Моделирование неопределенности в задачах принятия решений с использованием метода аналитических сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Середенко Н.Н. ©

Аспирант, кафедра бизнес-аналитики, факультет бизнес-информатики, Научно-исследовательский университет — Высшая школа экономики

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА АНАЛИТИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Аннотация

Учет условий внешней среды, возможные реализации которых в совокупности задают проблемные ситуации принятия экономических решений, существенно повышает качество аналитического обоснования альтернатив. В данной статье предложен новый подход к моделированию проблемных ситуаций принятия решений в условиях неопределенности, разработанный с использованием методов анализа иерархий (МАИ) и аналитических сетей (МАС) Томаса Л. Саати. Особенностью предлагаемого подхода является формализация возможных зависимостей, которые могут существовать между подусло-виями, на которые разбиваются условия, учитываемые при принятии решения, и их различными реализациями.

Ключевые слова: моделирование проблемных ситуаций принятия экономических решений, метод анализа иерархий (МАИ), метод аналитических сетей (МАС), коэффициенты относительной значимости проблемных ситуаций.

Keywords: modeling of decision-making problem situations, analytic hierarchy process (AHP), analytic network process (ANP), relevant significance estimates of problem situations.

1. Введение

Большинство экономических решений принимается в условиях неопределенности, т.е. неполноты и недостоверности используемой информации. Однако на практике нередко ситуацию неопределенности переводят в ситуацию риска, когда специалист пытается предсказать вероятности появления проблемных ситуаций. Данный подход отвечает способу мышления человека, который часто вынужден снижать неопределенность своими рассуждениями и оценками.

Учет условий внешней среды, возможные реализации которых в совокупности задают проблемные ситуации принятия экономических решений, существенно повышает качество аналитического обоснования альтернатив.

Данная статья посвящена разработке нового подхода к моделированию проблемных ситуаций принятия решений в условиях неопределенности, основанного на методах анализа иерархий (МАИ) и аналитических сетей (МАС) Томаса Л.Саати [Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден], [Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден], [Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден].

2. Теоретические предпосылки моделирования условий принятия решений

Традиционно методология Томаса Л. Саати используется для построения иерархической структуры задачи принятия решений, которая включает цель, признаки (критерии) и альтернативы, которые задаются лицом, принимающим решение (ЛПР).

Применим указанную методологию для другого объекта: построения иерархии условий, подусловий и их реализаций, которые учитываются в задаче принятия решения. Вершиной такой иерархической структуры будет выступать цель «Найти коэффициенты относительной значимости условий, подусловий и реализаций подусловий принятия решения».

© Середенко Н.Н., 2012 г.

Будем считать, что цель и уровни условий, располагающиеся под целью, составляют управляющую иерархию. При этом предполагается, что условия не зависят друг от друга.

Для моделирования подусловий и их реализаций воспользуемся методом аналитических сетей, позволяющим учесть взаимозависимость подусловий и их реализаций.

Таким образом, под каждым условием управляющей иерархии сформируем сеть подусловий. Вид сетей под управляющей иерархией зависит от сложности и содержания решаемой задачи. Возможные варианты сетей подусловий приведены на рис. 1.

Рис. 1. Сетевая структура условий принятия решений

Для обработки управляющей иерархии условий и вычисления коэффициентов их относительной значимости можно использовать метод анализа иерархий [Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден].

Для расчета коэффициентов относительной значимости подусловий и их реализаций — метод аналитических сетей [Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден].

3. Определение коэффициентов относительной значимости условий, их подусловий и возможных реализаций в задачах принятия решения

3.1. Определение коэффициентов относительной значимости условий в задачах принятия решения

Приведем условные обозначения:

U = (и,,..., Um,..., UM), ш = 1... М

4 1' ' ш' ' м" — условия принятия решения

Р

шп — элементы матрицы попарных сравнений относительной значимости условий, сформированные ЛПР, где m, п= М;

Z = (2 г )

собств.м V собствлт--! собств.м7 — собственный вектор матрицы попарных сравнений относительной значимости условий;

тах м — максимальное собственное значение матрицы попарных сравнений относительной значимости условий;

~ Wм ) — вектор коэффициентов относительной значимости условий.

