Моделирование переноса примеси в стратифицированной среде методом крупных вихрей Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Н.Т. Данаев, А.У. Абдибеков, А.А. Исахов, А.К. Хикметов, 2009

УДК 519.63; 519.684

Н. Т. Данаев, А. У. Абдибеков, А.А. Исахов,

А.К. Хикметов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ПРИМЕСИ В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ МЕТОДОМ КРУПНЫХ ВИХРЕЙ

Приведены результаты моделирования распространения ракетного топлива выбрасываемое в стратосфере в процессе продувки баков первой ступени РН. Модель построена на основе нестационарных трехмерных уравнений гидродинамики, записанных для стратифицированной среды. В результате моделирования получены физические закономерности механического взаимодействия паров ракетного топлива с окружающей средой.

Ключевые слова: турбулентность, стратифицированная среда, метод крупных вихрей, компактные схемы, распараллеливание.

апуски ракет с космодромов оказывают сильное негативное воздействие на стратосферу. Предметом исследования настоящей работы является моделирование распространения топлива первой ступени ракетоносителя. Необходимо отметить, что первая ступень ракетоносителя поднимается до высоты 45 - 50 км и общий вес отработанного топлива, выброшенного в атмосферу в течение 200 - 220 с. составляет 400 - 420 т. Зная количество отработанного топлива в атмосфере, можно смоделировать дальнейшую динамику процессов его распространения. Размеры облака определяются количеством пролитого топлива, временем с момента начала формирования облака и свойствами среды. Этап динамики перемещения и трансформации аэрозольного облака, собственно, и является предметом математического моделирования.

1. Математическая модель. Крупномасштабные движения в стратосфере приближенно описываются системой уравнений, включающей уравнений движения, уравнения неразрывности и уравнение концентрации. Рассматривается развитое пространственное турбулентное течение стратифицированной атмосферы.

Зц | Зи,ц _ Зр 1 З (Зц ^ (1)

• н-----------—-------------н

^ ах, дх1 Re ах,

ах,

і у

ах,

аи,

— 0 (і —1,2,3).

ах.

(2)

гДе ті, — иіи, - иіи,

Для моделирования распространения продуктов сгорания ракетного топлива в озонном слое используется трехмерная модель переноса активной примеси в стратосфере

ас аи,с а

------1--------—-------

а ах ах.

(4)

П - коэффициент диффузий,

м1 - компоненты скорости, ат = у4 /Рг.

В качестве модели турбулентности используется динамическая модель Смагоринского. Для применения динамической модели проводится двойное осреднение с длиной фильтра А = 2А, тогда

аи аи,и1 ар 1 а

^ ,— — ——+ -

аі ах,

ах Re ах,

ах

ати а(иіиі- и]иі)

ах, ах,

(5)

Уравнение (1), подвергнутое осреднению с двумя фильтрами длиной А и А соответственно, имеет следующий вид:

Зи1 Зи] Ц Зр 1 З (Зи, ^ Зт^

■ + ‘

а ах,

• + -

ах Re ах,

ах

V , У

ах, ах,

(6)

где т — и,иі - и,иі , из (5) и (6) следует т — ту + и,иі - и,иі, тогда Т имеет следующий вид: Т - 15і,Ткк — -2(С3А)2^^,)1^, , а на-

3

пряжения Леонарда имеют вид

Ч- ^Ькк —-2(с8)2

3

(А)2(28ч8ч)1/28ч-(А)2(28ч8ч)1/28ч

(7)

Из (7) при использовании метода наименьших квадратов находится значение С8 в виде

С =-1^, где Ын =

(А)2(28і,8і,)1/28ч-(А)2(28ч8ч)1/28і,

Для нестационарного трехмерного уравнения движения, неразрывности и концентрации определены начальные и граничные условие удовлетворяющие уравнениям.

