CC BY
34
Моделирование пластической деформации как процесса генерации и эстафетной передачи пластических сдвигов от границ раздела
В.А. Романова, P.P. Балохонов
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе проводится моделирование нагружения упругопластической среды с учетом влияния границ раздела. Задача в динамической постановке решается численно, конечно-разностным методом, с использованием элементов имитационного моделирования для описания развития пластической деформации. В основе алгоритма пластического течения заложена модель зарождения и распространения пластических сдвигов, предложенная в предыдущих работах. Развитие модели заключается в том, что пластическая деформация рассматривается как постоянно повторяющийся процесс генерации сдвигов граничными источниками и их распространения по образцу. Приводятся и анализируются результаты тестовых расчетов растяжения макроскопического образца, а также фрагмента материала, содержащего несколько зерен.
1. Введение
Многочисленные экспериментальные данные о поведении материалов под нагрузкой свидетельствуют об особой роли границ раздела в процессе зарождения и эволюции деформационных дефектов [1-10].
Экспериментальные данные [1-3, 5-9] указывают на то, что исходные дислокации, существующие в недефор-мированных кристаллах не вносят вклад в пластическое течение. Новые дислокации появляются путем гетерогенного зарождения на внешних и внутренних границах раздела (поверхностях образца, межфазных и межзерен-ных границах и др.). Для поликристаллов установлено, что источниками дислокаций являются границы зерен.
Согласно [5, 6, 9], пластическая деформация первоначально зарождается в зернах, выходящих на поверхность, при внешних приложенных напряжениях в 105 раз ниже теоретической прочности кристалла. По мере нарастания нагрузки доля поверхностных пластически деформированных зерен увеличивается. При некотором уровне приложенных напряжений пластическая деформация начинает распространяться вглубь образца, постепенно охватывая новые области.
По данным работы [5], движение потока дислокаций от источника на границе начнется в тот момент, когда напряжение, действующее в микрообъеме, где расположен источник, достигнет некоторого критического значения. Увеличение внешнего приложенного напряже-
ния заставляет поток дислокаций двигаться от источника вглубь зерна, что приводит к релаксации напряжений в локальном объеме материала. При увеличении внешнего напряжения и за счет удаления дислокаций от источника напряжение вновь достигает критического значения и начинается перемещение второй порции дислокаций от источника. При активном нагружении этот процесс повторяется многократно.
Построению моделей, учитывающих влияние внутренних и внешних границ на процессы деформирования, посвящен целый ряд работ [4, 5, 11-16].
В [15, 16] был развит подход к моделированию сред со структурой, учитывающий эффекты границ раздела на основе традиционных методов континуальной и дискретной механики. Для этого конечно-разностный метод решения динамических задач [17] был дополнен некоторыми элементами метода клеточных автоматов [4]: переход каждой ячейки конечно-разностной расчетной сетки из упругого состояния в пластическое осуществлялся в зависимости от напряженно-деформированного состояния в данной ячейке и от состояния ближайших соседей. Предложенный алгоритм зарождения и распространения деформационных дефектов описывал переход пластических сдвигов от ячейки к ячейке в рассматриваемой расчетной области. Согласно [15], первоначально пластическая деформация может возникнуть только в расчетных ячейках, принадлежащих
© Романова В.А., Балохонов P.P., 2001
границам. Для каждой внутренней ячейки на каждом шаге нагружения проверяется состояние ближайших соседей. Пластическая деформация в ней может возникнуть в случае, если в какой-либо из прилегающих ячеек интенсивность пластической деформации достигла критического значения. При этом напряжения, действующие в данной локальной области материала, также должны быть не ниже критического значения, необходимого для зарождения дефектов. Таким образом, пластическая деформация постепенно распространяется по материалу в режиме “эстафеты”.
Модель развития пластического течения, предложенная в [15, 16], позволила смоделировать ряд мезо-и макроэффектов, таких как распространение локализованной деформации в режиме “переключения”, формирование и распространение полос Людерса, появление зуба текучести на макроскопической диаграмме нагружения и др. Но вместе с тем предложенный алгоритм не учитывал возможность повторного зарождения и распространения сдвигов — после вовлечения расчетной ячейки в пластическое течение, деформация в ней протекала по традиционному критерию [12, 17] и состояние соседних ячеек уже не сказывалось на упругопластическом поведении данной ячейки. Иными словами, в локальных объемах материала, перешедших в пластическое состояние, дальнейшее накопление пластической деформации происходило без учета появления и распространения новых дефектов от границ раздела.
В настоящей работе авторы развивают далее предложенную в [15, 16] модель пластичности. Целью работы является моделирование процесса пластического течения в условиях активного нагружения с учетом постоянно повторяющейся генерации сдвигов граничными источниками и их передачи в объем образца.
2. Математическая формулировка
Система уравнений, описывающая упругопластическое поведение в двумерном случае, включает уравнения движения
да да
—хх + —*L = Du
дх ду
да ху + да LL =pU дх ду L ’
(1)
уравнение неразрывности и соотношения для скоростей деформации
V дихх ди
— = —— + —— = е„ +
V дх ду хх уу
и определяющие соотношения
°хх ~ Р + ^&хх,
^ уу Р + ^&уу ,
® ху = ^&ху ,
(2)
(3)
где давление Р определяется баротропной зависимостью [17], а соотношения для девиатора напряжений записываются в релаксационной форме [12]
Sхх
f-т 1 V .p ^
с1-------------------
хх з у х:
S LL = 2Ц
е L —
1V&
3 V
S*L = ху --py)•
-. p
~LL
(4)
Здесь ц — модуль сдвига; их, иу — компоненты вектора массовой скорости; охх, ауу, аху — компоненты тензора напряжений; е^., е^, е^ — компоненты тензора полных деформаций; ерх, еруу, еру — компоненты тензора пластических деформаций; р — плотность среды и V — объем; точкой обозначена производная по времени.
Система уравнений (1)-(4), дополненная начальными и граничными условиями, решается численно, конечно-разностным методом Уилкинса [17].
Остановимся более подробно на алгоритме перехода расчетной ячейки из упругого состояния в пластическое (рис. 1), который является основным отличием предлагаемого подхода от традиционного.
Предполагается, что сдвиги зарождаются в ячейках, принадлежащих границам раздела. В ячейках, расположенных в объеме материала, пластические сдвиги накапливаются между актами перехода до тех пор, пока не будут выполнены критические условия. После этого деформация передается следующей ячейке, а в рассматриваемой локальной области процесс пластического течения прекращается до тех пор, пока новый сдвиг не придет от границы. Таким образом, пластическая деформация моделируется как процесс постоянной генерации пластических сдвигов на границах раздела и распространения зародившихся дефектов по материалу.
Охарактеризуем параметры, входящие в алгоритм, более подробно. Наряду с упругими константами, характеристикой материала является предел релаксации стр — величина, до которой при активном нагружении напряжения могут релаксировать в случае развития в ячейке пластической деформации. Предполагается, что эта величина как характеристика материала, одинакова для всех ячеек независимо от их местоположения в расчетной области. В первом приближении для описания пластического течения в ячейке мы использовали снос на круг текучести по методу Уилкинса [17], который можно трактовать как мгновенную релаксацию — в случае перехода ячейки в пластическое состояние напряжения независимо от их уровня релаксируют до предельной величины за временной шаг.
Параметрами, зависящими от местоположения ячейки в расчетной области, являются напряжения зарожде-
* б
А А
Рис. 1. а — Алгоритм перехода ¿-ой расчетной ячейки в пластическое состояние: ои('), ои(j) — интенсивности напряжений в ¿-ой и j-ой ячейках / = 1, ..., 8); о*, е*(у) — критические значения градиента напряжений и избыточной деформации для перехода пластического сдвига от /-ой к ¿-ой ячейке; о3(') и ор(') — напряжение зарождения и предел релаксации в ¿-ой ячейке; / — индекс ячейки, соседствующей с ячейкой г (/ = 1, ..., 8). б — Схематическое представление процесса генерации пластических сдвигов в граничной ячейке: ^,..., 1п соответствуют моментам передачи пластического сдвига в объем материала. в — Схематическое представление процесса развития пластической деформации в ¿-ой ячейке, не принадлежащей границе: сплошная линия — накопленная пластическая деформация; пунктирная линия — избыточная пластическая деформация; ^,..., гп и ,..., г'п соответствуют моментам передачи пластического сдвига в ¿-ую ячейку и перехода пластического сдвига из ¿-ой ячейки
ния пластического сдвига о3, а также критические величины “избыточной” пластической деформации е* и градиента интенсивности напряжений о*, входящие в условие перехода пластической деформации от ячейки к ячейке.
В первую очередь на каждом шаге нагружения для каждой ¿-ой расчетной ячейки проверяется ее местоположение в расчетной области. В случае, если ячейка
принадлежит границе раздела и приложенные к ней напряжения достигли величины о 3, в ячейке начинается пластическое течение и напряжения релаксируют до предела релаксации ор согласно соотношениям (4). Процесс развития пластической деформации в условиях активного нагружения продолжается до тех пор, пока не сработает условие перехода пластического сдвига к какой-нибудь из примыкающих ячеек /. Тогда скорость
пластической деформации, входящая в соотношения (4), в ¿-ой ячейке становится равной нулю и при дальнейшем нагружении напряжения опять начинают расти по упругому закону, пока не достигнут величины о3, в результате чего процесс развития пластической деформации возобновляется. Таким образом, граница раздела периодически является источником генерации пластических сдвигов. Схематически этот процесс представлен на рис. 1, а. Следует заметить, что в реальности процесс генерации сдвигов не является строго периодическим вследствие сложного влияния напряженно-деформированного состояния окружающих ячеек.
В ячейках, не принадлежащих границам раздела, скорость пластической деформации в соотношениях (4) равна нулю и рост напряжений происходит по упругому закону до тех пор, пока пластическая деформация не придет от границы образца или напряжения не достигнут теоретической прочности. Считается, что передача пластической деформации от/-ой к ¿-ой ячейке возможна в том случае, если одновременно выполняются два условия, основанные на экспериментальных данных о том, что важным для распространения пластической деформации является наличие градиентов напряжений и плотности дислокаций [1-3, 5].
Первым условием является наличие критической избыточной деформации в /-ой ячейке ер3б (у), которая накапливается в ячейке с начала в ней пластического течения и до момента перехода пластического сдвига к следующей ячейке. В момент перехода пластической деформации от/-ой к ¿-ой ячейке избыточная пластическая деформация в /-ой ячейке обнуляется и начинает снова возрастать только с момента следующего акта перехода пластического сдвига к данной ячейке. Условная схема развития пластической деформации в ячейке, не принадлежащей границе, представлена на рис. 1, в.
Вторым условием является наличие градиента интенсивности напряжений, который в конечно-разностных аналогах представляет собой разность между напряжениями в ¿-ой и/-ой ячейках. Пластическая деформация распространяется в направлении более высоких напряжений, т.е. уровень напряжений в ¿-ой ячейке по абсолютной величине должен быть выше.
Следует отметить, что эти два условия не являются взаимооднозначными. Одному и тому же уровню напряжений может соответствовать различная степень пластической деформации. Таким образом, из выполнения одного условия не следует автоматически выполнение второго. Например, возможна ситуация, когда избыточная пластическая деформация превысит критическое значение, однако перехода пластического сдвига не произойдет вследствие релаксации напряжений в окружающих ячейках и отсутствия необходимого градиента напряжений. Схематически такой случай проиллюстрирован на рис. 1, в (см. момент времени 4)-
3. Результаты расчетов
В качестве иллюстрации применения предложенного подхода были проведены расчеты для модельного материала. Упругие модули, плотность и константы ба-ротропного уравнения состояния соответствовали характеристикам алюминиевого сплава А16061-Т6. Материал подвергался растяжению, при этом скорость приложенной деформации составляла около 102 с-1. Следует отметить, что достаточно высокая скорость нагружения продиктована особенностями численного метода решения динамических задач такого класса [17] и затрудняет количественное сравнение с экспериментальными данными. Поэтому в настоящей работе расчеты проводятся для модельного материала и имеет место лишь качественное сравнение с экспериментально наблюдаемыми эффектами.
В качестве граничных условий на противоположных границах образцов задавались скорости, соответствующие скорости растяжения. В направлении, перпендикулярном оси растяжения, эти границы могли свободно перемещаться. Условия на двух других границах имитировали свободные поверхности. Подробная постановка граничных условий такого рода описана в [14, 17].
В первом случае моделировалось нагружение фрагмента, содержащего несколько зерен, отличающихся по размеру, рис. 2. Различная кристаллографическая ориентация зерен учтена неявным образом через различия в величинах критических напряжений зарождения деформационных дефектов на границах и пределов релаксации. Разброс в пределах 10 % значений о3, о* и ор задавался относительно 10 ГПа. Величина е* для всех зерен составляла 0.01 %. Заметим, что такой выбор значений был сделан для тестирования модели и не обусловлен физическими соображениями.
Первоначально сдвиги зарождаются и распространяются по границам зерен (рис. 2, а) при уровне средних напряжений менее 10 ГПа. Распределение пластической деформации имеет существенно неоднородный характер. Наиболее интенсивное формоизменение наблюдается по границам наиболее мелкого зерна, а также вблизи тройных стыков. Зарождение и распространение пластических сдвигов по границам сопровождается поворотами отдельных зерен (рис. 3), при этом наиболее интенсивно вовлекается в ротационное движение самое мелкое зерно. При дальнейшем нагружении данная область материала наиболее интенсивно вовлекается в пластическое течение. По мере распространения сдвигов от границ в объем зерна, поля скоростей изменяются, наблюдается смещение границ между фрагментами. В конечном итоге деформация локализуется и пересекает самое мелкое зерно (рис. 2, в, 3, в), не “чувствуя” его более как значимый структурный элемент.
Зависимость средних напряжений от времени (рис. 4) имеет вид затухающих импульсов. Ниспадаю-
Рис. 2. Распределение интенсивности пластической деформации в локальном мезообъеме в различные моменты времени
Рис. 3. Поля скоростей, соответствующие рис. 2
а, ГПа
л/ ' *2
Чл Nu/V^. ,з\
^ ч:
О 20 40 t, мкс
Рис. 4. Зависимость среднего по ячейкам напряжения от времени; точки 1Х, t1, t3, соответствуют рис. 2, а, б, в
щие участки соответствуют зарождению деформационных дефектов на одной или нескольких границах и распространению пластической деформации в зернах. По мере того как сдвиги распространяются по материалу, величина импульсов снижается и выходит на стационарный режим к моменту локализации.
Следующая серия расчетов представлена для случая растяжения образца, не содержащего внутренних границ. Источниками генерации пластических сдвигов служили поверхности образца. В расчетах варьировались величины критических параметров, входящих в алгоритм.
На рис. 5 представлены результаты моделирования со следующими критическими параметрами: 8* = = 0.1 %, а3 = ар = 3 ГПа, а* = 30 ГПа. В этом случае основными параметрами, определяющими характер упругопластического поведения, являются критические величины избыточной деформации и градиента напряжений.
Зарождение пластических сдвигов наблюдается одновременно на противоположных поверхностях, приблизительно в середине образца. С возрастанием внешней нагрузки полосы локализованной деформации начинают распространяться вглубь образца, перпендикулярно оси растяжения. Движение полос носит импульсный характер, обусловленный, с одной стороны, процессом генерации дефектов на поверхности образца, а с другой стороны, неоднородным напряженно-деформированным состоянием, возникающим в результате взаимодействия упруго и пластически деформируемых областей. Вследствие этого зависимость средних напряжений от деформации имеет пилообразную форму, рис. 5, б.
Первый пик на кривой нагружения, имеющий наиболее высокую амплитуду, соответствует формированию и движению первых полос локализованной деформации в объеме материала. Высокий уровень средних напряже-
ний при активном нагружении обусловлен ростом напряжений в локальных объемах материала, не вовлеченных в пластическое течение. В свою очередь, рост локальных напряжений приводит к увеличению градиентов напряжений во фронте полос локализованной пластической деформации и увеличению скорости накопления избыточной деформации в ячейках. Другими словами, по мере распространения пластической деформации в объем материала, условие перехода ячеек в пластическое состояние осуществляется все быстрее, скорость распространения фронта пластической деформации увеличивается и на кривой нагружения наблюдается интенсивная релаксация напряжений (рис. 5, б).
Охватив все поперечное сечение образца, пластическая деформация локализуется (рис. 5, а). Однако, импульсный процесс генерации и распространения пластических сдвигов продолжает сказываться на характере кривой нагружения. Интересно отметить, что огибающая кривой нагружения также носит импульсный характер. Период импульсов примерно соответствует времени прохождения через сечение образца новой полосы с момента ее передачи от поверхности в объем материала.
Далее для исследования влияния соотношения а3 и ар на упругопластическое поведение модельного материала были проведены два расчета, в которых варьировалось соотношение между напряжениями зарождения а 3 и пределом релаксации а р. В обоих случаях напряжения зарождения задавались равными 3 ГПа, а пределы релаксации отличались от них по величине на один и два порядка соответственно. Результаты расчетов показали, что конечная картина распределения плас-
см 0.04- 0.02- 1 | а
0.02 0.06 0.10 0.14 см
Рис. 5. Распределение пластической деформации в момент времени { (а) и зависимость среднего напряжения от времени (б)
а, ГПа
i 1 n j\ />
t \ A j, Д Л /. 2
\ //' /!/' A ^1 i lyv * /1 1/ 1/ \ ' VI/
V V 1 y V Y v'' V
* ! f
J\ .X.
1 yv
О 0.1 0.2 0.3 в,%
Рис. 6. Зависимости средних напряжений от деформаций для пределов релаксации, отличающихся на один (кривая 2) и два (кривая 1) порядка от напряжений зарождения
тических деформаций качественно практически не отличается от предыдущего случая, однако характер распространения сдвигов и вид кривой нагружения меняется существенно. В случае более низкого предела релаксации (кривая 1 на рис. 6) на кривой нагружения наблюдаются импульсы, соответствующие формированию полосы пластической деформации на поверхности и распространению ее через сечение образца. Площадки между импульсами соответствуют росту пластической деформации в уже сформировавшейся полосе до тех пор, пока напряжения в ней не отрелаксируют до соответствующего предела. После этого происходит генерация нового дефекта на поверхности и процесс повторяется.
4. Заключение
Представленные в настоящей работе результаты расчетов приведены с целью проиллюстрировать возможности предложенной модели пластического течения как процесса генерации и распространения сдвигов от границ раздела. Полученные результаты качественно отражают некоторые экспериментально наблюдаемые эффекты, в частности, скачкообразное развитие деформации в объеме образца и пилообразный характер кривой нагружения [18-21], наличие зуба текучести [5], сдвиги и повороты фрагментов материала на мезоуровне в процессе нагружения [1-4].
Вместе с тем, следует отметить, что модель учитывает далеко не полный спектр явлений, наблюдаемых в реальных материалах и несомненно требует дальнейшего развития. Открытым остается вопрос о величине критических параметров, входящих в алгоритм. Для более полного анализа влияния входящих в модель параметров на характер развития пластической деформации на мезо- и макроуровнях также необходимо проведение дополнительных расчетов.
Авторы благодарят профессора Макарова П.В. за ценные замечания и полезные дискуссии.
Литература
1. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-24.
2. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики
// Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
3. Панин В.Е., Слосман А.И., Антипина Н.А., Литвиненко А.В. Влия-
ние внутренней структуры и состояния поверхности на развитие деформации на мезоуровне малоуглеродистой стали // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 1. - С. 105-110.
4. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. Под. ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
5. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести
поликристаллов. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1988. - 256 с.
6. Орлов Л.Г. О зарождении дислокаций на внешних и внутренних поверхностях кристаллов // ФТТ. - 1967. - Т. 9. - № 8. - С. 23452349.
7. Malis T., LloydD.J., Tangri K. Dislocation generation from grain bound-
aries in nickel // Physica status solidi (a). - 1972. - V. 11. - No. 1. -P. 275-286.
8. Murr L.E. Some observations of grain boundary leades and leadges as dislocation sources in metals and alloys // Met. Trans. Ser. A. - 1975. -V. 6. - No. 3. - P. 505-513.
9. Кайбышев О.А., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. -М.: Металлургия, 1987. - 214 с.
10. Цигенбайн А., Плессинг Й., Нойхойзер X. Исследование мезоуров-ня деформации при формировании полос Людерса в монокристаллах концентрированных сплавов на основе меди // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - С. 5-20.
11. Makarov P. V. Localized deformation and fracture of polycrystals at me-solevel // Theor. and Appl. Frac. Mech. - 2000. - V. 33. - P. 23-30.
12. BalokhonovR.R., MakarovP.V., Romanova V.A., SmolinI.Yu. Simulation of crystal plasticity under dynamic loading // Computational Materials Science. - 1999. - P. 355-361.
13. Liu Qing, Hansen Niels, Microstructural study of deformation in grain boundary region during plastic deformation of polycrystalline aluminium // Materials Science and Engineering. - 1997. - V. A234-236. - P. 672675.
14. Balokhonov R.R., Stefanov Yu.P., Makarov P. V., Smolin I.Yu. Deformation and fracture of surface hardened materials at the meso- and macrolevels // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 2000. - V. 33.-P. 9-15.
15. Makarov P. V., Romanova V.A. Mesoscale plastic flow generation and development for polycrystals // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 2000. - V. 33. - P. 1-7.
16. Романова В.А. Моделирование развития пластической деформации с учетом зарождения дефектов на границах раздела // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 3. - P. 73-79.
17. Wilkins M.L., Guinan M.W., Plane stress calculations with a two dimensional elastic-plastic computer program, UCRL-77251, University of California, Lawrence Livermore Laboratory, 1976.
18. HampelА. andNeuhauserH. Investigation of slip line growth in F.C.C. Cu alloys with high resolution in time // Phys. Stat. Sol. (a). - 1987. -104. - P. 171-181.
19. Toyooka S., Widiastuti R., Zhang Q., Kato H. Dynamic observation of localized strain pulsation generated in the plastic deformation process by electronic speckle pattern interferometry // Jpn. Appl. Phys. - 2001. -Vol. 40. - P. 873-876.
20. Trojanova Z, Grouger V, Stelzhammer J., Bischof G. Discontinuous flow in Cu-2Be at various strain rates // Materials Science and Engineering. - 1997. - V. A234-236. - P. 449-452.
21. Deschamps A., Le SinqL., BrechetY., Embury J.D., Niewczas M. Anomalous strain hardening behaviour of a supersaturated Al-Zn-Mg alloy // Materials Science and Engineering. - 1997. - V. A234-236. -P. 477-480.
