Моделирование обучаемых как объекта управления Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 658.012

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБУЧАЕМЫХ КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

О.А. Ласточкина, Т.Е. Смоленцева, В.В. Рябинин, Е.А. Ковалева

В статье рассматриваются вопросы, связанные с управлением объектами обучения, постановкой цели управления (цели функционирования объекта), которая является отправной точкой для проектирования процесса управления и определяет критерии

Ключевые слова: объект управления, моделирование, неизвестные параметры

Как известно, управление объектами,

различными по своей природе (социальноэкономическими, техническими, биологическими), подразумевает использование концептуально общих принципов включающих наличие информации о:

- конечной цели управления;

- начальных условиях функционирования

объекта;

- его внутренней структуре;

- внешней среде.

Начальные условия описывают координаты состояния объекта с учетом конкретных значений его параметров в нулевой момент времени,

выбранный для целей управления. В зависимости от целей могут быть выбраны различные временные интервалы и соответствующие значения координат. Одной их главных проблем, с которой мы сталкиваемся при управлении социальными системами, является тот факт, что «любая попытка осуществить перевод объекта под действием управления из начального состояния (х(о)) в желаемое конечное (х(к)) упирается в принципиальную невозможность математически

точного определения начальных условий х(о) объекта» [2]. Поэтому будем считать, что начальные данные о состоянии объекта всегда обладают

некоторой ошибкой порядка 8э. Вместе с тем, для

учета реальных условий функционирования системы управления предположим, что для

т~» т

произвольного начального состояния Хо е К

*

имеется некоторая точка х0 , в окрестности которой расположены начальные состояния, т.е.:

х(0) = х* +Зэ (1)

Известно, что состояние объекта управления может задаваться вектором, объединяющим

Ласточкина Ольга Анатольевна - ВИ МВД России, соискатель, тел. 89103468500

Смоленцева Татьяна Евгеньевна - ВГПУ, соискатель, тел. 89601494480

Рябинин Виктор Владимирович - ВГПУ, соискатель, тел. 89103435792

Ковалева Екатерина Алексеевна - ВГПУ, аспирант, тел. (4732) 42-34-78

характерные изменяющиеся параметры объекта. Так как для обучающегося объекта одним из главных параметров является незнание (знание) обучающей информации и согласно [1,4], в качестве

характеристики состояния объекта управления используем вероятность незнания элементов ОИ

х(к )=рк = (р'к, р2 ••••• ркт),

где рк - вероятность незнания /-го элемента ОИ на

к-м сеансе обучения.

Будем считать, что состояние объекта

управления изменяется, в основном, под влиянием целенаправленного управляющего воздействия, которое представлено в виде дискретного

информационного потока, содержательный смысл которого определяется областью обучения:

и = (щ,Ы2,...,им) и, ^ при / ^ ] , (2)

где ик е и - составляет объем учебного материала

для к-го сеанса обучения. Особенностью информации является то, что каждую порцию ОИ можно представить в виде перенумерованных элементов ОИ, т. е.

и1 = (1,2,к, т1),к,ик = (тк-1 + ^ тк-1 + 2,к, тк ),... (3)

им = (т«-1 +1, ты_х + 2,..., т) тк - количество элементов ОИ, выделенных на

к-ю порцию информации тк < т. Объем каждой

порции информации тк зависит от ресурса т.

Пусть 1к продолжительность к-го сеанса

обучения, или время, отведенное на заучивание

порции ОИ ик . Предположим, что для этой порции

время заучивания каждого ее элемента прямо пропорционально вероятности его незнания. Такое предположение можно сделать, так как чем меньше вероятность незнания элемента, тем меньше времени необходимо на его заучивание. Тогда

объем тк порции и к можно определить из

следующего соотношения:

)}• (4)

где / - среднее время заучивания элемента ОИ при первом его предъявлении обучаемому. Процедура

определения тк достаточно проста. Для этого в (4)

тк

1<т<т

/ет

следует увеличивать і до тех пор, пока не нарушится неравенство (4). Параметр / неизвестен, его можно оценить по результатам предварительного эксперимента, он должен зависеть от времени, затрачиваемого обучаемым на обучение:

^тЛ

/ =

(5)

V т у

где ('т - время, реально затраченное обучаемым на

прохождение т элементов ОИ.

