CC BY
73
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСТРОЙ ФОКУСИРОВКИ РАДИАЛЬНО-ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ЛАЗЕРНОЙ МОДЫ С ПОМОЩЬЮ КОНИЧЕСКОГО И БИНАРНОГО МИКРОАКСИКОНОВ
В.В. Котляр1, С. С. Стафеев2
1 Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН,
2 Самарский государственный аэрокосмический университет
Аннотация
С помощью моделирования на основе радиального разностного метода решения уравнений Максвела, ранее адаптированого авторами для радиальной поляризации, показано, что при освещении стеклянного конического микроаксикона с радиусом основания 7 мкм и высотой 6 мкм кольцевой лазерной Я-ТЕМш модой с радиальной поляризацией и длиной волны X =1 мкм в непосредственной близости от вершины конуса на расстоянии 20 нм формируется острый фокус, поперечный диаметр которого по полуспаду интенсивности равен
0,30Х, а продольный (осевой) размер фокуса по полуспаду интенсивности равен 0,12Х . При этом площадь фокусного пятна по полуспаду интенсивности равна 0,071Х2 . Для сравнения отметим, что полученное фокусное пятно имеет диаметр в 1,7 раз меньший, чем диаметр минимального дифракционного пятна Эйри (0,5 IX), а площадь в 2,87 раз меньше, чем площадь пятна Эйри (0,204Х2).
Ключевые слова: радиальный ББТО метод, острая фокусировка света, радиально поляризованная мода Я-ТЕМш, минимальная площадь фокального пятна, конический микроак-сикон, бинарный аксикон.
1. Введение
1.1. Минимальное фокусное пятно в однородной среде
Сфокусировать электромагнитное поле в свободном пространстве в области, удаленной (больше чем на длину волны) от объектов, нельзя в объем меньший дифракционного предела, который задается в общем случае соотношением неопределенности [1]:
м > 2р, (1)
где d - диаметр фокусного пятна, кх - проекция волнового вектора на ось, перпендикулярную оптической оси (ось распространения пучка £). Так как максимальное значение кх равно к0 = 2р /Л (волновое число), X -длина волны, то вместо (1) можно записать:
d >1. (2)
Соотношение неопределенности (1) или дифракционный предел (2) записывается в разных формах, в зависимости от определения величины диаметра пучка света d. Например, в [2] соотношение неопределенности (1) приведено в другой форме:
2
лх > -
2р
(3)
где дх - минимальная ширина (диаметр) фокусного пятна. Конечно в (1)-(3) под X понимается длина волны в вакууме. Если фокусировать свет в однородном диэлектрике, то вместо X в (1)-(3) надо использовать Х/п, где п - показатель преломления вещества. Неравенство (2) также следует из уравнения для дифракционной решетки:
d Бтв=Л, (4)
где d - период дифракционной решетки, в - угол дифракции лучей в первый порядок. Если рассматривать, следуя Аббе, объект как совокупность дифрак-
ционных решеток, то лучи, чтобы попасть в апертуру изображающего объектива, должны распространяться к оптической оси под углами меньшими 90 градусов. Поэтому из (1) следует условие (2), которое означает, что дифракционные решетки (или детали объекта) с периодом меньшим длины волны не попадут в объектив и не будут разрешаться в изображении. Поэтому условие (2) не только ограничивает минимальный диаметр фокусного пятна, но и минимальное разрешение любым объективом.
1.2. Определения терминов, используемых в статье
• R-FDTD - radial finite-difference time-domain - радиальный конечно-разностный метод во временной области
• TEM - transverse electromagnetic - поперечная электромагнитная волна
• R-TEM - поперечная электромагнитная волна с радиальной поляризацией
• FWHM - full width at half maximum - полный поперечный размер максимального светового пятна по полуспаду интенсивности
• HMA - half-of-maximum area - площадь фокального светового пятна по полуспаду интенсивности
• NA - numerical aperture - числовая апертура
1.3. Минимальное фокусное пятно вблизи поверхности
Все, что было сказано выше, не имеет места, если фокусировать свет вблизи поверхностей раздела сред или изображать (наблюдать) объект в ближней зоне дифракции, там, где присутствуют поверхностные (неоднородные, исчезающие, evanescent) волны. В [3] было предложено формировать идеальное изображение источника в ближней зоне с помощью среды с отрицательным показателем преломления (суперлинзы, n<0). В [4,5] было промоделировано и экспериментально реализовано сверхразрешающее изображение с помо-
щью суперлинзы в ближней зоне. В качестве суперлинзы использовался тонкий слой серебра толщиной 50 нм. Эксперимент состоял в получении сверхразрешающего изображения в слое резиста амплитудной дифракционной решетки с периодом 145 нм в ближней зоне с помощью тонкой пленки серебра. Этот эксперимент почти повторяет операции, которые выполняют при контактной фотолитографии. После освещения ультрафиолетом с длиной волны 365 нм трехслойной структуры (амплитудная решетка + пленка серебра + резист) и после проявления, в слое резиста «записалась» и была восстановлена с помощью преобразования Фурье решетка с периодом 170 нм. Это в 1,43 раза меньше, чем дифракционный предел для этой среды: X/n=365нм/1,5=243нм. Похожий эксперимент был осуществлен в [6]. В [7] теоретически показано, что суперлинза с диэлектрической е = -1 и магнитной ^=-1 проницаемостью будет обеспечивать неограниченное сверхразрешение только в идеальном случае. Если же есть сколь угодно малое поглощение в среде, например, е = -1+/10-5, то поверхностные (исчезающие)
волны затухают в среде линзы и не дают вклад в изображение. В идеальном случае все исчезающие волны от источника (объекта) доходят до изображения в ближней зоне. В этом случае разрешение объекта не будет ограничено. В [7] показано, что для идеальной суперлинзы фокусное расстояние / пропорционально разрешению Л (или диаметру двумерного фокусного пятна):/~ Л, если 0</< 0,3X, и Л= А/2 (по полуспаду), если/ > X . Немного ранее в [8] было получено аналитическое решение задачи о 2Б суперлинзе.
