Моделирование параметров наддува свободного пространства контейнера при газодинамическом выбросе летательного аппарата с учетом свойств реального газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.762

Моделирование параметров наддува свободного пространства контейнера при газодинамическом выбросе летательного аппарата с учетом свойств реального газа

© А.В. Плюснин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрен процесс наддува свободного пространства контейнера из баллона высокого давления, предшествующий газодинамическому выбросу летательного аппарата. Выполнены сравнительные расчеты этого процесса в квазистационарном приближении с использованием уравнений состояния идеального и реального газа. Показана необходимость учета отклонений термодинамических свойств рабочей среды от идеально-газового поведения для правильного определения запаса газа в баллоне и изменения температуры в наддуваемых объемах.

Ключевые слова: контейнер, кольцевое пространство, наддув, идеальный газ, реальный газ.

Постановка задачи. Подводный газодинамический выброс летательного аппарата (ЛА) из контейнера по минометной схеме [1] сопровождается комплексом сложных физических явлений [2]. Математическое моделирование этих явлений позволяет точнее определять нагрузки на корпус ЛА, контейнер и платформу, с которой осуществляется газодинамический выброс, и оптимизировать на этой основе проектные параметры соответствующих технических систем.

Ввиду сложности и взаимосвязанности явлений, процесс их математического моделирования имеет несколько уровней — от наглядных инженерных оценок до применения современных методов расчета нестационарных пространственных газопарожидкостных течений. При этом побудительным мотивом для разработки усложненных математических моделей является степень несоответствия результатов, которые дают более простые подходы, экспериментальным данным [1, 2]. Можно говорить о своеобразной реализации стратегии математического моделирования, описанной в работе [3].

Ряду аспектов определения параметров силовых воздействий при подводном газодинамическом выбросе посвящены работы [4-7], относящиеся к движению ЛА в свободной воде, работа [8], относящаяся к расчету силовых воздействий, сопровождающих выход ЛА из контейнера, работы [9-11], относящиеся к участку движения ЛА в контейнере.

Тематика настоящей статьи примыкает к вопросам математического моделирования физических явлений, сопровождающих движение ЛА в контейнере при подводном газодинамическом выбросе.

Подводный газодинамический выброс ЛА из контейнера по минометной схеме [1] может сопровождаться интенсивным втеканием воды в кольцевое пространство (КП) между корпусом ЛА и внутренней стенкой контейнера, повышением там давления среды и разрушением корпуса ЛА [2]. Это явление можно предупредить, выполнив заранее наддув свободного пространства контейнера до уровня наружного гидростатического давления [2, 12]. Предполагается, что до наддува свободное пространство контейнера заполнено азотом при давлении р0 =1 бар и что наддув

производится также азотом из баллона высокого давления, что позволяет избежать вторичного догорания в задонном пространстве (ЗП) контейнера продуктов сгорания энергоустройств газодинамического выброса [1, 2, 9, 12].

В данной статье процесс предварительного наддува свободного пространства контейнера был смоделирован в рамках квазистационарного приближения с использованием уравнений состояния идеального и реального газа. Схематизированная геометрия задачи показана на рис. 1, числовые значения исходных данных приведены в табл. 1. Все числовые значения в тексте, в таблице и на графиках выражены в стандартных единицах системы измерений (СИ), за исключением значений давления, которые выражены в барах. В формулах использованы только стандартные единицы СИ (давление выражено в паскалях, температура — в кельвинах).

Таблица 1 Исходные данные задачи

Параметр Значение, м2

Обн 6-10-3

О кп 3-10-1

О зп 1-10"1

^ бн/кп 110-4

^кп/зп 1-10"3

- 3 -Пвн \ у ■^вн/кп

4--- у ^/-'кп/зп

5 ^«зп

1 Рис. 1. Схематизированная геометрия задачи: 1 — корпус ЛА; 2 — кольцевое пространство; 3 — кольцевой баллон наддува; 4 — контейнер; 5 — задонное пространство

Процесс опорожнения баллона наддува (БН) неправомерно рассчитывать в рамках модели идеального газа. Под идеальным здесь понимаем газ, молекулы которого между собой не взаимодействуют [13, 14]. При условиях, реализующихся в процессе наддува в КП и ЗП, нет необходимости учитывать свойства реального газа, но при этом отсчеты энтальпии и энтропии необходимо согласовывать с используемыми зависимостями для реального газа. Представляется удобным проводить расчет по единым зависимостям для реального газа. При этом данные по термодинамическим свойствам азота приняты согласно работе [15]. Результаты расчета в рамках модели идеального газа приведены для сравнения.

Инженерная методика расчета. Простейший способ расчета состоит в том, что массы газа даби*, заправляемой в баллон системы наддува, должно быть достаточно для обеспечения в объемах КП и ЗП заданного давления рнадд при заданной начальной температуре

среды Тнач. Зафиксируем значения 1нач = 290 К и рнадд = 7 бар для

дальнейших вычислений. Значение газовой постоянной азота Я^ = 296,8 Дж/(кг • К) принимается, как в работах [15, 16]. Величины удельных теплоемкостей Съ = 743 Дж/(кг • К), С=1041 Дж/(кг • К)

выбраны в соответствии с нормальными условиями [15] (это данные для реального газа, поэтому формула Майера Ср - Съ = Ящ не обязана выполняться точно), что дает показатель изоэнтропы у=Ср/С^ =1,399. Для данных табл. 1 получаем:

т(0) = Рнадд (^кп +^зп + ) - Ро (^кп +^зп ) ^ 2 837 кг (1)

ЯМ2 Тнач

Свойства реального газа в рассматриваемом подходе учитываем лишь при определении через коэффициент сжимаемости

р(0) (о)

2 бн——давления в БН рбн), обеспечивающего при задан-

Я^2Тнач

ной температуре Тнач необходимую массу заправки дабн). Если считать газ идеальным (2 = 1), то для начального давления в БН полу-

(о)„ Т

(0) тбн КМ21 нач _

чим значение рбн =-2-~ 407 бар.

^бн

Формула (1) никак не учитывает динамику процесса истечения и соответствует предельно медленному изотермическому процессу. Для того чтобы ввести в нее фактор времени, можно воспользоваться

соотношением баланса механической энергии (уравнение «живых» сил) для одномерного стационарного течения газа [17, 18]:

d ( v2/2 ) + udp = 0.

(2)

Здесь V — скорость газа; и — удельный объем. Пусть задан термодинамический процесс, сопровождающий движение материальной частицы от состояния I к состоянию II. Тогда из дифференциального соотношения (2) получаем интеграл Бернулли:

pii

0,5 ( v2u - v^ )+ J и dp = 0.

(3)

pi

pii

Интеграл J и dp однозначно определен уравнением состояния

pi

и заданным термодинамическим процессом.

