МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛИТ ПОКРЫТИЙ ИЗ ДРЕВЕСИНЫ И КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ РАЗНОМОДУЛЬНОЙ ТЕОРИИ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 691.11: 51-74

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛИТ ПОКРЫТИЙ ИЗ ДРЕВЕСИНЫ И КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ РАЗНОМОДУЛЬНОЙ ТЕОРИИ

Г.Л. Горынин, Ю.И. Григорьев

Сургутский государственный университет, grigoriev-1991@mail.ru

Представлена математическая модель плиты покрытия из разномодульного композитного материала, получены аналитические формулы для напряжений и перемещений для случая изгиба плиты для разномодульного материала. Рассмотрен пример расчета плиты покрытия.

Ключевые слова: деревянные композитные конструкции, моделирование изгиба разно-модульных материалов, клеенные плиты покрытия, разномодульная теория, модуль упругости древесины и однонаправленного клеенного шпона.

MODELING OF ROOF SLABS FROM WOOD AND COMPOSITE MATERIALS ON THE BASIS OF THE DIFFERENT-MODULUS THEORY

G.L. Gorynin, Y.I. Grigoryev

Surgut State University, grigoriev-1991@mail.ru

A mathematical model of a roof slab of made of a different-modulus composite material is presented, analytical formulas for stresses and displacements are obtained for the case of bending a slab for a different-modulus material. An example of calculating a roof slab is considered.

Keywords: wooden composite structures, modeling of bending of different-modulus materials, glued roof slabs, a different-modulus theory, modulus of elasticity of wood and Laminated Veneer Lumber.

Введение

Клееные панели покрытия из древесины и композитных материалов на основе древесины относятся к облегченным конструкциям индустриального изготовления. Их используют в зданиях с наружным отводом воды с кровли, в отапливаемых зданиях при относительной влажности воздуха в помещениях до 75% и в неотапливаемых при расчетной температуре наружного воздуха не ниже t = -5 °С. Целесообразность применения клеефанерных плит определяется малым весом при высокой несущей способности, т.к. выполняет одновременно функции прогонов и настила, а также обеспечивает теплозащиту сооружения.

Одним из типовых решений плит является клеефанерная плита покрытия, которая состоит из продольных ребер из древесины и фанерных обшивок(см. рис.1).

Рис. 1. Поперечное сечение клеефанерной плиты покрытия

Для увеличения прочностных и жесткостных характеристик возможно применение в качестве обшивок плит покрытия листов из однонаправленного клееного шпона (Ъ"УЪ-

бруса).

Моделирование клеёных плит покрытий на основе композитных материалов

Представленные в работах [1] и [2] экспериментальные результаты по определению механических свойств древесины и однонаправленного клеенного шпона позволяют сделать вывод, что указанные материалы являются разносопротивляемыми, т.е. модули упругости на растяжение и сжатие различны (см. рис.2).

Рис. 2. Схематичный вид диаграммы напряжение-деформация для древесины при растяжении-сжатии

Напряжения в таком случае определяются следующим образом:

Ор = е * Ер , ас = £ * Ес, (1)

где:Ор, стс - нормальные напряжения растяжения, сжатия в поперечном сечении балки соответственно; £ - продольная деформация; Ер , Ес - модули упругости на растяжение, сжатие соответственно.

В работе [3] и [4] показано, что при изгибе упругих многослойных анизотропных балок выполняется гипотеза плоского сечения. Предположим, что данная гипотеза также выполняется для балок из разносопротивляемого материала. Таким образом деформации вычисляются:

£ = -(У-УО)Х, (2)

где х - это кривизна, у0 - координата нейтрального слоя.

Подставив формулу (2) в формулу (1)получим напряжения в сжатых и растянутых слоях сечения:

Стр = -х * Ер * (у - у0) (3)

Ос = -х * Ес * (у - у0) (4)

Рассмотрим клеенную плиту покрытия, в которой: верхний и нижний слой - лист LVL, продольные ребра из древесины. При чем, продольные ребра можно разделить на две области. Верхняя часть ребра будет работать на сжатие, нижняя - на растяжение (см. рис.3). Используя разномодульную теорию, изложенную в [5] и [6], определим в общем случае величину изгибающего момента и положение нейтральной линии.