Приведем исходные данные для определения коэффициентов относительной значимости условий:

ит — условия принятия решения, т ~ м ; Р

тп — элементы матрицы попарных сравнений относительной значимости условий т = 1... М вий, .

Оценки задаются в так называемой «шкале Саати» (Saaty, 2003, 53), состоящей из следующих возможных оценок: {1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Связь оценок Ртп и Рпт выражается отношением: Рпт = VРтп Это означает, что если Ртп равно 7, то относительная значимость условия т «существенно выше» условия п. При этом значение Рпт будет равняться 1/7, а это означает, что относительная значимость условия п «существенно ниже» в сравнении с условием т.

Каждой градации шкалы соответствует содержательное описание (табл.1).

Величина оценки Содержательная трактовка оценок матрицы попарных сравнений

1 Относительная значимость одинакова

2 Относительная значимость — между одинаковой и незначительно более высокой

3 Относительная значимость незначительно выше

4 Относительная значимость — между умеренной и средней

5 Относительная значимость несколько выше

6 Относительная значимость — между средней и высокой

7 Относительная значимость высока

8 Относительная значимость — между высокой и безусловной

9 Относительная значимость — безусловная

Таблица 1. Содержательная трактовка оценок матрицы попарных сравнений Т.Л.-

Саати

Приведем процедуру нахождения коэффициентов относительной значимости условий, учитываемых в задачах принятия решений.

1. Формируются исходные данные задачи принятия решения.

2. Формируются матрицы попарных сравнений с элементами Pmn, в которых оценивается относительная значимость m- и n-условий, где m, п = !•••М•

3. Для матрицы попарных сравнений относительной значимости условий вычисляется собственный вектор Zсовете.M = (ZсобсmвЛ,•••, Zao6ame.m ^.^собсте.М ), соответствующий максимальному собственному значению матрицы [Ошибка: источник перёкрестной ссылки не найден]. Общий вид для вычисления собственного вектора (из определения собственного вектора):

(1) P х Z = l х Z

mn собсте. М max М собсте. М

4. Элементы полученного вектора преобразуются согласно следующему правилу:

Zсобсте m

w

m

(2) Wm - "J

m= 1- M

собсте. m

5. Вектор = ("И>1з..., ) есть искомый вектор коэффициентов относительной значимости условий, который далее будет использоваться при вычислении коэффициентов относительной значимости подусловий принятия решения и их реализаций.

3.2. Определение коэффициентов относительной значимости подусловий принятия решения и их реализаций

После обработки управляющей иерархии условий, необходимо обработать все сети, описывающие структуру подусловий принятия решения каждого условия.

Как было сказано выше, вид сетей под управляющей иерархией условий принятия решений зависит от содержания решаемой задачи. Предложим возможный вид сетевой структуры подусловий и их реализаций (рис. 2).

Рис. 2. Возможный вид сети под управляющей иерархией

Подобные сетевые структуры могут иметь следующие зависимости между сформированными подусловиями и их реализациями:

• Зависимости подусловий относительно подцели. На рис. 2 они отображены сплошными стрелками, исходящими из подцели (зависимости типа I).

• Зависимости между подусловиями и их реализациями:

- Зависимости между двумя различными подусловиями и их реализациями. На рис.2 они отображены пунктирными стрелками, исходящими из одного подусловия и входящими в другое (зависимости типа На);

- Взаимозависимости между двумя различными подусловиями и их реализациями. На рис.2 они отображены двумя разнонаправленными пунктирными стрелками, соединяющими два подусловия (зависимости типа П.Ь).