Поскольку теплопроводность газа мала, материальные частицы в процессе истечения из БН находятся в условиях, близких к адиабатическим. Учитывая возможность звукового и дозвукового режимов истечения, получаем следующую обобщенную зависимость для расчета массового расхода газа между двумя объемами с давлениями и температурами pj, Tj ( j = 1,2 ), проходное сечение между которыми имеет площадь Х^:

G ({pi, Ti}, {p2, T }, Х12 )= <

0 ph = PI , ^Ф( pi/p h ), pl < ph < Kpl , (4) въ ph ^ kPI ,

где

K =

h=(2,ppi * l=3 - h; B2 Л*!; Ф(^)=^2/ Y-^A .

l2, pi<p2; \y-i

Bi =

f л(7+1)/(2(7-1))

Y+i

Vy . В

частности, расход из

БН в КП есть величина Сбн = О ({Рбн, Тбн}, {Ркп> Ткп}> Хбн/кп )> а расход

из КП в ЗП есть величина Окп/зп = О ({Ркп, Ткп }, {Рзп, Тзп }, ^кп/зп ) .

Уравнения баланса массы газа в объемах БН, КП и ЗП описывают простыми соотношениями:

dm,

бн

dt

:-^бн (t),

dt

~-&бн (t) ^кп/зп (t),

m dt

^кп/зп ( t ). (5)

Давление вычисляют по уравнению состояния идеального газа. Имеем:

тбн Я"2Тбн ткп Я"2Ткп тзп Я"2Тзп ^бн = ~' Р™ =—^-, рзп =-. (6)

бн кп зп

Уравнение баланса энергии при адиабатическом втекании/вытекании газа в объем с массовым расходом Оы Юш имеет вид:

^(ти)=Ср (С1пТ1п -СШТ),

где т — масса; и = СУТ — удельная внутренняя энергия в объеме; ТПп — температура торможения втекающего газа; Т — средняя температура. Отсюда находим:

Т = (т-1)°бнТбн Т = °бн (ТТбн -Ткп )-(У-1)^кп/зпТкп бн ' кп '

тбн ткп

Т = ^"кп/зп (ТТкп Тзп ) (7)

зп т

зп

Из первого соотношения получаем адиабатический закон [14, 17] изменения температуры торможения внутри БН:

Т = Т

бн нач

/ лУ-1

тбн

у тбн у

(8)

Результаты расчета по формулам (4)-(8) приведены на рис. 2-3 как расчет 1.

Расчет предсказывает сильное охлаждение газа внутри баллона (температура торможения опускается ниже критической температуры азота ТЫ1 = 126,2 К [15]). Пониженную температуру предсказывают также в промежуточном объеме (КП). Зато в конечном объеме (ЗП) температура возрастает заметно выше начальной Тнач. С качественной точки зрения это понятно, ведь работа проталкивания, отобранная в БН, реализуется в конечном объеме в виде избыточной энергии. Ввиду развитых в КП и ЗП поверхностей стенок, на указанные результаты может существенно повлиять процесс теплообмена. Ясно, что результаты, полученные в рамках адиабатического идеально-газового приближения, не вполне удовлетворительны. Для их коррекции целесообразно проанализировать влияние трех факторов: уравнения состояния (УС) реального газа, пространственного характера газодинамического течения, теплообмена на стенках и в газе. Ниже рассмотрим только влияние первого из этих факторов.

о я

V ----^

1 2- / / — / /

| зу / / / --------

¥ //

Д\[А

9

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Время, г

Рис. 2. Давление среды:

1-3 — КП; 4-6 — ЗП; 7-9 — БН102; штриховая линия — расчет 1; сплошная тонкая линия — расчет 2; сплошная толстая линия — расчет 3

450 400

350 , 300

е-ч

яГ

1 250

я

I" 200

7.

н 150 100 50

7=—С 1 2 / 3 /

..................... —г-

ч\ Учч \ч \\ Ч Ч ,5 V ----- - - -----

\\ N \\ Ч ч \

___7 ТСги /

/

—.......

9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

Время, I

Рис. 3. Температура среды:

1-3 — ЗП; 4-6 — КП; 7-9 — БН; штриховая линия — расчет 1; сплошная тонкая линия — расчет 2; сплошная толстая линия — расчет 3

Описание термодинамических свойств реального газа. Газы и жидкости обычно рассматривают в термодинамике как двухпара-метрические среды [14, 17]. Состояние таких сред определяется либо

заданием калорического и = и (и, Т) и термического р=р (и, Т)

уравнений состояния, либо заданием любого из термодинамических потенциалов (ТДП) [14, 17].

Например, уравнение состояния воды и водяного пара [19] определяется в нескольких характерных областях заданием энергии Гельм-гольца F = и - TS в переменных и, Т (изохорно-изотермический потенциал) и энергии Гиббса О=Н - Т£ в переменных р, Т (изо-барно-изотермический потенциал), где Н = и + ри — энтальпия (параметры F, О, Н, £ отнесены к единице массы вещества); £ — энтропия.

Для идеального газа, если его теплоемкость считать постоянной, при всем удобстве калорического УС и(Т) = Си(Т-Т0) + и(Т0),

внутренняя энергия полностью определяет термодинамические свойства только при задании ее как изохорно-изоэнтропийного потенциа-

ла выражением и (и, £)=СиТ0

Цс

V и /

-1

+и (и, £о) [ 1 4] .

Характерные свойства ТДП, в частности существенность выбора их аргументов, определяются видом основного тождества термодинамики [14, 18]:

Тё£=аи + рёи. (9)

и математическими свойствами полных дифференциалов функций. Соотношение (9) «сопрягает» переменные Т, £ и р, и как обобщенные силы и координаты, и эти пары не могут являться аргументами какого-либо ТДП.

Достоверное знание термического УС и параметров вещества в идеально-газовом состоянии позволяет получить полное УС двух-параметрической среды [13]. Будем считать, что при опорном значении давления р° = 1,01325 бар известны идеально-газовые зависимости энтальпии Н° (Т) и энтропии £° (Т) от температуры. При этом энтальпия идеального газа, как и внутренняя энергия, значением температуры определяется однозначно: НИГ (р, Т)=Н° (Т).

Для энтропии идеально-газовые изотермические изменения имеют вид универсальной зависимости от давления (или удельного объема). Действительно, согласно соотношению (9) и УС Клапейрона — Менделеева, получаем:

Тс£ = 0 + рё (%2 ТI р ) = -Я^2 Тёр/р,

откуда:

v (p, T) = S° (T)-rN2 ln (p/p°). (10)

Опорному значению давления p° и данному значению температуры T соответствует значение:

u° = rNt/p° (11)

удельного объема.

