CC BY
38
равномерным распределением в данном случае неэффективен [6], распределение подправлено в пользу чисел, которые могут быть источниками ошибок, исходя из знаний об особенностях алгоритмов.
С помощью программы Arifexp вычислительное ядро класса протестировано на 10 миллиардах псевдослучайных примеров с разрядностью от 1 до 12 млн бит. Программа Miller перебрала более миллиарда чисел малой разрядности для проверки таблиц факторизации.
По статистике ошибок, базовые арифметические операции были отлажены в 2003 г., возведение в степень по модулю и проверка на простоту -в 2005 г., умножение по методу Карацубы - после его реализации в 2007 г. Результаты тестирования показали высокую эффективность встроенных средств контроля и коррекции ошибок - ими обнаруживается около 55 % от общего числа выявленных ошибок (12 из 22).
Наибольшее число ошибок, 11, было обнаружено при контроле индекса. Если его отключить, то 6 ошибок никак себя не проявят, так как они полностью компенсируются по методу резервного элемента, 2 ошибки приведут к аварийному завершению программы без выдачи результата, 3 ошибки теоретически могут привести к выдаче неверного результата, но при тестировании этого не происходит, так как ошибки маловероятны. И только одна ошибка, обнаруженная при проверке знака в постусловии, была арифметической. Приведенная статистка хорошо отражает природу современного программного обеспечения: количество скрытых ошибок может в несколько раз превышать число выявленных, в данном случае неко-
торые скрытые ошибки стали явными благодаря применению специальных средств отладки.
Оставшиеся 10 ошибок были арифметическими и распределились так: 4 ошибки обнаружены при автоматическом тестировании, 3 - при анализе кода класса и 3 ошибки выявлены бета-тестерами в 2005 г. в функциях возведения в степень и проверки на простоту, для которых в то время не было реализовано автоматическое тестирование. Таким образом, общая эффективность автоматических методов выявления ошибок составила около 73 % (16 из 22).
Класс cBigNumber прост в использовании и обладает высокой производительностью на платформе ОС Windows благодаря применению встроенного ассемблера, простым алгоритмам, использованию наиболее надежных аппаратных средств и повышенной достоверности результатов вычислений.
Литература
1. Prime95 download page. (http://www.mersenne.org/free-soft.htm).
2. The GNU MP Bignum Library (http://www.swox.com/ gmp).
3. Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. - М.: Мир, 1979. - Т. 2. - 727 с.
4. A Library for doing Number Theory. (http://www. shoup.net/ntl).
5. Шакиров Р.Н. Шаблоны для организации контроля индексов в программах на языках С++ и С. // В сб. тр. Междунар. науч.-технич. конф. - М.: Физматлит, 2003. - Т. 2. - С. 191207. (http://imach.uran.ru/exarray/papers/ex2003p.htm).
6. Шакиров Р.Н. Принципы разработки межплатформенного класса cBigNumber для реализации арифметических операций над целыми числами неограниченной разрядности. // Докл. 4-й Сиб. науч. шк.-сем. с междунар. участ. - Вест. Томского гос. ун-та. - 2005. - № 14. - С. 191-195. (http://www.imach.uran.ru/cbignum/papers/cb2005p.htm).
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОДСИСТЕМЫ НАВИГАЦИИ В СИСТЕМАХ ОБУЧЕНИЯ СТАНДАРТА SCORM
И.Г. Сидоркина, д.т.н.; А.Е. Рыбаков
(Марийский государственный технический университет, г. Йошкар-Ола, [email protected])
Ключевые слова: компьютерные средства обучения, структуризация учебного материала, системы управления обучением, метод интегральной оценки знаний.
Современный этап развития систем управления обучением связан с использованием возможностей, которые предоставляются глобальными компьютерными сетями и технологическими стандартами, разработанными в области дистанционного образования.
Среди всех продуктов стандартизации электронного образования самое широкое признание получили SCORM и IMS. Эти спецификации используются при создании систем обучения, опирающихся на ресурсы Интернета. Эталонная модель SCORM состоит из четырех частей: 1) введение и обзорная часть; 2) описание модели инте-
грации содержания; 3) описание среды выполнения программ; 4) описание управления навигацией по контенту и упорядочения содержания. Последняя часть стандарта описывает, как должны быть организованы навигация и предоставление компонентов учебного материала в зависимости от действий учащегося.
