CC BY
100
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Т о м X 1 9 7 9 №4
УДК 533.6.011.55.011.6
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ
ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ К КАТАЛИТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В. П. Агафонов, М. М. кузнецов
Сформулированы условия, необходимые для моделирования в газодинамических установках величины неравновесного теплового потока в критической точке обтекаемого тела. Показано, что выбор параметров моделирования определяется зависимостью коэффициента каталитической рекомбинации от парциальных давлений смеси газов и температуры поверхности. Проанализированы различные случаи неявной зависимости коэффициента рекомбинации от газодинамических параметров и предложена методика определения натурного значения теплового потока при испытаниях в газодинамических установках.
1. Влияние неравновесных физико-химических процессов на величину тепловых потоков в натурных условиях гиперзвукового полета в атмосфере Земли связано главным образом с диссоциацией молекул воздуха за сильными ударными волнами, возникающими перед телом. Далее, диффундируя в пограничном слое, частицы газа либо освобождают эту энергию при обратном процессе рекомбинации атомов в молекулы (в самом потоке или на поверхности тела), либо эта энергия уносится „замороженным" потоком в присутствии некаталитической поверхности. В результате величина теплового потока к телу может отличаться в два-три раза [1].
В гиперзвуковых аэродинамических установках с подогревом образующаяся концентрация атомов газа (воздуха) для моделируемых режимов, как правило, „замораживается" при течении в сопле и рабочей части, а также за ударной волной и в пограничном слое перед моделью [2]. Поэтому величина теплового потока к поверхности непосредственно зависит от ее каталитических свойств, т. е. чем больше атомов рекомбинирует на поверхности (с соответствующим выделением энергии), тем больше величина теплового потока к модели.
На рис. 1 приведено характерное изменение концентрации атомов перед телом при натурном полете и при течении в экспериментальной установке.
В общем случае моделирование неравновесных гомо- и гетерогенных процессов в аэродинамике сводится к воспроизведению натурных условий полета и натурного размера для модели.
Однако анализ режимов полета возвращаемых гиперзвуковых летательных аппаратов [3, 4] показал, что область максимальных значений тепловых потоков (представляющая наибольший интерес для моделирования) соответствует диапазону скоростей и высот полета, при которых для тел с радиусом сферического затупления 1 м течение в ламинарном пограничном слое в окрестности критической точки можно считать „замороженным"*.
Рис. 1
Действительно, воспользуемся приближенным решением для бинарной смеси газов [6]. (Такое приближение допустимо в случае воздуха для оценки „замороженности" реакций рекомбинации, так-как константы рекомбинации кг для азота и кислорода близки друг к другу [1]). Пусть «^—концентрация атомов на поверхности при „замороженных" реакциях в газовой фазе. Тогда уменьшение количества атомов на поверхности тела <хю в результате процесса рекомбинации внутри пограничного слоя составляет величину менее 10%, т. е. 0,9 при Г* ^0,1. Здесь Г* — обобщенное
число Дамкелера, которое одновременно учитывает влияние реакций в газе и на поверхности [6]. Например, в [3] при скорости полета 1/~6,6 км/с на высоте //~69 км, температуре поверхности 7,да<2000 К и /?= 1 м величина Г*^0,1—для некаталитической
* Как показывают расчеты [5] и др., при последующем обтекании затупления вниз по потоку течение в пограничном слое будет тем более .замороженным*.
поверхности и Г*^10-2—для идеально каталитической поверхности.
Выполнение условия „замороженности" процесса рекомбинации в пограничном слое для других значений параметров можно оценить, используя следующую зависимость (для некаталитической поверхности):
г (i>
здесь Hj и р5 — концентрация атомов и плотность на внешней границе пограничного слоя; рг и р'0— градиент скорости и давление в критической точке невязкого потока; IZ(TW) — интеграл, определяемый с помощью зависимости, график которой изображен на рис. 5.20 работы [1].
Условие „замороженности" позволяет упростить моделирование „химической" составляющей теплового потока, поскольку как в натурных условиях, так и при испытании модели в аэродинамической установке изменение концентрации атомов в пограничном слое определяется только их диффузией и каталитической активностью поверхности. В невязком же потоке перед моделью можно создавать необходимые для моделирования, в частности натурные, значения концентрации атомов, подбирая соответствующие параметры подогрева. На рис. 2 приведены, например, „замороженные" значения концентраций атомов кислорода а0 и азота aN (а также aNO) перед моделью, рассчитанные на основе данных работы [7], в зависимости от температуры торможепия Т01 и давления торможения p0t в форкамере установки.