Чтобы оптически разрешить изображение со сверхразрешением в ближней зоне, необходимо формирование суперлинзой увеличенного изображения. Так, в [9] была предложена цилиндрическая суперлинза (п=-1) с сечением в виде кольца. Тогда если источник (объект) находится внутри кольцевой цилиндрической суперлинзы, то снаружи такой линзы сформируется изображение вблизи поверхности линзы с увеличением в (Ь/а)2 раз, где Ь и а - радиусы внешнего и внутреннего кругов в сечении цилиндрической линзы.
Известны различные типы суперлинз в видимом и ближнем ИК диапазонах, реализованных на практике [10-16]. В [10,11] теоретически предсказана и потом реализована суперлинза, отрицательная рефракция которой связана с возбуждением плазмон-ных мод в решетке из двойных золотых наностержней. В [11] экспериментально было показано, что решетка с периодом 640 нм из двойных наностержней (верхний слой стержней имел размеры 220х780 нм, а нижний слой - 120х670 нм, толщина обоих слоев - 50 нм) проявляет негативную рефракцию (измеренная реальная часть эффективного показателя преломления такой среды была равна -0,3) для длины волны 1,55 мкм (200 ТГц). В [12] было экспериментально показано, что фотонный кристалл (ФК) на основе ваЛ обладает отрицательной рефракцией (п < 0) в ближнем ИК диапазоне. В [13-15] теорети-
чески показано, что многослойный цилиндр с кольцевым сечением, состоящий из тонких слоев диэлектрика и металла, так, чтобы была реализована анизотропная гиперболическая среда (ев > 0, ег <0, составляющие тензора диэлектрической проницаемости в полярной системе координат):
_ К.+к1=.
(5)
где кв и кг - соответствующие проекции волнового вектора, а> - циклическая частота электромагнитного поля и с - скорость света, будет представлять собой гиперлинзу. Если объект расположить внутри такой гиперлинзы, то снаружи вблизи поверхности сформируется изображение объекта со сверхразрешением и с увеличением. То есть детали объекта, меньшие длины волны, в изображении на внешней поверхности цилиндра будут больше длины волны, и их можно будет разрешить обычной оптикой. В [16] была реализована такая гиперлинза. Полуцилиндр с кольцевым вырезом на подложке из кварца был реализован с помощью чередующихся слоев серебра (толщиной 35 нм) и диэлектрика Л1203 (толщиной 35 нм). Такая многослойная структура имеет анизотропную диэлектрическую проницаемость (реальные части составляющих тензора диэлектрической проницаемости, касательные и нормальные к слоям, имеют разные знаки). Объектом служили две амплитудные линии, полученные литографическим способом, имеющие ширину по 35 нм и разделенные расстоянием 150 нм. Объект освещался ультрафиолетовым светом ТЕ-поляризации с длиной волны 365 нм. С помощью обычной линзы было получено увеличенное изображение этих двух линий, разделенных расстоянием 350 нм (линза могла разрешить расстояние, равное А/NA=260 нм, МЛ - числовая апертура линзы).
В [17] теоретически рассмотрены исчезающие световые поля, которые в ближнем поле могут формировать фокусное пятно с диаметром много меньше длины волны. Например, для поля с электрическим вектором
Ех (у, г = 0) = Ь2 (У2 + Ь2 ) 1ехр(/^у} ,| д| >> к , (6)
где q = 1000к, к - волновое число, Ь = 2,5/, / = 2п/д, фокус будет находиться на оси в точке (у = 0, г = Ь) и будет иметь диаметр равный / = А/1000. Конечно, такая модуляция электромагнитного поля не может быть связана с распространяющимся излучением, а скорее связана с электростатическими эффектами вблизи поверхности раздела сред. В [18] численно показано, что гиперболическую линзу, формирующую в ближнем поле субволновое увеличенное изображение, можно реализовать не только в виде цилиндрической линзы, но и в виде плоскопараллельного слоя. Так, моделирование показало, что слой анизотропного вещества (ех = 0,01-/0,01, е2 = -100) толщиною 400 нм разрешает две щели шириной по
2
С
3 нм (вытянутые вдоль оси у) в металлическом экране (е = 1- /104), разделенные расстоянием 23 нм, если осветить их светом с ТМ-поляризацией и с длиной волны 700 нм.