Требования 8СОЫМ к содержанию и организации навигации по учебным материалам позволяют упорядочивать ее в соответствии с индивидуальными особенностями обучаемого. Опыт использования различных компьютерных средств обучения подтверждает взаимосвязь факторов,
определяющих эффективность познавательной деятельности, с наличием средств их адаптации к личности обучаемого [1]. Поэтому одной из важных задач при создании системы управления обучением является возможность ее адаптации к индивидуальным особенностям обучаемого при организации контроля знаний и построении индивидуальной образовательной траектории.
Целью данной статьи является решение задачи автоматизации построения последовательности индивидуального изучения учебных элементов, создания динамических связей между ними, позволяющих организовать оптимальную по временным затратам навигацию в электронном курсе. В процессе решения этой задачи также предлагается метод интегральной оценки знаний для модели обучаемого.
Модель структуризации учебного материала
Предлагаемая модель содержания адекватна концепциям SCORM. В ней планируемый для изучения учебный материал разбивают на учебные элементы (УЭ). Под УЭ понимают объекты, явления, методы деятельности, темы курса, отобранные из соответствующей науки и внесенные в программу учебной дисциплины или раздела учебной дисциплины. Совокупность УЭ представляют в виде структурной схемы, которую называют графом содержания (ГС) учебного материала. Узлами (вершинами) графа являются УЭ, ребрами - связи между ними. Понятие УЭ и представление структуры учебного материала в виде ГС эквивалентны соответственно понятию совместно используемых объектов содержания (Sharable Content Objects - SCOs) и их агрегациям в SCORM.
Параллельно с построением ГС составляют спецификацию (таблицу) УЭ, в которую вносят их наименования. После структурирования и отбора содержания учебного материала для каждого УЭ формулируют требования по уровню освоения, которые включают в спецификацию УЭ. Уровень освоения определяется результатами выполнения тестовых заданий и представляет собой рациональную величину, лежащую в пределах {0...1}.
По этому показателю заполняют два столбца таблицы УЭ. В первом указывают начальное значение показателя (требуемый уровень освоения УЭ, необходимый для изучения данного УЭ), во втором - конечное значение показателя (требуемый минимальный уровень после обучения).
Совокупность ГС и спецификации УЭ является моделью содержания учебного материала электронного образовательного ресурса. В предложенной модели содержания используются особенности технологии разработки электронных энциклопедий [2]. При создании учебного курса предварительно разрабатывается онтология предметной области. Таким образом, каждый узел ГС
может дополнительно содержать совокупность ключевых понятий курса (1,0), где I - множество входных (предпосылочных) понятий; О - множество выходных понятий. Это могут быть элементарные единицы знания, термины, разделы.
Выходным является понятие, определяемое в данном УЭ, а входным - понятие, используемое в УЭ для определения выходного.
Схематично модель учебного курса представлена на рисунке 1, где изображены УЭ разного уровня иерархии (окружности). Стрелки показывают иерархические связи между ними. Каждый УЭ имеет множество входных и выходных понятий, они изображены пунктирными прямоугольниками.
Рис. 1
Переходы между УЭ могут формироваться динамически в зависимости от уровня знаний и умений обучаемого. Такая структуризация позволяет строить адаптивную последовательность подачи учебного материала. Возможность перехода определяется уровнем освоения входных ключевых понятий: если I. с Кобуч , где Кобуч - множе-
обуч
ство ключевых понятий, освоенных обучаемым, то переход к ,|-му УЭ возможен.
На рисунке 1 видно, что после изучения 1-го УЭ можно перейти как ко 2-му, так и к 3-му УЭ. В данном случае переход ко 2-му УЭ предполагает меньший уровень знаний обучаемого, то есть множество входных (предпосылочных) понятий 2-го УЭ меньше множества входных понятий 3-го УЭ: 12 < 13. Если 13 с Кобуч , возможен переход
сразу к 3-му УЭ. Если 12 с Кобуч , обучаемый изучает 2-й УЭ. После успешного изучения во множество понятий обучаемого добавляются понятия выходного множества 2-го УЭ: К
обуч
к обуч и о2,
Теперь 13 с Кобуч , и обучаемый может перейти к 3-му УЭ.