2. Рассмотрим течение в окрестности критической точки затупленного тела с радиусом сферического затупления R и температурой поверхности Тш, обтекаемого гиперзвуковым потоком со скоростью Vac и плотностью р^ в режиме пограничного слоя. В рассматриваемом диапазоне скоростей и высот полета основную роль
(/) - Pot = ю= Н/м=; (10)-Ры = ю6 Н/м5 Рис. 2
в создании „химической" составляющей теплового потока играет процесс рекомбинации атомов в молекулы. Поэтому в качестве химической модели воздуха рассмотрим диссоциированную смесь атомов кислорода и азота и их молекул с осредненным молекулярным весом; колебательные степени свободы молекул будем считать равновесно возбужденными.
Тогда величина неравновесного теплового потока к каталитической поверхности тела при „замороженных" реакциях в пограничном слое может быть представлена в виде
1 = 1. 2
¿Ж
(1 + Гщ,г)
(2.1)
здесь р0 0,97р^ 1/оо— давление в критической точке, //0= 1^/2— энтальпия торможения, — энтальпия стенки, концент-
рация атомов на внешней границе пограничного слоя (индекс 1 относится к кислороду, индекс 2 —к азоту); /г? — соответствующая энергия образования (А? = 0,77-Ю7 ма/с2; А° = 1,68-107 м2/с2).
Величина
т> _ -а?
~~ 0,47 Бс1'3
' V' \ 1 01
-3/4
(2.2)
является числом Дамкелера для рекомбинации /-компонента газа на поверхности [1] и характеризует собой отношение времени диффузии газа в пограничном слое ко времени релаксации процесса рекомбинации атомов на поверхности — эффективность рекомбинации).
Выражение (2.1) является обобщением решения Гуларда [8] для „замороженного" пограничного слоя с каталитическими реакциями на поверхности; при значениях числа Льюиса — Семенова, не очень отличающихся от единицы, и Г^,,- > 1 (идеально-каталитическая поверхность) это выражение согласуется с аппроксимацион-ными формулами для равновесного пограничного слоя (см., например, [9]).
Таким образом, в рассматриваемых условиях величина теплового потока к поверхности, кроме газо- и термодинамических характеристик, непосредственно зависит от „замороженной" энергии диссоциации а.Ь1 А° атомарных компонентов и эффективности ^ рекомбинации атомов на поверхности, которые могут значительно отличаться для разных компонентов смеси. Основная трудность в моделировании „химической" составляющей теплового потока заключается в том, что величины как правило, заранее неизвестны. Более того, имеются данные [10], которые свидетельствуют, что величина -¡ш1 для разных материалов при увеличении температуры поверхности Тт от 300 до 1000 К изменяется на несколько порядков. Кроме того, величина ~{ъо1 может зависеть и от давления.
Рассмотрим простейшие механизмы гетерогенных каталитических реакций [11]. Они включают в себя реакции Или—Райдила
(5 - Х)зй,, + хф* Б + Хг, (2.3)
Ленгмюра — Хиншельвуда
25 +X, (2.4)
к-2
и уравнения физической и химической адсорбции
ь3
ЛГ + ЗгМЗ —(2.5) Х2 + 5 :рг (5 — ХЫв; (2-6)
—4
здесь А'з, Л' — молекулы и атомы исходного вещества в газовой фазе; (5 — Х2)лЛа, (5 — —молекулы и атомы того же вещества в адсорбированном состоянии; 5 — атом поверхности; ки ¿2 • ■ • — константы скоростей соответствующих процессов.
В соответствии с представлениями феноменологической теории гетерогенных реакций скорости процессов (2.3)-—(2.6) могут быть записаны в следующем виде [11]:
о, г, — (1 — с) г2,
/?2 = 2£2 о? Л/, — 2 £-2(1— о) г2; /?3=£3(1 — 0)2] — £_з з,ЛГ0;
/?4 = ¿4 (1 — а) 22 — £4 о2 УУ0;
(2.7)
/
здесь Л/"0— максимальное число частиц в монослое на единицу поверхности (Л^^Ю15 см~2), ви а,, — степень заполнения единицы площади поверхности а, = а2 = АуЛ^; Л^, ЛГ2— число атомов
и молекул, адсорбированных на 1см2: з = о1 + ог; г2— частоты ударов атомов и молекул, падающих на 1 см2 поверхности: гх = = л, г»,/4; z2 — n2v2|4\ vi = lf$lгT¡(^йnJ■, —У'8А77(и7Л2); л„ я2 — число атомов и молекул в 1 см3.
