CC BY
42
УДК [626.8+625.7/8+69]:624.131.6
В. И. СОЛОГАЕВ Д. А. ЧЕРНОВ
Омский государственный аграрный университет им. П. А. Столыпина
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В НАПОРНЫХ ПОТОКАХ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ДВИЖЕНИИ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ЗАЩИТЫ ОТ ПОДТОПЛЕНИЯ_
В данной статье выведена формула моделирования турбулентного режима фильтрационного потока в грунте малой мощности методом конечных разностей в электронных таблицах при нестационарной плоскопараллельной фильтрации воды с постоянным уровнем в источнике подтопления при проведении прогнозов подтопления и дренирования в мелиоративном, городском и дорожном строительстве. Кроме того, с помощью моделирования в электронных таблицах эмпирически найден новый критерий устойчивости для турбулентных МКР-моделей при фильтрации воды в крупнозернистых средах.
Ключевые слова: моделирование, метод электронных таблиц, плоскопараллельная фильтрация воды, турбулентные потоки, автоматизация проектирования защиты от подтопления в мелиоративном, городском и дорожном строительстве.
Введение. Проектирование защиты от подтопления в городском строительстве требует, прежде всего, проведения прогноза подтопления. В случае высокой проницаемости грунтов оснований, особенно при технической мелиорации территории, закон Дарси может не соблюдаться и наступает турбулентная фильтрация. Например, в щебеночных подсыпках автомобильных дорог, а также вблизи смотровых колодцев сетей водоснабжения, водоот-ведения и других. Однако методика моделирования таких случаев фильтрации воды практически отсутствует. Представленная работа преследует цель наметить некоторые положения разрабатываемой нами методики.
Методы исследования. Изучение процессов нестационарной фильтрации при турбулентном движении является частью вопроса о движении турбулентных потоков в пористых средах. В реальных условиях все фильтрационные потоки являются неустановившимися. Работа дренажа в период строительства весьма связана с нестационарной фильтрацией, так как возникают и развиваются кривые депрессии уровня грунтовых вод (УГВ) или воронки депрессии. Например, в условиях Омска этот период может продолжаться около месяца [1, с. 127].
Целью статьи является вывод формулы моделирования турбулентной фильтрации воды при плоскопараллельном стационарном (установившемся) движении, используя метод конечных разностей (МКР). Формулу моделирования плоскопараллель-
ной нестационарной фильтрации получим из балансового уравнения нестационарной фильтрации в линеаризованной постановке по I способу для внутреннего узла I сетки (рис 1).
Как известно [1, с. 290], балансовое уравнение нестационарной фильтрации в линеаризованной постановке по первому способу для внутреннего узла I сетки имеет вид
К к— - к к—+к , К к — к+к1Л , К-----1 — К-----1 —
ВЬ 2 ВЬ 2
к5+1 — к5 ВЬ .м.к-^, (1)
В1
где К — коэффициент фильтрации, см/с;
БЬ — расстояние между напорами, см;
Б1 — промежуток времени, с;
— предыдущий напор в точке, см;
+ 1 — последующий напор в точке, см;
И. — напор в точке, см.