Тогда линейную схему изменения состояния объекта под влиянием дискретных управляющих воздействий можно представить в следующем виде (рис. 1)

Рис. 1. Схема изменения состояния объекта в случае заданных дискретных управляющих воздействий

Согласно [1] для вычисления вероятности незнания /-го элемента ОИ на к-м сеансе обучения

будем использовать следующее правило:

7 к+к рк = 1 - е~ал , і = 1,2,к,т, к = 1,2,к,N (6)

где а/ - скорость забывания і-го элемента на к-м

£к -і

элемента ОИ. Естественно предположить, что скорость забывания каждого элемента изменяется, если элемент выдается обучаемому для заучивания. Она существенно уменьшается, если элемент заучивается и уменьшается в меньшей мере, если элемент не заучивается с первого раза и выдается повторно для заучивания.

сеансе; Іі - время с момента заучивания /-го

Рис. 2. Динамика изменения вероятности незнания /го элемента ОИ.

Характер поведения вероятности незнания представлен на рис. 2, а] - начальная скорость

забывания /-го элемента.

Так как в нашем случае рассматриваемые порции ОИ взаимосвязаны, т.е. знание или незнание элементов одной порции ОИ влияет на знание (незнание) элементов другой порции ОИ, тогда вероятность незнания элемента информации зависит не только от того выдан ли этот элемент в к-й порции информации, но и от того, не был ли он уже

выдан ранее. Тогда скорость забывания каждого элемента будем вычислять по следующему правилу:

ак+1 =

а

к

, І £ и и 3=1

(7)

кк

у. а , Г/ = 0 и і є и и,;

1 і і ,=13

к

кк

у2а , Г = 1 и і є и и,.

/2 3=1 3

где уъу2,а] > 0, і = 1,2,...,т - параметры,

характеризующие индивидуальные особенности

памяти обучаемого 0 <ух <Т2 < 1, ос] - начальная

скорость забывания і-го элемента ОИ; г/ - реакция

обучаемого на і-й элемент ОИ после к-го сеанса обучения, измеряемая в виде ответа на контрольный вопрос в виде:

к Г0, если обучаемый дал правильный ответ; (8)

гі = 11

[1, в противном случае.

Так как промежутки между сеансами обучения

могут быть произвольными, то необходимо

учитывать время забывания информации после ее

последнего заучивания £

к •

Л +1 =

1-і

Лґк, і є ик

(9)

+Жк, / й ик

где Лк = (к+г - 1к - промежуток времени между

двумя соседними сеансами обучения.

Предположим, что вероятность незнания /-го элемента до первого заучивания равна единице, т. е. до начала обучения, впервые выданные элементы ОИ считаются неизвестными для обучаемого.

При определении состояния обучаемого возникает необходимость оценки неизвестных параметров, таких как начальные значения

скоростей забывания:

о

= (о

а2

). Начальные значения оценим по

і/

результатам первого сеанса обучения. На первом сеансе обучения все элементы ОИ считаются выданными впервые, соответственно для них все начальные скорости забывания можем считать

одинаковыми,

т.

е.:

а1 = а2 = к = ат = а.

1 •

Обучаемый заучивает порцию информации и Результат проверки знаний после времени 1 можно представить множеством К =(г11,г],...,г^), где г^ - реализация некоторых случайных величин

Л1, имеющих следующее распределение:

р(Л = 1)=р1,

р(Л = 0)= 1 - р1, / = 1,2,., т1 (10)

Из равенства скоростей забывания следует, что

р1 = 1 - еа = р (11)

Определим г =е г1 - число незаученных

/еи1

элементов из тх впервые выданных, тогда т1 - г -

число выученных элементов. Для получения требуемой оценки используем метод максимума

правдоподобия, для чего построим функцию правдоподобия в виде:

P = рг (1 - р)т1-г = (1 - е~ш )ге~аг{щ~г} (12)

