CC BY
61
УДК 629.732
Ю.А.Геложе, П.П.Клименко
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ УГЛА КРЕНА
Аналитическое исследование системы стабилизации с учетом нелинейности с бесконечным числом разрывов практически неосуществимо. Поэтому для анализа подобных систем широко применяются методы моделирования.
Моделируемая система стабилизации заданного угла крена описывается нелинейным дифференциальным уравнением [1]:
при начальных условиях: у(0) и С^, где 1, 1 - коэффициенты, зависящие от
СИ
параметров летательного аппарата и автопилота; Б(у) - пилообразная характеристика датчика углов.
Подробный анализ поведения нелинейной системы стабилизации при различных ее параметрах и заданных углах крена позволяет определить какие ее свойства и параметры подлежат адекватному отражению в модели.
Модель должна описываться нелинейным дифференциальным уравнением, причем все его коэффициенты должны быть ненулевыми. Нелинейность должна быть пилообразной. Задающее воздействие может быть ограниченным. Коэффициенты дифференциального уравнения должны изменяться в широких пределах, чтобы формируемый локальный переходной процесс мог быть и апериодическим и затухающим колебательным. Начальные условия по скорости должны изменяться в широких пределах. Максимальное значение начальной скорости должно значительно превышать скорость автономных процессов в системе. Начальные условия по положению могут быть ограниченными.
Для определения свойств системы должна быть создана возможность наблюдения поведения системы в пространстве состоянии. При этом система устойчива в "целом", если каждый раз наблюдаемый процесс заканчивается в точке покоя, и система статистически устойчива, если хотя бы один раз наблюдаемый процесс закончился орбитальным движением (движением по траектории предельного цикла).
Как будет показано ниже, наиболее простой и адекватно передающей свойства системы стабилизации заданного угла крена является модель, выполненная на основе системы автоподстройки частоты.
Импульсный режим этой системы необходим для того, чтобы сформировать пилообразную характеристику фазового дискриминатора,
адекватную пилообразной характеристике датчика углов крена. При этом достаточно в состав фазового дискриминатора включить генератор пилообразного напряжения.
Дифференциальное уравнение системы фазовой автоподстройки частоты имеет вид [2]:
СІ2ф 1 СІф Оу . 1
—І- +------ + -г1- Р(ф) = ^—Оі , (2)
а2 То л об об ^
где ф - разность фаз сигналов управляемого и опорного генераторов;
Тф - постоянная времени резистивно-емкостного фильтра нижних частот;
Оу - полоса удержания;
- начальная расстройка;
Б(ф) - нормированная характеристика фазового дискриминатора.
Сравнение дифференциальных уравнений (1) системы стабилизации заданного крена и (2) системы фазовой автоподстройки частоты показывает, что они идентичны.
При этом аналогом угла крена в системе фазовой автоподстройки частоты будет разность фаз, а аналогом заданного угла крена начальная расстройка.
Поскольку все ветви характеристики датчика углов крена имеют один и тот же единичный наклон и одинаковую зону действия, равную 2п, математическое выражение характеристики датчика углов будет иметь вид:
Р(у) = (у + 2пк), к = 0,±1,±2,... (3)
Учитывая, что угол крена у0 и у0 ± 2пк, к = 0, 1, 2,... соответствует одной и той же ориентации корпуса летательного аппарата (ЛА) по крену - у0, для любой ветви характеристики датчика углов выражение (3) можно записать в виде:
Р(У) = У . (4)
При этом дифференциальное уравнение (2) будет иметь вид:
С2У Л I ■ \Су I ■ I ■
С2 + (1 ( + 18у' у ) + 15у' уУ = 15у> уУ 3
Дифференциальное уравнение (5) справедливо для любой ветви характеристики датчика углов и может использоваться для решения дифференциального уравнения методом сшивания решений для каждой отдельной ветви характеристики датчика. Отметим, что сшивание автоматически учитывает вращение корпуса ЛА, т.е. изменение углов крена на 2 лк, к = 0, 1, 2...
Уравнение (5) может быть представлено в виде стандартного дифференциального уравнения колебательного звена:
+ 2СІП оСт + а2^ = П 2 У 3. (6)
Л2 от
Это дифференциальное уравнение также справедливо для любой ветви характеристики датчика углов.