Исходя из закона турбулентной фильтрации, предложенного Краснопольским в 1912 году [2], балансовое уравнение нестационарной фильтрации в линеаризованной постановке по первому способу для внутреннего узла I сетки будет:
ВЬ
2
к-}^ .кф., _ к-}кЬкк ,=вь.м.к^1, (2)
ВЬ
2
В1
где К — коэффициент фильтрации, см/с; БЬ — расстояние между напорами, см; Б1 — промежуток времени, с;
№
Рис. 1. Схема-шаблон одномерной безнапорной нестационарной фильтрации МКР
А в С 1 D Е F G Н 1 J К L м
1 Формула моделирования нестационарной фильтрации DL К (i н а Устойчивость а
2 р 10 у» 0,87 0,46 20 37,82608696 2,390305751
3
4
5 H/L 0 10 20 / 30 50 60 70 80 90 100 Dt Щ
6 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 ш 0,467737 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,553
8 Щ 1,410482 0,003346 у// 0 0 0 0 0 0 0 0 1,106
9 20 2,832403 0,029654 0 0 0 0 0 0 0 0 1,659
10 20 4,711071 0Н2Щ75 0,10«£вВД53_ -4А0658Е-10 0 0 0 0 0 0 0 2,212
11 20 6,966577 0,399472 ' 1 fill п я г т1 ' 1 ЛЯП,- 1-1
/4 J,U21i.<4L ОЦ J,U4 J ; L 11 и и и и и и • 2,/65
12 20 9,428954 0,98382 0,009266428 1.55684Е-06 1,64852Е-13 5.27Е-27 0 0 0 0 0 3,318
13 20 11,82383 2,055638 0,045121395 3,42125Е-05 7,1273Е-11 2,45Е-21 1,39997Е-41 0 0 0 0 3,871
14 20 13,81596 3,745812 0,169337105 0,000435334 8.44318Е-09 2,52Е-17 5,0739Е-33 2Д9142Е-63 0 0 0 4,424
15 20 15,15087 6,020257 0,514530916 0,003718757 4,35944Е-07 3,65 Е-14 5,94517Е-27 1,70103 Е-50 4,82823Е-96 0 0 4,977
16 20 15,8533 8,563821 1,297015073 0,023076745 1,22958Е-05 1,51Е-11 3,65258Е-22 2,39719 Е-41 1,16018Е-76 5,548Е-145 0 5,53
17 20 16,2609 10,82693 2,740401759 0,108584263 0,000214003 2,5 Е-09 3,37194Е-18 4.01559Е-34 6,75155Е-63 7,1884Е-116 0 6,083
18 20 16,69846 12,36834 4,871466707 0,396375422 0,002461385 1,99 Е-07 7,82529Е-15 3.88559Е-28 5,04965Е-52 3,48131Е-95 0 6,636
19 >0 17,11973 13,27126 7,322898392 1,136946829 0,019470587 8,5Е-06 6,04073Е-12 4,70602 Е-23 5,20698Е-43 7,71422Е-79 0 7,189
20 20 17,36702 13,95887 9,459726581 2,587907229 0,108770673 0,000207 1,820б9Е-09 1,08702 Е-18 2,36355Е-35 2,75083Е-б5 0 7,742
21 20 17,58683 14,59877 10,87887585 4,732182681 0,439017609 0,003024 2,36202Е-07 6,09505Е-15 8,89007Е-29 9,01356Е-54 0 8,295
22 20 17,81716 15,1424 11,75199021 7,074063265 1,311108904 0,027432 1.41495Е-05 9,6112Ё-12 3,98147Е-23 7,01349Е-44 0 8,848
23 20 17,99215 15,5321 12,53457074 8,904386437 2,965820005 0,161851 0,000418162 4.74133Е-09 2.64898Е-18 2,23343Е-35 0 9,401
24 20 18,1101 15,90753 13,26362252 10,02651499 5,195709314 0,648702 0,006554433 8,09653 Е-07 3,07338Е-14 4,05832Е-28 0 9,954
25 20 18,29943 16,2109 13,812984 10,86575258 7,281727356 1,834796 0,05867393 5.35374Е-05 7,24174Е-11 5,35347Е-22 0 10,507
26 20 18,30689 16,5645 14,24445488 11,70364599 8,649669091 3,796187 0,321112248 0,001540638 4Д043Е-08 6,44547Е-17 0 11,06
Рис. 2. Модель одномерной плоскопараллельной нестационарной фильтрации
— предыдущий напор в точке, см;
— последующий напор в точке, см; И. — напор в точке, см.
Произведя математические выкладки, получим формулу моделирования:
Dt-K-1 № - h-h-i+ h
DL
hS - hi h + ^
DL
2
DL- ц
-+ hS
(3)
того что бы модель работала правильно, т.к. модель построена в явном виде. Напоры в формулах выражены относительно максимально возможного шага времени Dtmax на модели. Шаг времени Dt нужно назначить так, что бы он был равен или меньше Dt .