Таким образом, преимуществом предложенной модели структуризации является возможность динамического создания связей между УЭ в ГС для автоматизированного построения индивиду-
альной последовательности подачи учебного материала.
Автоматизация построения
последовательности освоения материала на базе орграфа
Рассмотрим математическую модель для построения оптимальной с точки зрения времени изучения материала [3] траектории в ГС. Пусть О - орграф, описывающий ГС, УО ={у.} - множество вершин и УЕ={е.} - множество дуг этого орграфа. Орграф О не должен содержать: петли, то есть дуги (У.,е.); циклы, то есть такие маршруты у1 ,ех ,у2 ,е2. .,ек ,ук+1, в которых у1 = ук+1 (где У.,е. - соответственно номера вершин и дуг, входящих в маршрут); несвязные вершины или подграфы.
Для определения наличия несвязных вершин (подграфов) орграф рассматривается как неориентированный граф. Неориентированный граф является связным тогда и только тогда, когда для произвольной фиксированной вершины у существует маршрут (у,...,и), где и - любая другая вершина графа.
Использование графов дает возможность решить оптимизационную задачу, связанную с определением целесообразной последовательности изучения тем в рамках как одного курса, так и нескольких взаимосвязанных курсов (дисциплин). Модель содержания отражает логические связи между УЭ. Соответственно, последовательность освоения тем должна быть такой, чтобы к началу изучения некоторого УЭ все предшествующие ему УЭ уже были изучены.
Эта задача сводится к классу задач раскраски вершин орграфа. Рассмотрим произвольную функцию вида £УО={1,2,...,к}, где к - количество различных красок. В данном случае решением задачи определения последовательности изучения тем является такая раскраска орграфа О, при которой для любого маршрута у1,е1,у2,е2,...,ек,ук+1, вершины которого раскрашены цветами /ь/2,...,/к, верно утверждение /¡</|, если ¡<|, где I - длина пути (в данном случае она равна количеству переходов).
Чтобы решить задачу раскраски, необходимо знать кратчайший путь из одной вершины в другую. Рассмотрим решение данной задачи (рис. 2) для пары вершин унач ,укон (1-й и 7-й вершин). Множество дуг УЕ представим в виде матрицы смежности 8 = [эу] порядка п, где п - число вер, /1, вершина у. соединена с у| , шин графа и ={ ^ . 1 1 [0, в противном случае.
Введем целочисленные переменные:
ху, .=1...п,|=1...п , где
11, кратчайший путь включает
ху = < переход из вершины у.в у| , [0, в противном случае.
п п
Целевая функция имеет вид ^ т.п.
¡=1|=1
В ней вычисляется количество переходов между вершинами в кратчайшем пути. Сформулируем ограничения для данной задачи поиска кратчайшего пути.
Первая пара ограничений задает условия для начальной вершины пути унач . В искомом пути в эту вершину не должно быть входа, но должен
пп
быть один выход: Хэ.начХ.нач = 0 У^начХ|нач =1 .
¡=1 1=1
Вторая пара ограничений задает условия для конечной вершины пути укон . В нее должен быть один вход, но не должно быть выхода:
пп
Уз. х. = 1, У^ х = 0.
¿—I ¡кон ¡кон ■ ¿.^ 1кон 1кон
¡=1 |=1
Для всех остальных вершин (кроме унач ,укон )
устанавливаются ограничения, задающие равенство количества входов и выходов в каждую из них
пп
в искомом кратчайшем пути: Уэ.кх.к -У^х^. = 0,
¡=1 у=1
к=1,п,к ф нач, к ф кон.
Количество входов и выходов для каждой вершины не должно быть более одного:
п - п -
У^А <1,к=1,п; !>чхч <1,к=1,п.
¡=1 1=1
Матрица кратчайших путей, найденная так, как изображено на рисунке 3, определяет таблицу переходов между учебными материалами в графе содержания. Это позволяет строить индивидуальную последовательность освоения учебного курса и достигать заданного уровня компетентности за минимальное число шагов в учебном курсе.
Рассмотрим подход для расчета оценки
уровня знаний наиболее слабо изученных областей курса. Он позволяет более точно определять текущую оценку знаний обучаемых и на ее основе определять рациональную последовательность подачи учебного материала.
