CC BY
99
УДК 531+539+577.3:612.76
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ
*Н.П. БОГДАНОВ, ** М.Ю. ДЕМИНА, *** Л.С. ПОЛУГРУДОВА
*Ухтинский государственный технический университет, г.Ухта **Коми филиал ГОУ ВПО Кировская ГМА Минздравсоцразвития России, г. Сыктывкар
***ГОУ ВПО Сыктывкарский лесной институт (филиал) Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии имени С.М.Кирова, г.Сыктывкар *[email protected], **[email protected]
Проведено численное моделирование ползучести вязкоупругой среды. Рассмотрено влияние параметров механических моделей на кинетику накопления деформации под постоянной нагрузкой. Выполнено сравнение результатов расчета с экспериментальными кривыми ползучести компактной костной ткани.
Ключевые слова: вязкоупругий материал, ползучесть, реологические модели Максвелла, Фойгта, Кельвина, механическое напряжение, деформация
N.P. BOGDANOV, M.Y. DEMINA, L.S. POLUGRUDOVA. MODELING OF CREEP OF BIOLOGICAL TISSUE
Numerical simulation of creep of the viscoelastic material is carried out. Influence of parameters of mechanical models on kinetics of deformation accumulation under constant loading is considered. Comparison of calculation results with experimental creep curves of compact bone tissue is done.
Key words: Viscoelastic material, creep rheological model of Maxwell, Voigt, Kelvin, mechanical stress, deformation
Современные медицинские технологии в области ортопедии, сосудистой хирургии, стоматологии и т.д. широко используют имплантаты. Внедрение имплантата в живые ткани требует решения не только вопросов, связанных с биологической совместимостью материалов, но и проблему их механического сопряжения. Очевидно, что механические характеристики материала имплантата и биоткани, в которую он вживляется, должны быть близки. Имплантируемыми материалами чаще всего являются либо полимерные композиты, либо материалы с памятью формы, механические свойства которых хорошо известны. Исследование механических свойств биотканей in vivo представляет определенные затруднения, связанные с физиологическими условиями функционирования. Экспериментальные результаты, полученные in vitro, хотя и дают возможность определить такие интегральные характеристики биотканей, как модуль упругости, предел прочности, однако не в полной мере отражают реальные условия деформирования ткани. Структура и механические свойства биологических тканей определяются множеством факторов, причем, как и для материалов с памятью формы, зависят от истории деформации. В этом случае проведение модельного эксперимента не только позволяет рассчитать кинетику деформации, но и сделать прогноз деформационных свойств материала в предполагаемых силовых условиях.
Известно, что биологическая ткань является сложной композиционной структурой, обладающей механическими свойствами, отличающимися от свойств отдельных компонентов: коллагена, эластина и связующего вещества. Биоткани в целом проявляют свойства вязкоупругости: релаксацию напряжения при постоянной деформации, гистерезис деформации при циклическом нагружении и разгрузке, ползучесть при постоянном напряжении [1]. В данной работе проведено моделирование ползучести материала, имитирующего биологическую ткань, в рамках механических моделей вязко-упругости таких, как модели Максвелла, Фойгта, Максвелла, определено влияние параметров моделей на кривые ползучести и дано сравнение расчетных кривых с экспериментальными данными ползучести компактной костной ткани.
Механические модели вязкоупругой среды строятся из таких элементов, как линейно-упругая пружина с модулем упругости E (массой этой пружины пренебрегают), подчиняющаяся закону Гука О = SE, и вязкий элемент (демпфер) с коэффициентом вязкости ^ (поршень, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью), описываемый уравнением Ньютона а = Т]Е. [2 - 4].
В модели Максвелла упругий и вязкий элемент соединены последовательно (рис.1).
ЛЛЛЛЛЛ-
Рис.1. Модель Максвелла. Общая относительная деформация определяется как е = &1 + е2> гДе 81 = -> ¿2 = ~ Зави"
Е п
симость между напряжением и деформацией может быть записана в виде
Е И
(1)
Решение реологического уравнения (1) в условиях прямой ползучести при ст = const имеет вид £ — - если считать, что в момент задания Hail
грузки материал не деформируется, а с учетом начальной деформации, обусловленной мгновенным растяжением пружины:
£ = £0 + " t (2)
Результаты численного моделирования на этапе накопления деформации и ее последующего восстановления после разгрузки приведены на рис.2. В модели Максвелла от модуля упругости пружины зависит только начальное значение деформации £0, а скорость ее последующего нарастания определяется коэффициентом вязкости
Рис.3. Модель Фойгта.
Зависимость между напряжением и деформацией для модели Фойгта имеет вид
а = Ее + лё- (3)
Решение реологического уравнения (3) при постоянном напряжении и нулевой начальной деформации
Е
(4)
На рис.4 отражена кинетика деформации, реализованная при численном решении уравнения (4) в условиях постоянных напряжения и коэффициента вязкости. Результаты расчетов показывают, что модуль упругости в модели Фойгта определяет величину накопленной деформации, и практически не влияет на скорость ползучести при малых модулях упругости.
25
я
§ я 20
м
р
15
е ч
я
=
10
е
s
i 5
О
0
Е = 20 о = 20
2,50
я
§
я — 2,00
м р
■Л
е ч 1,50
я
я
= 1
1,00
н
IS
о
S 0,50
О
0,00
Ех = 10 / а 20
/ / ' Е2 = 20 Ч = 20
¡Г
1 Е3 = 100
10 15
Время
20
5 10
Время
Рис.2. Кривые ползучести в модели Максвелла.