1.4. Фокусировка света с помощью фотонных кристаллов
Известны работы, в которых фокусировка света осуществляется с помощью двумерных фотонных кристаллов [19-22]. В [19] с помощью 4-х слойного (четыре ряда отверстий) 2Б ФК (период отверстий а = 0,27А) с отрицательной рефракцией, состоящего из крестообразных отверстий (длина линий креста равна
0,5 а) в кремнии (е = 12 + / 0,01), моделировалась фокусировка гауссового пучка с шириной перетяжки FWHM = 3^ . Показано, что внутри ФК формируется фокусное пятно с диаметром по полуспаду интенсивности FWHM=0,25А . В [20] моделировался аналогичный 2Б ФК с треугольной сеткой круглых отверстий с периодом а = 0,305А и радиусом (отверстий) г = 0,4а в диэлектрике е = 12,96. Показано, что для ТЕ-поляризации такой ФК обладает отрицательной рефракцией (п =-1) и диаметр фокусного пятна равен FWHM=0,4А. В [21] моделировались фокусирующие свойства 2Б ФК с отрицательной рефракцией, состоящего из решетки наностержней магнитного и диэлектрического веществ. В пластине ФК был сделан вырез полукругом радиуса Я, чтобы фокусировка микроволнового излучения с длиной волны 2,3 см была не внутри ФК, а во внешней области на фокусном расстоянии/ = Я/(1-п). В [22] экспериментально продемонстрирована фокусировка света с помощью ФК-суперлинзы в диапазоне длин волн от 1,26 мкм до 1,42 мкм. 2Б ФК с решеткой отверстий с периодом а = 0,3 Ы и эффективным показателем преломления п = 2,963 (кремний на изоляторе) фокусировал слабо-расходящийся гауссовый пучок внутри ФК в фокусное пятно диаметром FWHM=1,4А.
Если периодически расположенные отверстия ФК реализовывать с разным размером (диаметром), то такие ФК называются градиентными. 2Б ФК-линзы на основе градиентных ФК фокусируют свет за поверхностью ФК [23, 24]. Так, в [23] с помощью 2Б FDTD-метода моделировалась ФК-линза из NxM = 25x8 отверстий в кремнии с периодом а для длины волны X =3,6а=1,55 мкм. Радиусы отверстий варьировались от г = 0,27а до г = 0,39а. Минимальное фокусное пятно было равно FWHM=1,94a=0,54А. Это больше дифракционного предела. Фокусное расстояние такой ФК-линзы равно / = 28,6а, числовая апертура МЛ=1,4. В [24] моделировалась аналогичная линза с треугольной решеткой отверстий в кремнии (п = 3,46). Радиусы отверстий увеличивались от центра линзы к периферии по закону г(х) = х1,4 и менялись от г = 0,25а до г = 0,40а . При этом минимальное фокусное пятно было получено на расстоянии/= 10а от линзы (при освещении ее гауссовым пучком с диаметром 26а, где а = 0,26А ) . Диаметр фокусного пятна был равен FWHM= 4,9а = 1,27А.
1.5. Формирование _радиально-поляризованного лазерного света
В данной работе мы будем анализировать острую фокусировку радиально-поляризованного лазерного света с помощью микрооптики. Поэтому необходимо кратко рассмотреть вопрос о способах формирования лазерных пучков с радиальной поляризацией. Почему используется именно радиальная поляризация? Потому, что линейная и эллиптическая (и круговая) поляризации при острой фокусировке нарушают радиальную симметрию пучка: фокусное пятно получается эллиптическим и, кроме того, продольная составляющая электрического вектора в области фокусировки небольшая по сравнению с поперечными составляющими. При остальных типах поляризации - азимутальной и радиальной - формируются пучки света с кольцевым сечением, которые в области фокуса либо остаются кольцевыми (азимутальная поляризация), либо преобразуются в круглые фокусные пятна (радиальная поляризация). Кроме того, у азимутальной поляризации нет продольной составляющей даже в области острого фокуса, а для радиальной поляризации в области фокуса продольная составляющая электрического вектора может быть гораздо больше, чем поперечная. Именно продольная составляющая электрического вектора электромагнитной волны ответственна за острый фокус для пучка с радиальной поляризацией.
Известны работы по формированию лазерных пучков с радиальной поляризацией с помощью видоизменения резонаторов лазеров [25-28] или с помощью субволновых оптических элементов [29-31]. В [25] в резонатор ниодимового лазера была введена коническая призма из кварца 8Ю2 (аксикон диаметром 12 мм), которая вырезана под углом Брюстера (полный угол при вершине аксикона равен 68,4 градусов). Такой лазер формировал кольцевой пучок с радиальной поляризацией и длиной волны 1,06 мкм. Было экспериментально подтверждено, что этот пучок является Я-ТЕМш модой, и он сохраняет свою кольцевую структуру при распространении. Радиальная составляющая такого пучка описывается функцией:
Ё, (г )= ё, ^ ) «ф| ^ }. (7)
где г - радиальная координата в сечении пучка, м> -радиус перетяжки гауссового пучка и Є, - единичный вектор вдоль радиальной координаты. В [26] рассматривается волоконный лазер с диодной накачкой. Волокно с двойной оболочкой и диаметром сердечника 12,5 мкм, длиной 2 м и с числовой апертурой МЛ=0,15 было допировано иобием (УЪ). Во внешнем резонаторе лазера была установлена двойная коническая призма (двойной аксикон) диаметром 30 мм с углом при вершине 69,2 градуса. Такой лазер генерировал моду радиально-поляризованного излучения с
длиной волны 1,040 мкм мощностью 6 мВт. В [27], аналогично работе [26], использовался волоконный лазер, но вместо двойной конической призмы во внешний резонатор поместили один конический ак-сикон с углом Брюстера при вершине (110,8 градусов для 8Ю2). Этот лазер также генерировал кольцевую моду с радиальной поляризацией. В [28] была получена генерация кольцевого лазерного пучка с радиальной поляризацией с помощью обычного ниодимо-вого лазера на длине волны 1,064 мкм, но кристалл ниодима был вырезан специальным образом так, чтобы обыкновенный луч не выходил из резонатора лазера, а необыкновенный - усиливался резонатором. В работе [29] радиально-поляризованный лазерный пучок формировался с помощью многослойной субвол-новой решетки с двулучепреломлением на длине волны 1,55 мкм. Такая решетка создавалась по технологии литографического клонирования, когда на исходную профилированную поверхность решетки напыляют диэлектрические пленки, слой за слоем, так, что они повторяют профиль исходной решетки. Период решетки был 400 нм, а напылялись слои 8Ю2 (п = 1,446) и 81М (п = 1,977). В [30] для формирования лазерного пучка с радиальной поляризацией на длине волны X = 10,6 мкм использовалась субволновая тра-пецивидная дифракционная решетка с искривленными штрихами на ваЛ с периодом 2 мкм. А в [31] была использована аналогичная бинарная субволновая решетка также на ваЛ (п =3,478), но уже для длины волны X = 1,06 мкм. Диаметр решетки - 1 мм, период штрихов - 240 нм, а глубина канавок - 470 нм [31].
Таким образом, из предыдущего видно, что почти нет работ по фокусировке лазерного излучения в субволновую область вблизи поверхности раздела сред и с преодолением дифракционного предела, которая бы выполнялась с помощью обычной рефракционной или дифракционной микрооптики. В данной работе с помощью R-FDTD метода [32, 33] показано, что с помощью обычного стеклянного микроаксикона, освещенного лазерной модой с радиальной поляризацией R-TEMol, можно в непосредственной близости от поверхности сформировать фокусное пятно с диаметром по полуспаду FWHM=0,39А (для бинарного аксикона) и FWHM=0,30А (для рефракционного аксикона). Это меньше, чем было достигнуто ранее FWHM=0,40А [32, 33], также меньше, чем сообщалось в [20, 2224], и тем более меньше, чем дифракционный предел FWHM=0,51А.
2. Радиально-поляризованная лазерная мода Я-ТЕМ01
Экспериментально в [25] показано, что центральное сечение R-TEM0l моды с высокой степенью точности совпадает с модой Эрмита-Гаусса (0,1). Поэтому мы можем аналитически записать распространение такой моды и потом промоделировать ее фокусировку с помощью микрооптики. Мода Эрмита-Гаусса (ЭГ) имеет вид
о( г)
їк (х2 + у2) (х2 + у2)
ехр{ї (т + п +1)^( г) -
2Я( г)
а2( г)
И
л/2х
о( г)
И
ІЇу_ о( г )
(8)
где п(г) = аг^^/го), Я(г)
г(1 +202/22),
о(2)=оь(1+22/202)1/2, г0 = к(ст0)2/2, Ип(х) - многочлен Эрмита, Ио(х)=1, И1(х)=2х, ао = ^ - радиус перетяжки гауссового пучка. Лазерная мода (7) с радиальной поляризацией равна сумме двух линейно-поляризованных мод Е1,о и Ео,1, одна из которых поляризована по х, а другая - по у:
" 2ур2с
Ег (х, у, г) =
а2( г)
ехр |/2^( г) -
їк(х2 + у2) - (х2 + у2) 2 Я (г) <у2(г)
(9)
(хех + уеу),
где в последних круглых скобках стоят два единичных вектора по декартовым осям.
Вместо (9), введя обозначение единичного вектора, направленного вдоль радиуса полярной системы координат ег, получим окончательное выражение
для вектора напряженности электрического поля ра-диальной-поляризованной лазерной моды Я-ТЕМш
Е, (х. у.г) =
2ур2с
сґ(г)
х ехр \ї2ц( г) -
їкг
2 Я( г) о2(г)
(10)
3. Фокусировка Я-ТЕМо1 лазерной моды микроаксиконом
Для острой фокусировки света с преодолением дифракционного предела, как следует из Введения, требуется сформировать фокусное пятно вблизи поверхности раздела сред. Простейший рефракционный оптический элемент, который может фокусировать свет близи своей поверхности - это конический аксикон. Ниже показано с помощью строгого решения задачи дифракции на основе R-FDTD-метода, что вблизи вершины микроаксикона с параметрами, близкими к тем, при которых реализуется полное внутреннее отражение, электромагнитная волна в основном распространяется вдоль конической поверхности (под ней и над ней) и формирует острый фокус вблизи вершины аксикона.
При 2=0 (плоскость перетяжки, где волновой фронт плоский) выражение (10) переходит в выражение (7). На рис. 1 показан модуль амплитуды R-TEM0l моды для радиуса перетяжки гауссового пучка w = 3 мкм. Из (7) следует, что максимальное значение ам-
w
плитуды поля имеет место при г = —=■ = 2,14 мкм.
42
При освещении такой модой с длиной волны X = 1 мкм конического микроаксикона из стекла (пока-
0
х
2
г
затель преломления п = 1,5) высотой к = 6 мкм и радиусом Я = 7 мкм, радиальное сечение которого показано на рис.2, вблизи вершины аксикона, лежащей на оптической оси, возникает острый максимум ин-
тенсивности
Е = Е + Е
На рис.3а показано осевое (продольное) распределение интенсивности |Е| внутри и снаружи ак-
сикона (рис.2). На рис.3б показана увеличенная картина: участок распределения интенсивности вблизи вершины аксикона. Вертикальные линии на рис.3 показывают границы аксикона.
г, мкм
Рис.1. Модуль радиальной составляющей вектора напряженности электрического поля моды Я-ТЕМ01
\ 0 * 2
4
6
8
10
12
14
16
18 20
О
4
6 8
г, мкм
Рис.2. Радиальное сечение конического микроаксикона радиусом Я = 7 мкм и высотой к = 6 мкм
Расчет производился R-FDTD методом [32] с дискретизацией по пространству А/50 и по времени Т/100, где Т - период электромагнитных колебаний. Из рис.3б видно, что субволновая фокусировка света происходит на расстоянии 0,02 мкм от поверхности аксикона и осевая (продольная) ширина фокуса по полуспаду интенсивности равна FWHMz=0,12А .
На рис.4 показано радиальное распределение ин-
I |2 I |2
тенсивности \Е\ (кривая 3), \ЕГ\ (кривая 2) и
I |2 I 12 I 12
Е = ЕІ + \Е\ (кривая 1) в плоскости фокуса
на расстоянии 20 нм от вершины аксикона (рис.3).
Максимальное значение интенсивности ІЕ I в
I г I
фокусе (рис.4) около 50 произвольных единиц (ак-сикон освещается волной с максимальным значением амплитуды 1,2 произвольных единиц, рис.1). То есть в фокусе интенсивность света возросла в 50 раз по сравнению с интенсивностью освещающего
а)
10
15 2, мкм
Рис.3. Распределение интенсивности |Е|
вдоль оптической оси при фокусировке Я-ТЕМ01 моды микроаксиконом (а); в увеличенном масштабе (б)
Диаметр фокусного пятна (рис.4) по полуспаду интенсивности равен FWHM=0,30А, а площадь фокусного пятна по полуспаду интенсивности равна HMA=0,071А2 . Для сравнения отметим, что этот диаметр в 1,7 раз меньше, чем диаметр дифракционного пятна Эйри (FWHM=0,51А), а площадь в 2,87 раз меньше, чем площадь дифракционного пятна Эйри (HMA=0,204X2).
2
Теоретически оценить размер фокусного пятна вблизи вершины аксикона (рис.4) можно с помощью следующих рассуждений. Излучение падает на конусную поверхность аксикона почти под углом полного внутреннего отражения:
зт# = 1/ п = 0,67 > 8т#' = к2 / (Я2 + к2) = 0,65,
где в - угол полного внутреннего отражения, а в -угол падения света на конусную поверхность акси-кона. При этом поверхностная волна распространяется по конической поверхности аксикона к его вершине, и вблизи самой вершины внутри и снаружи (рис.3б) сформируется фокус, амплитуду которого можно описать функцией Бесселя нулевого по-
0,2
0,4
0,6
0,8 1,0 Г МКМ
Рис.4. Радиальные распределения интенсивности |Е,, |
I |2 | |2 | |2 | |2
(кривая 3), \Е\ (кривая 2) и Е = Е1 + Е1
(кривая 1) в плоскости фокуса на расстоянии 20 нм от вершины аксикона (рис.3)
Так как J0 (1,1) » 0,5 .
то krn cosq =
2prnR
sIr2 + h2
= 0,35p,
откуда следует, что диаметр фокусного пятна по по-луспаду интенсивности оценивается величиной
0,35/ Я2 + к2
FWHM = 2r = -
nR
1» 0,311
(11)
Это значение близко к величине, следующей из рис.4: Р^М=0,30Л.
Аналогично рассуждая, можно оценить минимальный диаметр субволнового фокусного пятна, которое можно сформировать с помощью поверхностной волны вблизи поверхности рефракционного оптического элемента с показателем преломления п:
FWTM ■ »^ .
min
3n
(12)
Это меньше, чем предел разрешения Аббе в среде, равный Л/2п [34]. Оценить диаметр минимально-
го фокусного пятна можно также с помощью суб-волнового гауссового пучка. Фурье-спектр гауссо-вого пучка с амплитудой
E(x) = exp(- 2)
w
и радиусом перетяжки дет гауссовым пучком:
e (я- Р exp|-4
kw
x exp {ik^xj dx = p exp {- X
(13)
m > 1, также бу-
(14)
с радиусом перетяжки £ = _ = —. Если т > п, то
kw п
>1 и значит, разрешить такой гауссовый пучок можно с использованием поверхностных волн, которые быстро затухают в субволновой области вблизи перетяжки гауссового пучка. Если т < п, то < 1 и разрешить такой гауссовый пучок можно без поверхностных волн с помощью обычной рефракционной оптики. Поэтому минимальное фокусное пятно гауссового типа, которое можно сформировать в однородной среде с показателем преломления, должно иметь радиус перетяжки равный 1
w = —
пп. (15)
То, что в получившемся фокусе (рис.3 и рис.4) поперечный размер (FWHM=0,30А) больше, чем продольный размер (FWHM=0,12А), подтверждает, что волна в основном распространялась не вдоль оси г, а вдоль конической поверхности (внутри и снаружи ее) аксикона под углом аг<^(Я/к) = аг<^(1,2) > п/4 к оптической оси. То, что почти все падающее на аксикон излучение участвует в формировании фокусного пятна, следует из сравнения
I |2
максимальной интенсивности в фокусе Е » 50 в
произвольных единицах (рис.4) с отношением энергии падающего пучка к квадрату длины волны:
(16)
= 5б,5.
4. Фокусировка Я-ТЕМ01 моды бинарным аксиконом Бинарный аксикон более технологичен при изготовлении, чем конический аксикон, рассмотренный в предыдущем разделе. Бинарный аксикон может быть изготовлен по технологии фотолитографии с помощью одной бинарной амплитудной маски в виде концентрических темных и светлых колец одинаковой толщины. На рис.5 показано радиальное сечение бинарного микроаксикона, соответствующего коническому аксикону (рис.2).
2
x
Аксикон (рис. 5) имеет высоту ступенек
Н = 1 /2(п -1) » 633 нм для длины волны А=633нм и показателя преломления п = 1,5, ширина ступеньки ё = 0,74 мкм равна ширине «ямки» _0-ё=0,74мкм, а период бинарного аксикона равен Б=2ё= 1,48мкм. Общая высота аксикона (вдоль оси 2) равна 2Н = 1,266 мкм. Радиус аксикона равен трем периодам Я = 3Б = 4,44 мкм. В этом разделе приведены результаты моделирования острой фокусировки лазерной моды R-TEM0l с помощью бинарного аксикона (рис.5). На рис. 6 показано распределение амплитуды моды R-TEM01 с радиусом перетяжки w=1,9мкм. Максимальное значение амплитуды находится при г = 1,36 мкм.
| 0 =5
8
10
12
0 1 2 3 4 г, мкм
Рис. 5. Радиальное сечение бинарного аксикона и его расположение в окне, в котором производится расчет
Рис. 6. Радиальное распределение амплитуды Я-ТЕМ01 моды при г = 0 и w = 1,9 мкм
В Таблице 1 приведены данные по зависимости фокусного расстояния аксикона (/) и диаметра фокусного пятна по полуспаду интенсивности (FWHM) от длины волны освещающего аксикон излучения (X).
Из Таблицы видно, что хроматическая дисперсия бинарного микроаксикона такая же (по знаку), как и у обычной дифракционной решетки: более длинные волны дифрагируют под большим углом к оптической оси. Поэтому из Таблицы следует, что с ростом длины волны X в пределах от 0,600 мкм до 0,850 мкм
фокусное пятно формируется все ближе к вершине аксикона, и его диаметр (в длинах волн) уменьшается. Минимальный диаметр фокусного пятна был равен FWHM=0,39k и формировался в непосредственной близости от вершины аксикона ф = 0,08 мкм). На рис. 7 показано распределение интенсивности |Е|2 вдоль оптической оси (а) и радиальные распределения интенсивности |Ег|2 (кривая 3), |Ег|2 (кривая 2) и Е|2 = Ег|2 + |Ег|2 (кривая 1) в плоскости фокуса (б) для длины волны 850 нм.
Таблица 1. Зависимость диаметра фокусного пятна по полуспаду интенсивности (Е^ИМ) и фокусного расстояния ф от длины волны (к)
1 -------- \Ег\2+\Е7\2
2 -------|Ег\2
б) 0 0,2 0,4 0,6 0,8
I |2
Рис. 7. Распределение интенсивности Е вдоль оптической оси (а) и радиальные распределения
I |2 I |2
интенсивности \Е\ (кривая 3), Е1 (кривая 2) и
I |2 I |2 I |2
Е = Е1 + Е1 (кривая 1) в плоскости фокуса (б) для длины волны 850 нм
Из рис.7 видно, что вблизи центральной круговой ступеньки бинарного аксикона (рис. 5) формируется острый фокус, максимальная интенсивность в котором в относительных единицах равна 7,5, а диаметр по полуспаду интенсивности равен FWHM=0,39А, а площадь по полуспаду интенсивности равна HMA=0,119А2 . Это немного меньше, чем было получено в [32], но больше, чем диаметр фокусного пятна, получившегося для конического ак-сикона в предыдущем разделе. Так как полная энергия лазерного пучка (рис.6) моды R-TEM01 равна (аналогично (16)) W0/X2 ~ 32, при условии, что w=1,9мкм, то в формировании фокуса (рис.7) участвует только 25% этой световой энергии. То есть при освещении модой трех периодов бинарного аксикона (рис. 5) в фокусное пятно вблизи поверхности ак-сикона на оптической оси делают вклад примерно полтора центральных периода. На рис. 8 показаны мгновенные распределения амплитуды Ег (а) и амплитуды Ег (б) при дифракции R-TEM 01 моды с длиной волны 850 нм (рис.6) на бинарном аксиконе (рис.5) в вычисляемой области.
Из рис. 8 видно, что каждая ступенька профиля аксикона формирует в основном свой лепесток в картине дифракции: центральная приосевая ступенька формирует основной первый лепесток фокусной картины, вторая кольцевая ступенька акси-кона - второй кольцевой лепесток, и третья стуенька - третий лепесток. Таким образом бинарный акси-кон проще при изготовлении, но менее эффективен при острой фокусировке, чем конический аксикон, хотя и он (бинарный аксикон) формирует фокусное пятно (FWHM=0,39А) меньшее, чем дифракционный предел (FWHM=0,51А).
В заключение этого раздела заметим, что сформировать моду R-TEM01 с радиусом перетяжки w = 3 мкм (рис.1) или w = 1,9 мкм (рис.6) можно с помощью обычной фокусирующей оптики и моды R-TEM01, выходящей из лазера и имеющей радиус перетяжки несколько миллиметров. Это возможно, так как мода не меняет своей структуры (с точностью до масштаба) при распространении в пространстве и при фокусировке.
Заключение
В работе с помощью моделирования на основе радиального R-FDTD метода [32, 33] показано, что при освещении стеклянного конического микроак-сикона с радиусом основания 7 мкм и высотой 6 мкм кольцевой лазерной R-TEM01 модой с радиальной поляризацией и длиной волны X =1 мкм в непосредственной близости от вершины конуса на расстоянии 20 нм формируется острый фокус, поперечный диаметр которого по полуспаду интенсивности равен FWHM=0,30А, а продольный (осевой) размер фокуса по полуспаду интенсивности равен FWHMz=0,12А . При этом площадь фокусного пятна по полуспаду интенсивности равна HMA=0,071А2.
Для бинарного микроаксикона, полученного процедурой бинаризации из конического микроак-
сикона, упомянутого выше, при тех же условиях освещения поперечный диаметр фокусного пятна по полуспаду интенсивности равен FWHM=0,39k.
0
Рис.8. Мгновенные распределения амплитуды Ег (а) и амплитуды Е2 (б) при дифракции Я-ТЕМ 01 моды с длиной волны 850 нм (рис.6) на бинарном аксиконе (рис.5) в вычисляемой области
Для сравнения отметим, что полученное фокусное пятно имеет диаметр в 1,7 раз меньший, чем диаметр минимального дифракционного пятна Эйри (FWHM=0,51А), а площадь в 2,87 раз меньше, чем площадь пятна Эйри (HMA=0,204X2). Полученное фокусное пятно меньше, чем ранее сообщалось в работах [20, 22-24, 32, 33].
Благодарности
Работа поддержана российско-американской программой «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF РШ8-014-1), Российским фондом фундаментальных исследований (грант 08-07-9907, 09-07-00007, 09-07-00145) и грантом Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-3086.2008.9).
Литература
1. Veselago, V.G. Superlens as matching device / V.G. Ve-selago // http://arxiv.org/abs/cond-mat/0501438v1 (19 Jan 2005).
2. Novotny, L. Principles of nano-Optics / L. Novotny, B. Hecht - Cambridge Univ. Press., 2006.
3. Pendry, J.B. Negative refraction makes a perfect lens / J.B. Pendry // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol.85. - P.3966-3969
4. Blaikie, R.G. Imaging through planar silver lenses in the optical near field / R.G. Blaikie, D.O.S. Melville // J. Opt A: Pure Appl. Opt. 2005 - Vol.7. - P.176-183.
5. Melville, D.O.S. Super-resolution imagimg through a planar silver layer / D.O.S. Melville, R.J. Blaikie // Opt. Express. -2005. - Vol. 13, -№6. - P.2127-2134.
6. Fang, N. Sub-diffraction limited optical imaging with a silver superlens/ N. Fang [and other] // Science, -2005. -Vol.308. - P.534-537.
7. Podolskiy, V.A. Near-sighted superlens/ V.A. Podolskiy, E.E. Narimanov // Opt Lett -2005. - Vol.30, -№1. - P.75-77.
8. Merlin, R. Analytical solution of the almost-perfect-lens problem/ R. Merlin // Appl. Phys. Lett. -2004 - Vol. 84. -P.1290-1292.
9. Pendry, J.B. Perfect cylindrical lenses/ J.B. Pendry // Opt Express. -2003. - Vol. 11, -№7. - P.755-760.
10. Podolskiy, V.A Plasmon modes and negative refraction in metal nanowire composites/ V.A. Podolskiy, A.K. Sarychev, V.M. Shalaev // Opt. Express. -2003. - Vol. 11, -№7. - P.735-745.
