CC BY
0
Моделирование нелинейной электропроводности биологической клетки с электропорами в мембране методом эквивалентных схем
замещения
1 2 Р.П. Ким , С.А. Корчагин
1 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Саратов
2Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва
Аннотация: В статье рассматривается моделирование нелинейной электропроводности биологической клетки с помощью метода эквивалентных схем замещения. В работе предлагается нелинейная модель электропроводности биологической клетки, основанная на использовании нелинейных активных и пассивных элементов. Рассматриваются основные механизмы, определяющие нелинейный характер электрических характеристик клетки, включая явления поляризации клеточной мембраны. Для верификации модели проводится сравнение расчетных и экспериментальных данных по электрическим параметрам биологических клеток. Показано, что использование нелинейной эквивалентной схемы позволяет более точно воспроизводить реальное поведение клеток в широком диапазоне приложенных напряжений. Представленная методика моделирования может быть применена для исследования электрических свойств различных типов биологических клеток, а также для разработки новых электронных устройств, взаимодействующих с живыми системами. В статье рассматривается сложная нелинейная зависимость электропроводности биологической клетки от напряжения, которая вызвана взаимодействием двух ионных каналов с разными характеристиками и резонансными эффектами, создаваемыми последовательным контуром. Метод эквивалентных схем замещения позволил создать единую модель, объединяющую компоненты, отвечающие за ионную проводимость, емкостные свойства мембраны и резонансные явления, связанные с наличием электропор.
Ключевые слова: математическое моделирование, метод эквивалентных схем, программное обеспечение, биологическая клетка, вычислительное исследование, электропроводность.
Введение
Моделирование электрических свойств биологических клеток является важной междисциплинарной задачей, лежащей на стыке физики, биологии и инженерии. Адекватное описание электрического поведения клеток имеет большое значение как для фундаментальных исследований в области биофизики [1,2] и клеточной физиологии [2,3], так и для практического применения в биомедицинской технике [4,5], биоинженерии [6,7] и других высокотехнологичных отраслях [8,9].
Биологические клетки представляют собой сложные электрохимические системы, характеризующиеся уникальными электрическими свойствами [10]. Ключевую роль в формировании электрических характеристик клеток играют их мембраны, в которых происходят разнообразные электрофизиологические процессы, такие, как ионный транспорт, генерация потенциалов действия, электрическая поляризация и другие. Эти процессы носят нелинейный характер и зависят от широкого спектра факторов - приложенного электрического поля, ионного состава среды, метаболической активности клетки и т.д.
Традиционные линейные эквивалентные схемы, широко используемые для моделирования электрических параметров клеток, оказываются недостаточно точными при описании реального нелинейного поведения биологических объектов. Для адекватного отображения электрофизиологических процессов в клетках требуются более сложные нелинейные модели, учитывающие специфику их электрохимической организации. Разработка таких нелинейных моделей электропроводности биологических клеток является актуальной научно-технической задачей. Их применение открывает новые возможности для глубокого изучения электрических свойств живых систем, а также для создания перспективных биомедицинских устройств и технологий, взаимодействующих с клетками на клеточном уровне.
В настоящей работе предлагается методика моделирования нелинейной электропроводности биологических клеток с использованием эквивалентных схем замещения, включающих нелинейные активные и пассивные элементы.
Моделирование нелинейной электропроводности биологической клетки
Объектом исследования в данной работе является биологическая клетка, помещенная в среду и имеющая электропоры в мембране (рисунок 1).
Электропоры в мембране биологических клеток играют важную роль в регуляции их электрических и физико-химических свойств. Основные функции электропор связаны с явлением электропорации (процесс образования временных пор в клеточной мембране под действием сильного электрического поля). Этот феномен наблюдается, когда на клетку воздействует импульсное электрическое поле с напряженностью, превышающей критический порог (от сотен вольт на сантиметр). Образование электропор в мембране приводит к нарушению ее избирательной проницаемости и повышению ионной проводимости. Это открывает возможности для ряда процессов и практических приложений на их основе, например, для доставки в клетку различных молекул и веществ (ДНК, лекарств, красителей и др.), которые в обычных условиях не проникают через интактную мембрану; облегчению обмена ионами между клеткой и внешней средой, что важно для восстановления нормального ионного градиента и мембранного потенциала; инициации электрически стимулируемых процессов в клетке, таких как открытие ионных каналов, генерация потенциалов действия, активация ферментативных реакций. Таким образом, электропоры в мембране выполняют важные транспортные и сигнальные функции, модулируя электрические и биохимические свойства клетки в ответ на воздействие сильных электрических полей. Клетка характеризуется сложной электрохимической организацией, определяющей её уникальные электрические свойства. Ключевым элементом клетки является клеточная мембрана - тонкая липидная двойная слоистая структура, отделяющая внутреннее содержимое клетки (цитоплазму) от окружающей внешней среды. Мембрана клетки содержит разнообразные ионные каналы, насосы и переносчики, которые обеспечивают избирательный транспорт ионов (таких как №+, К+, С1-, Са2+) через мембрану. Это приводит к
и
возникновению разности электрических потенциалов между внутренней и внешней средой клетки - мембранного потенциала.
Рис. 1. - Биологическая клетка, имеющая электропоры в мембране
Величина мембранного потенциала, а также его динамика во времени являются важнейшими характеристиками электрической активности клетки. Помимо ионного транспорта, в клеточной мембране происходят процессы электрической поляризации, связанные с перераспределением зарядов под действием приложенного электрического поля. Эти поляризационные эффекты также вносят вклад в нелинейные электрические свойства клеток. Таким образом, биологические клетки представляют собой сложные нелинейные электрохимические системы, моделирование которых требует учета большого числа взаимосвязанных физико-химических процессов, протекающих на клеточном уровне.
При импульсной кондуктометрии клетки, задействуется сигнал, который представляет собой прямоугольный импульс напряжения, т.е. скачкообразно возникающее постоянное напряжение [11]. Т.о. для построения эквивалентной электрической модели клетки необходимо учитывать только емкость и сопротивление, в то время как индуктивность можно не рассматривать. Это связано с тем, что эквивалентное реактивное сопротивление индуктивности при заданных параметрах импульсного
и
напряжения значительно меньше, чем активное сопротивление клетки и, особенно, клеточной мембраны [12]. На рисунке 2 представлен прямоугольный импульс воздействия на биологическую клетку.
Рис.2 - Прямоугольный импульс воздействия на биологическую клетку
За время, примерно равное 3тф (где Тф - постоянная времени фронта импульса), ток в системе электрической модели клетки достигает установившегося значения. Поэтому, при построении эквивалентной электрической схемы клетки, имеет смысл использовать известную последовательно-параллельную RC-цепь Шванна [13], но с учетом нелинейности сопротивления клеточной мембраны. На рисунке 3 представлена модифицированная нелинейная RC-цепь, которая может служить эквивалентной электрической моделью биологической клетки. В этой модели учитывается нелинейный характер сопротивления мембраны в зависимости от приложенного трансмембранного напряжения. Для более детального описания электрических процессов в биологической клетке рассмотрим нелинейную электрическую модель мембраны одиночной клетки. Это необходимо, чтобы учесть нелинейный эффект изменения проводимости мембраны с ростом напряженности приложенного импульсного электрического поля.
Рис. 3 - Последовательно-параллельная RC - цепь Шванна, модифицированная нелинейностью сопротивления мембраны
После завершения фронта прямоугольного импульса напряжения, который воздействует только на емкость мембраны См, напряжение
становится постоянным. В этом случае ток через емкость мембраны значительно меньше, чем ток через сопротивление мембраны, поэтому влиянием емкости можно пренебречь. Сопротивление клеточной мембраны является нелинейным и характеризуется вольт-амперной характеристикой, которую можно получить экспериментально. Для этого на клетку воздействуют последовательностью импульсов напряжения разной амплитуды и измеряют ток в цепи. Для установления нелинейной вольт-амперной характеристики сопротивления мембраны может быть использовано разложение в степенной ряд Тейлора [14]. Тогда, в окрестности некоторой рабочей точки и0 на этой характеристике, выражение будет
следующим:
1 = Г(и0) + Г' Ю• (и-и0) + 1 {>0 )• (и-и0)2 + ... + 1 Г" Ю• (и-и0)п,
2! п!
Если переписать выражение (1) в виде полинома, то получим:
1=Ги) = а0 +а1(и-и0) + а2(и-и0 )2 + ...+а"(и-и0 )П = Е/=(Л^-^'
(1)
(2)
и
где а - коэффициенты полинома, подобранные, с помощью метода
наименьших квадратов при аппроксимации полинома к вольт-амперной характеристике.
Согласно экспериментальным исследованиям [14], до определенного порогового значения напряжения и0 на вольт-амперной характеристике
(ВАХ) мембраны, ее проводимость незначительно и медленно растет за счет образования и ликвидации электропор в мембране. Однако, когда средний радиус этих пор превышает критическое значение, мембрана необратимо разрывается, и проводимость мембраны значительно и резко возрастает. Для упрощения расчетов можно ограничиться только первыми тремя переменными слагаемыми в разложении ВАХ мембраны в степенной ряд Тейлора. Тогда получим следующее уравнение, описывающее изменение тока через нелинейное сопротивление мембраны:
1 = ^и) = 1о +а1(и-и0) + а2(и-и0 )2 + аз(и-и0 )3, (3)
где ^ - начальное значение тока, когда нелинейные свойства сопротивления мембраны ят еще не проявляются.
Таким образом, проводимость мембраны можно описать в качестве нелинейной функции:
ст (и) = 1(и)/и = [1о +а1(и-ио) + а2(и-ио )2 + аз(и -ио )3 ]и-1 = + Хк=Л (и - ио)к ]и-1, (4) В выражении (4) подразумевается, что текущее значение переменной и
означает падение напряжения на сопротивлении мембраны. Оно определяется как: и =ипр-ик, где ипр - приложенное напряжение. Но
поскольку Явн << Ят, то допустимо, что и = и , т.е. соответствует амплитуде
импульса на эквивалентной цепи.
Для построения нелинейной электрической модели биологической клетки рассмотрим полную нелинейную эквивалентную электрическую
схему одиночной клетки в среде (рисунок 4). На этой схеме справа показан выход ионов цитоплазмы в окружающую клетку среду через образовавшиеся электропоры в мембране при воздействии импульсного электрического поля.
Слева на схеме новый переменный элемент - нелинейное сопротивление среды, которое зависит от входного напряжения:
Кср (и) = я:р - Кки,
(5)
где Я°ср - начальное (собственное) сопротивление среды, К - коэффициент
пропорциональности зависимости сопротивления от амплитуды импульса напряжения.
Рис. 4 - Электрическая схема, соответствующая процессу выхода ионов цитоплазмы в среду через электропоры при электропорации клеточной
мембраны
Линейность функции (5) обусловлена двумя факторами: выброшенные ионы цитоплазмы под действием импульсного электрического поля быстро диффундируют в межэлектродное пространство с малой проводимостью среды, не накапливаясь; количество и размер образующихся электропор в мембране растут пропорционально напряженности электрического поля. В целом, т.к. среда имеет больший объем, то концентрация выбросившихся
и
ионов увеличивается в ней медленно. Это позволяет принять линейный характер уменьшения сопротивления среды при постепенной электропорации мембраны клетки в возрастающем импульсном электрическом поле.
Обобщая элементы нелинейной электрической модели клетки, можно подытожить, что суммарная проводимость клетки в среде является сложной функциональной зависимостью от приложенного напряжения и времени. Для упрощения анализа можно рассматривать только стационарную стадию импульса напряжения, т.е. после прохождения фронта, т.е. при т>тф, когда
можно пренебречь емкостными элементами в эквивалентной схеме. В этом случае можно получить резистивную схему замещения клетки, а ее эквивалентная проводимость будет определяться так:
ЪТI>т, = Ф) = (и) • ^ц [20ц + Ом (и)]-1 + в:р + Каи, (6)
где 0°р + Каи = 0ср (и) - линейная функция роста проводимости среды, обратная функции сопротивления, - начальная (собственная) проводимость среды, Ке - коэффициент пропорциональности, и«- входное напряжение (амплитуда прямоугольного импульса), которая может быть любой функцией времени (обычно выбирается линейной).
При импульсной кондуктометрии измерения проводимости проводятся в импульсном электрическом поле, где амплитуда напряжения постепенно увеличивается от импульса к импульсу. Это достигается путем постепенного увеличения амплитуды входного импульса напряжения. Рассмотрим серию входных прямоугольных импульсов с возрастающей амплитудой как последовательность парафазных единичных скачков. Эти импульсы характеризуются следующими параметрами: шаг роста амплитуды между импульсами: Аи, длительность каждого импульса: ти, период следования импульсов: Т, время измерения: г.
Ux (t) = nAU • [1(t + (n - 1)T) - 1(t + (n -1)T -ти )],
(7)
где l(t + (n—1)T - ступенчатая единичная функция. Используя основные соотношения, выведенные ранее в формулах (4), (5) и (6), можно получить общее выражение для активной проводимости одиночной клетки при воздействии электрических импульсов с возрастающей амплитудой. Для этого достаточно подставить полученные соотношения в формулу (7):
^ , 00 +Z.-1 ^ (и - Uo)k • [G4 + knAUA] + 2G4 k[nAUA]
Gm I t>u =-;-:-+ G™ •
(8)
20цпШЛ + г0 + ак (и - и0 )к
Это означает, что для определения собственной проводимости клетки, находящейся в среде во время воздействия последовательных прямоугольных импульсов с линейно возрастающей амплитудой, можно вычесть проводимость среды из общей измеренной проводимости. На рисунке 5 показаны результаты моделирования - график зависимости электропроводности биологической клетки от прилагаемого напряжения.
Рис. 5. - График нелинейной электропроводности биологической клетки
Результирующий график демонстрирует несколько локальных максимумов и минимумов, отражающих сложную нелинейную зависимость электропроводности биологической клетки от напряжения. Это обусловлено совместным влиянием двух ионных каналов с различными характеристиками, а также резонансными эффектами, создаваемыми последовательным контуром.
Заключение
В данной работе была разработана комплексная модель нелинейной электропроводности биологической клетки, учитывающая различные физические процессы, протекающие в клеточной мембране. Использование метода эквивалентных схем замещения позволило объединить в единую модель компоненты, отвечающие за ионную проводимость, емкостные свойства мембраны и резонансные явления, обусловленные наличием электропор. Результаты показали, что нелинейная вольт-проводимостная характеристика биологической клетки имеет сложную форму с несколькими локальными максимумами и минимумами. Это обусловлено совместным влиянием экспоненциальных зависимостей ионной проводимости, емкостных эффектов и резонансных пиков, создаваемых последовательным колебательным контуром. Представленная комплексная модель, основанная на эквивалентной схеме замещения, дает возможность адекватно описывать нелинейные электрические свойства биологических клеток, в том числе, с учетом формирования электропор в мембране. Разработанный подход может быть применен для моделирования и анализа электрофизиологических процессов в различных типах клеток, а также для исследования влияния внешних воздействий, таких, как электрические поля, на функционирование биологических систем.
Литература
1. Васильева М. А., Бугай А. Н., Душанов Э. Б. Моделирование репарации повреждений ДНК, индуцированных тяжелыми ионами в клетках млекопитающих. Актуальные вопросы биологической физики и химии. 2022. №7(4). С. 557-564.
2. Ким Р.П., Корчагин С.А. Математическое и компьютерное моделирование электрофизических свойств многоклеточной структуры при воздействии наносекундных электрических импульсов. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2021. №21(2). С. 259-266.
3. Фраучи И. В. и др. Использование крупных лабораторных животных для моделирования инсульта. Гены и Клетки. 2019. №14. С. 244-245.
4. Лунёва К. А. и др. Опыт ксенотрансплантационного гетеротопического моделирования колоректального рака различных клеточных типов у бестимусных мышей линии BALB/c nude. Патологическая физиология и экспериментальная терапия. 2020. №64(4). С. 148-152.
5. Павлов В. Н. и др. Исследование процессов в установке для модификации биологических клеток магнитным полем при использовании источника переменного тока с высоким выходным сопротивлением. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2022. №10(1). С.36.
6. Кореневский Н. А. и др. Математические модели прогнозирования и ранней диагностики заболеваний, провоцируемых электромагнитными полями радиочастотного диапазона малой интенсивности. Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2020. №8(2). С. 4-5.
7. Ким Р.П., Корчагин С.А. Математическое моделирование воздействия электрических импульсов на транспорт цисплатина через
плазматическую мембрану // Инженерный вестник Дона, 2024. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2024/8978.
8. Jensen C., Teng Y. Is it time to start transitioning from 2D to 3D-cell culture? Frontiers in molecular biosciences. 2020. 7. P.33.
9. Zahoor F., Azni Zulkifli T. Z., Khanday F. A. Resistive random access memory (RRAM): an overview of materials, switching mechanism, performance, multilevel cell (MLC) storage, modeling, and applications. Nanoscale research letters. 2020. №15. Pp. 1-26.
10. Petrova D. D. et al. The new general biological property of stem-like tumor cells (Part II: Surface molecules, which belongs to distinctive groups with particular functions, form a unique pattern characteristic of a certain type of tumor stem-like cells). International Journal of Molecular Sciences. 2022. №23(24). p.15800.
11. Власов Ю. В., Фролов А. В., Фирсов В. В. Механизм взаимодействия электромагнитных полей с клеточными мембранами организма человека. Техносферная безопасность, надежность, качество, энерго-и ресурсосбережение. 2019. C. 102-108.
12. Самигуллин Д. В. и др. Применение магнитных наночастиц для дистанционного контроля клеточной активности. Прикладная электродинамика, фотоника и живые системы. 2022. C. 28-32.
13. Bernard C. et al. Kinetics of skeletal muscle regeneration after mild and severe muscle damage induced by electrically- evoked lengthening contractions. The FASEB Journal. 2023.37(9). P. 23107.
14. Буронов С. А. Методические советы по разложение функций многих переменных в ряд Тейлора. Science and Education. 2022. 3(6). C.72-85.
M Инженерный вестник Дона, №9 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n9y2024/9508
References
1. Vasilyeva M. A., Bugay A. N. Dushanov E. B. Aktualnye voprosy biologicheskoy fiziki i khimii. 2022. №7 (4). Pp. 557-564.
2. Kim R. P. Korchagin S. A. Novaya seriya. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika. 2021. №21 (2). Pp. 259-266.
3. Frauchi I. V. i dr. Geny i Kletki. 2019. №14. Pp. 244-245.
4. Luneva K. A. i dr. Patologicheskaya fiziologiya i eksperimentalnaya terapiya. 2020. №64 (4). Pp. 148-152.
5. Pavlov V. N. i dr. Modelirovaniye. optimizatsiya i informatsionnyye tekhnologii. 2022. №10 (1). P. 36.
6. Korenevskiy N. A. i dr. Modelirovaniye. optimizatsiya i informatsionnyye tekhnologii. 2020. №8 (2). Pp. 4-5.
7. Kim R.P. Korchagin S.A. Inzhenernyy vestnik Dona. 2024. №1. Pp. 710-722.
8. Jensen C. Teng Y. Frontiers in molecular biosciences. 2020. №7. P. 33.
9. Zahoor F. Azni Zulkifli T. Z. Khanday F. A. Nanoscale research letters. 2020. №15. Pp. 1-26.
10. Petrova D. D. et al. International Journal of Molecular Sciences. 2022. № 23(24). P. 15800.
11. Vlasov Yu. V., Frolov A. V., Firsov V. V. Tekhnosfernaya bezopasnost. nadezhnost. kachestvo. energo-i resursosberezheniye. 2019. Pp. 102-108.
12. Samigullin D. V. i dr. Prikladnaya elektrodinamika. fotonika i zhivye sistemy. 2022. №2. Pp. 8-32.
13.Bernard C. et al. The FASEB Journal. 2023. 37(9). P. 23107.
14.Buronov S. A. Science and Education. 2022. 3(6). Pp. 72-85. Дата поступления: 4.08.2024
Дата публикации: 14.09.2024