Поскольку переменные p, и термического УС сопряжены, есть

две возможности: вычислять F = F (и, T) либо G = G (p, T). Пусть, например, необходимо вычислить значение F (и, T) энергии Гельм-

гольца реального газа. Из определения энергии Гельмгольца и из формулы (9) легко получить тождество:

dF = -pd u-SdT. (12)

Отсюда видно, что приращение F в изотермическом процессе противоположно по знаку работе, совершенной системой (в нашем случае — малым материальным объемом среды). По этой причине зависимости p=p (и, T) достаточно для вычисления приращения F

в изотермическом процессе. Получив УС в виде F = F (и, T), можно

затем вычислить энтропию как:

S = -(3F/3T . (13)

В пределе u=^ (p = 0) исчезает взаимодействие между молекулами реального газа, и его свойства становятся тождественными свойствам идеального газа. Учитывая это, интегрируем (12) при постоянном значении T сначала по изотерме идеального газа от u=u° до u=~, затем по изотерме реального газа от u=^ до заданного значения и [13]:

/ л

и <»

F (u T)-Frn (u°, T )=- J Ррг (Я T)d u-J Риг (u,T )du

и и

---j(ppr (u t)-Rn2tiu)du- j rn2t/udu =

~ u°

и

" j(ppr (u, t)-Rn2tiu)du-Rn2tln(u/u°).

Положим

«=

Р

1

pcrit up crit pcritRN2T

-1

где р = и , рсН1 — плотность среды и ее значение в критическом точке. В таком случае:

Г Р рсги^N2^ ^

ln (u/u°) =—ln

=-ln («/«0).

(14)

Pcrit p

V У

В результате для реального газа имеем следующую формулу:

u

Fpr (u, T ) = F^ (u°, T) —J( ppr (u, T)— Rn2 T/u) d u+RnT ln (««) (15)

В работе [15] предложено единое уравнение для жидкого и газообразного состояний азота вида (pcrit = 313,1 кг/м2):

Ррг (u t) =

RN2T

u

n m

1+II bij «V тj

i=1 j=0

(16)

где fyj — числовые коэффициенты, т = T/Tcrit. Для данной зависимости интеграл в правой части формулы (15) равен:

u n mi u

J(ppr (u, T)—Rn2T/u)du=Rn2TЦ bu J«vT du/u =

i=1 j=0

n mi

n mi

=RN2T II Ъи1 рсги Т | du/U+1 II Ъч «/ (г Т).

I=1 ]=0 I=1 ]=0

Для идеального газа по формулам (10), (11), (13) получаем: ФигРТ=^ИГ (RN2т/и ,Т)=-S° (т)+RN21п(р7р°)=-S° (Т). Тогда по формулам (13)—(15) находим

SPГ (и,Т)=-(дРг/ЭТ° (т)-RN21п(««)-

n mi

— RnT«. II i "'bi,«iYT (т—-)

i=1 j=0

YT

n m

=S0 (T)—Rn2 ln (««0)+Rn2 II — bij «/ Tj.

(17)

i=1 j=0

о

Отметим, что в соответствующей формуле (2.28) работы [15] имеется опечатка в знаке перед логарифмом.

Для того чтобы получить для энтальпии представление вида (16), (17), находим далее:

Р-Г (и, т) = (НИГ (и, т)-)-TSШ■ (р°, т)=Н° (Т)-RN2T-TS° (Т), НрГ (и, Т)= Ррг (и, Т)+ррг (и, Т)и+TSpг (и, Т)=р-Г (и, Т) +

пЩ ( п Щ

+RN2TXX «/ (/Т)+RN2Т 1п (««)+RN2T 1+ХХ «/т

+

п т1

+ TS° (Т)-RN2Т 1п(««0)+RN2ТXX Ъч «Vт.

1=1 ]=0 1

В результате упрощений приходим к формуле [15]:

п т1

п т1 1 + 1

НРГ (и, Т)=Н- (Т)+RN2TXX —IЪч «Vт1.

I — 1 V —П I

(18)

1=11=о

Для дальнейших расчетов потребуется выражение для скорости звука. По общему определению [14] эту величину находят по формуле а = ^(Эр/Эр)я . Зависимость аРГ (и, Т) вида (16)—(18) для азота

приведена в работе [15] без вывода, как и зависимости для других термодинамических свойств. Основываясь на структуре приведенной зависимости, можно полагать, что исходным для ее получения явилось соотношение типа [20]:

г з« л с { з« л

. (19)

Эр

Эи

Ср (Эр

■2

VЭuЖ

Поскольку Эр/Эи = -и (Эр/Эр), то в формуле (19) можно увидеть соотношение между лапласовой (адиабатической) и ньютоновой (изотермической) скоростями звука [21]. Тем не менее в приложениях к инженерным расчетам это и множество других функциональных соотношений термодинамики не кажутся очевидными. В работах [22, 23] соотношения, основанные на тождествах типа (9), определениях энергетических функций и общих функциональных связях между частными производными термодинамических параметров, представлены систематически, что облегчает их получение и проверку. Сравнительно прозрачный вывод формулы (19) получается следующим образом. Из изоэнтропийных условий, записанных в виде:

VЭp Ж

ёр +

чЭТ УР

ёТ = 0,

VЭUyT

ё и+

чЭТ Уи

ёТ=0

выразим отношение дифференциалов ёр/ёи|Б = (Эр/Эи)Б , что дает: (Э /Эи) Эц)т (ЭБ'ЭТ)Р

(Эр/Эи)Б-Щщ; ■

Первую дробь в правой части можно переписать как: (ЭБ/ди)Т _ ^/¿ц

(ЭБ/Эр )Т ёБ/ёр

=ёр/ёи|Т =(Эр/Эи)Т .

Вторая дробь преобразуется с использованием соотношения 8Q = ТёБ, определяющего структуру элементарного количества теплоты в балансе 8Q=ёи+рёи, устанавливаемом первым началом термодинамики [14, 24], и определения теплоемкостей:

(ЭБ/ЭТ)р = Т-1 ЭТ)р = Ср

(дБ/ЭТ)и Т"1 (8Q/ЭТ^ Си ■

В итоге получаем соотношение (19) Производную (Эр/Эр^ легко вычислить из формулы (16), тогда для скорости звука получим выражение [15]

а

РГ

(и, Т) =

-а

(0) РГ

I п Щ

,1+11( *+1) ь* ш/ т *,

V г=1 *=0

(20)

где арГ) = RN2 ТСр! С^ ■ Как видно, требуются еще выражения для Ср

и Си ■

По определению Сь=(^/ЭТ )и=(Эи/ЭТ )„ =(ЭИ/ ЭТ )и-и(Эр/ЭТ ^ [14] В результате подстановки выражений (16) и (18) имеем [15]:

п щ

Си = dH°/dT+RN2ЦЬ* шг/т* [(i+])^ + ^ + ]) -1+]]-RN2 =

г=1 *=0

п Щ * ( *-1)

С - RN2II**-1 т * ■

г*

(21)

г=1 *=0

Величины с; =(Эи%Т) = ёи°/ёТ и Ср = ёИ°/ёТ = С; + ^ идеально-газовые теплоемкости, связанные формулой Майера^

Т

Для энтальпии, аналогично тождествам (9) и (12), имеем:

TdS=ёИ -искр. (22)

Отсюда из определения энтальпии и теплоемкостей находим: Ср = (80/Эт)р =(ЭИ/Эт)р =(Э(и+ри)/дт^ + (дИ/ди)т (аи/эг)р =

=Си+(Эр/эт )и

' (ЭИ/Эи) л и

>т

(Эр/Эи)

т

Здесь дополнительно использовано общее тождество между частными производными от трех параметров, функционально связанных между собой [14]. Применительно к параметрам р, и, т ему можно придать вид:

(ЭиЭт) в =

(Эр/Эт х

р (Эр/Эи)т '

Подставляя выражения (16), (18), получаем формулу [15]:

С = С +-

Ял

и

п т

1 -11( j-1) ъи «/ т7

х

г=1 у=о

п т

и-

-и Км2т I=1 у=о

II (' + 7 ) «Vт7

-и-2ямт ^

= Си+

1+11(1+г) Ъу «/ту

,=1 У=о

2

' п т

1 -11( 7-1) Ъи «V ту

,=1 у=о_

п т

1+11(1+г) Ъи «V ту

,=1 у=о

(23)

Формулы (16)—(18), (2о), (21), (23) относятся как к газообразному, так и к жидкому состояниям азота [15].

В формулы (17), (18), (21) входят зависимости от температуры энтальпии и энтропии азота как идеального газа. Результаты расчета величин И° (т)-И° (о), ?° (т)-?° (о) по аналитическим уравнениям [15] сопоставлены на рис. 4 с данными [16], рассчитанными с шагом 8т = 1ооК. На рисунке аналитические зависимости обозначены сплошными линиями, а данные работы [16] — квадратами.

9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

-г 1—-1 —

2

- >— Ц —1 -- - --

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Температура, Т

Рис. 4. Идеально-газовые энтальпия и энтропия азота:

1 — изменение энтропии S (T) - S (0); 2 — изменение энтальпии (H° (T) - H° (0)) • 10-3

Расчет с использованием свойств реального газа. При учете свойств реального газа соотношения баланса массы (5) остаются в силе, а соотношения баланса энергии (7) заменяем более общими [9]:

ё (ткпикп) ё (тзпизп)

у кп кп / = ( и — ( Н = ( Н (24)

7, _ бн бн кп/зп кп> 7, _ кп/зп кп' V^ V

ш ё1

Истечение из БН описывается в соответствии с изоэнтропой реального газа. По исходным данным задачи получаем следующие начальные

значения параметров в БН: плотность рб) = 472,8 кг/м3; давление рбн = 616,49 бар; удельная внутренняя энергия иб^ = 3,804 • 105 Дж/кг;

удельная энтропия = 4699,8 Дж/(кг • К). Для сравнения начальные значения последних двух параметров в контейнере составляют и£) зп = 4,623 • 105 Дж/кг и бЩ зп = 6809 Дж/(кг • К), соответственно. На рис. 5 изоэнтропа азота Б = 4699,8 Дж/(кг • К) приведена в переменных р, Т.

По текущему значению массы газа в БН находим его плотность

Рбн = тбн/^бн , а затем по зависимостям Рбн = РРГ (рбн ,Ббн)), Тбн =

= Трг (рбн, 4?), Нбн = НРГ (рбн,4н ), полученным при помощи уравнений состояния (16)—(18), вычисляем текущие значения давления, температуры и энтальпии торможения. Вдоль изоэнтропы (рис. 5) изменяются не только значения этих параметров (во времени), но и состояния частиц, движущихся вдоль линий тока к выходному се-

чению БН. Это движение подчиняется интегралу Бернулли (3), в котором выражение должно вычисляться по УС реального газа.

В адиабатическом процессе, согласно (22), имеем ёИ = иф. Тогда интеграл (3) принимает вид:

о 5 у2 + Н = Н

' бн/кп бн/кп бн>

(25)

где И бн/кп, vбн/кп — энтальпия и скорость газа на выходе из баллона. зоо

250

„ 200

а 150

5? 13

| 100 н

50

100 200 300 400 Давление, р

500

600

Рис. 5. Изоэнтропа азота для = 4699,8 (1), линия насыщения азота (в переменных Р, т) (2) и метастабиль-ный участок (3)

Способ определения параметров в выходном сечении БН показан на рис. 6. Если, двигаясь от значения рбн к значению ркп (текущее

Нбн НРГ ( р, $бн

до-

давление в КП), скорость частиц газа V = у 2

стигает местной скорости звука а = аРГ (р, ), имеем случай звукового истечения. Это однозначно определяет местное давление рбн/кп, ск°р°сть Г-бн/кп = абн/кп и плотность Рбн/кп =РРГ (рбн/кп,?бн)) гa3a,

а также расход БН:

^"бн = рбн/кп^н/кп^бн/кп (26)

На этой стадии параметры течения в БН изменяются автономно от процессов в КП и ЗП. В противном случае имеем дозвуковое истечение, а параметры в выходном сечении БН определяются условием

рбн/кп = ркп: Нбн/кп -HРГ (ркп, ^бН ) , Убн/кп = >/2 (Hбн Нбн/кп ), рби,

=РРГ (" 0)

|ркп , S6 и)) .

Массовый расход из баллона вычисляем по формуле (26).

800 700 600 500 400 300 200 100

1

0,5й1

■><тг

--- 0,5V2

Лр - ^ /-'unci -— п ^ Рте - >рм

Кг штиче давлен ское ие : Дозвуковой п режим п Ркр г /'торм Давле гормон ние сения

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

Давление, р

Рис. 6. К определению параметров в выходном сечении БН:

1 — линия 0,5арг (p) + H рг (p) • 10-

; 2 — изоэнтропа H = H (р) • 10

Подобным же образом рассчитывают параметры в КП и ЗП. По текущим значениям массы и полной энергии газа вычисляют плотность р и удельную внутреннюю энергию и. Затем по этим значениям и зависимостям для реального газа находят другие параметры торможения: температуру, давление, энтальпию и энтропию. Для того чтобы рассчитать перетекание из КП в ЗП, на каждом шаге интегрирования соотношений (5) и (24) определяют свою изоэнтропу 5'кп (^) реального газа. После этого параметры ркп/зп, Нкп/зп =

= НРГ (ркп/зп, ¿кп ), Укп/зп =\]2 (Нкп -Нкп/зп ), ркп/зп =рРГ (ркп/зп, ¿ко )

вычисляют (см. рис. 6). Массовый расход вычисляют по формуле:

G

кп/зп '

" р кп/зп ^кп/зп^]

кп/зп'

(27)

При принятых исходных данных расчет по уравнениям (5), (24)-(27) удается провести примерно до момента времени 0,42 с, когда в выходном сечении БН достигается условие начала конденсации

(изоэнтропа ¿бн = 4699,8 Дж/(кг • К) выходит на линию насыщения,

см. рис. 5). Соответствующие значения давления и температуры торможения в БН равны рбн ~39,3 бар и Тбн =147 К. К этому моменту

баллон опорожняется более чем на две трети по массе.