из древесины

Рис. 3. расчетное сечение клеенной плиты покрытия

Изгибающий момент определяется:

м = I Стсл * (у - УоЖ + I стр * (у - Уо)^ + I Стсд * (у - у0Ж + I стр * (у - Уо№

./рл ,/рл ]рд ]рд

(5)

где /рд - площади поперечных сечений сжатой и растянутой зоны LVL-бруса

л л Д Д

и древесины соответственно; стр, стс, °р, стс - нормальные напряжения на растяжение и сжатие в поперечном сечении плиты для LVL-бруса и древесины соответственно.

Подставив формулы (3), (4) в формулу (5), и выполнив интегрирование, определим величину изгибающего момента для случая разномодульного материала:

М = х *

ь1 * ел

(Ь + Ь1 -у0)3 - (Ь-уоУ

— * Ер *

3

„д С^-УоГ , , * Е£ *-з--+ Ь

2 * Ер *

(Уо)"

(УоГ (¿2 + Уо)

3

3

(6)

где ЕЛ, ЕЛ, Ед, Ер - модули упругости LVL-бруса и древесины соответственно; ^-высота поперечного сечения ребра (см. рис.2), ^2- толщины верхней и нижней обшивок соответственно, Ь1- ширина плиты, Ь2- ширина поперечных продольных ребер в сумме. Для однородных упругих балок из курса сопротивления материалов известно уравнение для определения изгибающего момента:

М = х *

(7)

р

*

3

где Е1- изгибная жесткость однородной балки.

Введем обозначение для величины изгибной жесткости слоистой балки по аналогии с изгибной жесткостью однородной балки, используя для этого квадратные скобки. Из выражений (6) и (7) для этой величины следует равенство:

[Е1]=

Ьг * ЕЛ *

+ Ь2 * ЕД + ь2 * Ер Ъх * Ер *

гс 3 гр3 1 р

'(Уо)3

(г2+Уо)3

(8)

При этом равенство (6) может быть записано в виде аналогично равенству (7):

М = Х* [Е1] (9)

Принимая во внимание, что рассматривается изгиб балки и продольная нагрузка отсутствует (продольные усилия N=0), получим:

| о? ар + I асДар + I о? ар + | орДар = о (10)

]рл )рД ]рл )рД р

Гс гс гр гр

Подставив формулы (3) и (4) в равенство (10), собрав подобные и сократив на величину х> получим квадратное уравнение на величину уо, которая является координатой нейтральной линии:

((к + Ь1- у0)2 -(к- уо)2)+ЕД *Ь2*(к- у0)2 -ЕД*Ь2* (у0)2 -

(11)

-ЕЛ*Ь1*($ + 2Ь2уо) = 0

Равенство (11) является уравнением для нахождения _уо. Положение нейтральной линии определяется численно, исходя из заданных параметров, таких как толщина верхней обшивки, количество и размеры поперечных ребер.

Выразив из (9) кривизну х, и приведя подобные, из равенств (3), (4) получим:

оР =-г-;-, 0т =-^-, где I е [л, д]. (12)

р [Е1] ' с [Е1] ' м 1 ' ™ 4 '

Алгоритм проектирования.

1. Задание исходных параметров - габаритные размеры плиты, нагрузка на плиту, материал.

2. Определение количества продольных ребер. Минимальное количество продольных ребер - 2. Максимальное - ограниченно шириной плиты покрытия. Оптимальное количество принимается после проведения и анализа расчетов (из практики проектирования принимают от 3 до 5).

3. Размеры поперечного сечения продольных ребер - подбираются из условия пожаро-безопасности и сортамента на пиломатериалы.

4. Определение толщины верхней фанерной обшивки - толщина верхней обшивки определяется из расчета на действие монтажной нагрузки и из расчета на прочность по нормальным напряжениям.

5. Определение толщины нижней фанерной обшивки - толщина нижней обшивки определяется из расчета прочности по нормальным напряжениям и расчета на жесткость.

6. Выбор оптимальных параметров плиты покрытия.

В дальнейшем, при рассмотрении клеенной плиты покрытия, анализируются несколько параметров, таких как толщины верхней и нижней обшивок, высота и ширина ребра, количество

продольных ребер. Для сравнения результатов разномодульной теории и теории, изложенной в [6],определим параметры, которые меняются в ограниченном диапазоне.

Пример расчета клеенной плиты покрытия.

Рассмотрим пример расчета клеенной плиты покрытия на прочность и жесткость по разномодульной теории и теории, изложенной в [7] в соответствии с Алгоритмом проектирования.

