..., ( хъ, хъ+1]'.

5. С помощью генератора случайных чисел создается набор псевдослучайных величин тЩ[0, 1].

6. Определяется к какому интервалу ( х^ х1+1] принадлежит т^.

7. Строится гистограмма накопленной вероятности распределения псевдослучайной величины.

8. Проводиться сравнительный анализ полученных гистограмм, с целью получить ошибку модели.

9. Генерируется произвольное число значений, описывающих поток отказов, как в плане частоты сбоев, так и в плане их длительности.

С помощью данной методики, например, было осуществлено восстановление распределения сбоев в работе одного из узлов космического аппарата. Для этого на основе статистики были построены гистограммы плотности распределения частот сбоев (рисунок 1) и их длительностей (рисунок 2).

0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 и

1

■ ■ ■

200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800 4200 4600 5000 5400 Т7 час

Рисунок 1. Гистограмма плотности распределения частот появления сбоев

Рисунок 2. Гистограмма плотности рапределения длиьельности сбоев

После построения этих гистограмм использя вычисли- каждой случайной величие di было найдено соответству-

тельню среду MathCAD были определены уравнения сгла- ющее значение xi и восстановлены гистограммы функций

живающих кривых. С помощью которых было восстановле- распределения часоты появления сбоев и их длительностей

но распределение в первом приближениии. (рисунки 3 и 4 соответсвенно).

Далее, с помощью генератора случайных чисел был получен ряд сулчайных значений di£[0;1] [6]. После чего для

Рисунок 3. Восстановленая функция распределения частот сбоев

Рисунок 4. Восстановленная функция распределения длительности сбоев

Результаты показывают, что восстановление функций распределения, опираясь на гистограммы, и их последующая имитация [5] действительно позволяет получить приближенную функцию распределения при малом объеме выборки, тогда как для аналитических методов требуется гораздо большее количество статистики [4]. Таким образом, удалось отработать методику восстановления потока отказов по малому объему статистики. Были разработаны основные алгоритмы методики, по которым в дальнейшем будет создаваться соответствующее программное обеспечение.

Список литературы:

1. ГОСТ Р53480-2009 Надежность в технике. Термины и определения. - Москва: Стандартинформ, 2010. - 26 с.

2. Uglev VA., Popova O.A., Dobronets B.S. The accuracy calculation control of reliability indices for equipment responsible appointment // International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON). - Omsk: OmGTU, 2015. - pp. 5-8. DOI: 10.1109/SIBCON.2015.7147248.

3. Добронец Б.С., Попова О.А. Численный вероятностный анализ неопределенных данных - Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2014. - С. 167.

4. Dobronets B., Popova O. Numerical probabiMic approach for data nonparametric analysis // Applied methods of Satirical analysis. Nonparametric approach: Proceedings of the international workshop, 2015. - pp. 376-384.

5. Углев В.А. Выбор между методом Монте-Карло и гистограммной арифметикой при реализации моделей с элементами случайности // Имитационное моделирование. Теория и практика: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. В 2 т. Том 1. - Казань: ФЭН, 2013. - С. 278-281.

6. Углев В.А., Устинов В.А. Имитационное моделирование: учеб. пособие // Абакан: Сиб. федер. ун-т., 2011. - 116 с.