• Зависимости между реализациями одного подусловия. На рис. 2 они отображены пунктирными стрелками, исходящими и входящими в одно подусловие (зависимости типа

III)

Как было сказано выше, для обработки данного вида сетей можно применить метод аналитических сетей, формализация которого применительно к новому объекту исследования приведена ниже.

Приведем условные обозначения для зависимостей типа I:

U my — подусловия y , соответствующие m-условию, где y 1"""Ym' m 1 """M" P'

i

m(y, t) _ ,

элементы матрицы попарных сравнении относительном значимости поду-

словий у - и ту и t - ит1 относительно условия т у'^ = 1""" Ут . 21

собств.т — собственный вектор матрицы попарных сравнений относительной значимости подусловий иту относительно условия т; у = 1""" Ут' т" 1""М"

тгкт — максимальное собственное значение матрицы попарных сравнений относительной значимости подусловий условия т; т" 1""М"

М1

ту — вектор коэффициентов относительной значимости подусловий у условия т; у = 1"" Ут, т = 1""М.

Матрицы

попарных сравнений с элементами рт(у, {) отражают зависимости типа I Количество таких матриц равняется количеству условий т, учитываемых в задаче приня-

гия решений" Д ,ля иллюстрации приведем общий вид матрицы типа I \ табл" 2)"

Um U m1 Umt U mYm

U m1 1 PI 1 m(1, t) PI m (1, Ym )

Umy PI m( y, 1) PI m ( y, t) PI 1 m(y, Ym )

U mYm PI m( Ym ,1) PI m( Ym ,t) 1

Таблица 2. Общий вид матрицы попарных сравнений относительной значимости

подусловий условия т

Приведем условные обозначения для зависимостей типа IIa:

Um U

my _

U

— t-подусловия m-условия, влияющие на другие подусловия; у-подусловия m-условия, подверженные влиянию других подусловий;

myk — k-реализации у-подусловия m-условия, подверженные влиянию реализаций

„ к = 1""" Ky, y = 1""" Y , m = 1 M других подусловий, y y m "' ;

Umth — h-реализации t-подусловия m-условия, влияющие на реализации других

- h = 1"""Kt подусловий, t;

Umti — i -реализации t-подусловия m-условия, влияющие на реализации других

й l = 1""" Kt подусловий, t

pIIa

Umyk (Umth > umti)— элементы матрицы попарных сравнений относительной значимости h- и l-реализаций t-подусловия m-условия, влияющие на k-реализации у-подусловия, сформированные ЛИР

ZHa

собств,m( y,t)— собственный вектор матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций t-подусловия, влияющих на реализации у-подусловия m-условия;

2

IIa

max m (y,t) — максимальное собственное значение матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций t-подусловия, влияющих на реализации у-подусло-вия m- условия;

wIIa

m( y ,t) — вектор коэффициентов относительной значимости реализаций t-подусловия, оказывающих влияние на реализации у-подусловия m-условия.

Для иллюстрации приведем общий вид матриц типа IIa в таблице 3.

Umyk Umt1 U mtl UmtKt

Umt1 1 pIIa U myk (Umt1 , Umtl ) pIIa Umyk (Umt1 , UmtKt )

Umth pIIa Umyk (Umth , Umt1 ) pIIa Umyk (Umth , Umtl ) pIIa Umyk (Umth , UmtKt )

UmtK, pIIa U myk (UmtKt , Umt1 ) pIIa U myk (UmtKt , Umtl ) 1

Таблица 3. Общий вид матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций t-подусловия, влияющих на реализации у-подусловия

При наличии взаимозависимости между двумя различными подусловиями и их реализациями, которые отображены на рис. 2 двумя разнонаправленными пунктирными стрелками, помимо выше указанных матриц парных сравнений в табл. 3 типа IIa, строятся дополнительные матрицы типа IIb в табл. 4.