Вычислим логарифмическую производную (12) по а и приравняем ее к нулю, получим:

д 1п P г • ґ • є

да

1 - є

■ - ґ (т1 - г ) = 0

(13)

Так как г ф 0, то, сокращая на г и выражая а, получим оценку требуемого параметра в следующем виде:

’ (14)

а=- Ат ть-п

ґ т1

Для оценки параметра /1 используем подход, определенный в [4] и равенство:

_ М£м£, (15)

где £ - среднее число невыученных элементов ОИ, М£ - его математическое ожидание. Проведем предварительный эксперимент, который будет заключаться в том, что обучаемому выдается Н элементов ОИ и проводится тестирование, результат которого представляется в виде множества К1 .

Затем оставшиеся элементы доучиваются и опять проводится тестирование, процесс продолжается до тех пор пока все элементы ОИ не будут выучены, т.

е. = 0, к = 1,2,.,Н . По экспериментальным

данным можно вычислить £ :

1=Н Е Ъ‘к, (16)

Н к=1 и=1

где К - количество сеансов, которое понадобилось до полного заучивания.

С учетом (10) математическое ожидание £ имеет вид:

1 К Н 1 К Н

щ=т ЕЕМЛ = Н ЕЕмрИ , <17>

т к =1 И=1 Н к=1 И=1

Воспользовавшись тем, что промежуток времени предполагается равным г = 1, а также

приближенным равенством 1 - е ~ак м аИ, из (17) получим

1 К Н

м#« Т ЕЕмак, (18)

Т к=1 И=1

где «и определено в виде (7). Тогда

МаИ = м(^1ак~1е~“к~‘ + Г2аИ-1(1 - е^')]* (19)

м М (х1 («кк-1) + акк-1 (1 - ®к-1)]~ ТМак1-1 + (2 - У\) (к-)

Из (19) методом математической индукции получим зависимость для /-го момента скорости забывания, который имеет вид:

м а у м(Г1 ум а-1 у+((г2 у -(г, у м а-1 г (20)

Из формул (20) получаем значение М (а^) . Далее из (18-19) определяем М£ и полученный

вычисленному из (16) при К = 2 . Получаем первое приближение , которое используем по формуле

(20) для вычисления М (аг2) , далее повторяем

описанную процедуру и при к = К получаем Ж-1

значение , которое и принимаем за оценку

параметра у.

Для получения оценки параметра

использовалось значение параметра у2 , которое

можно оценить на базе того же эксперимента, используя метод максимума правдоподобия [3].

Пусть як - число элементов ОИ невыученных

до к-го испытания, С - множество невыученных элементов, тогда для всех незапомненных элементов по правилу (7) будет выполняться равенство

Рі

І = (У2 К'а> = 1 - є4/2^-1а = рк, і = 1,2,...,X

(21)

где а определяется из соотношения (14). Пусть гк -

число элементов из в, выученных на к-м испытании. Строим функцию правдоподобия в виде вероятности получения всего возможного множества Кк данных эксперимента. Используя (10) и (12) , получим

р = П 1 - е-(^^-гк (е^)к-1“)к (22)

к=1

Находим частную логарифмическую производную по у2, приравниваем ее к нулю и получаем следующее уравнение:

Е Як-!а е-(г2 )-1а(к - 1)г2 )к-2=Е гк (к - 1)г2 )к-2 (23)

к=21 - е ^2) а к=2

Разложив в ряд Маклорена значение е-(г2) а и подставляя приближенное равенство:

є~(/2^ виде:

; 1 - (у2 )к в (23), получим равенство (24) в

результат приравниваем к значению

Е(к -гк)(- 1) = аЕЯк(-К)-1 (24)

к=2 к=2

Так как величина у2 обычно близка к 1, то

используем разложение в ряд Тейлора в окрестности единицы:

(Г2 )к =(1 -(1 ~ У 2 )) = 1 -к(1 ~ У 2 ) + . (25) Подставляя (25) в (24) и выражая у2 , получим требуемую оценку:

К (26)

(а-1)+ г Х*-1)

€ = 1-к=^---------

аЕ Як (-1)2 _ к=2

Параметры а1, уъ у2 используются для

адаптации параметров, определяющих состояние объекта в некоторые моменты времени.