Двухфазная изоэнтропа. Если считать, что при наступлении конденсации материальные частицы будут сохранять целостность (гомогенное течение [25, 26]), то условие адиабатичности (при внутреннем фазовом превращении) позволяет однозначно определить массовые

доли 8, g" жидкой и газовой фаз: = +g'+8"=1, где Б

£ " — удельные энтропии жидкого и газообразного азота на линии насыщения (ЛН). На рис. 7 построены зависимости плотности, энтальпии и массовой доли конденсата (в процентах) вдоль такой изоэнтропы.

Давление, р

Рис. 7. Зависимость плотности, энтальпии, массовой концентрации конденсата вдоль изоэнтропы в газовой фазе и на ЛН:

1 — энтальпия среды • 10 ; 2 — плотность (метастабильный участок); 3 — плотность среды; 4 — процент конденсата (по массе)

Распространить прежний подход на данный случай, по всей видимости, невозможно. Вычисление скорости звука вдоль двухфазной

изоэнтропы как а = ^(др/Эр)Б приводит к комплексному значению,

поскольку на этом участке (Эр/Эр)^ < 0 (см. рис. 7). Однако условия

термической и механической устойчивости [22] требуют, чтобы Си > 0, Ср > 0, (Эр/Эр)г > 0. Из соотношения (19) тогда вытекает неравенство (Эр/Эр)^ >0, т. е. участок двухфазной изоэнтропы является термодинамически неустойчивым.

Таким образом, от гомогенной модели двухфазного изоэнтропи-ческого течения приходится отказаться. Для того чтобы довести рас-

чет до конца, сохранив простоту расчетной схемы, воспользуемся другим подходом, основанным на рассмотрении метастабильных зависимостей. Примером служит учет при расчетах истечения продуктов сгорания из сопел двигателей задержки конденсации водяного пара, наблюдаемой на практике [27].

Метастабильная изоэнтропа. Как известно [14], уравнение Ван-дер-Ваальса качественно описывает не только эффект фазового перехода «газ — жидкость», но и возможность существования метастабильных состояний вещества. Метастабильный участок изоэнтропы

4°н}= 4699,8 Дж/( кг • К) оценивался по УС работы [15], сходные значения дает и известное УС Редлиха — Квонга [13]. В этом случае полностью остается в силе расчет по соотношениям (5), (24)-(27), и процесс расчета наддува КП и ЗП можно завершить. График мета-стабильной изоэнтропы в переменных р, Т, р, Н и р, р показан на рис. 5-7. Результаты приведены на рис. 2, 3 как расчет 2.

Анализ результатов. Уточненная формула для определения потребной массы газа для наддува свободного пространства контейнера. Как видно из результатов расчетов, ожидания, что учет свойств реального газа приведет к более высоким значениям температуры в БН, не оправдались. Более того, расчет предсказывает значительно более низкую температуру в КП. Наконец, неожиданным оказывается и низкое конечное значение давления в свободном пространстве контейнера. Между тем достижение требуемого давления наддува рнадд = 7 бар в расчете по идеальному газу (см. рис. 2) является, с математической точки зрения, точным результатом. В самом деле, пусть тб^, тю!, т^ — массы газа в соответствующих объемах при температуре Тнач в начальном состоянии системы, причем для суммарной массы т^ и объема О^ газа имеем, согласно условию (1),

тъ ЯМ2Тнач

соотношение рнядд =---.

^надд

Величина Еъ = т1СуТнач есть полная энергия газа. По завершении процесса наддува имеем в объемах БН, КП, ЗП массы газа тб^, т^, т^п* и температуры Тб(н*, Тп *, Тш *. Давление при этом всюду оди-

наковое:

, ^ т(к* Я Т(к* т(к* Я Т(к* т(к* Я Т(к*

(к* = тбн ЯМ21 бн = ткп ЯМ21 кп = тзп ЯМ21 зп

р = = О = О

бн кп зп

Отсюда непосредственно следует соотношение:

С р(к) т(кС Т(к) т(кС Т(к) — " 'бн ^ V1 бн кп ^ кп т(к)С Т(к) — "'зп ^V* зп Е(к) — ^ бн Е(к) — ^кп Е (к) — ^ зп

^2 О О бн кп О зп Обн О кп О зп

Ввиду сохранения полной энергии, получаем:

С (к)

Е — С Т — Е(к) + Е(к) + Е(к) — СР О ЕХ — т!.Су1нач — Ебн + Екп + Езп —ОХ,

КМ2

(к) тК-Щ Тнач

т' е' Р -О-— Рнадд-

Данный результат не опирается на свойства энтропии. При этом в расчетах как по идеальному, так и по реальному газу, полная энтропия изолированной системы «БН+КП+ЗП» увеличивается вследствие необратимости процесса смешения масс газа с различной температурой. Поэтому объяснение низкого давления наддува при расчете по реальному газу связано с энергетическими причинами, а не с необратимостью процесса. Действительно, если рассмотреть удельную внутреннюю энергию газа как функцию температуры, то для реального газа эта функция будет существенно зависеть еще и от давления (плотности), а для идеального газа — нет. В случае реального газа ее начальное значение иб^ — 3,804 • 105 Дж/кг в БН заметно меньше значения и^ зп — 4,623 -105 Дж/кг при начальных условиях в контейнере.

Для того чтобы скомпенсировать уменьшение полной энергии газа вследствие его сжатия (для заданной температуры Тнач), необходимо увеличить массу газа в БН. Для определения нового значения заправляемой в баллон массы газа можно, на первый взгляд, воспользоваться условием:

т бн ирг (тнупбн, Тнач)—тн и^ -1,312 • 106 дж,

если не увеличивать внутренний объем БН, или условием:

4?иб?— тбни®зп -1,312•Ю6 Дж, (28)

если сохранить начальную плотность зарядки БН, но изменить его внутренний объем. В первом случае потребная масса газа составляет

тпбн) — 3,646 кг, что на 28,5 % больше первоначальной оценки (1), при начальном давлении рРб^д' —1123 бар. Условие (28) дает значение

тбн* ~ 3,448 кг, что выше оценки (1) на 21,5 %. Этому значению соответствует внутренний объем баллона Обн ~ 7,292 • 10 м . Подход (28)

практичнее. Расчет наддува КП и ЗП в динамике при начальных значениях параметров, соответствующих условию (28), дает результирующее давление наддува р(к)-5,46 бар, что существенно меньше запланированного значения рнадд = 7 бар.