Приведем условные обозначения для зависимостей типа IIb:

P

IIb

U mth (U myk, U myl ) _

элементы матрицы попарных сравнений относительной значимости

k- и l-реализаций у-подусловия m-условия, влияющих на h-реализации t-подусловия.

7 IIb

собопв. тц,у)— собственный вектор матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций у-подусловия т-условия, влияющих на реализации ^подусловия

2

IIb

' тах т о, у) — максимальное собственное значение матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций у-подусловия т-условия, влияющих на реализации ^ подусловия;

т о, у)— вектор коэффициентов относительной значимости реализаций у-подусловия т-условия, влияющих на реализации ^подусловия.

Заметим, что при данных обозначениях ¿-подусловия — это подусловия, из которых выходит пунктирная стрелка, а у-подусловия — это подусловия, в которые стрелка входит (рис. 2).

Каждая сформированная зависимость (пунктирная стрелка) будет задана таким количеством матриц попарных сравнений относительной значимости ^ и I- реализаций у-подусловия, какое количество ^-реализаций содержится в ¿-подусловии, подверженному

Umth U my1 U myl U myKy

U , my1 1 pIIb Umth (Umy1,U myl) pIIb Umth (Umy1UmyKy ^

U myk pIIb Umth (Umyk Umy1) pIIb Umth ( Umyk'Umyl) pIIb Umth (Umyk U myKy ^

и туКу рпь итк (итуКу иту1) р11Ь ит1И (итуКу иту/) 1

Таблица 4. Общий вид матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций у-подусловия, влияющих на реализации 1-подусловия

Приведем условные обозначения для зависимостей типа III:

ит

т1 — ^подусловия т-условия, содержащие внутренние зависимости между реализациями;

и тл — к-реализации ^подусловия т-условия, подверженные влиянию других реа-

й к = 1... К.

лизаций этого же подусловия, где 1;

и тл , ит _ И- и 1- реализации ^ подусловия т-условия, влияющие на реализации к, / = 1... К,

этого же подусловия, где 1;

рШ

ишк (итлит)_ элементы матрицы попарных сравнений относительной значимости И- и 1-реализаций ^подусловия т-условия, влияющих на к-реализации ^подусловия.

Заметим, что каждая зависимость, на рис. 2 графически изображаемая как пунктирная стрелка, исходящая и входящая в одно подусловие, будет задана таким количеством матриц попарных сравнений относительной значимости к- и /-реализаций, какое количество реализаций содержится в 1-подусловии. Для иллюстрации приведем общий вид таких

и т1к итИ итй ит1К1

итИ 1 рШ рШ ит1к (ит11 ,ит1К1 )

итк рШ рШ рШ ит1к (ит1И ,ит1К1 )

итК, р111 ит1к (итК1 , итП ) рШ ит1к (ит1К1 , ит1/ ) 1

Таблица 5. Общий вид матриц попарных сравнений относительной значимости реализаций подусловия 1, имеющего внутренние зависимости между реализациями.

2 ш

собств. — собственный вектор матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций ^подусловия т- условия;

тах ш — максимальное собственное значение матрицы попарных сравнений относительной значимости реализаций ^подусловия т-условия;

т1 — вектор коэффициентов относительной значимости реализаций ^подусловия

т-условия;

£

т^щегмсаг _ суперматрица;

£ ^^т

^„регмшг — суперматрица, возведенная в предельные степени (многократно умножаемая сама на себя для вычисления коэффициентов относительной значимости реализаций).

Ж

тук — искомые векторы коэффициентов относительной значимости реализаций подусловий принятия решения т-условия.

Исходные данные для решения задачи задаются в следующем виде:

Umy — подусловия принятия решений, соответствующие m-условию, где m = 1... M y = 1... Ym .

1 5

Umyk — k-реализации у-подусловия m-условия,

pl p lia pllb plll

m(y-'), Umyk (Umth, Umtl) , Umth ( Umyk, Umy'}, P Umtk (Umth 'Umtl) — элементы матриц попарных сравнений всех типов, сформированные ЛПР в шкале Саати.