Используя уравнения баланса для нормальных потоков атомов и молекул, падающих на поверхность, а также условия равновесия для пленок адсорбированных атомов и молекул в виде
К? — Яз — о,
^4 = 0,
(2.8)
можно показать, что на поверхности тела с каталитическими гетерогенными процессами массовый расход вещества равен нулю. В этом случае имеет место следующее граничное условие для потока атомов, рекомбинирующих на поверхности:
ОхгЩ = кщ1аь (2.9)
где = -¡ич "4" ; '¡ян = /?1 (Т«.« ~ коэффициент эффективности
рекомбинации, т. е. отношение числа рекомбинирующих атомов к общему числу атомов, падающих на единицу площади в единицу времени 0<тдаг<1).
Выражение (2.9) согласуется с обычно используемым [1] граничным условием для каталитической поверхности, но при этом рас-
крывает структуру коэффициента для рассматриваемого механизма реакций*. Правая часть (2.9) зависит от степени заполнения мономолекулярного слоя о-, и а2, которые, если разрешить соотношения (2.8), являются функциями температуры поверхности и парциальных давлений рх и р2 диссоциированной смеси газов, так как константы скоростей реакции кик2 . . . зависят от Тт, а частоты столкновений г1 и гг — от парциальных давлений.
Таким образом, в общем случае коэффициент рекомбинации является функцией температуры поверхности и парциальных давлений компонентов смеси газов
(2.10)
В рассматриваемом диапазоне давлений [102-</? (Н/м2)-<105] и температур [300 Т < 2000 К] наиболее характерны случаи [11, 15], когда
з2 « а, и ¿1 >
Последнее предположение означает, что преобладающим механизмом гетерогенной рекомбинации является механизм Или — Райди-ла [11], что неоднократно подтверждалось экспериментально при Т^ЮООК [11].
В этом случае выражение для коэффициента рекомбинации может быть записано в виде
1
1 +
1 (* +
£(6)р
(2.11)
здесь = б!/2ехр (2 — 6)/0]; 6 = Г/103; С} — теплота химиче-V 2
ской адсорбции; р = [2а/'(1 + а)]р\ а — степень диссоциации.
Зависимость 1Ш11К{Т), где С? « 46 ккаль/моль, ¿, = ¿3 приведена на рис. 3. На большей части рассматриваемого диапазона температур коэффициент рекомбинации является функцией только
Ь
Ч(т) 1.0
\ \ н
\
\ V1
\
0.5
1.5
Рис. 3
20 в
* Влияние слоя Кнудсена на вид граничного условия (2.9) при заданной величине пренебрежимо мало. Это влияние может стать существенным при экспериментальном определении величины -¡т, когда -¡ш ~ 1 [12— 14].
температуры поверхности 6 и лишь в небольшой окрестности точки 6=;2 имеет место также зависимость и от парциального давления ру Зависимость коэффициентов рекомбинации -\т1 от одной температуры является следствием преобладания линейных по величине г/ механизмов гетерогенных реакций (типа Или—Райдила или адсорбции) при не очень высоких температурах поверхности.
Если бы были известны явные структурные зависимости для коэффициентов рекомбинации испытания моделей в аэродинамических трубах позволили бы уточнить соответствующие значения констант скоростей гетерогенных процессов. После этого стало бы возможным пересчитывать результаты измерений теплового потока в газодинамических установках на натурные условия. Это наиболее простой (явный) подход к моделированию натурных тепловых потоков к каталитической поверхности. К сожалению, этот путь упирается в необходимость точного знания механизмов кинетики основных гетерогенных процессов (рекомбинации, адсорбции), которые до сих пор недостаточно изучены.