11. Shalaev, V.M. Negative index of refraction in optical metamaterials / V.M. Shalaev [and other]// Opt. Lett. -
2005. - Vol.30, -№24. - P.3356-3358.
12. Berrier, A. Negative refraction at infrared wavelength in a two-dimensional photonic crystal / A.Berrier [and other] // Phys. Rev. Lett. -2004. - Vol.93. - P.073902.
13. Govyadinov, A.A. Meta-material photonic funnels for sub-diffraction light compression and propagation / A.A. Govyadinov, V. A. Podolskiy // Phys. Rev. B 2003. -Vol.73, №15. - p. 155108.
14. Wangberg, R. Non-magnetic nano-composites for optical and infrared negative refraction index media / R. Wangberg [and other]// J. Opt. Soc. Am. B. - 2006. - Vol. 23, -№3. - P.498-505.
15. Zabin, J. Optical hyperlens: far-field imaging beyond the diffraction limit / J. Zabin, L.A. Alekseyev, E.E. Narimanov // Opt Express. -2006. - Vol. 14, -№18. - P.8247-8256.
16. Lin, Z. Far-field optical hyperlens magnifying subdiffraction-limited / Z. Lin [and other] // Science. -2007. -Vol.315. - P. 1686-1688.
17. Merlin, R. Radiationless electromagnetic interference: evanescent-field lenses and perfect focusing / R. Merlin // Science. -2007. - Vol. 317. - P.927-929.
18. Lin, H. Subwavelength imaging opportunities with planar uniaxial anisotropic lenses / H. Lin, Shivanand, K.J. Webb // Opt. Lett. -2008. - Vol.33, -№21. -P.2568-2570.
19. Husakou, A. Superfocusing of light below the diffraction limit by photonic crystal with negative refraction l A. Husakou, J. Herrmann ll Opt. Express. -2004. - Vol. 12. -P.6491-6497.
20. Wang, X. Unrestricted superlensing in a triangular twodimensional photonic crystal l X. Wang, Z.F. Ren, K. Kempa
ll Opt Express. -2004. - Vol. 12, -М1З. - P.2919-2924.
21. Yang, S. Focusing concave lens using photonic crystals with magnetic materials l S. Yang, C. Hong, H. Yang ll J. Opt. Soc. Am. A. -200б. - Vol.23, -М4. - P.956-959.
22. Matsumoto, T. Focusing of light by negative refraction in a photonic crystal slab superlens on silicon-on-insulator substrate l T. Matsumoto, K. Eom, T. Baba ll Opt. Lett. -2006. - Vol.31, -М18. - P.2786-2788.
23. Chien, H. Focusing of electromagnetic waves by periodic arrays of air holes with gradually varying radii l H. Chien,
C. Chen ll Opt. Express. -2006. - Vol. 14, -М22. -P.10759-10764.
24. Wu, Q. Graded negative index lens by photonic crystal l Q. Wu, J.M. Gibbons, W. Park ll Opt. Express. -2008. -Vol. 16, -М21. - P.16941-16949.
25. Kozawa, Y. Generation of a radially polarized laser beam by use of a conical Brewster prizm l Y. Kozawa, S. Sato ll Opt. Lett. -2005. - Vol.30, -М22. - P.3063-3065.
26. Li, J. Generation of radially polarized mode in Yb fiber laser by using a dual conical prizm l J. Li [and other]ll Opt. Lett. -2006. - Vol.31, -М20. - P.2969-2971.
27. Li, J. Convergering-axicon-based radially polarized ytterbium fiber laser and evidence on the mode profile inside the gain filter l J. Li [and other] ll Opt. Lett. -2007. -Vol. 32, -М11. - P.1360-1362.
28. Yonezawa, K Generation of a radially polarized laser beam by use of the birefringence of a c-cut Nd:YVO4 crystal l K. Yonezawa, Y.Kozawa, S. Sato ll Opt. Lett. -
2006. - Vol.31, -М14. - P.2151-2153.
29. Mehta, A. Spatially polarizing autocloned elements l A. Mehta [and other] ll Opt. Lett. -2007. - Vol.32, -N°13. -P. 1935-1937.
30. Levy, V. Engineering space-variant inhomogeneous media for polarization control l V. Levy [and other]ll Opt. Lett. -2004. - Vol.29, -М15. - P.1718-1720.
31. Lerman, G.M. Generation of a radially polarized light beam using space-variant subwavelength gratings at 1064 nm l G.M. Lerman, V. Lory ll Opt. Lett. -2008. - Vol.33, -М2З. - P.2782-2784.
32. Котляр, В.В. Острая фокусировка света радиальной поляризации с помощью микролинз l В.В. Котляр, А.А. Ковалев, С.С. Стафеев ll Компьютерная оптика. -2008. - Т.32, -М 2. - С. 155-167.
33. Kotlyar, V.V. Sharp focus area of radially-polarized Gaussian beam by propagation through an axicon l V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev, S.S. Stafeev ll Prog. In Electr. Res. C. -2008. - Vol.5. - P.35-43.
34. Борн, М. Основы оптики. l М.Борн, Э.Вольф. - М.: Наука, -1973.
В редакцию поступила 02.03.2009г.