Приведем процедуру нахождения коэффициентов относительной значимости реализаций.

1. Формируются исходные данные задачи.

2. Для нахождения коэффициентов относительной значимости подусловий принятия решений формируются матрицы попарных сравнений с элементами P^ y, t ), в которых

оценивается относительная значимость подусловий принятия решений m-условия. Оценки задаются в шкале предпочтений Саати. Содержательная трактовка оценок для попарного сравнения относительной значимости подусловий приведена в таблице 1.

3. Для матриц попарных сравнений относительной значимости подусловий принятия решений m-условий вычисляется собственный вектор Z1с,обств. m, соответствующий максимальному собственному значению матрицы (Saaty, 2003, 85-91). Общий вид для вычисления собственного вектора (из определения собственного вектора):

(3) P1 х Z1 = l1 х Z1

m(y, t) собств. m max m собств. m '

4. Для того, чтобы получить коэффициенты относительной значимости подусло-вий, элементы полученного вектора преобразуются согласно следующему правилу:

(4) = Z' собств.my

ту ~ Ym

™ I

собств.my

y=l

I z:

5. Для нахождения коэффициентов относительной значимости реализаций форми-

г) IIa п IIb

руются матрицы попарных сравнений с элементами р итук (umth ,umt!), р umth (umyk ,umyl) и

piii

Umtk (Umth ,Umtl ) '

6. Для всех матриц попарных сравнений относительной значимости реализаций

г г^Па Fw IIb ^уШ

подусловий вычисляются собственные векторы Собств. m(y, t), ^собств. т(t,y) и Робота. mt, соответствующие максимальным собственным значениям матриц (Saaty, 2003, 85-91). Из определения собственного вектора следует:

/ ¿г 1 \ -plia * у IIa _ 1 IIa ^ у IIa

1 J! Umyk(UmthUmti) ^ собств.m(y,t) - Л maxm(y,t) ^ собств.m(y,t) ;

(6 2) pub * zIIb - l IIb * zIIb

Umth(Umyk,Umyi) ^ собств.m(t,y) - Л maxm(t,y) ^ собств.m(t,y) ;

(6 3) PIII * ZIII - l III * ГГШ

Umkk (U mth Umi ) ^ собств.mt — Л max mt ^ собств.mt.

7. Используя полученные собственные векторы, находятся элементы векторов коэффициентов относительной значимости реализаций:

IIa

in l\ IIa Z собствМy,t)k

(7.1) W m(y,t)k - —

IIa

Z :об:тв.m( y,t )k

IIb

IIb Z собств. m(t, y )k w m (t,y )k - -Ib

(7 2) m(I'y>K ~ ^

Z собств.m(t,y)k 5

k - 1- Ky

k -1- Kt

(7.3)

w111 mtk

III

z coöcme.mtk

l

_Ш

Z co6cme.mtk

k = 1- Kt

8. Все полученные векторы в п. 4 и п. 7 группируются в суперматрицу Рт^регМаГ (табл. 5). Заполнение блоков суперматрицы осуществляется согласно следующим правилам:

• Коэффициенты относительной значимости подусловий WImy служат для взвешивания блоков суперматрицы;

• Коэффициенты относительной значимости реализаций wIIa , W

т( у ,г) '

IIb

m (t, y )

расположе-

ны в блоках, находящихся не на главной диагонали. При этом выполняются следующие условия:

- при наличии зависимости между двумя различными подусловиями и их реализациями (зависимости типа На) заполняется только один соответствующий блок суперматрицы. Блок, симметричный ему относительно главной диагонали, будет содержать нули. В табл. 5 этот случай проиллюстрирован блоками (2.1) и (2.2);

- при наличии взаимозависимости между двумя различными подусловиями и их реализациями (зависимости типа На и IIb) заполняются два соответствующих блока, располагающихся симметрично относительно главной диагонали. В табл. 5 этот случай проиллюстрирован блоками (4.1) и (4.2).