Метод интегральной оценки уровня знаний обучаемого
В состав систем управления учебным процессом входит модель обучаемого [1], предназначенная для адаптации процесса обучения. Она содержит информацию о пользователе, сформированную в результате его взаимодействия с системой. Основным параметром модели является уровень знаний обучаемого, который вычисляется на основе анализа освоенности учебных элементов.
Точная оценка уровня знаний обучаемого необходима для определения его индивидуальных способностей. Она определяет адекватность выбранной образовательной траектории, а значит, и эффективность процесса обучения.
Анализ уровня знаний учебных материалов обучаемых широко используется при реализации адаптивных образовательных сред. Так, в [4] рассматривается несколько уровней осознанности полученных знаний. Эти показатели классифицируют глубину проникновения и качество владения учащимися учебным материалом, что позволяет четко формулировать дидактические цели при проектировании учебного комплекса и на их основе определять его состав. Дело в том, что часть элементов знания учащийся должен уметь применять при решении задач, а с какими-то элементами ему достаточно лишь ознакомиться.
Для определения уровня знаний УЭ в предложенной модели дополнительно учитывается уровень знаний понятий, входящих в рассматриваемую выше модель структуризации учебного материала. По окончании изучения каждого УЭ вычисляется степень освоения его выходных понятий. Для автоматизированного вычисления оценки авторами предложен метод интегральной оценки освоенности УЭ.
Интегральная оценка каждого выходного понятия складывается из базовой оценки и дополнительной, учитывающей оценки понятий, которые являются входными для данного УЭ.
Базовая оценка выставляется по результатам сеанса контроля УЭ. Придадим 1-му понятию вес Уь отражающий его важность в УЭ. Тогда базовая оценка ибаз степени освоения рассчитывается по
Е V
ТТ 1=1 п1
результатам тестирования: ибаз =-, где п1 -
¿VI
1=1
число вопросов в тесте, содержащих 1-е понятие; т1 - число правильных ответов на вопросы, содержащие 1-е понятие; п - общее число понятий,
содержащихся в контрольных вопросах.
Входные понятия определяют знания, необходимые при изучении данного УЭ, а выходные определяют новые знания обучаемого, представленные в данном УЭ. Таким образом, справедливо предположить, что каждое понятие 0п е0вых зависит от каждого из входных понятий 1вх.
Для вычисления дополнительной оценки понятий используется ранг понятия К. Для правильной оценки знаний обучаемого необходимо учитывать, что все понятия учебного курса имеют различную важность. Пусть каждое понятие имеет свой ранг, определяющий его важность во всем учебном курсе. Если на понятие имеется ссылка, то есть оно входит во множество входных понятий какого-либо УЭ, его ранг повышается. Таким образом, ранг понятия тем выше, чем чаще оно встречается во входных множествах УЭ.
Для вычисления рангов понятий применяется схема алгоритма ранжирования страниц, предложенного Клейнбергом, который является известным представителем группы методов, использующих информацию о связях между страницами [5]. Этот подход позволяет использовать две различные роли понятий - входной как первоисточника информации и выходной как посредника.
Интегральная оценка уровня знаний понятия 01 рассчитывается по следующей формуле:
к
иинт (О1)=итест (01)+¿Щ^К^), где Щ1) -
1=1
уровень знаний входного понятия 11; К(11) - ранг входного понятия 11.
Предложенный метод интегральной оценки позволяет в автоматическом режиме определять уровень знаний обучаемого на основе анализа оценок ключевых понятий учебного курса. Его особенность в том, что он корректирует базовую оценку, определяемую сеансом контроля обучаемого, используя уровень знания понятий, от которых зависит понимание ссылающихся на него понятий. Это дает возможность более точно определять текущий уровень знаний обучаемого, предоставлять информацию обучаемым о пробелах в знаниях, формировать адекватную последовательность подачи учебного материала, наиболее точно соответствующего способностям обучаемого, тем самым повышая эффективность познавательной деятельности.
Рассмотренная в данной статье модель структуризации учебного материала позволяет устанавливать динамическую связь между отдельными учебными блоками. Динамическое создание связей дает возможность автоматизировать процесс построения последовательности подачи учебного материала и учитывать индивидуальные способности обучаемого, определяемые с помощью метода интегральной оценки знаний.
