Моделирование нормальной функции лактации человека Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531/534: [57+61]

Российский Журнал

www.biomech.ru

МОДЕЛИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ЛАКТАЦИИ ЧЕЛОВЕКА

В.М. Тверье*, М.И. Шмурак*, Е.Ю. Симановская**, Ю.И. Няшин*

*Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29а, e-mail: shmurak@permonline.ru

**Кафедра детской стоматологии и ортодонтии Пермской государственной медицинской академии, Россия, 614990, Пермь, ул. Куйбышева, 39

Аннотация. Представлена модель нормальной функции лактации человека, которая полностью описывает процесс естественного вскармливания младенца. В работе определены податливость крупных молочных протоков и цистерн, а также гидравлическое сопротивление в соске. Проведена оценка полученных результатов.

Ключевые слова: модель, молочная железа, объемный расход, податливость, гидравлическое сопротивление.

Введение

Проблема вскармливания детей раннего возраста особенно актуальна сегодня. В настоящее время многие младенцы вскармливаются искусственно [1]. Однако, уже доказана определяющая роль вскармливания первого года жизни в развитии и формировании жевательного аппарата, его строения и функции [2]. Таким образом, существует необходимость в изучении естественного и искусственного вскармливания. Количественное описание первого позволит оценить некоторые параметры, необходимые для моделирования процесса искусственного вскармливания. Полученные результаты могут быть использованы для усовершенствования конструкции соски и бутылочки.

Физиологи разделяют процесс лактации в норме на следующие этапы: молоко образуется в секреторных клетках альвеол, его выработка происходит постоянно и в небольших количествах; затем молоко по системе протоков поступает в молочные синусы, так называемые «хранилища» молока, где оно накапливается до начала кормления [4]. К моменту начала кормления протоковая система железы заполнена молоком. Ребенку для получения молока необходимо лишь преодолеть сопротивление сфинктера в соске. С началом кормления, в первую очередь, освобождаются синусы и крупные протоки. У женщины в момент начала кормления происходит выброс гормона окситоцина, который вызывает сокращение миоэпителия, что стимулирует активное течение молока из альвеол.

Исследования процесса выведения молока у женщин [6] установили, что молоко из молочной железы поступает ребенку не только благодаря разрежению в ротовой полости и стимулам сжатия соска, но вследствие избыточного внутрижелезистого давления (разница между реальным и атмосферным), (рис. 1, а). Измерение

© В.М. Тверье, М.И. Шмурак, Е.Ю. Симановская, Ю.И. Няшин, 2005

09806267

Рис. 1. Внутрижелезистое избыточное давление (а) и скорость выведения молока (б, в) у

родильниц в зависимости от времени

Р 0

(мм рт. ст.)

-50

-100

-150

п----------г

п---------т

J_____________________________________I__________________________________I__________________________________I__________________________________I__________________________________I__________________________________1_

12

0

Рис. 2. График зависимости давления внутри ротовой полости у ребенка при естественном вскармливании и осредненного давления от времени

производилось с помощью металлического катетера диаметром 0,65 мм, который вводился в молочный проток на глубину 1,5 - 2 см. Катетер с помощью полиэтиленовой трубки с внутренним диаметром 0,8 мм соединялся с датчиком давления. Рефлекс молокоотдачи, также как и акт сосания, у младенца имеет импульсный характер. Наибольшие пики внутрижелезистого давления приходятся на первые минуты кормления и составляют примерно 2,7 кПа (20 мм рт. ст.). Кроме того,

Рис. 3. Схематичное изображение течения молока

была получена расходная характеристика для процесса молоковыведения. Для выведения молока использовался специально разработанный аппарат, с помощью которого подавались пневмостимулы давления и вакуума на сосок и ареолу. Для сбора молока использовался градуированный стеклянный молокосборник емкостью 150 мл с ценой деления 1 мл. Объем молока измерялся каждые 30 с (рис. 1, б) и каждые 2 минуты (рис. 1, в).

Известны также данные о давлении (разница между реальным и атмосферным) внутри ротовой полости ребенка [8] во время естественного вскармливания (рис. 2). Для исследования использовалась силиконовая трубка длиной 15 см с катетером на конце, диаметр которого 0,16 см, и датчик давления. Трубка фиксировалась на груди матери, так чтобы один ее конец был во рту у ребенка во время кормления.

В работе [7] была построена модель молочной железы, позволяющая описать процесс естественного вскармливания и определить коэффициент податливости системы крупных протоков и цистерн, а также гидравлическое сопротивление выводных протоков в соске. При построении модели предполагалось, что коэффициент податливости и гидравлическое сопротивление постоянны во времени и пространстве. Опираясь на известные экспериментальные данные, был предположен вид функции объемного поступления молока из альвеол, усредненной по времени. Также был определен эффективный коэффициент податливости системы крупных протоков и цистерн.

Внутренняя стенка крупных молочных протоков и цистерн [4] имеет складчатую поверхность, слизистая оболочка их выстлана двухслойным цилиндрическим эпителием. Эпителиальный слой слизистой крупных молочных протоков покрыт гладкими мышечными волокнами, располагающимися по спирали и продольно. Миоэпителиальных клеток вокруг крупных протоков уже нет. В устьях последних можно наблюдать утолщения радиального слоя мышечных волокон в виде сфинктеров. Мышечные структуры обладают сократительной способностью, которая зависит от скорости приложения нагрузки. Таким образом, податливость крупных молочных протоков и цистерн и гидравлическое сопротивление протоков в соске изменяются во времени.

Построение математической модели железы

Учтем вязкоупругие свойства молочных протоков. При построении модели сделаны следующие допущения:

1) Все крупные протоки и цистерны объединены в один резервуар с эластичными стенками (рис. 3). Резервуар обладает переменной податливостью, а его гидравлическим сопротивлением пренебрегаем.

2) Система выводных протоков в соске представляет собой недеформируемую трубку. Гидравлическое сопротивление этой трубки велико, а податливостью протоков в соске будем пренебрегать.

3) Податливость резервуара и гидравлическое сопротивление выводных протоков в соске изменяются во времени.

4) Не рассматриваются переходные процессы установления движения молока (ламинарное течение).

5) Система протоков всегда частично заполнена молоком, т.е. резервуар пустым не бывает.

Составим систему уравнений, описывающих процесс:

— _ о - д

7> альвеол ^ 5

аі

ау _ а (С ■ р), (1)

р - р

д _ кон

где - скорость изменения объема резервуара, 0алъвеол (7) - объемный расход

молока, поступающего из альвеол, Q(t) - расход молока в начале выводных протоков в соске, - изменение объема крупных протоков, С(7) - эффективная податливость, Р(7) - давление в крупных протоках, Ркон - давление на выходе из жесткой трубки, Ш (7) - гидравлическое сопротивление мелких протоков в соске.

Первое уравнение системы (1) свидетельствует о том, что скорость изменения объема резервуара равняется разности расходов притока в него молока из альвеол и оттока в выводные протоки в соске. Второе уравнение - это предположение, что изменение объема резервуара зависит от изменения податливости и давления молока в нем. Третье уравнение следует из предположения, что молоко является ньютоновской жидкостью и является результатом реализации течения Пуазейля в жесткой трубке.

В системе (1) экспериментально известны функция расхода молока, вытекающего из соска (рис. 1, б), давление внутри цистерн (рис. 1, а) и давление в ротовой полости ребенка во время естественного вскармливания (рис. 2). Функцию податливости резервуара можно построить, опираясь на физиологию и сделав ряд предположений. Следовательно, нужно определить расход молока, поступающего из альвеол, объем крупных протоков и гидравлическое сопротивление в соске.

Построение функции податливости резервуара

Учитывая складчатое строение молочных протоков железы и сделав ряд предположений, построим функцию податливости. До кормления крупные протоки и цистерны заполнены молоком, следовательно, в терминах предполагаемой модели, резервуар заполнен и растянут, его стенки обладают некоторой малой податливостью. Как известно из эксперимента, к моменту начала кормления происходит расслабление

0 4 8 12 t ( мин)

Рис. 4. График податливости резервуара как функции времени

гладкой мускулатуры цистерны, т.е. податливость в этот момент увеличивается, что связано с особенностями физиологии молочной железы [5]. Это можно увидеть на рис. 4, при I = 0 мин (начало кормления) податливость резервуара максимальна. С началом кормления происходит выброс гормона окситоцина, что ведет к сокращению миоэпителия, окружающего альвеолы. Это, в свою очередь, способствует активному поступлению молока в крупные протоки и цистерны, т.е. резервуар, который в начальный момент времени оказался неполным, постепенно вновь заполняется, и податливость его уменьшается (при I = 1 мин резервуар заполнен поступившим из альвеол молоком, рис. 4). Затем, во время кормления, резервуар освобождается, его поверхность становится складчатой, и, значит, податливость в этот момент времени большая (I = 2 мин., рис. 4). После освобождения он вновь заполняется, т.е. функция податливости резервуара периодична. Но она должна быть убывающей, так как к концу кормления из альвеол молока поступает значительно меньше, кроме того, мышечная ткань протоков несколько утрачивает способность к расслаблению.

Предполагается, что резервуар заполнен, когда давление в нем максимально (рис. 1, а). Заполненный резервуар обладает малой податливостью.

Исходя из вышеизложенных данных и предположений, построена функция С (I)

- податливость крупных молочных протоков.

1-Ш1 t—Ш2

С (Г) = (А • соб(ю • t) + В + (А + В) • е + (А + В) • е " ^) • е ~оош, (2)

где А = 0,0001, В = 0,00011, ю = 3,158, о = 0,41, т1 = 6,97, т2 = 8,96. Коэффициенты идентифицированы в вычислительном эксперименте по соответствию физиологическим данным.

График функции представлен на рис. 4. Отметим, что третий и четвертый члены в скобках обеспечивают приближенное постоянство функции, что соответствует промежутку от 6 до 10 минут на графике давления (рис. 1, а). Последний множитель в выражении (2) дает некоторое убывание функции, экспериментально известно, что напряжение молочной железы к концу кормления увеличивается [5].

Полученная функция С ^) имеет максимум при t = 0 равный 0,00021 мл/ мм рт.

ст. и минимум при t = 10,944 равный 8,488*10 6 мл/ мм рт. ст. Эти значения

✓ альвеол

Оа

(мл/мин)

12 і (мин)

Рис. 5. ГРафик функдии <2альвеол (і)

0 альвеол

(мл/мин)

15

10

г X / 1 / / • / / /. /

/ / / N Ч N.

12 і (мин)

0

5

0

4

8

Рис. 6. График функции 0альвеол (^), осредненный по 2 минутам

соответствуют модулю Юнга материала резервуара, равному 6,35*107 Па в первом случае и 1,57*109Па - во втором. По литературным данным модуль Юнга для коллагена составляет 109 Па, а для эластина - 6*105 Па [3], значит, податливость резервуара изменяется от более податливой подобно кровеносным сосудам до менее податливой, как мышечная ткань. Такой диапазон изменения значений модуля Юнга соответствуют известным физиологическим данным для мышечных волокон, выстилающих стенки крупных протоков.

Определение функции расхода молока, поступающего из альвеол

Подставим построенную функцию С (і) во второе уравнение основной системы уравнений (1), а затем из первого и второго уравнения определим расход молока,

поступаю Щего из альвеол Оальвеол (І) :

t(мин)

Рис. 7. График изменения объема резервуара

Оальвеол (і) - 0(і) _

й (С (і) • (Р(і) + Ратм)) йі

(3)

где Р{1) и Q(t) - экспериментально известные функции, но Р- избыточное давление, поэтому к нему добавлено атмосферное давление (рис. 1, а, б, соответственно), Ратм = 760 мм рт. ст.

График функции представлен на рис. 5. Qальвеол ^) удовлетворяет

физиологическим процессам, которые происходят в молочной железе во время кормления. Из альвеол поступает молоко в больших количествах в первые минуты кормления, так как оно накопилось в них в промежутке между кормлениями. Затем, после сокращения миоэпителия, молоко вырабатывается в секреторных клетках и накапливается в альвеолах до следующего сокращения. Вполне естественно предположить, что со временем молока вырабатывается меньше, а паузы между сокращением миоэпителия становятся больше. Значит, полученный результат соответствует физиологии.

Также осредненная по 2 минутам кривая (рис. 6) похожа на уже ранее построенную функцию Qалъвеол ^), исходя из некоторых предположений и известных экспериментальных данных [7].

Проинтегрировав второе уравнение системы (1), можно определить изменение объема резервуара (рис. 7):

V^) = V + С^) • (Р(0 + Ратм ) - С(0) • (Р(0) + Ратм ), (4)

где, исходя из некоторых физиологических данных, предположено, что У0 = 100 мл, С(0) = 0,00021 мл/мм рт. ст. - податливость резервуара при t = 0 мин (рис. 4), Р(0) = 0,56 мм рт. ст. - давление в крупных протоках и цистернах при t = 0 мин (рис. 1, а). Объем также изменяется периодично, но с небольшой амплитудой, так как расход молока, поступающий в резервуар, почти совпадает с расходом молока, которое вытекает.

Ж

мм рт. ст. • мин

400

мл

200

У

/

0

4

8

12 і(мин)

Рис. 8. График зависимости гидравлического сопротивления в соске от времени

Определение сопротивления в выводных протоках

Для дальнейшего моделирования искусственного вскармливания необходимо определить гидравлическое сопротивление в выводных протоках в соске Ж^). Рассмотрим последнее уравнение системы (1):

Р - Р

О =------—, (5)

Ж

здесь Ркон - давление на выходе из соска (в ротовой полости ребенка). График этой

функции экспериментально определен [8] (рис. 2). Установлена аналитическая зависимость осредненной по времени функции давления внутри ротовой полости ребенка во время кормления (рис. 2):

график Ж (^) представлен на рис. 8. Полученная величина Ж (^) в выводных протоках в соске достаточно хорошо описывает процесс работы сфинктера в соске, большие пики сопротивления соответствуют его закрытию, а минимальные значения - тому значению, которое преодолевает ребенок при сосании.

Сделаем некоторую оценку полученных локальных минимумов коэффициента сопротивления (рис. 8).

Рассмотрим значения Жт1п1 = 4,6977 мин*мм рт. ст./ мл = 3,76*1010 Па*с/м3 при I = 1,52 мин., и Жт1п2 = 52,333 мин*мм рт. ст./ мл = 41,86*1010 Па*с/м3 при

I = 7,26 мин., соответствующие пикам, когда молоко поступает из груди в ротовую полость ребенка (рис. 8).

(6)

Из уравнения (5) можно найти сопротивление:

Р - Р Ж(і) = —

(7)

Оценим эффективный радиус отверстия в соске по этим данным согласно формуле Пуазейля:

где примем I = 0,01 м - длина выводного протока в соске, опираясь на известные физиологические данные [4], и п = 2*10-3 Па*с - известная вязкость грудного молока [4].

Полученные результаты Ятп1 = 0,1 мм, ^т1п2 = 0,2 мм довольно достоверны.

Построена математическая модель функционирования молочной железы в норме. Такая модель позволяет изучить и объяснить процесс естественного вскармливания младенца. Определены функция, описывающая процесс выработки молока Оальееол ^), эффективная податливость крупных молочных протоков С@) и сопротивление выводных протоков в соске Ж(^) . В дальнейшем эти результаты будут использоваться при проектировании соски для искусственного вскармливания.

1. Аверьянова, Н.И. Как воспитать здорового ребёнка: Монография / Н.И. Аверьянова, А. А. Гаслова -

Пермь: ПГМА, 2001. - 187 с.

2. Биомеханика вскармливания детей раннего возраста / М.И. Булгакова, Е.Ю. Симановская, Ю.И. Няшин, В.М. Тверье // Российский журнал биомеханики. - 2003. - №4. - С. 9-21.

3. Биофизика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений / Под ред. проф. В.А. Антонова. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2003. - 288 с.

4. Грачев, И.И. Физиология лактации, общая и сравнительная / И.И. Грачев, В.П. Галанцев - Л.: Изд-во «Наука», 1973. - 590 с. - (Серия «Руководство по физиологии»)

5. Закс, М.Г. Молочная железа. Нервная и гормональная регуляция её развития и функции. - М. - Л.: Изд-во «Наука», 1964. - 276 с.

6. Роль вакуумных и тактильных стимулов в процессе выведения молока из молочной железы женщины / Н.П. Алексеев, В.К.. Ярославский, С.Н. Гайдуков, В.И. Ильин, Ю.А. Спесивцев, Т.К. Тихонова, Н.Б.Кулагина // Физиологический журнал им. И.М. Сеченова. - 1994. - №9. - С. 6774.

7. Биомеханическое моделирование функции молочной железы / М.И. Шмурак, В.М. Тверье, Е.Ю. Симановская, Ю.И. Няшин // Российский журнал биомеханики. - 2004. - №3. - С. 9-18.

8. Pattern of milk flow in breast-fed infants / A Lucas., P.J. Lucas, J.D. Baum // The Lancet Ltd. - 1979. -

MODELLING OF NORMAL FUNCTION OF THE HUMAN LACTATION

V.M. Tverier, M.I. Shmurak, E.Y. Simanovskaya, Y.I. Nyashin (Perm, Russia)

The model of normal function of the human lactation is proposed. It completely describes process of breast feeding of infant. Compliance of large milk ducts and tanks as

(8)

Выводы

Список литературы

P. 57-58.

well as hydraulic resistance in the nipple are determined in the article. The obtained results are estimated.

Key words: model, mamma, volume rate of flow, compliance, hydraulic resistance.

Получено 2 марта 2005