Известно, что постановка цели управления (цели функционирования объекта) является отправной точкой для проектирования процесса управления и определяет критерии функционирования объекта. Критерий качества управления применительно к задаче обучения

естественно выбрать таким образом, чтобы он характеризовал уровень обученности обучаемого. Для этого используем функцию, характеризующую долю незнания для заданной порции информации:

Qk =t piqi

(27)

где все q определяются преподавателем по материалу до начала обучения как важность /-го

понятия: < . При к = 0, п = 1, т. е.

/ = 1 ^0

mk

t qi і=1

предполагается, что до начала обучения обучаемый не знает планируемую ОИ. Так как порции ОИ взаимосвязаны, то к началу каждого следующего сеанса обучения средний уровень незнания не должен превышать установленный порог или, другими словами, должен быть достаточным для восприятия следующей порции информации. Поэтому функцию качества обучения введем как среднее по всем значениям Qk, измеряемым на к-м сеансе обучения:

l l •

Q=у t Qj l j=1

(28)

где / = 1,2,_,/ - количество измерений уровня

незнания, 1 - количество переменных функции качества обучения. Каждая переменная функции качества обучения 2 зависит от состояния объекта в некоторый момент времени: п = п(х ), а так как

состояние объекта определяется набором значений (а/, г3 ) / = 1,2,_, шк ^ то п. : К 2шк ^ к1. Аналогичным образом сама функция качества обучения определяется набором п., / = 1,2, _, 1, тогда

2 : Я1 ^ К1. Как уже отмечалось ранее, в общем виде цель обучения состоит в минимизации функции качества 2 с помощью V: п(х)^тт. В

виду реальных свойств человеческой памяти уровень абсолютной обученности практически не достижим [1], поэтому обучение следует заканчивать, когда функция качества обучения достигает заданного порога:

2 < а . (29)

Таким образом, цель обучения заключается в достижении уровня 7, где само пороговое значение определяется исходя из психологических свойств восприятия информации [2] или задается из других дополнительных соображений. Так как при постановке нашей задачи компоненты информационного потока U заранее определены и фиксированы, то добиваться поставленной цели обучения мы будем за счет распределения порций ОИ во времени. Так как обучение обычно происходит в режиме off-line, то у нас есть возможность на одном сеансе обучения повторять управляющее воздействие и измерять уровень незнания ОИ до тех пор, пока не будет достигнут критерий качества обучения (29).

Таким образом, на алгоритм управления ложатся следующие функции:

1. Идентифицировать состояние объекта в

каждый момент времени t ^ ].

2. Сравнить его с плановым состоянием и сделать вывод о необходимости дополнительного управляющего воздействия на объект.

3. В случае необходимости, воздействовать на

объект с целью приближения его текущего

состояния к плановому.

Литература

1. Олейников В. А. Основы оптимального и

экстремального управления / В.А.Олейников, Н.С. Зотов, А.М. Пришвин. - М.: Высш. шк. 1969. - 325 с.

2. Яковец Д.А. О реализации некоторых эргономических требований при разработке обучающих и контролирующих программ / Д.А.Яковец, А.В.Воробьев // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Телекоммуникации, новые информационные технологии и связь. - 2000. -№2 - С .142-145.

3. Пугачев В. С. Теория вероятностей и

математическая статистика / В. С.Пугачев. - М:

Физматлит, 2002. - 496 с.

4. Растригин Л. А. Адаптивное обучение с моделью обучаемого / Л.А. Растригин, М.Х. Эренштейн. - Рига: Зинатне, 1988. - 160 с.

i=1

Воронежский институт МВД России

Воронежский государственный педагогический университет

SIMULATION AS A TRAINING FACILITY MANAGEMENT

O.A. Lastochkina, T.E. Smolentseva, V.V. Ryabinin, E.A. Kovalyova

The article discusses issues related to the management of learning, the setting of management objectives (objective function object) which is the starting point for the design management process and defines the criteria

Key words: object model, modeling, unknown parameters