Коэффициент демпфирования и собственная частота системы связаны следующим образом с параметрами объекта управления и автопилота:
С = 1 г + 15у|Т , (7)
5у1 у
О 0 = у)' 5у1 у ■ (8)
Учитывая идентичность характеристик датчика углов и импульснофазового дискриминатора и то, что наклон характеристики дискриминатора равен 1/л , запишем дифференциальное уравнение (2) в виде, подобном дифференциальному уравнению (5):
СІ2ф 1 СІф Оу 1
—^- +------ + ^^ф = ^Оі . (9)
СИ2 Тб Л Об л Об ^
Отметим, что это дифференциальное уравнение справедливо для любой ветви характеристики импульсно-фазового дискриминатора.
Из сравнения дифференциальных уравнений (5, 6 и 9) следует, что последнее дифференциальное уравнение также можно представить в виде стандартного дифференциального уравнения колебательного звена:
^ + 2<С, О 01 + О2, ф = О 0, лу зі, (10)
сіг от
где: ём - коэффициент демпфирования фазовой автоподстройки частоты; Оом - собственная частота системы фазовой автоподстройки частоты; у3н - относительная начальная расстройка системы фазовой
автоподстройки частоты.
Математические выражения для вновь введенных коэффициентов дифференциального уравнения и относительной начальной расстройки имеют вид:
1
¿01 = . (11)
001 =
О убб
\ п
0 у
бо п
О1
0 у
(12)
(13)
Для обеспечения полной идентичности дифференциальных уравнений (6) и (1о) введем понятие нормированного заданного значения угла крена:
У 31 . (14)
п
Приведенная нормировка введена, поскольку максимальное значение левого и правого крена составляет п. С учетом выражения (14) дифференциальное уравнение системы автоматической стабилизации заданного крена будет иметь вид:
—2т + 0“0о “¡т + 00У = 0опУ э[ . (15)
Из сравнения дифференциальных уравнений (15) для исследуемой системы
стабилизации заданного крена и (1о) для системы фазовой автоподстройки
частоты видно, что они одинаковы, следовательно, предлагаемая модель правомерна.
Для качественной оценки переходного процесса в системе стабилизации крена, а именно выяснения того совершает ли ЛА несколько полных оборотов вокруг своей оси до установки заданного крена, или устанавливает его без "бочкообразного" вращения, или как устанавливается заданный крен- с колебаниями или плавно, каков исход переходного процесса - устанавливается заданный крен или система входит в режим устойчивых колебаний, достаточно параметры модели выбрать так, что
ам = а , (16)
а О0м - выбирается достаточно большим, чтобы процессы в модели протекали быстро и за короткое время можно было провести большое количество экспериментов.
Если же требуется дать количественную оценку переходных процессов, то необходимо ввести масштабный коэффициент. При этом следует учесть, если коэффициенты демпфирования сравниваемых систем одинаковы, то
переходной процесс будет протекать быстрее в той системе, для которой
собственная частота выше, поэтому масштабный коэффициент, в соответствии с его определением из картографии, следует определять по формуле
I = -0°- . (17)
О 01
Тогда время переходного процесса в системе стабилизации заданного крена будет следующим образом определяться из времени переходного процесса в модели
^ , (18)
где 1перм - время переходного процесса в модели.
Разработан стенд для моделирования процессов в автоматической системе стабилизации угла крена на основе системы фазовой автоподстройки частоты, позволяющий на экране осциллографа наблюдать фазовый портрет системы. Лабораторные испытания этого стенда показали следующее. Для системы с коэффициентом демпфирования меньше 0.2 и нормированной расстройкой, приблизительно равной 0.8, обнаружены случайные отказы в установлении состояния покоя, при этом на фазовой плоскости обнаруживался предельный цикл. Таким образом, исследуемая система неустойчива в “целом”. Поскольку с некоторой определенной вероятностью в системе устанавливается состояние покоя можно утверждать, что эта система устойчива статистически.
1. Доброленский Ю.П., Иванова В.И., Поспелов Г.С. Автоматика
управляемых снарядов. - М.: Государственное научно-техническое
издательство Оборонгиз, 1963.
2. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. - М.:Связь,1982.
