Научная статья на тему 'Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянной относительной терпимостью к риску'

Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянной относительной терпимостью к риску Текст научной статьи по специальности «Экономика и экономические науки»

CC BY
48
10
Поделиться
Ключевые слова
МОДЕЛИРОВАНИЕ / ПОРТФЕЛЬНЫЕ ИНВЕСТИЦИИ / ОПТИМИЗАЦИЯ / РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ / РИСКОВАННЫЕ АКТИВЫ

Аннотация научной статьи по экономике и экономическим наукам, автор научной работы — Каранашев Анзор Хасанбиевич

Предложена экономико-математическая модель финансового инвестирования, и для инвестора, характеризующегося функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, разработан метод построения стратегий инвестирования и потребления в широких интервалах эволюции параметров инвестиционной среды.

Похожие темы научных работ по экономике и экономическим наукам , автор научной работы — Каранашев Анзор Хасанбиевич,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянной относительной терпимостью к риску»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЬНОГО И ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА ИНВЕСТОРА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩЕГОСЯ ПОСТОЯННОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТЕРПИМОСТЬЮ К РИСКУ

Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;

in63@mail.ru

Аннотация: Предложена экономико-математическая модель

финансового инвестирования, и для инвестора, характеризующегося функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, разработан метод построения стратегий инвестирования и потребления в широких интервалах эволюции параметров инвестиционной среды.

Ключевые слова: моделирование, портфельные инвестиции,

оптимизация, рынок ценных бумаг, рискованные активы

Abstract. The mathematical model of financial investment is built, and for the investor, characterized by utility function with constant degree of relative risk aversion, the method of deriving strategies of investment and consumption in wide ranges of evolution of investment opportunities is proposed.

Keywords: modeling, portfolio investments, optimization, financial market, risky assets

Введение

Несмотря на растущее число публикаций в области моделирования и анализа рынка ценных бумаг и оптимизации фондового портфеля, многие проблемы далеки от окончательного решения и находятся в стадии разработки. В подавляющем большинстве исследований проблемы портфельного инвестирования в стохастических условиях задача решается численно (см., например, [1,2]), что не позволяет установить влияние составляющих портфеля инвестора (спроса на рискованные активы и различных видов хеджирования) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

В настоящей работе поставлена и решена задача выбора инвестором на полном финансовом рынке оптимальной стратегии инвестирования в п рискованных активов и один безрисковый актив при наличии промежуточного потребления.

Экономико-математическая модель портфельных инвестиций

Рассматриваем бесфрикционную экономику, динамика которой описывается п - мерным винеровским процессом ^, определенным на вероятностном пространстве (О, f, Р); F = {ft, ? > 0} стандартная фильтрация ^. Вектор цен п рискованных активов определяется п - мерным броуновским движением [3]

dPt = diag (Р )(^ + odzt), где diag (Р) - п х п диагональная матрица с элементами Рг по главной диагонали, л - вектор ожидаемых доходностей рискованных активов, с -п х п матрица волатильностей, которая предполагается несингулярной. Вектор рыночных цен риска определяется следующим образом Л = СТ_1(л - ^), где N - п - мерный вектор из единиц.

Предполагаем, что краткосрочная процентная ставка r, ожидаемые доходности ц и матрица волатильностей рискованных активов с постоянны во времени. Вектор рыночных цен риска Я поэтому также не зависит от времени. Будем также предполагать, что агент фондового рынка не имеет другого дохода, кроме дохода на финансовом рынке.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Динамику капитала агента фондового рынка при данных стратегиях потребления с и инвестициями ж (ж - вектор количеств капитала, инвестированных в каждой из n рискованных активов) записываем в виде:

dWt = Wt (r + nTcX)dt - cdt + WtnTcdzt.

Неявная функция полезности инвестора имеет вид

J(W, t) = sup EW/\ e-S(s-,)u(cs )ds + e-S(T-,)u(W,)] (1)

(cs ж )se[t,T ] t

где 8 - субъективный дисконтный фактор инвестора. Предполагая функцию J дважды непрерывно дифференцируемой и применяя к (1) принцип оптимальности Беллмана, получаем следующее уравнение

8J (W, t)= sup i и (с) + —J (W, t) + JW (W, t)(w[r + жтсЯ\-с)+

c>0,ж6Rn I — t (

1 1 .