1. Для расчета приняты следующие исходные данные:

Рассматривается плита длиной (I) 6 м, шириной (Ъ1) 1,5 м. Материал: древесина - сосна 2 сорт (класс прочности С22), ЦУЪ-брус - сорт К40 (класс прочности С45). Режим нагружения, согласно [7] - В, условие эксплуатации - 2.

Верхний слой - лист ЦУЪ, нижний слой - лист ЦУЪ. Продольные ребра приняты из цельной древесины. Модули упругости материалов для расчета по разномодульной теории приняты в соответствии с полученными экспериментальными данными, изложенными в [1] и [2]: Е?=18180 МПа, Ер=13650 МПа, ЕД=16670 МПа, Ер=10100 МПа.

Модули упругости материалов для расчета в соответствии с [7] (формулы 8,9, приложение В). ЕЛп=13500 МПа, ЕДп=9000 Мпа.

Расчетные сопротивления материалов приняты в соответствии с [6]: й,?=17,82 МПа, ££==16,04 МПа, йД=11,58 МПа, ЙД=6,24 МПа.

Нагрузка принята равной:

Расчетная нагрузка цр=450 кг\м2, нормативная нагрузка Цн 330,8 кг\м2.

Погонная нагрузка принята равной:

Расчетная нагрузка Цр=675 кг\м, нормативная нагрузка Цн 496,32 кг\м2.

2. Определение количества продольных ребер. Минимальное количество продольных ребер - 2. Максимальное - ограниченно шириной плиты покрытия. Оптимальное количество принимается после проведения и анализа расчетов (из практики проектирования принимают от 3 до 5). Для данного примера приведем расчет принимая количество ребер: 3, 4 и 5 шт.

3. Ширина ребра принимается из условия пожаробезопасности. Минимально допустимая ширина - 54 мм (60 мм с учетом острожки по 3 мм с каждой стороны в соответствии с сортаментом на пиломатериалы). Высота продольных ребер задается в соответствии с сортаментом на пиломатериалы и принимается равной 69, 94, 119 и 144 мм с учетом острожки соответственно. При рассмотрении задачи принимаются поочередно все указанные размеры высоты поперечного сечения продольного ребра.

4. Толщина верхней обшивки предварительно определяется из расчета на действие монтажной нагрузки. Полку из LVL-листа рассчитываем как пластинку, заделанную в местах приклейки к ребрам. Груз Р считать распределенным на ширину 100 см (см. рис.4).

Рис.4. Расчетная схема для расчета на монтажную нагрузку

Расчет проводится как изгибаемого элемента по нормальным напряжениям.

где: Мм - величина изгибающего момента от действия монтажной нагрузки; W - момент сопротивления на ширину 100 см в плоскости листа поперек волокон, йЛ,9о- расчетное сопротивление сжатию LVL-бруса поперек волокон в плоскости листа, определяемого по [7]. Изгибающий момент равен:

Р ■ Ь

М =-

0

(14)

где Р - монтажная нагрузка, равная 120 кг, Ьо - расстояние между ребрами в свету. Момент сопротивления определяется по следующей формуле:

100 ■ г.

Ж = -

1

(15)

Тогда толщину верхней обшивки определим из условия (13):

и >

р-ъ0 • 6

(16)

Для четырех продольных ребер толщину верхней обшивки определим из условия (16):

и >

Р-Ь0-6

|Д£90^1,2 • 8 -100

> 0,91 см,

Таким образом толщина верхней обшивки предварительно принимается 10 мм. В дальнейшем при подборе толщины нижней обшивки из условия прочности, учитывается выполнение условие прочности плиты как в зоне сжатия, так и в зоне растяжения.

5. Толщина нижней обшивки определяется из расчета прочности по нормальным напряжениям и расчета на жесткость.

Для определения толщины нижней обшивки используем графический метод. Для этого необходимо построить графики зависимости напряжений при растяжении и сжатии от толщины нижней обшивке при заданной толщине верхней обшивки, размеров и количестве продольных ребер. Из построенного графика определяем толщину нижней обшивки при достижении величины нормальных напряжений на растяжение и сжатие величины расчетных сопротивлений, исходя из условия 17:

-К<о< Яр, , (17)

- г

где: - расчетное сопротивление материала на сжатие, йр - расчетное сопротивление материала на растяжение.

Рис.5 Графики зависимости нормальных напряжений при растяжении и сжатии от толщины нижней

6

обшивке

Нормальные напряжения на растяжение и сжатие определяются по формулам(12).