Поэтому остается путь „неявного" моделирования, т. е. необходимо воспроизводить в эксперименте натурные значения газодинамических параметров, от которых зависят коэффициенты рекомбинации. Основная трудность на этом пути заключается в том, что некоторые жестко заданные условия газодинамического эксперимента (например, размеры модели или диапазон параметров торможения в установке) могут не обеспечить совпадение необходимых параметров во всем диапазоне их изменения.
3. Величина теплового потока от газа к неразрушаемой поверхности в натурных условиях полета компенсируется излучением с поверхности (пренебрегается отводом тепла внутрь летательного аппарата)
где Гр — установившаяся („равновесная") температура поверхности, о = 5,67-10~3 Вт/(м2-град) — постоянная Стефана — Больцмана; г — коэффициент черноты.
С помощью (2.1) и (2.2) соотношение (3.1) может быть представлено в виде
б4 — г] | 1 _ * п _V а'" д'«
(3.2)
где 6„ = Гр/103; /„ = ¿у Ю3/Я0 „;
йл = 2,82 • Ю-6 (Н0пУ-^ уРо п!Цп ;
Еп = 1,6• 10«(у^ п)_1 (1 + 2«Л'3'4УРоТ^п ;
.(3.3)
' г0 п 'Ч'
=Щ!н<> „; «,•„ = К,-)«;
индекс п — относится к натурным условиям.
При испытаниях в газодинамических установках температура поверхности модели Т{ может регулироваться количеством отводимого с помощью охладителя тепла <3; в этом случае уравнение теплового баланса примет вид:
д + = ; (3.4,
здесь С} = С}1 га-1012; = Т^/103, а все коэффициенты /„ gt, аи, аи вычисляются аналогично формулам (3.3) для условий эксперимента (индекс I).
Согласно выражению (2.10) для моделирования гетерогенной рекомбинации в общем случае необходимо соблюсти равенство температур и парциальных давлений смеси газов как для условий натурного полета, так и при эксперименте. Последнее условие эквивалентно выполнению двух равенств (¿=1,2)
aitP
^[i + oVpr gntJ *«V + emwi\'
здесь р р'о tlp'o п\ r = Rt/R„;
fi + y
(3.5)
Q_ ( ^со и)
(V-,) (i + Y*it)m '
3/4
(3.6)
S — ' Mj — атомный или молекулярный вес; / — компоненты
i '
смеси (в дальнейшем полагается
При известных значениях коэффициентов гетерогенной рекомбинации ywi и выбранном размере модели Rt соотношения (3.5) определяют необходимый режим испытаний: давление в критической точке модели pot и параметры газа в форкамере, т. е. величины а.ц. Из уравнения (3.2) находится установившаяся температура поверхности Тр, в натурном полете, а уравнение (3.4) определяет потребное количество отводимого тепла Q для моделирования температуры поверхности при испытаниях в газодинамической установке.
Однако значения -¡wi заранее могут быть неизвестны. Тогда теоретические соотношения должны быть дополнены экспериментальными зависимостями
Pt(е. 7'ол Pot) и 0Д6, т01, P0t),
сопоставление которых с теоретическими и позволяет определить необходимые значения -¡wl и 6. Для этого исходная система уравнений (3.2), (3.4) и (3.5) следующим образом преобразуется к эквивалентной, разрешенной относительно величин -¡wi, Q и р.
Из соотношений (3.5) следует:
Ты=-_ -= Ты(». Р' Tot, Pot)- (3.7)
gn(aitP) — [Gyp r) gnain
Используя равенства (3.5) и (3.2), вместо соотношения (3.4) при ея = 6,=0 имеем:
Mo
где А0 = Н0 ¿И, л; F(6) = I -/„ 6 _ 9*/d„; D = dn (А,,)1-125.
= Q (ö, р, Т01, Р01) , (3.8)
Далее, исключая из уравнения (3.2) с помощью (3.7) значения -\wi, получим квадратное уравнение для величины Vp '■
Р-{ОУг hohft ) VР ~ ~ ' <3-9>
решение которого определяет значение давления
р = р{ 6, Т0 „ Pot).
Здесь выражение hfn = ^ainain представляет собой величину „за-
1 = 1,2
мороженной" энергии диссоциации в пограничном слое в натурных условиях, отнесенную к величине полной энтальпии Н0п\ hft — = ^aitait — аналогичная величина для условий эксперимента в газодинамической установке.