+ 2 —mr (W, t )W 2жтастж 1

Максимизация правой части уравнения (2) по с дает следующее условие первого порядка

и (с) = —W (W, t) , (3)

где мы использовали то, что условие неотрицательности потребления не является обязательным в предположении, что предельная полезность бесконечна при нулевом потреблении (или даже при положительном потреблении, соответствующем прожиточному минимуму). Это условие оптимальности называется условием огибающей и устанавливает, что предельная полезность текущего потребления одной дополнительной единицы должна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы. Это интуитивное условие оптимальности для

долгосрочного выбора потребления - инвестирование. Если обозначить через 1и функцию, обратную предельной полезности и '(с), можно записать пробное выражение для оптимальной стратегии потребления в следующем виде сг = С (мД t), где

С (М, t ) = 1и Л (М, t)) (4)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Безусловная максимизация правой части уравнения (2) по ж дает условие первого порядка

ЛМ (М, t)МсЛ + ЛММ (М, t)М2сстж = 0.

Выражая отсюда ж , получаем

ж = - ЛмМ,{\Ст)-1Л,

ЖЛМГ (М, г У ’

так что пробная оптимальная инвестиционная стратегия может быть записана в виде ж* = П(М/, t), где

П(МДг) = ^(М,г) С)-1Л = —ЛмМ,г) (сС)-1(л -г#). (5) к"> МЛмм (М, t у ’ МЛмм (М, t У ’ и )У)

Заметим, что множитель--------М(—,—^- представляет собой коэффициент

МЛ МММ, t)

относительной терпимости к риску (обратный коэффициенту относительного неприятия риска) для функции неявной полезности. Оптимальные инвестиции в рискованные активы поэтому равны коэффициенту относительной терпимости к риску, умноженному на вектор, одинаковый для всех инвесторов (при условии, что они одинаково воспринимают переменные с, л и г). Этот вектор представляет собой произведение матрицы, обратной к вариационно-ковариационной матрице, и вектора избыточных ожидаемых норм доходности рискованных активов. Условия второго порядка реализации максимума удовлетворяются, поскольку функция Л вогнута по М и функция и вогнута по с.

Оптимальные стратегии портфельного и потребительского

выбора агента фондового рынка

Подставляя пробные оптимальные функции с и ж обратно в уравнение Беллмана и преобразуя, получаем следующее дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных:

51(М, t) = и(I(Л— (М, t))) - Л— М, t)I(Л— (М, t) +

+ Л (—, г) + гтМ (—, г) -1 Лт Л Л— (—, ‘)2 (6)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5« 2 Л—— (—, I)

Если уравнение (6) имеет решение Л (—, t), такое, что стратегии, определяемые (4) и (5) допустимы, тогда эта стратегия действительно является оптимальной стратегией потребления и инвестирования. Если рассматривать задачу при условии, что инвестор не извлекает полезности из промежуточного потребления, т.е. и = 0, то два первых члена в правой части уравнения (6) исчезают, т.е. уравнение (6) принимает более простой вид

Л (—, I) = Л (М, I) + гЖЛ— (М, t) -1 Лт Л Л—' (—;1 \ (7)

5 2 Л —— (М, )

Из оптимальной инвестиционной стратегии (5) следует важный результат: при постоянных инвестиционных возможностях, т.е. постоянных г, л и с, оптимально размещение капитала в два фонда.

Утверждение 1. На фондовом рынке с постоянными с, л и г оптимальная стратегия любого инвестора с сепарабельной по времени функцией полезности вида

Е

при отсутствии нефинансового дохода есть комбинация безрискового актива и единственного портфеля рискованных активов, определяемых весами

1 — тч -1 1 I /_тч -1,

ж

— (Я1 У1 Л= --(сс1 ) (л- гМ). (8)

Мт(дт)-1 Л Мт(55т)-1(л - гМ)

Инвестор вкладывает часть своего капитала

Л— (—, t)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л—м (—, t)

Мт (ст) -1Л

в рисковый фонд, а остальную часть в безрисковый актив (банковский счет).

Далее рассмотрим замкнутые решения для оптимальных стратегий при наиболее употребительных функциях полезности. Возникает три интересных для приложений типа задач: инвестор извлекает полезность их

1. только из потребления;

2. только из конечного капитала;

3. из потребления и конечного капитала.

Эти три задачи можно решить одновременно, вводя два параметра -индикатора е1 и е2 , которые принимают значения 0 и 1. Положим

Л-у

1-г

с ' М

и(с) = Е1“----- и (М) = Е2“--------.

1 - у 1 - у

Три ситуации, упомянутые выше, соответствуют следующим комбинациям параметров е1 и е2:

1. е1 = 1, е2 = 0,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. е1 = 0, е2 = 1,

3. Е1 = Е2 = 1.