Анализируемом параметром в представленной задаче является толщины нижней обшивки, для определения которой необходимо:

- произвести расчет на прочность и определить толщину нижней обшивки при достижении величин напряжений на растяжение и сжатие расчетных сопротивлений при заданных размерах и количестве продольных ребер.

- произвести расчет по деформациям и определить толщину нижней обшивки при достижении величины относительного прогиба предельному прогибу, нормируемому[8] при заданных размерах и количестве продольных ребер:

ГТ<§и, (18)

Г = 5 • I3 < г

I 384^[Е1]~[1]и 200 - определить необходимую толщину обшивки с учетом сортамента и типовых размеров. Результаты расчета на прочность приведены при условии достижения нормальных напряже-

ний величин расчетного сопротивления в таблицах 1, 2, 3.

Таблица 1

_Количество продольных ребер - 4_

Высота ребра, мм Толщина нижней обшивки по расчету в соответствии с [6], мм Толщина нижней обшивки по расчету по раз-номодульной теории, мм

при а=Ир при а=-Ис Требуемая толщина нижней обшивки при а=Ир при а=-Ис Требуемая толщина нижней обшивки

69 44.8 22.1 46 37.6 18.7 38

94 16.2 13.1 18 11.9 11.4 12

119 10.1 3.1 12 7.8 3.8 8

144 5.4 Не достигает Rс 6 5.2 Не достигает Rс 6

Таблица 2 Количество продольных ребер - 3

Высота ребра, мм Толщина нижней обшивки по расчету в соответствии с [6], мм Толщина нижней обшивки по расчету по раз-номодульной теории, мм

при o=Rр при a=-Rс Требуемая толщина нижней обшивки при a=Rр при a=-Rс Требуемая толщина нижней обшивки

69 23.5 47.2 48 42.5 18.9 44

94 13.8 16.2 18 15.8 12.4 16

119 8.8 2.1 10 8.7 4.1 10

144 6.2 Не достигает Rс 8 5.8 1.2 6

Таблица 3

Количество продольных ребер - 5_

Высота ребра, мм Толщина нижней обшивки по расчету в соответствии с [6], мм Толщина нижней обшивки по расчету по разномодульной теории, мм

при o=Rр при a=-Rс Требуемая толщина нижней обшивки при a=Rр при a=-Rс Требуемая толщина нижней обшивки

69 23.3 45.3 46 18.6 34.8 36

94 13.4 15.6 16 11.8 11.4 12

119 9.1 2.1 10 7.3 2.4 8

144 5.8 Не достигает Rс 6 3.9 Не достигает Rс 4

Сравнивая результаты, видно, что экономия материала (рассматривая нижнюю обшивку) при разномодульной теории достигает до 33,3%, в зависимости от высоты продольных ребер плиты.

Расчет на жесткость проведен в соответствии с [7] и [8], согласно которым относительный прогиб плиты от нормативный нагрузки не должен превышать предельно допустимого прогиба ([М]и), нормируемого [8].

Таблица 4

Результаты расчета по деформациям приведены в таблице 4_

Высота ребра, мм Толщина нижней обшивки по расчету в соответствии с [6], мм Требуемая толщина нижней обшивки, мм Толщина нижней обшивки по расчету по разномодульной теории, мм Требуемая толщина нижней обшивки, мм

при//НГ/1]и при//=ти

4 продольных ребра

69 90.9 92 49.9 50

94 66.8 68 28 28

119 41.8 42 13.8 14

144 22.1 24 6.3 8

3 продольных ребра

69 90.9 92 52.7 54

94 67.9 68 29.1 30

119 41.9 42 14.8 16

144 22.4 24 7.2 8

Таблица 4 (продолжение)

5 продольных ребер

69 90.3 92 51.9 52

94 66.5 68 27.3 28

119 41.6 42 13.1 14

144 21.7 22 5.8 6

При расчете на жесткость, экономия материала (рассматривая нижнюю обшивку) при разномодульной теории достигает до 72,7%, в зависимости от высоты продольных ребер плиты.

Из анализа расчетов на прочность и жесткость можно сделать вывод, что при расчете на жесткость к плите предъявляются более высокие требования.

Экономическое сравнение вариантов

Для экономического сравнения рассмотрим плиту покрытия для производственного здания с площадью кровли 2592 кв.м. (144х18м).

Проведем стоимостное сравнение по материалу, рассматривая стоимость материала для всей плиты покрытия. Результаты сравнения представлены в таблице 5.

Таблица 5

Показатель По расчету в соответствии с [6] при высоте ребра, мм По расчету по разномодульной теории при высоте ребра, мм

69 94 119 144 69 94 119 144

Усредненная рыночная стоимость LVL-листа за 1 м3 36 000 руб.