• Коэффициенты относительной значимости реализаций w^ расположены в блоках, находящихся на главной диагонали. В табл. 5 этот случай проиллюстрирован блоком (3). При этом если у подусловия отсутствуют внутренние зависимости, то соответствующий блок будет содержать нули — в табл. 5 этот случай проиллюстрирован блоком (1).

подусловия

реализации реализации реализации

/ подусловия / к и ц а -S- л а е а (1) Нулевые эле-- ^ менты •—^ (2.2) Wy,t)

реали-зации (2.1) Нулевые элементы wmi (4.2) Wy,t)

реали-зации (4.1) WL)

Таблица 5. Общий вид Суперматрицы 9. Далее суперматрица SmSuperMatr возводится в предельную степень до тех пор, пока результат не стабилизируется:

P

lim

mSuperMatr

1 N

lim—l P

k®¥ Nt 1 m

k

mSuperMatr'

10. Значения Wmyk искомых коэффициентов относительной значимости реализаций подусловий условия m будут рассчитаны в предельной суперматрице slim [Ошибка:

mSuperMatr

источник перёкрестной ссылки не найден].

Подобный расчет коэффициентов относительной значимости реализаций подусловий проводится для каждого условии m, где m=1...M.

4. Формирование проблемных ситуаций

Под проблемной ситуацией C j (j=1..J) будем понимать совокупность отдельных реализаций всех выделенных подусловий условий принятия решения, между которыми существует логическое отношение «И». При этом одна проблемная ситуация должна содержать ровно по одной реализации из каждого подусловия.

Наличие логического отношения «И» позволяет складывать оценки относительной значимости реализаций подусловий, формирующих данную проблемную ситуацию, чтобы получить оценку ее относительной значимости.

Таким образом, будем считать, что коэффициенты относительной значимости проблемных ситуаций, рассчитываются как сумма взвешенных коэффициентов относительной значимости всех реализаций подусловий условий принятия решения, формирующих данную проблемную ситуацию.

При большом количестве подусловий принятия решения и возможных реализаций каждого из них количество проблемных ситуаций будет очень велико. С учетом того, что в каждой проблемной ситуации эксперт должен задавать оценки альтернатив по различным признакам, трудоемкость решаемой задачи может быть неоправданно высокой. Поэтому обычно рассматривается не более шести — восьми проблемных ситуаций. Полученные коэффициенты относительной значимости ситуаций позволяют отобрать наиболее значимые проблемные ситуации, включаемые в задачу принятия решения.

5. Заключение

Таким образом, в данной статье предложен новый подход к моделированию проблемных ситуаций принятия экономических решений.

Формализована процедура нахождения коэффициентов относительной значимости реализаций подусловий условий принятия решения, благодаря чему возможно использование СППР SuperDecisions (Saaty, 2002).

Разработка алгоритма и соответствующего программного обеспечения для формирования проблемных ситуаций и отбора среди них наиболее значимых для включения в задачу принятия решения выступают в качестве направлений дальнейшего исследования.

Литература

1. Саати Т.Л. (1993) Принятие решений — Метод Анализа Иерархий. М.: Радио и Связь.

2. Саати Т.Л. (2008) Принятие решений при зависимостях и обратных связях. Аналитические сети. М.: Изд-во ЛКИ.

3. Saaty R.W. (2002) Decision Making in Complex Environments: The Analytic Network Process (ANP) for Dependence and Feedback; A Manual for the ANP Software SuperDecisions. // Creative Decisions Foundation, 4922 Ellsworth Avenue, Pittsburgh, PA 15213.

4. Saaty T.L. (2003) Decision-making with the AHP: Why is the principal eigenvector necessary // European Journal of Operational Research. 145 (1), 85-91.