Неявная функция полезности принимает вид

Л (М, t) = sup Е1

(С£ ,ж.^ ,т ]

М Л

т

Е11е

0

-5(з-) сз У -д(т-t) Мт

1-У

1 - У

1 - У

и

При Е1 = 1 предельная полезность от потребления составляет '(с)= с ~у с обратной функцией I(а)= а -у. Следовательно, получаем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и (I (а)) =

1 (а)

1-у а1-1у

1 - у 1 - у

и

а1-1/у у

и (I (а)) - aI (а) =-------а1-1/у =------а1-1/у.

1 - у 1 - у

Первые два члена в правой части уравнения Беллмана (6) равны у 1 11 у. При отсутствии промежуточного потребления эти члены

1 - У

отсутствуют. Можно описать обе ситуации, представив эти два члена в виде

є1—У— JW1 17 У . Поэтому уравнение Беллмана при наличии или отсутствии 1- у

промежуточного потребления имеет вид

у 1 дJ

і) = є/- Jw0 у + — (W,t) +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 - у дt

+ rWJW ^, t) -1 Лт Л-Jw (W ’І)

(9)

2 Л—— (—, t)

Конечное условие (условие в конце инвестиционного горизонта) можно

записать в форме Л(М,т) = е2М 1-у /(1 - у). В силу линейности динамики

(* * \

с ,ж )

оптимальна при капитале М в момент t и соответствующем процессе

* /7 * * \ капитала М , то стратегия \кс ,ж I будет оптимальной при капитале к— в

*

момент t и соответствующем процессе капитала к— . Тогда

т -,(,-г^т-і)(kw;)l-у

є11 г 5(5 г)— -------------ds + є2е

Є11 е'(« )(£^ ds + є2е-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

і 1-У 1-У

1 - у 1 - у

--к1 у J (W, і).

т.е. неявная функция полезности Л(—,t) является однородной степени 1 -у

по капиталу М. Подставляя к = 1/М и преобразуя, получаем

2 ^ )у М1-у

Л (—, t) = -------,

1 -у

Где 2(0У = (1-у)Л(1,0. Из конечного условия Л(М,0 = е2М 1 у/(1-у) имеем 2(т)у = е2 , поэтому 2(т) = е1 у = е2 для Е, равного нулю или единице.

Вычислим производные от функции Л (—, t), входящие в уравнение (6): Л— (М, t) = 2 ^ )уМ -у, Л—— (М, t) = -у ^ )у М-у-1 ,

Л (—, Г )=тУ— g(t)У~1 2 '(<М1 -у (10)

5 1 - у

Подставляя производные (10) в уравнение (9), получаем

>2(1 )у-1М1-у = 0

2 (< )-ЕУ “7^ 2,(1) 1 - У 1 - У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

л1- У 2У у

Поскольку это уравнение должно иметь место для всех — и у всех t е [0, т ], множитель в фигурных скобках должен быть при всех t, т.е. функция 2 должна удовлетворить обыкновенному дифференциальному уравнению

А 1 .. Л

2 ^) - Е1

1 - У г.т

5 -г (1- у)----------------‘-Л Л

с конечном условием 2(т) = е2 . Решение этого уравнения имеет вид

2^) = А (е1 + (е2А -Е1)е~Л(тЧ)),

где А - отличная от нуля постоянная

А = 5-г(1 -у) ЛУи^Л7Л =

У 2 У2

5-г(1~ У) - ^ (л - гМ)т (сст )-1(л - гМ)

У 2 у2

(11)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Покажем, что 2^)- 0 для всех t > 0. Заметим, что 2(0)= е2 > 0 и

2'()= (е1 - е2 )е-Л. Рассмотрим три ситуации:

1. Пусть е1 = е2 А . Поскольку А Ф 0 и или е1 = 1 или е2 = 1 или Е1 - Е2 = 1, это может иметь место только при Е1 = Е2 = А = 1. Функция 2 в этом случае представляет собой константу 2^)= е1/А для всех t.

2. Пусть е1 > е2 А . Тогда 2 ^ )> 0 для всех t, так что 2 монотонно возрастает и, поскольку 2(0)- 0, 2 остается неотрицательной. При А > 0

имеем: lim g(t) = — > s2. Если A < 0, то g(t) ^ да при t ^ да .