Система уравнений (3.7), (3.8) и (3.9) эквивалентна исходной системе (3.2), (3.4) и (3.5) и вместе с экспериментальными зависимостями pt(6, Tot, Pot) и Qt(6, Tot, Pot) позволяет определить все необходимые величины. Иллюстрируем это на различных частных случаях зависимости fwi.
jj 7 gl 1 = Тш 2 = Tw
В рассматриваемом случае не требуется выполнения равенств (3.5), поэтому режим испытаний в газодинамической установке (Tot> Pot)' т- е- величины <хи, выбираются независимо.
Уравнение (3.2) однозначно связывает величину установившейся температуры 7Р (или б) с единым коэффициентом рекомбинации yw. Исключая из уравнения (3.4) с помощью (3.2) значение -;w, получим
Q=-''+oy fli-/,»-7-—J. (зло)
Моделирование натурного значения теплового потока (величины 6) обеспечивается подбором в соответствии с уравнением (3.10) либо количества отводимого тепла Q (при фиксированной величине давления в критической точке р), либо изменением давления р при фиксированном значении Q, в частности, при отсутствии отвода или притока тепла Q = 0.
Например, передвигая модель вдоль оси газодинамической установки, находим экспериментальную зависимость
pt = f{b). (3.11)
Сравнивая эту зависимость с теоретической (3.10), для условий испытаний (т. е. при заданных значениях Toi, Pot, Rt) находим точку пересечения кривых, которая определяет величину установившейся температуры поверхности Тр (или 6) в натурном полете для данного материала поверхности и необходимую для моделирования этой температуры величину давления pot в заданном режиме испытаний (рис. 4, где сплошная кривая рассчитана по уравнению (3.10); для условий эксперимента Г0, = 4000; Pot — = Ю5 Н/м2; я, =0,11; а2 = 0; Q = 0; /^ = 0,015 м условия натурного полета брались из работы [3]).
Полученная в эксперименте зависимость />,(0) может быть пересчитана по уравнению (3.4) в зависимость -¡т(Т) для данного материала поверхности, которая уже не зависит от траектории снижения летательного аппарата и может быть использована для определения установившейся температуры поверхности в натурном полете и в эксперименте. Это можно сделать только при условии равенства коэффициентов рекомбинации -¡т как для атомов кислорода, так и для атомов азота. 2) Ты = ТвЛЛ. »О Та, Та. 2В этом случае также не требуется выполнения равенств (3.5), т. е. режим испытаний — параметры Т0 „ Р0, (или <хи) выбираются произвольно и независимо от величин р6 { и но в отличие от предыдущего моделирование натурного значения теплового потока
V
0,4
0,3
0,2
0,1
° 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,3 2,0 в Рис. 4
(величины 6) обеспечивается подбором величины (} при двух (фиксированных) значениях р или подбором величины р при двух (фиксированных) значениях С}. Для этого уравнение (3.4) записывается дважды, например для двух значений р: рх и рчто позволяет выразить значения ^, и ув2 в зависимости от величин 6, С?! и С?,. Подставляя эти выражения т№; в уравнение (3.2), получим функциональную зависимость
Ф(6, &>) = 0. (3.12)
Испытания в газодинамической установке проводятся при тех же значениях давления: рх и р2 (т. е. при двух положениях модели), в результате чего имеем две экспериментальные зависимости:
0< 1 = ?1(®» Р\) = р2). (3.13)
Далее, сопоставляя зависимость С^ (штриховая линия на рис. 5) с теоретической (3.12) для фиксированных значений ()2 (сплошные линии на рис. 5), отмечаем точки пересечения этих кривых, в результате получаем зависимость (22 = ?(6). Сравнивая эту зависимость (рис. 6, сплошная линия) с экспериментальной кривой (штриховая линия на рис. 6), находим точку пересечения кривых 6ЛГ которая и определяет установившуюся температуру поверхности Гр в натурном полете для данного материала покрытия, а также значения С^ и <32, необходимые для моделирования этой температуры при заданном режиме испытаний (т. е. при заданных Тй(, Р0/ или а„; />!, р2).