Усредненная рыночная стоимость древесины за 1 м3 11 500 руб.

Площадь кровли, кв.м. 2592 кв.м.

Объем LVL-листа, необходимого для нижней обшивки на все здание, м3 3 р. 264,38 202,18 134,78 88,13 165,89 103,68 67,39 46,66

4 р. 264,38 202,18 134,78 88,13 155,52 98,50 62,21 46,66

5 р. 264,38 202,18 134,78 82,94 160,70 98,50 62,21 41,47

Таблица 5 (продолжение)

Стоимость LVL-листа на весь объем, руб 3 р. 9517824 7278336 4852224 3172608 5971968 3732480 2426112 1679616

4 р. 9517824 7278336 4852224 3172608 5598720 3545856 2239488 1679616

5 р. 9517824 7278336 4852224 2985984 5785344 3545856 2239488 1492992

Объем древесины на все здание, м3 3 р. 4,8289 6,5785 8,3281 10,0777 4,8289 6,5785 8,3281 10,0777

4 р. 6,4385 8,7713 11,1041 13,4369 6,4385 8,7713 11,1041 13,4369

5 р. 8,0482 10,9642 13,8802 16,7962 8,0482 10,9642 13,8802 16,7962

Стоимость древесины на весь объем, руб 3 р. 55532 75653 95773 115894 55532 75653 95773 115894

4 р. 74043 100870 127697 154525 74043 100870 127697 154525

5 р. 92554 126088 159622 193156 92554 126088 159622 193156

ИТОГО стоимость плиты, руб. 3 р. 9573356 7353989 4947997 3288502 6027500 3808133 2521885 1795510

4 р. 9591867 7379206 4979921 3327133 5672763 3646726 2367185 1834141

5 р. 9610378 7404424 5011846 3179140 5877898 3671944 2399110 1686148

Очевидно, что при использовании в расчетах разномодульной теории, экономия обшивки плиты существенна и достигает до 72,7%, что позволяет экономить на материальных ресурсах в процессе строительства. В целом проанализировав стоимость всей плиты, можно сделать вывод, что минимальная стоимость определилась для плиты с количеством продольных ребер - 5 штук и высотой поперечного сечения продольного ребра - 144 мм. Из таблицы (5) видно, что данный тип плиты наиболее экономичный при применении обоих методов расчета. Экономия при расчете по разномодульной теории составила 47%.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-07-01326.

Литература

1. Горынин Г. Л., Григорьев Ю.И. Сравнительный анализ экспериментальных данных модулей упругости древесины и однонаправленного клеенного шпона // Материалы IX Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы строительства». - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2016. - С. 41-45.

2. Горынин Г. Л., Григорьев Ю.И. Сравнительный анализ экспериментальных данных модулей упругости древесины// Север России: стратегии и перспективы развития: материалы II Всероссийской научно-практической конференции (г. Сургут, 27 мая 2016 г.): в 4 т. - Сургутский государственный университет. - Сургут: ИЦ СурГУ, 2016. - Т. II.- 335 с. - С. 58-62.

3. Горынин Г. Л. Пространственные задачи слоистых анизотропных конструкций: монография. - Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008. - 262 с.

4. Горынин Г. Л., Немировский Ю.В. Продольно-поперечный изгиб слоистых балок в трехмерной постановке// Прикладная механика и техническая физика. - 2004. -Т. 45, №6. - С. 133-143.

5. Горынин Г. Л., Григорьев Ю.И.Сравнительный анализ законов деформирования древесины согласно Свода правил и разномодульного закона деформирования при изгибе //Проблемы оптимального проектирования сооружений: доклады 4-й Всероссийской конференции (Новосибирск, 11 - 13 апреля 2017 г.) - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2017. - С. 79-87.

6. Горынин Г. Л., Григорьев Ю.И. Моделирование изгиба оконной перемычки из композитных материалов// Север России: стратегии и перспективы развития: материалы III Всероссийской научно-практическая конференции (г.Сургут, 26 мая 2017 г.): в 4 т. - Сургутский государственный университет. - Сургут: ИЦ СурГУ, 2017. - Т. II. - С. 197-203.

7. Свод правил: СП 64.13330.2017 Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП П-25-80. - Москва: 2017. - 3-16 с., 64-71 с.

8. Свод правил: СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85* - Москва: 2011. - 32-33 с., 72-80 с.