Модель Максвелла достаточно хорошо описывает ползучесть бетона и полимерных материалов [5], однако подобные модельные кривые не соответствуют известным кривым ползучести биологических тканей.
В модели Фойгта пружина и поршень связаны параллельно (рис.3), и вязкость оказывает сопротивление установлению упругого равновесия. Деформации пружины и поршня одинаковые в данной модели, общее напряжение = -)- сг2, где
(?1=Е£> <?2 = Г|£-
Рис. 4. Влияние модуля упругости на кривую ползучести материала в модели Фойгта.
Проводили исследование влияния коэффициента вязкости на кривые ползучести при неизменных упругих свойствах модельного материала. Изменение коэффициента вязкости практически не влияет на величину накопленной деформации, однако определяет скорость ползучести. При малых значениях коэффициента вязкости скорость ползучести большая, деформация практически сразу достигает предельных для данных параметров модели значений и затем не изменяется. При больших значениях коэффициента вязкости скорость ползучести уменьшается и на установление деформации требуется большее время.
о ^
ч я я X
и
н
и о
1,20
1,00
Л1 = 1
а = 20
Е - 20
' / / ■/ / Пз= Ю0 11 /
т
а
0
и
ч я я X
1
и н
и о
10,00
10.00
Е1 = 1____ * * ! $ / / 1 Е2 = 10 л = 20 сг= 20
1 1 1 1
И II и!
' к =-ю 1 /
Время
Рис.5. Влияние коэффициента вязкости на кривую ползучести материала в модели Фойгта.
Модель Кельвина состоит из двух упругих и одного вязкого элементов (рис.6).
& = + £
Рис.6. Модель Кельвина. Для этой модели выполняются соотношения:
1 '
где = —, £г = е _ = Е _ -1. Напряжения
для элемента Фойгта и пружины Е1 одинаковы и равны д = £1&1 = Е2£2 + Реологическое
уравнение для модели Кельвина имеет вид Е1+Е2 „ _ С ■ ,
0 +
■.
(5)
1 Т
Решение дифференциального уравнения (5) при постоянном напряжении и нулевой начальной деформации может быть записано в виде
, _ (Е^Ег) с--—— "О
.
(6)
В модели Кельвина увеличение упругости элемента Е1 сильнее влияет на кривые ползучести, чем упругость элемента Е2 (рис.7). Причем, если при отношении модулей упругости 1:1 кривые ползучести практически совпадают, то при отношении 1:10 существенно отличаются (рис.7, 8). При малом модуле упругости Е2 по сравнению с модулем упругости Е1 (рис.8) пружина 1 быстро растягивается при действии постоянной нагрузки и мгновенно сокращается после ее снятия.
Влияние вязкого элемента в модели Кельвина аналогично вязкому элементу в модели Фойгта: сильное изменение кинетики ползучести при увеличении значения ^ и в меньшей степени величины накопленной деформации (рис.9).
Время
Рис.7. Влияние модуля упругости элемента Е1 на кривые ползучести в модели Кельвина.
я
м р
о
е
ч
я
я X
10,00
8.00
6.00
4.00
2.00
0,00
Е1 = = 10
Л = 20
Е2=1/ ст = 20
/
/
/
/
/ ^^
__---
/' " Е2=10
г
ч* /
10
15
20
Время
Рис.8. Влияние модуля упругости элемента Е2 на кривые ползучести в модели Кельвина.
я §
я
м р
ч
я
я X
и
е
н X
и
о &
О
2.00
1.00
Е1 = 20 Е, = 10 сг = 20
Время
Рис.9. Влияние коэффициента вязкости на кривые ползучести в модели Кельвина.
На рис.10 приведены кривые ползучести, полученные при одинаковых параметрах рассмотренных моделей. Данные расчетов показывают, что кинетика деформации, обусловленная ползучестью материала, качественно одинакова в моделях Фойг-
-модель Максвелла
/ ----модель Фойгта
/ --модель Кельвина
/ Ej = 20
/ Е2= 20
/ ц= 20
У/ "*
0 * -1Я 20
Время
Рис.10. Сравнение кривых ползучести для различных моделей вязкоупругой среды.
та и Кельвина и существенно отличается в модели Максвелла.
Таким образом, варьируя константы моделей вязкоупругой среды, можно не только прогнозировать кривые ползучести, но и находить нужное сочетание упругого и вязкого элементов при разработке материалов для имплантатов.
Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными ползучести компактной костной ткани [1] показывает, что модели Фойгта и
Кельвина качественно описывают ползучесть компактной костной ткани на этапе накопления деформации. Результаты моделирования кинетики деформации на этапе восстановления не соответствуют экспериментальным данным, где на кривых ползучести компактной костной ткани наблюдается остаточная деформация. Наличие такой деформации после разгрузки свидетельствует о необратимых изменениях в биоткани, что можно, по-видимому, учитывать, применяя в исследованных моделях переменный модуль упругости, либо рассматривая более сложные модели вязкоупругой среды.
Литература
1. Бранков Г. Основы биомеханики. М.: Мир, 1981. 254 с.
2. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
3. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупру-гости. М.: Мир, 1974. 228 с.
4. Александров А.В., Потапов ВД. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1990. 400 с.
5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: МГУ, 1984. 336 с.
Статья поступила в редакцию: 05.04.2011