// / /
/ /
3) То 1 — Та* 2 — Тта (*_» л)-
В этом случае из соотношения (3.5) следует
При использовании в экспериментальных установках в качестве рабочего газа — воздуха при Г0¿^5000 К, (т. е. величина
не имеет значения), а при Г0<^5000"К а,, ^сопэ1(= 0,234) (см. рис. 2). Поэтому наиболее естественно потребовать аи = = а, п (= 0,234) и подбором значений Т0( и Р0/ добиться выполне-
Рис. 7
Таким образом, при эксперименте моделируются натурные значения концентраций атомов кислорода и азота в пограничном слое. Уравнение (3.9) принимает вид
решение которого определяет зависимость р = />(6). Для моделирования необходимо получение экспериментальной зависимости
(3.16)
при разных значениях давления р — разных положениях модели вдоль оси трубы (рис. 7, штриховые линии).
Сопоставляя при одинаковых значениях р зависимость (3.16) с теоретической (3.8) (сплошные линии на рис. 7) отмечаем точки пересечения этих кривых, в результате получаем зависимость р = т](6). Сравнивая эту зависимость (рис. 8, штриховая линия) с теоретической кривой, определяемой решением уравнения (3.15) (сплошная линия на рис. 8), находим точку пересечения кривых бп, которая дает значение установившейся температуры поверхности
Р 1
0,5
О '
1,3 1,1 1,5 1,6 1,1 1,8 1,9 В Рис. 8
Тр в натурном полете, а также величины р и необходимые для моделирования этой температуры в установке при натурных значениях яг.
Следует заметить, что в известных методах моделирования [10] измеряется некоторая „осредненная" каталитическая активность поверхности, одинаковая как для атомов кислорода, так и для атомов азота в воздухе. Предлагаемый метод позволяет измерять коэффициенты каталитической рекомбинации для каждого компонента смеси и точно моделировать в газодинамических установках натурное значение теплового потока.
В заключение авторы благодарят О. Ю. Полянского, А. И. Омелика, руководителя семинара В. Я. Нейланда и других участников обсуждения работы за полезные советы и дискуссию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агафонов В. П., Вертушкин В. К., Г л а д к о в А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. Под ред. Г. И. Майкапара. М., .Машиностроение", 1972.
2. Rosner D. Е. Catalytic probes for the determination of atomic concentrations in high speed gas streams. „ARS J," N 7, 1962.
3. Rakich J, V. and Lanfranko M. J. Numerical computation of space shuttle heating and surface streamlines. „А1АА Paper", N 76-464.
4. F i v е 1 H. I., M a s e к R. V. and Mocka petris L. J. Analytical comparison of hypersonic flight and wind tunnel viscous/inviscid flow fields. NASA CR-2489, 1975.
5. Громов В. Г. Химически неравновесный ламинарный пограничный слой в диссоциированном воздухе. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1966, № 2.
6. I n d е г Q. R. Nonequilibriura stagnation point boundary layers with arbitrary surface catalycity. „А1АА J.", vol. 1, N 8, 1963.
7. Бударина M. Ф., Комаров В. Д. Параметрические расчеты характеристик неравновесного потока в соплах. Труды ЦАГИ, вып. 1932 (1978).
8. Goulard R. On catalytic recombination rates in hypersonic stagnation on heat transfer. „Jet propulsion", vol. 28, N 11, 1958.
9. Kemp N. H., Rose P. H„ Detra R. W. Laminar heat transfer around blunt bodies in dissociated air. .JASS", 1959, N 6.
10. Anderson L. A. Effect of surface catalytic activity on stagnation heat-transfer rates. „А1АА J.", vol. 11, N 5, 1973.
11. Wise H., Wood B. J. Advances in atomic-and molecular physies, vol. 3, 1967.
12. К у ч e p о в P. Я., P и к e н г л а з Л. Э. К вопросу об измерении коэффициента конденсации, ДАН СССР, т. 133, № 5, 1960.
13. Макашев Н. К. Испарение, конденсация и гетерогенные химические реакции при малых значениях числа Кнудсена. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 5, № 3, 1974.
14. К у з н е ц о в М. М. Кинетический анализ феноменологических схем баланса потоков на поверхности тел. Сб. .Численные методы механики сплошной среды", Новосибирск, СО АН СССР, т. 5, № 3, 1974.
15. ТомкиисФ, Гетерогенный катализ. Реакции простых молекул на поверхности металла. В сб. .Новое в исследовании поверхности твердого тела", вып. I. М., .Мир", 1977.
Рукопись поступила 5\VII 1978 г.