L max
Для одномерных плоскопараллельных МКР-моделей критерий устойчивости при выборе шага времени такой [3]:
-DLL
Dtmax 't
2a
(4)
Компьютерное моделирование в электронной таблице предполагает, что дискретные состояния напоров водоносного пласта чередуются друг за другом в виде строк, столбцов. Шаги времени идут построчно вниз, что соответствует направлению счета в таблице. Чем больше проходит дискретных шагов времени Б; тем больше состояний напоров накапливается в файле модели (рис 2). Положительное свойство компьютерного моделирования заключается в том, что в конце расчетного периода времени можно вернуться в таблице к каким-то промежуточным временным состояниям и просмотреть распределение напоров [1, с. 293].
При расчете нестационарных моделей с помощью метода конечных разностей (МКР) необходимо определить критерий устойчивости модели, для
где DL
расстояние между узлами сетки модели, см; атах — максимальная уровнепроводность для напорных пластов.
В случае безнапорных пластов вместо уровне-проводности нужно подставить произведение максимального напора и коэффициента фильтрации, деленных на коэффициент недостатка насыщения при прогнозах подтопления или на коэффициент водоотдачи в случае расчета дренажа или водопо-низительной скважины.
Для формулы (3) условие (4) не выполняется вследствие того, что градиент стоит под знаком радикала. Для решения данного вопроса мы провели серию опытов на компьютерной модели с целью нахождения нового критерия устойчивости
=
Рис. 3. График зависимости a=f(I)
при турбулентных потоках. Критерий устойчивости является безразмерной величиной, поэтому будем его находить в зависимости от градиента напора эмпирическим способом.
С помощью электронных таблиц найдем безразмерное соотношение для МКР-моделей турбулентных потоков.
а>-
DL
2а ■ Dt„
(5)
которое для ламинарных фильтрационных потоков имеет в левой части 1 вместо а.
На основании проведенных опытов получен график зависимости безразмерной величины а от градиента напора I (рис. 3).
Используя функцию Excel под названием «Линия тренда» и выбрав вкладку «Степенная линия тренда», получена зависимость (6) с величиной достоверности аппроксимации, равной 0,9999 в виде
В случае безнапорных потоков в формуле (9) необходимо вместо а подставить произведение максимального напора и коэффициента фильтрации, деленных на коэффициент недостатка насыщения при прогнозах подтопления или на коэффициент водоотдачи в случае расчета дренажа или водопо-низительной скважины.
Выводы
1. Получена формула моделирования турбулентной нестационарной фильтрации (3).
2. Найден новый критерий устойчивости (9) для турбулентных одномерных МКР-моделей.
3. Новые зависимости рекомендуется использовать при прогнозах подтопления в мелиоративном, городском и дорожном строительстве, а также при автоматизации проектирования защиты от подтопления строительных объектов.
Библиографический список
а=1,0705■ I-0
(6)
С погрешностью не более 7 % формула (6) упростится до вида
a=I-0
(7)
Получив данную зависимость (7), преобразуем формулу (5) для нашего случая:
1. Сологаев, В. И. Фильтрационные расчеты и компьютерное моделирование при защите от подтопления в городском строительстве / В.И. Сологаев : монография. — Омск : СибАДИ, 2002. - 416 с.
2. Климентов, П. П. Общая гидрогеология / П. П. Климентов, Г. Я. Богданов. - М. : НЕДРА, 1977. - 352 с.
3. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — М. : Наука, 1978. - 512 с.
I-05 > -
DL2
2а_ ■ Dt
(8)
На основании формулы (8) получим значение максимального шага времени для напорных потоков по новому критерию устойчивости в турбулентных фильтрационных потоках при нестационарной фильтрации для одномерных МКР-моделей в виде
СОЛОГАЕВ Валерий Иванович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры при-родообустройства и водопользования. ЧЕРНОВ Дмитрий Александрович, аспирант кафедры природообустройства и водопользования. Адрес для переписки: dmitry_chernov@list.ru
Dt = -
DL2 ■ I -
2ат
(9)
Статья поступила в редакцию 21.08.2014 г. © В. И. Сологаев, Д. А. Чернов