Для получения правильного значения массы заправки БН в рамках подхода, принятого в данной работе, начнем с соотношения баланса полной энергии в системе «БН+КП+ЗП», используя также обозначения приведенной выше оценки для идеального газа. Имеем:

т( % (0) + т(0 и (0) + т( % (0) = т(к и (к ) + т( к)и (к ) + т( к)и (к) (29)

тбн и бн + ткп и кп, зп + тзп и кп, зп = тбн и бн + ткп и кп + тзп и зп . (29)

Количества массы и полной энергии газа, поступающие в результате наддува из БН в КП и ЗП, обозначим как:

Л (0* (к) (к* , (к) (0* (0*

Атбн = тбн _ тбн = ткп + тш _ ЩЛ _ тзп ,

АЕбн = тббн* _тбнибн*. (30)

Для условий в контейнере отличия в свойствах реального и идеального газа невелики. В самом деле, коэффициент сжимаемости 2 практически равен 1, а пренебрежение зависимостью внутренней энергии от объема и отклонением теплоемкости С от принятого ранее значения Си = 743 Дж/(кг • К * приводит к погрешностям в несколько процентов, что позволяет записать:

и(к]_и(0) - С (т(кТ * и(ки(0* - С (Т(к)_ Т * (31)

кп кп, зп и! кп нач 1> зп кп, зп и! зп нач у \ '

Подстановка выражений (30), (31) в формулу (29) дает:

Д& = т(к и (к ) + т(к )и (к )_ т(0*и (0) _ т( 0 )и (0 ) -

'-"^бн "'кп ^ кп 1 "'зп ^ зп '"кп ^ кп, зп '"зп ^ кп, зп

(к) = Чп

С [Т(кТ

и I кп нач

+ т(к *

^ '"зп

С [Т(кТ

и I зп нач

+ Дт и(0) + 1хтбни кп, зп ■

-с (т(к)Т(к)+т(к)Т(к))_С Т (т(0)+т(0)) + Дт (и(0) _С

1"'кп-'кп ^'"зп -'зп I ^и1 нач I кп зп I бн I кп, зп

Т

и нач

Пусть Окп+ зп = Окп + Озп, Дрнадд = р^ р0. Учтем, что ^ =

= Обнрб01), тбн* =Обнрббн), и УС идеального газа для объемов КП и ЗП. Тогда имеем:

т(0) Я Т т(0) Я Т , ^ т(к) Я Т(к) т(к) Я Т(к)

— ткп ЯМ21 нач — тзп ЯМ21 нач (к) — ткп ЯМ21 кп — тзп ЯМ21 зп

Р° О О ' Р О О

кп зп кп зп

С (т(к)Т(к)+ т(к)Т(к))-СТ (т(0)+ т(0)) — СцОкп+ зп -

"кп-'кп ^"'зп ^зп ) ^и1 нач ^ кп зп у „ ^надд'

О (0(0)и(0)-р(к)и(к))— СиОкп + зп Др + Обн ^Рбн и бн рбн и бн )— Я ДРнадд +

+ О (о(0)-Р(к))(и(0) -С Т )

^"бн1Кбн г бн 11 кп, зп ^и1 нач Ь

тбн —О —_(СУКМ2 )Окп+ зпДрнадд_

р(0) бн п(0)и(0)-п(к)и(к)-/п(0)-п(к)\/и(0) -СТ ) . ( ) Кбн Кбн бн г бн бн I г бн Кбн Д^кп, зп '-"о-' нач I

Выражение (32) будем рассматривать как условие обеспечения заданного давления наддува (в нашем случае Дрнадд — Рнадд - Р0 — 6 бар). Поскольку по завершении процесса наддува давление в БН также равно Рнадд, то все параметры правой части формулы (32) известны. При той же

плотности зарядки БН рб0) — 472,8 кг/м3, что и в расчете 2 (см. рис. 2, 3),

имеем рб1^ —РрГ (Рнадд, ^б0! ) — 45,27 кг/м3, иб? — ирг (Рнадд, ^ ) —

— 2,918• 105Дж/кг (при значении ¿б? — — 4699,8 Дж/(кг• К)). По формуле (32) вычисляем внутренний объем баллона Обн —

—3 3 (0)

— 9,826 -10 м и потребную массу тбн — 4,646 кг заправки газом. Это значение превышает первоначальную оценку (1) уже на 34,7 %. Результаты расчета динамики процесса наддува с этими данными представлены на рис. 2, 3 как расчет 3. На этот раз давление наддува Рнадд — 7 бар достигается.

В формуле (32) имеем р^ 0 рб0, р^иб^ 0 р^иб^, что означает пренебрежение остаточным количеством массы и полной энергии в баллоне на момент окончания процесса наддува. Тогда формулу (32) можно преобразовать следующим образом:

( Си/ЯЩ2 ) Окп+ зпДРнадд

бн — р( 0)и (0)—р( 0)(и (0) —СТ ) ' Кбн бн Кбн I кп, зп ^-"0 нач I

ДЕ(ид)=( С К )О Др — т(0)( СТ + и(0)— и(0) ) Ш1, и/ЛЩ2/Ь кп+ зп^гнадд бн I ^и1 нач бн икп, зп Ь

т(0)( СТ _(и (0) _ и (0)

бн нач кп, зп ^бн

Дрнадд--, )о-, (33)

ЯЫ2) Окп+ зп

(0) ДЕ(ид) (34)

тбн ---^. (34)

СТ _(и (0) _ и (0))'

^"и нач I кп, зп бн I

Величина ДЕ(вд) есть количество энергии идеального газа, которое требуется добавить в КП и ЗП, чтобы получить избыточное давление Дрнадд (отсчет этой энергии соответствует расчету 1 (рис. 2, 3),

но не идеально-газовой зависимости н ° (т )=и ° (Т)+ЯМТ, используемой при расчете свойств реального газа [15]).

Согласно формуле (1), расчету 2 (см. рис. 2, 3) соответствует значение тбн* - рнадд—кп+ зп начальной массы газа в БН. По формуле

ЯМ2Тнач

(33) для расчета 2 получаем:

Дрнадд Окп+ зп/(ЯМ2Тнач )(СиТнач _(икп) зп _ибн )) рнадд -1 + С Я ГО =

ЯМ2) Окп+ зп

= р (и(0) _и(0))-7_6(4,623_3>804И°5 -4719 бар

=рнадд СиТнач Г™ ибн 1 7 743• 290 4,719 бар

(примерно 1 % отличия от результатов расчета 2). Для расчета 3 имеем тбн* - 4,498 кг, что по формуле (33) дает значение:

4,498 (743 • 290 _ (4,623 _ 3,804) • 105)

рнадд -1 +-Ь----¿-10"5 -7,000 бар.