Предложенный подход построения навигации согласуется с международными спецификациями электронного обучения SCORM и IMS, дополняя их конкретными адаптивными алгоритмами для навигации по учебным курсам.
Литература
1. Растригин Л.А. Адаптивное обучение с моделью обучаемого. - Рига: Зинанте, 1988. - 160 с.
2. Норенков И.П. Технологии разделяемых единиц контента для создания и сопровождения информационно-образовательных сред. // Инф. технологии. - 2003. - № 8. - С. 34-39.
3. Рыбаков А.Е. Применение модуля решения задач линейного программирования для поиска оптимального пути в графе, определяющего последовательность изучения образовательного курса. // Матер. конф.: Технологии Microsoft в теории и практике программирования. - Н. Новгород: Изд.-во НГУ, 2007. - С. 248-251.
4. Беспалько В.П. Основы теории педагогических систем. - Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1977. - 303 с.
5. Jon M. Kleinberg, Ravi Kumar, Prabhakar Raghavan, Sridhar Rajagopalan, and Andrew S. Tomkins. The Web as a graph: Measurements, models, and methods. In Proc. 5th Annual Int. Conf. Computing and Combinatorics, COCOON, nb 1627. Springer-Verlag, 1999.
АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Е.Г. Барщевский, к.т.н.; Ю.Я. Зубарев, д.т.н.; С.А. Солдатенко
(Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций, [email protected])
Ключевые слова: идентификация автоматизированных систем,
Одной из важнейших проблем, возникающих при исследовании и оптимизации автоматизированных систем (АС), является их идентификация. Ее решение вызывает ряд трудностей, связанных со сложностью математического описания большинства АС и с большим числом противоречивых требований, предъявляемых к ним.
Для повышения эффективности исследования и оптимизации перспективных АС необходимо создать комплекс согласованных и информационно совместимых математических моделей, в которых высокая точность и оперативность расчетов должны сочетаться с простотой реализации.
При создании комплекса моделей АС целесообразно использовать концепцию активной идентификации сложных систем, основанную на планировании вычислительного эксперимента (ВЭ). Планирование ВЭ с помощью ПК на основе вычислительных моделей и обработка полученных результатов в соответствии с принятыми критериями оптимальности позволяют активно идентифицировать процессы в АС, то есть получить комплекс согласованных моделей АС, представляющих собой полиномиальные зависимости различных показателей качества процессов от параметров исследуемых АС и приложенных к ним внешних воздействий.
Для повышения точности полиномиальных моделей (ПМ) необходимо выбирать планы ВЭ (ПВЭ) таким образом, чтобы минимизировать интегральную оценку ошибки аппроксимации, усредненную по заданным областям изменения параметров АС с учетом закона распределения этих параметров.
Поэтому учет частоты проведения ВЭ при разработке осуществляется с помощью обобщенного критерия наименьших квадратов, предусмат-
числительный эксперимент, полиномиальные модели.
ривающего минимизацию суммы взвешенных квадратов отклонений:
N
¿иК(х»)-К(хи)]2, (1)
и=1
где К(х») и К(х») - значения показателей в и-м спектре плана, полученные соответственно в результате ВЭ и на основе ПМ.
Приравнивая к нулю произведение от суммы (1) и переходя к матричной форме записи, выражения для векторов коэффициентов ПМ можно представить в виде:
В=^т*^)-1*£*К, (2)
где Q - информационная матрица ПВЭ; К - вектор-столбец значений показателей в точках спектра ПВЭ; £=diag{;1£2,...,£N} - диагональная матрица частот проведения эксперимента.
Симметричные ПВЭ, как правило, состоят из отдельных симметричных конфигураций, которые представляют подмножества точек спектра плана, соответствующие характерным точкам правильных геометрических фигур, в частности, вершинам или центрам граней гиперкуба, звездным или центральным (нулевым) точкам.
Задача синтеза непрерывных симметричных планов заключается в выборе типовых конфигураций, определении их размеров и частоты проведения экспериментов в точках спектров отдельных конфигураций, исходя из условий оптимальности, определяемых выбранным критерием. При этом предполагается, что точки спектра одной конфигурации имеют одинаковую частоту проведения экспериментов.
Вместо необходимых и достаточных условий в работах по планированию эксперимента рекомендуется использовать достаточные условия оп-