2. Численный алгоритм. Численное решение системы (1) -(4) проводится на разнесенной сетке с использованием схемы против потока второго типа и компактной аппроксимации для конвективного члена [1-5]. Для решения задачи с учетом выше предложенной модели турбулентности используется схема расщепления по физическим параметрам. На первом этапе предполагается, что перенос количества движения осуществляется только за счет конвекции и диффузии. Промежуточное поле скорости находится методом дробных шагов, при использовании метода прогонки. На втором этапе, по найденному промежуточному полю скорости, находится поле давления. Уравнение Пуассона для поля давления решается методом Фурье в сочетании с методом матричной прогонки, которая применяется для определения коэффициентов Фурье [6]. На третьем этапе предполагается, что перенос осуществляется только за счет градиента давления. Алгоритм задачи распараллелен на высокопроизводительной системе.

— * — П

I) и ~и =-(Уипи* -Ми*)

ттл л уИ*

II) Ар =------

ип+1 - и*

III) -------— = ~Ур.

т

3. Результаты численного моделирования. Для детального исследования загрязнения стратосферы задача решается в условиях присутствия сносящих боковых потоков воздуха в средней атмосфере. Для решения задач были заданы начальные и граничные условия и количество отработанного топлива первой ступени ракетоносителя. В расчетах использовалась сетка размерами 100х100х100. На рис. 1 изображены фрагменты распределения концентрации продуктов горения на горизонтальной плоскости относительно поверхности земли на высоте 30 км в различные моменты времени. Полученные результаты показывают, что концентрация продуктов горения распространяется на большую площадь, чем динамическое поле возмущения. Со временем динамическое поле затухает, а поле концентрации переходит в состояние пассивной примеси и еще долго мигрирует по стратосфере.

б

а

в

Рис. 1. Распределение концентраций продуктов горения ракетного топлива через 6, 12, 15 ч. после старта ракетоносителя а - в соответственно, высота 30 км

а

б

в

Рис. 2. а - б изоповерхность распределения концентрации продуктов горения ракетного топлива через 12 и 15 ч. после старта ракетоносителя соответственно и в - аэрозольное облако продуктов горения ракетного топлива в сечениях, высота 30 км

Проследить дальнейший путь концентрации в стратосфере после их переноса из расчетной области также проблематично, так как необходимо будет моделировать большие масштабы. На рис. 2, a, б изображены изоповерхность распределения концентрации продуктов горения после 12 и 15 часов на горизонтальной плоскости относительно поверхности земли на высоте 30 км. На рис. 2, в представлено аэрозольное облако продуктов горения ракетного топлива в сечениях.

---------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Флетчер К. Бычислительные методы в динамике жидкостей: Б 2-х томах: Т.2. - М.: Мир, 1991. 552 с.

2. Роуч П. Бычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1972. 612 с.

3. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. - М.: Наука, 1990. 230 с.

4. Пейре Р.,Тейлор Т. Бычислительные методы в задачах механики жидкости. - Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 352 с.

5. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физике. - Н: Наука, 1967. 197 с.

6. CaMapcKm А. А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. 432 с.

ЕИЭ

Danaev N. T., Abdibekov A. U., Isakhov A.A.,

Khikmetov A K.

MODELLING TRANSFER OF AN IMPURITY IN THE STRATIFIED ENVIRONMENT BY LARGE EDDY SIMULATION METHOD In this work modelling of distribution of rocket fuel which throw out in a stratosphere during a purge of tanks offirst step of rocket carrier The model is constructed on the basis of the non-stationary three-dimensional equations of the hydrodynamics which has been written down for the stratified environment. As a result of modelling are received physical laws of mechanical interaction between vapour of rocket fuel with an environment.

Key words: Turbulence, stratified environment, large eddy simulation, compact scheme, parallelize.

— Коротко об авторах ---------------------------------------------------

Дaнaев Haргозы Турсынбaевич - доктор физико-математических наук, академик НИА РК, директор ДГП НИИ ММ,

E-mail: Nargozv.Danaev@kaznu.kz

Абдибеков Aбугaмил Уaлихaнович - Ph.D доктарант, научный сотрудник ДГП НИИ ММ, E-mail: abugamil@mail.ru

Исaхов Алибек Абдшшимович - магистрант, научный сотрудник ДГП НИИ ММ, E-mail: aliisahov@mail.ru, aliisahov@rambler.ru Хикметов Асшр Кусупбекович - магистр, старший научный сотрудник ДГП НИИ ММ, E-mail: kivt@mail.ru