надд (743/296,8)- 0,4

Для расчета по соотношению (28)

3,448 (743 • 290 _ (4,623 _ 3,804) • 105)

рнадд -1 +-^----г-М0"5 - 5,600 бар

надд (743/296,8)^ 0,4

имеем около 3 % отличия от результатов расчета динамики процесса. Условие (28) оказалось неудачным, поскольку «правильные» формулы (33) и (34) построены по закону обратной пропорциональности. Запишем формулу (34) так:

1 с т и(0) _ и(0) ^^ Т и(0) - и(0)

1 с,т„а„ кп, зп ^бн _ нач кп, зп ^бн

и нач

ш^} АЕ(ид) АЕ(ид) ^кп+ зп АЛнадд АЕ(ид)

Здесь первое слагаемое обратно пропорционально оценке (1), а второе — поправка на различие иб ^ и и(Л зп, но это нелегко предугадать, и «точная» формула (32) устроена несколько сложнее.

Заключение. Полученные результаты показывают, что в инженерных расчетах следует внимательно относиться к тепловому и энергетическому аспектам быстрого наддува контейнера с ЛА (и полостей самого ЛА) сжатым газом. В частности, для достижения заданного давления наддува свободного пространства контейнера следует увеличивать массу газа, закачиваемого в баллон системы наддува так, чтобы скомпенсировать уменьшение удельной внутренней энергии в состоянии высокого давления. Для определения необходимого количества газа в данной статье была получена несложная расчетная формула (32), использующая параметры реального газа.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ефремов Г.А., Страхов А.Н., Минасбеков Д.А., Горлашкин А.А., Плюснин А.В., Соколов П.М., Бондаренко Л. А., Говоров В.В. Отработка газодинамики подводного старта на наземном газодинамическом стенде предприятия. Ракетные комплексы и ракетно-космические системы — проектирование, экспериментальная отработка, летные испытания, эксплуатация. Труды секции 22 им. акад. В.Н. Челомея XXXVIII Академических чтений по космонавтике. Реутов, 2014, с. 65-74.

[2] Плюснин А.В., Бондаренко Л.А., Сабиров Ю.Р. Анализ газогидродинамических процессов и методов их расчета на основе опыта предприятия в отработке подводного минометного старта. Ракетные комплексы и ракетно-космические системы — проектирование, экспериментальная отработка, летные испытания, эксплуатация: Труды секции 22 им. акад. В.Н. Челомея XXXIX Академических чтений по космонавтике, Реутов, 2015, с. 74-83.

[3] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Особенности математического моделирования технических устройств. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 5-17.

[4] Дегтярь В.Г., Пегов В.И. Гидродинамика подводного старта ракет. Москва, Машиностроение, 2009, 448 с.

[5] Щеглов Г.А. Модификация метода вихревых элементов для расчета гидродинамических характеристик гладких тел. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2009. № 2, с. 26-35.

[6] Плюснин А. В. Расчет коэффициентов внутреннего и внешнего нестационарного взаимодействия корпуса ЛА с жидкостью методом граничных элементов. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 2, с. 77-100.

[7] Плюснин А. В., Доденко И. А. Исследование точности метода распределенной присоединенной массы при расчете нестационарной поперечной

нагрузки на деформируемый корпус ЛА при подводном выбросе. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, № 7 (19). DOI: 10.18698/2308-6033-2013-7-841

[8] Плюснин А.В. Расчет нестационарной гидродинамической нагрузки на крышку пускового устройства при подводном выбросе ЛА избыточным давлением газа. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, № 7 (19). DOI: 10.18698/2308-6033-2013-7-847

[9] Плюснин А.В. Учет эффекта вторичного догорания при расчетах систем газодинамического выброса летательного аппарата. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 3, с. 55-73.

[10] Плюснин А.В. Восстановление параметров движения летательного аппарата по данным их дискретной регистрации. Ч. 1. Способы, не использующие регуляризацию. Математическое моделирование и численные методы, 2016, № 1 (9), с. 68-88.

[11] Плюснин А.В. Восстановление параметров движения летательного аппарата по данным их дискретной регистрации. Ч. 2. Способы, использующие регуляризацию. Математическое моделирование и численные методы, 2016, № 2 (10), с. 39-54.

[12] Дергачев А.А., Бондаренко Л.А., Сабиров Ю.Р., Лобзов Н.Н., Плюснин А.В. Способ старта ракет с подводной лодки, надводных кораблей и наземных носителей из незатопленной пусковой установки и пусковая установка для его реализации. Пат. Российская Федерация № 2536961, бюл. № 36.

[13] Reid R.C., Prausnitz J.M., Sherwood T.K. The Properties of Gases and Liquids. New York, McGraw-Hill, 1977, 688 p.

[14] Базаров И.П. Термодинамика. Москва, Высшая школа, 1991, 376 с.

[15] Сычев В.В., Вассерман А.А., Козлов А.Д., Спиридонов Г.А., Цымар-ный В.А. Термодинамические свойства азота. Москва, Изд-во стандартов, 1977, 352 с.

[16] Глушко В.П., ред. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Т. I. Кн. 1, 2. Москва, Наука, 1978.

[17] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. Санкт-Петербург, Лань, 2004, 560 с.

[18] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 559 с.

[19] Ривкин С.Л., Александров А.А. Теплофизические свойства воды и водяного пара. Москва, Энергия, 1980, 424 с.

[20] Шехтман А.М. Газодинамические функции реальных газов: справочник. Москва, Энергоатомиздат, 1988, 175 с.

[21] Исакович М.А. Общая акустика. Москва, Наука, 1973, 496 с.

[22] Prigogine I., Defay R. Chemical Thermodynamics. London, Longman, 1967, 502 p.

[23] Kondepudi D., Progogine I. Modern Thermodynamics. New York, John Wiley & Sons, 1999, 462 p.

[24] Воскресенский В.Ю. Об основаниях энтропии. Москва, Красанд, 2016, 104 с.

[25] Нигматулин Р.И. Механика сплошной среды. Кинематика. Динамика. Термодинамика. Статистическая динамика. Москва, ГЭОТАР-Медиа, 2014, 640 с.

[26] Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. Москва, Мир, 1972, 436 с.

[27] Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. Москва, Наука, 1990, 368 с.

Статья поступила в редакцию 09.09.2016

Ссылку на статью просим оформлять следующим образом: Плюснин А.В. Моделирование параметров наддува свободного пространства контейнера при газодинамическом выбросе летательного аппарата с учетом свойств реального газа. Математическое моделирование и численные методы, 2016, № 3 (11), с. 53-78.

Плюснин Андрей Владимирович окончил Днепропетровский государственный университет по специальности «Гидроаэродинамика», аспирантуру кафедры «Газовая и волновая динамика» МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. физ.-мат наук, доцент-совместитель кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, зам. начальника отдела АО «ВПК "НПО машиностроения"». Автор ряда работ по нестационарным задачам гидрогазодинамики и теории упругости. e-mail: andrey.plusnin@gmail.com

Pressurization parameters simulation of container empty space during aircraft gas dynamic ejection considering real gas properties

© A.V. Plyusnin Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The article considers the pressurization process of a container empty space with the help of a high-pressure cylinder, which antecedes the gas dynamic ejection of an aircraft. Comparative calculations of this process were done in the quasi-stationary approximation using equations of state for both ideal and real gases. The article shows the necessity of accounting deviations in thermodynamic properties of the operating medium from the ideal-gas behavior in order to estimate correctly both gas reserves in the cylinder and temperature variations in the pressurized volumes.

Key words: container, annular space, pressurization, ideal gas, real gas.

REFERENCES

[1] Efremov G.A., Strakhov A.N., Minasbekov D.A., Gorlashkin A.A., Plyusnin A.V., Sokolov P.M., Bondarenko L.A., Govorov V.V. Otrabotka gazodinamiki podvodnogo starta na nazemnom gazodinamicheskom stende predpriyatiya [Underwater launch gas dynamic tests on the ground gas dynamics ground test bench of the enterprise]. Raketnye kompleksy i raketno-kosmicheskie sistemy — proektirovanie, eksperimentalnaya otrabotka, letnye ispytaniya, ekspluatatsiya. Trudy sektsii 22 im. akad. V.N. Chelomeya XXXVIII Akademicheskikh chteniy po kosmonavtike [Rocket and space-rocket systems — designing, experimental tests, flight tests, exploitation. Proc. of the 22nd section named after acad. V.N. Chelomei of the XXXVIII Academic Space Technology Readings]. Reutov, 2014, pp. 65-74.

[2] Plyusnin A.V., Bondarenko L.A., Sabirov Y.R. Analiz gazogidrodinami-cheskikh processov i metodov ikh rascheta na osnove opyta predpriyatiya v otrabotke podvodnogo minometnogo starta [Analysis of gas and hydro dynamic processes and their calculating methods on the basis of the enterprise experiments in underwater mortar launch tests]. Raketnye kompleksy i raketno-kosmicheskie sistemy — proektirovanie, eksperimentalnaya otrabotka, letnye ispytaniya, ekspluatatsiya. Trudy sektsii 22 im. akad. V.N. Chelomeya XXXVIII

Akademicheskikh chteniy po kosmonavtike [Rocket and space-rocket systems — designing, experimental tests, flight tests, exploitation. Proc. of the 22nd section named after acad. V.N. Chelomei of the XXXVIII Academic Space Technology Readings]. Reutov, 2015, pp. 74-83.

[3] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 1, pp. 5-17.

[4] Degtyar V.G., Pegov V.I. Gidrodinamika podvodnogo starta raket [Hydrodynamics of underwater launch rockets]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2009, 448 p.

[5] Scheglov G.A. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering, 2009, no. 2, pp. 26-35.

[6] Plyusnin A.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 2, pp. 77-100.

[7] Plyusnin A.V., Dodenko I.A. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovations, 2013, no. 7 (19).

DOI: 10.18698/2308-6033-2013-7-841

[8] Plyusnin A.V. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, no. 7 (19).

DOI: 10.18698/2308-6033-2013-7-847

[9] Plyusnin A.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 3, pp. 55-73.

[10] Plyusnin A.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2016, no. 1 (9), pp. 68-88.

[11] Plyusnin A.V. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2016, no. 2 (10), pp. 39-54.

[12] Dergachev A.A., Bondarenko L.A., Sabirov Y.R., Lobzov N.N., Plyusnin A.V. Sposob starta raket s podvodnoy lodki, nadvodnykh korabley i nazemnykh nositeley iz nezatoplennoy puskovoy ustanovki i puskovaya ustanovka dlya ego realizatsii [Method of launch missiles from submarine, surface ships and land based facilities of unflooded launcher and launcher for its implementation]. Patent RF, no. 2536961, no. 36.

[13] Reid R.C., Prausnitz J.M., Sherwood T.K. The Properties of Gases and Liquids. New York, McGraw-Hill, 1977, 688 p.

[14] Bazarov I.P. Termodinamika [Thermodynamics]. Moscow, Vysshaya shkola, 1991, 376 p.

[15] Sychev V.V., Vasserman A.A., Kozlov A.D., Spiridonov G.A., Zimarnyy V.A. Termodinamicheskie svoystva azota [Thermodynamic properties of nitrogen]. Moscow, Publ. of Standarts, 1977, 352 p.

[16] Glushko V.P., ed. Termodinamicheskie svoystva individualnykh veschestv. Spravochnoe izdanie. [Thermodynamic properties of individual substances. A reference edition.]. Vol. I, books 1, 2, Moscow, Nauka Publ., 1978.

[17] Sedov L.I. Mekhanika sploshnoy sredy [Mechanics of Continua]. Vol. 2. St. Petersburg, Lan Publ., 2004, 560 p.

[18] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy T. 2. Universalnye zakony mekhaniki i elektrodinamiki sploshnykh sred [Continuum Mechanics. Vol. 2. Universal Laws of Mechanics and Electrodynamics of Continuous Media]. Moscow, BMSTU Publ., 2011, 559 p.

[19] Rivkin S.L., Aleksandrov A.A. Teplofizicheskie svoystva vody i vodyanogo para [Thermophysical Properties of Water and Steam]. Moscow, Energiya Publ., 1980, 424 p.

[20] Shekhtman A.M. Gazodinamicheskie funktsii realnykh gazov: spravochnik [Gasdynamic Functions of Real Gases: Reference Book]. Moscow, Energo-atomizdat Publ., 1988, 175 p.

[21] Isakovich M.A. Obschaya akustika [General Acoustics]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 496 p.

[22] Prigogine I., Defay R. Chemical Thermodynamics. London, Longman, 1967, 502 p.

[23] Kondepudi D., Progogine I. Modern Thermodynamics. New York, John Wiley & Sons, 1999, 462 p.

[24] Voskresenskiy V.Yu. Ob osnovaniyakh entropii [On Grounds of Entropy]. Moscow, Krasand Publ., 2016, 104 p.

[25] Nigmatulin R.I. Mekhanika sploshnoy sredy. Kinematika. Dinamika. Termo-dinamika. Statisticheskaya dinamika [Continuum Mechanics. Kinematics. Dynamics. Thermodynamics. Statistical Dynamics]. Moscow, GEOTAR-Media Publ., 2014, 640 p.

[26] Wallis G. Odnomernye dvukhfaznye techeniya [Unidimensional Two-Phase Flow]. Moscow, Mir Publ., 1972, 436 p.

[27] Pirumov U.G., Roslyakov G.S. Gazovaya dinamika sopel [Gas Dynamics of Nozzles]. Moscow, Nauka Publ., 1990, 368 p.

Plyusnin A.V. graduated from Dnepropetrovsk State University, majoring in Aerohydro-dynamics and obtained a degree in the Department of Wave and Gas Dynamics, Lomono-sov Moscow State University. Cand. Sci. (Phys. & Math.), Assoc. Professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department at the Bauman Moscow State Technical University, Deputy Director of the Department in at JSC "MIC "Mashi-nostroyenia". Author of several publications in the field of nonstationary problem of hydrodynamics and theory of elasticity. e-mail: andrey.plusnin@gmail.com