SA

t A

3. Пусть £i < £2A. Поскольку s1 > 0, это может иметь место, если £2 = 1 и A > 0. Имеем g' (t) < 0, так что g монотонно убывает, но

lim g(t) = ~г > 0

t ^да A

Поэтому g (t) остается неотрицательной.

Подытоживая полученные результаты, приходим к Утверждению.

Утверждение 2. Пусть постоянная A, определенная выражением (11), отлична от нуля. Для задачи максимизации функции полезности с постоянным относительным неприятием риска на финансовом рынке с постоянными r, и и с неявная функция полезности имеет вид

g(t)У W 1-y

J (W, t) = g(-)----- (12)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 - У

где

2(I) = А Е + (Е2А - е,)е-А{т>). (13)

Оптимальная инвестиционная стратегия определяется следующим образом

П(—, t) = 1 (а [т)-1 у = 1 (аа [т) -1(л - гЫ). (14)

У У

Если инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления (е1 = 1), оптимальная норма потребления составляет

С(—, t) = — = а(1 + (е2 А - 1)е“А(т-) )-1 —. (15)

Оптимальная стратегия потребления состоит в потреблении меняющейся со временем части капитала в соответствии с (15). Нетрудно

показать, что когда е2 = 1, отношение потребление/капитал стремится к единице при t ^ т, в то время как при е2 = 0

г С

Ит— = да.

I ^т —

Оптимальная портфельная стратегия агента фондового рынка состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени. Заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени. Рассмотрим актив, входящий в оптимальный профиль с положительным весом. Если цена этого актива увеличивается больше, чем цены других активов в портфеле, то доля капитала, соответствующая этому активу, будет увеличиваться. Поэтому трейдер должен сократить количество единиц этого актива в своем портфеле. Поэтому оптимальная стратегия состоит в продаже активов, цена которых растет быстрее остальных, и покупке более медленно растущих активов. Чем выше коэффициент относительного неприятия риска у, тем ниже инвестирование в рискованные активы и тем выше инвестирование в безрисковый актив. Инвестиционная стратегия не зависит от инвестиционного горизонта. Подставляя выражение для оптимальной стратегии и из (14) в уравнивание, определяющее динамику капитала инвестора, получаем

ж »

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с1М1 = —

1

г + 1 Лт Л- е1 2 ^)-1 V У у

(16)

Поэтому оптимальный капитал эволюционирует как геометрическое броуновское движение (хотя и с зависящей от времени тенденцией). Будущие значения капитала распределено логнормально, что обеспечивает положительность капитала.

Решение в случае логарифмической полезности инвестора строится аналогично. Неявная функция полезности определяется следующим образом

А (Ж, t) = эир Е,

Ж ,г

(cs ,Пs ^[іт ]

Опуская детали вывода, здесь приведем только окончательный результат.

Утверждение 3. При логарифмической функции полезности инвестора на финансовом рынке с постоянными г, л и с неявная функция полезности имеет вид

А (ж, і )= 2 (і) 1п Ж + ), (17)

где

2(і) = ^(1 - Є^>) + Є2Є^> О

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

h(t)

1 т

г + - Ят Я- О 2

•1 е-О(т -г)

О

Є-Г + Є1(т - і) - Є2(т - і)

О2 О

• (18)

- 2(і)1п 2(і) + є2 е

-8(т -і)

Оптимальная инвестиционная стратегия определяется следующим образом

П(Ж, і) = (ст) 1Я = (ссТ) 1 (л - гЫ),

(19)

а если агент извлекает полезности из промежуточного потребления (е1 =1) -оптимальная стратегия потребления есть

С (Ж, і) = 2 (і) -1Ж = о(1 + (є2О - 1)е ~5(т-і)) 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ж

(20)

Заметим, что если вычислить предел функций 2^), определяемой уравнением (13) при у ^ 1, мы получим выражение, определяемой (18). Заметим также, что оптимальная стратегия при логарифмической полезности может быть получена вычислением пределов при у ^ 1 стратегий для функции полезности с постоянной относительной терпимостью к риску.

Литература

1. Balduzzi P., Lynch A.W. Transaction costs and predictability: some utility cost calculations // Journal of Financial Economics. - 1999. - V. 52, №1. - Р. 47-78.

2. Barberis N. Investing for the long run when returns are predictable // Journal of Finance. - 2000. - V. 55, №1. - Р. 225-264.

3. Каранашев А.Х. Оптимизация инвестиционных решений на рынке ценных бумаг // TERRA ECONOMICUS («Пространство экономики»). - 2011.

- Т.9. - № 3. - Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ.