CC BY
31
VI. Выводы и заключение
Электроэрозионная обработка является экономичным методом обработки тугоплавких металлов, однако существует ряд задач, не решенных в полной мере. На основе данных о глубине проникновения трещин можно сделать вывод о необходимости оставления увеличенных припусков для финишной шлифовки или полировки перед использованием изделий по назначению. Необходимы дальнейшие исследования глубины залегания дефектного слоя в зависимости от режимов обработки, для тугоплавких металлов. Такие исследования позволят выявить оптимальные режимы обработки для увеличения скорости реза и позволят сократить толщину дефектного слоя.
Список литературы
1. Sharma P., Chakradhar D., Narendranath S. Evaluation of WEDM performance characteristics of Inconel 706 for turbine disk application // Materials and Design. 2015. Vol. 88. 558-566. DOI: 10.1016/j.matdes.2015.09.036.
2. Hasgalyk A., Qayda§ U. Experimental study of wire electrical discharge machining of AISI D5 tool steel // Journal of Materials Processing Technology. 2004. Vol. 148, is. 3. 362-367. DOI: 10.1016/j.jmatprotec.2004.02.048.
3. Saxena K. K., Agarwal S., Khare S. K. Surface Characterization, Material Removal Mechanism and Material Migration Study of Micro EDM Process on Conductive SiC // Procedia CIRP. 2016. Vol. 42. P. 179-184. DOI: 10.1016/j .procir.2016.02.267.
4. Dongre G., Zaware S., Dabade U., Joshi S. S. Multi-objective optimization for silicon wafer slicing using wire-EDM process // Materials Science in Semiconductor Processing. 2015. Vol. 39. P. 793-806. DOI: 10.1016/j.mssp.2015.06.050.
5. Lee S. H., Li X. Study of the surface integrity of the machined workpiece in the EDM of tungsten carbide // Journal of Materials Processing Technology. 2003. Vol. 139, is. 1-3. P. 315-321. DOI: 10.1016/S0924-0136(03)00547-8.
6. Williams R., Rajurkar K. Study of wire electrical discharge machined surface characteristics // Journal of Materials Processing Technology. 1991. Vol. 28, Is. 1-2. P. 127-138. DOI: 10.1016/0924-0136(91)90212-W.
УДК 621.515
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ (ПОМПАЖ) В СИСТЕМАХ С ЦЕНТРОБЕЖНЫМИ КОМПРЕССОРАМИ
MODELING OF THE NON-STATIONARY GASDYNAMIC MODES (SURGE) IN SYSTEMS WITH CENTRIFUGAL COMPRESSORS
А. Д. Ваняшов, Г. Г. Кустиков
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
A. D. Vanyashov, G. G. Kustikov
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. Предложена методика моделирования нестационарных газодинамических процессов в системах с центробежным компрессором, содержащих короткие трубопроводы, емкости, местные сопротивления. Достоверность предложенной методики подтверждена результатами исследований на экспериментальном стенде с одноступенчатым центробежным нагнетателем.
Ключевые слова: центробежный компрессор, помпаж, сеть, газодинамические характеристики.
DOI: 10.25206/2310-9793-7-3-46-53
I. Введение
В системах с центробежными компрессорами на определенных режимах работы системы «компрессор-сеть» возможно возникновение режима газодинамической неустойчивости (помпаж), который характеризуется появлением интенсивных пульсаций давления и расхода газа во всей системе. Расход газа через компрессор при этом может изменяться от максимального до минимального, вплоть до отрицательных значений, что вызывает повышенные динамические нагрузки на ротор, опорные узлы и привод компрессора. Всё это приводит к резкому снижению ресурса и надежности компрессора и всей системы в целом. В отдельных случаях интенсивного помпажа возможно даже разрушение машины. Таким образом, обеспечение газодинамической устойчивости систем с центробежными компрессорами является одним из основных условий их надежной работы.
Анализ структуры систем с центробежными компрессорами показывает, что, несмотря на всё разнообразие конструктивных элементов таких систем, можно выделить три основные группы элементов, обладающих одинаковыми динамическими свойствами:
- элементы, накапливающие потенциальную энергию, к которым относятся все элементы с явно выраженными емкостными свойствами (ресиверы, технологические аппараты с большим геометрическим объемом и т. д.);
- элементы, накапливающие кинетическую энергию, к которым относятся элементы с инерционными свойствами (трубопроводы);
- элементы, рассеивающие энергию, к которым относятся различного рода гидравлические сопротивления.
II. Постановка задачи
Поскольку исследование помпажных режимов работы на натурных установках в силу вышеперечисленных причин затруднено, а в некоторых случаях вообще невозможно, то для этих целей имеет смысл воспользоваться методами математического моделирования. Рассмотрим динамические характеристики элементов каждой из трех групп. Полагаем поток газа одномерным и числа Маха в трубопроводах не превышают М = 0.15, тогда можно считать, что в каждом поперечном сечении энтальпия I = I* и Р = Р*, где звездочкой обозначены параметры заторможенного потока. Как правило, это условие в большинстве реальных систем всегда выполняется, поскольку скорости потока для большинства трубопроводных систем имеют ограничение верхнего уровня в 20 м/с и увеличение скоростей выше этого значения приводит к значительному росту потерь давления.
Рассмотрим динамику элементов с емкостными свойствами на примере емкости (рис. 1) с геометрическим объемом Ус в предположении, что массовые расходы на входе и выходе из нее могут произвольно изменяться с течением времени. Обозначим температуру потока газа и массовый расход на входе в емкость через Т1 и ш\, а аналогичные параметры на выходе из нее через Т2 и ш2, масса газа в емкости Ос, а Рс и Тс - давление и температура газа в ней.
Рис. 1. Схемы замещения емкости и участка трубопровода
III. Теория
При исследовании процессов изменения состояния газа будем считать, что давление и температура по объему камеру отличается от интегрального значения на пренебрежимо малую величину. Очевидно, что
— (m - m) или = (m - m2) (1)
dGc
-— (m — m i или v n
dt y 1 u C dt
Предположим, что процесс изменения состояния газа в емкости в каждый момент времени можно описать политропой с показателем п. В этом случае можно записать
d
— dPc • PCn+d{PCC) • Pc — 0; dpc =Pc •n • PC • dPc; dPc — dPc — dPc • —1— (2)
n • Pc R • ic • n
\PC У
Подставляя полученное выражение для dpC из (2) в формулу (1), получим
Ус ЛРс ™
щ-т2 =-с--с. (3)
Я ■ Тс ■ п Л
Если п=к (процесс изменения состояния газа в емкости происходит по изоэнтропе), то полученная формула преобразуется к виду
У„ Л р„
т-т =-ч~г,
а ш
где а - скорость звука в газе.
Это соотношение обычно и применяется для построения математических моделей емкостных элементов компрессорных систем. При относительно небольших пульсациях давления и расхода газа предположение о изоэнтропном характере процесса вполне допустимо, но при помпажных колебаниях пульсации расхода и давления имеют большую амплитуду. В связи с этим при моделировании динамических свойств емкостных элементов необходимо учитывать текущее значение показателя политропы процесса изменения состояния газа в емкости. Показатель степени п определяется как n=(C-CP)/(С-СV), где С- теплоемкость процесса, СР - теплоемкость газа при постоянном давлении, С-у - теплоемкость газа при постоянном объеме. Теплоемкость процесса находится из уравнения С=dq/dT, где q - количество тепла, подведенного к одному килограмму газа.
Величина dq находится из уравнения теплового баланса
с1д - °с '1с + ^ 'т 'Т ~'с 'т2 'Тс-Мт, (4)
+ (т1-т2 с
где iC - удельная энтальпия газа в емкости; i-i - энтальпия втекающего газа; m-i - массовый расход втекающего газа; m2 - массовый расход вытекающего газа; GC - масса газа в емкости; ^ - тепловой поток через поверхность теплообмена.
Величину изменения температуры dT находим из уравнения dT= (dq-PC^dv)/CV, где dv - изменение удельного объема. Для определения величины изменения удельного объема в емкости (рис. 1) за промежуток времени At рассмотрим изменение состояния некоторой массы газа GC + т\ ^Лt. В начальный момент времени t эта масса будет занимать объем
V = Vc +
P
В момент времени t + At выделенная масса будет занимать объем
m ■At ■ r ■т ^
^=Vc+, (6)
P2
поэтому изменение объема V будет равно
AV = V.4,-V = V -^-к-
m-At■ r■ т m-At■ R■т _(m■ R■ тс Щ ■ R■ тл
p c p p2 p
P P
1 2 p
At. (7)
Переходя к удельному объему Av, получаем
(m ■ R■T /P-m ■ R■ T /P)At
Av = —-c-2-1-1--—. (8)
g+щ At
При At^-0 можно принять, что P1 = P2= Pc, тогда
Av = lim ^ (щ2 ■R Tc / pc - m ■R ■T/ pc )dt . (9)
At^° G + m ■ dt
Динамические модели трубопроводов достаточно подробно описаны во многих работах, посвященных транспортировке жидкости и газа. Длинные трубопроводы обычно рассматриваются как системы с распределенными параметрами. Например, в работе [1] со ссылкой на [2] показано, что при невысоких скоростях движения газа в трубопроводе и изотермическом характере потока для случая турбулентного режима течения уравнения движения имеют вид
8P 8(pw) А RT . ,2
— ^ +--(pw)2
8x 8t 8S P
8P 2 8(pw)
8t 8x
(10)
где х - расстояние вдоль трубопровода; р - плотность газа; V - скорость потока; X - коэффициент гидравлического трения; 3 - гидравлический радиус трубопровода; с - скорость звука в газе.
Для моделирования нестационарных процессов в системах с центробежными компрессорами уравнения динамики трубопроводов удобнее представить в несколько ином виде.
Разобьем трубопровод на отдельные участки длиной йх, где х - расстояние вдоль трубопровода. Обозначим давление и расход в начале и конце /-го участка через Р/, т, и Р+ , да,+1 соответственно. Очевидно, что
Р2 = Р + —Шх, т = т + — Шх. (11)
2 1 ^ 2 1
ох ох
Обозначим через Я0 величину Я0=Я/1 , где I - длина трубопровода; Я - гидравлическое сопротивление трубопровода. Площадь сечения трубопровода обозначим через 5", а обратную величину 1/5 обозначим через Ь0. Тогда для участка йх можно записать
дР дм Р = Р +--Шх = Р - Я ■ Шх ■ т - Ьг, ■ Шх--,
21 дх 1 ^ 0 дг
-д± =я ,т + Ь0 — . (12)
дх дг
Расход газа т2 и-за наличия собственной емкости трубопровода отличается от т1 на величину йт = т1 - т2. С учетом уравнения (3) получим
Шт = Цр +дрщх]. (13)
Я •Тс•п дг У дх )
Если пренебречь слагаемыми второго порядка малости, то последнее соотношение можно записать в виде
Б■ Шх дР
Шт =--1. (14)
Я■Тс■п дг
Поскольку для т2 справедливо соотношение
ш2 = т -Шт = т + дтШх, (15)
дх
то можно записать, что
дт Б дР --=--1. (1б)
дх Я ■ Тс ■ п дг
В результате динамика трубопроводов систем с центробежными компрессорами описывается системой двух дифференциальных уравнений в частных производных
дР т дт
--= Я0 ■ т + Р0 —
дх дг
дт Б дР
дх Я ■ Тс ■ п дг
(17)
Если параметры потока на концах трубопровода ненамного отличаются от средних значений (что справедливо для коротких трубопроводов), то можно считать, что р\= р2= р, а тх=т2 . Тогда вместо системы уравнений (17) имеем уравнение
т „ . Т , Шт
-ШР = Я0 ■ I ■ т +■ I--. (18)
Шг
Величина Ь0А =Ь - инерционность трубопровода, а Я01 =Я - сопротивление трубопровода.
При выводе уравнений предполагалось, что поток по сечению равномерный. В некоторых случаях такое допущение не вполне корректно, поскольку профиль эпюры скоростей по сечению трубы может быть, существенно, неравномерным. В этих случаях вместо геометрической площади сечения трубы £ следует применить эквивалентную площадь сечения £'. Для вычисления эквивалентной площади сечения круглой трубы можно воспользоваться формулой
Б ' = ■
а
V
а
(19)
— \м>2 ■ 2жг ■ Шг I-2- {м2 ■ г ■ Шг
Б „ \| г „
Применение в этой формуле среднеквадратичной скорости обусловлено тем, что кинетическая энергия потока в эквивалентном сечении Б' и кинетической энергии в исходном сечении должны быть равны между собой, так как в противном случае подобие нарушается. Для стационарного турбулентного потока обычно принимается степенная зависимость распределения скоростей по сечению
м
(г\
г
У г0 )
(20)
где w - текущее значение скорости по радиусу; - максимальное значение скорости потока; г - текущее значение радиуса; г0 - внутренний радиус трубопровода; п - коэффициент, зависящий от числа Рейнольдса и изменяющийся от 6 для Яе=4103 до 10 для Яе=3.2106 Максимальную скорость можно найти из соотношения
м
2п
М (п + 1) ■ (2п +1)
(21)
где М - средняя скорость потока по сечению.
В случае нестационарных режимов течения могут наблюдаться отклонения от стационарного распределения скоростей по сечению, что следует учитывать при вычислении среднеквадратичной скорости. В работе [3] показано, что отклонение нестационарных профилей скорости от своих стационарных значений не превышает 10-15%. Учитывая это обстоятельство, а также то, что Б' и £ в большинстве реальных случаев отличаются между собой не более чем на 5-10%, можно условно принять, что закон распределения скоростей по сечению соответствует стационарному.
Рассеивание энергии в системах с центробежными компрессорами происходит на различного рода гидравлических сопротивлениях. В системах с длинными трубопроводами преобладающее влияние оказывает распределенное гидравлическое сопротивление трубопроводов, а в системах с короткими трубопроводами - различного рода местные сопротивления. В работе [2] показано, что потери давления в трубопроводах при нестационарном течении потока можно определять по тем же уравнениям, что и для стационарного режима. Следовательно, для определения величины Я0 в уравнении (18) можно записать
X рм>2 X т2
= Ъ'= Ъ 2рБ2
(
X
т
\
Ъ 2 р Б2
т,
(22)
где X - коэффициент гидравлического трения; В - диаметр трубопровода; т - массовый расход газа через трубопровод.
Для определения потерь на местных сопротивлениях в динамическом режиме также будем считать, что инерционными свойствами потока можно пренебречь. Если перепады давления на местном сопротивлении не слишком велики, то эффектом изменения температуры за счет реальности газа можно пренебречь и полагать, что температуры заторможенного потока до и после местного сопротивления одинаковы. Тогда для определения потерь давления на местном сопротивлении можно записать выражение
Р* - Р = 4
т
(
2 ■р Б2
4
т
Л
2 ■р Б2
■т = Ят,
(23)
где % - коэффициент местного сопротивления; 5 - площадь узкого сечения потока; т - массовый расход газа через местное сопротивление.
Из теории акустики известно, что инерционные свойства местных сопротивлений типа диафрагмы можно приближенно учесть с помощью выражения
^ =
1
Д Ф(DJD1)
(24)
где - диаметр сужения диафрагмы; Б2 - диаметр трубопровода;
Ф(Д/ D2) =
г п (п ^
1 -1,47 п + 0,471 п1-
п
п
- функция Фока.
При моделировании нестационарных режимов работы ступени центробежного компрессора предварительно примем, что ее внешние характеристики для стационарных режимов известны и заданы в виде зависимостей пк=/1(0); Нк=/2^) при некоторых номинальных условиях на входе в ступень Тпр , Рпр и при номинальной частоте вращения ротора тпр. Предполагается, что указанные характеристики известны во всем диапазоне расходов газа через ступень в условиях нестационарного режима работы. Условимся также, что емкость, инерционность и гидравлическое сопротивление всасывающего патрубка можно отнести ко входному трубопроводу, а соответствующие параметров нагнетательного патрубка - к выходному трубопроводу. Поскольку внутренний объем проточной части ступени относительно невелик, то емкостными свойствами ступени можно пренебречь и считать, что массовый расход газа в ступень тн в любой момент времени равен массовому расходу газа через нагнетательный патрубок тк (за вычетом обычно незначительных внешних протечек через лабиринтные уплотнения вала ). Для стационарного режима работы давление на выходе ступени определяется соотношением
Рк = Рн Ж = Рн • Г(в,а)>
(25)
где Q - объемный расход газа через ступень; т - угловая частота вращения ротора.
Поскольку частота вращения ротора и температура газа перед ступенью в процессе помпажа могут существенно изменяться, то для расчетов следует воспользоваться приведенными параметрами.
При нестационарных режимах работы мгновенные значения степени повышения давления в ступени компрессора могут не совпадать с аналогичными значениями при данном расходе. Причиной этого является то обстоятельство, что при быстром изменении расхода через ступень требуется некоторый конечный промежуток времени для перестройки потока.
Неучет этого эффекта может привести к погрешностям при моделировании нестационарных режимов в системах с центробежными компрессорами. Результаты исследования этого эффекта в осевых компрессорах приведены в [4, 5], где показано, что для развития полного срыва потока в компрессоре был необходим промежуток времени, равный 5-10 периодам частоты вращения ротора компрессора. Учет запаздывания реакции компрессора предложено учитывать с помощью постоянной времени компрессора т, определяемой по результатам эксперимента. Тогда для динамической характеристики компрессора можно записать выражение
ж„ = Ж~Т-
дЖк
дг
(26)
Тогда результирующая система уравнений для описания динамических режимов ступени центробежного компрессора будет иметь следующий вид:
Р, = Р.
( V (
а
а
\ пР У
дп\
пр
ж -т---
"р дг ,
(
да„
Р Т
N - Рн__п-Р-
п т Р
н пр
( л3
а
+1
Л
а
\ пр
■ N..
дг
впр = тн
а' = ф_
J ■а
Я ■ Т (а ^
Р
а
н \ У
Здесь ппр и Жк.пр - зависимости ппр = /(Опр) и потребляемой компрессором мощности Жкпр = /(Опр) при ча-
стоте вращения ротора т
р; Ып - мощность привода Ып= /(т); J - момент инерции системы компрессора и
привода, приведенный к ротору компрессора.
IV. Результаты экспериментов
Проверка адекватности предложенной модели производилась на экспериментальной установке с одноступенчатым центробежным нагнетателем. Газодинамическая схема установки приведена на рис. 2 и состоит из емкости объемом 0.2 м3, короткого трубопровода длиной 2.2 метра и собственно центробежного нагнетателя. Центробежный нагнетатель с полуоткрытым осерадиальным рабочим колесом приводится во вращение от регулируемого двигателя постоянного тока через повышающий редуктор с передаточным отношением 14.25 и максимальной частотой вращения 50 000 об/мин. Момент инерции роторов привода и нагнетателя - 0.17 кгм2. Характеристики ступени с лопаточным диффузором в зоне положительных расходов при условном числе Маха Ми2 = 0.64 приведены на рис. 3. Характеристика нагнетателя в зоне отрицательных расходов находилась по результатам обработки осциллограмм помпажных пульсаций и аппроксимировалась квадратичной параболой.
Рис. 2. Газодинамическая схема экспериментальной установки
Рис. 3. Характеристика экспериментальной ступени пк=--/(О)
V. Обсуждение результатов Исходя из приведенных выше уравнений для системы (рис. 2)
Р -ьП2--Ц ■—-Я, К = р ;
С И2 & Я 2 Ц д1 Ы\ к ос
(28)
(Рос -(4 2 + 4з - Рс )
(Яз - Я)
= т.
(29)
т - т2 =
Ус Р ЯТс^п дг
(30)
ш
Подставляя выражение (29) в (30), получим
[P -(LR2 + LR3)
dm2
IdF
- P
(R - R)
Vc P R • Tc • n dt
В этих уравнениях Ы - инерционность входного трубопровода; Кы - гидравлическое сопротивление трубопровода; ЫК2, ЫК3 - инерционности входа и выхода из емкости, а также дросселя на входе; Ль К3 -местные гидравлические сопротивления входа и выхода из емкости и гидравлическое сопротивление дросселя; Ус - объем емкости; Рос - давление окружающей среды.
Поскольку по результатам расчетов величина + ЬК2)'йш2/й1 составляет менее 1% от разности давлений Рос-Рс, то этой величиной можно пренебречь. С учетом этого допущения динамику поведения рассматриваемой газодинамической системы опишем следующей системой уравнений
dm
Рс -(Lr2 + L)-2-(R -Rl) • m2 К = Poc;
P - Pr
ос C
Vc dPc
R - R R • Tc • n dt
(31)
Результаты численного и натурного экспериментов представлены на рис. 4, где приведены осциллограммы пульсаций давления в емкости. Из осциллограмм следует, что результаты моделирования хорошо совпадают как по частоте, так и амплитуде пульсаций давления, что подтверждает адекватность модели рассматриваемой системы.
Рис. 4. Сравнение результатов эксперимента и численного моделирования
VI. Выводы и заключение
По результатам проведенных исследований можно заключить, что предложенная методика может быть использована для оценки границ газодинамической устойчивости систем с центробежными компрессорами при переменных режимах работы, а также оценки амплитуды и временных характеристик помпажных пульсаций давления и расхода газа через компрессор.
Список литературы
1. Спиридонов С. В. Эволюция расчётных моделей в транспорте газа // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. 2016. № 9. С. 37-43.
2. Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. Изд. 2, перераб. и доп. М.: «Недра», 1975. 296 с.
3. Попов Д. Н., Смирнов А. А. Расчет нестационарных процессов в сложных гидросистемах с распределенными параметрами // Вестник машиностроения. 1994. № 11. С. 16-19.
4. Meher-Homji C. B., Bromley A. Gas turbine axial compressor fouling and washing // Proceeding of the thirty-third turbomashinery symposium. 2004. P. 163-191.
5. Cumpsty N. A. Compressor aerodynamics. Krieger Pub Co, 2004. 552 p.
m2 =
