Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2015. Том 22, №2
УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В СЛОИСТЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ Ю. М. Волчков, Е. Н. Полтавская
Аннотация. С использованием модифицированных уравнений упругого слоя построены уравнения слоистых ортотропных пластин. Выполнено численное моделирование напряженно-деформированного состояния в однослойной, двуслойной и трехслойной пластинах. Проведено сравнение полученных в работе численных решений с аналитическими решениями.
Ключевые слова: слоистые ортотропные пластины, модифицированные уравнения упругого слоя.
Yu. M. Volchkov, E. N. Poltavskaia. Simulation of stress-strain state in layered orthotropic plates.
Abstract: In this paper, using the modified equations of elastic layer equations of ortotropic layered plates are constructed The numerical simulation of stress-strain state in a single-layer, two-layer and three-layer plates are fullfiled. A comparison of the numerical solutions with analytical solutions is presented.
Keywords: layered orthotropic plates, modified equations of the elastic layer.
Введение. При сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной (теории оболочек) либо используются гипотезы кинематического и силового характера [1], либо применяются разложения решений уравнений теории упругости по некоторой полной системе функций [2-6]. Гипотезы кинематического и силового характера накладывают достаточно сильные ограничения на напряженно-деформированное состояние и поэтому, как правило, с использованием таких гипотез уравнения теории оболочек строятся для случая, когда на лицевых поверхностях оболочки заданы напряжения. Решение контактных задач на основе таких уравнений зачастую приводит к эффектам нефизического характера. Применение разложений решений уравнений теории упругости по некоторой полной системе функций позволяет построить уравнения оболочек в различных приближениях. При этом одним из основных вопросов является следующий: на основе каких дополнительных предположений строится то или иное приближение; а именно, сколько членов в разложениях нужно удерживать при построении данного приближения? Поскольку полиномы Лежандра образуют полную систему функций в пространстве L2[-1,1], именно эта система функций обычно используется при построении уравнений теории оболочек.
© 2015 Волчков Ю. М., Полтавская Е. Н.
В данной работе на основе подходов, изложенных в работах [4-13], построены дифференциальные уравнения ортотропных слоистых оболочек.
1. Уравнения плоской задачи теории упругости. При записи уравнений задачи будем использовать прямоугольную декартову систему координат х1;х2,хз. В дальнейшем индексы 1, 2, 3 соответствуют координатам х1;х2,хз.
В плоской задаче искомыми функциями являются: компоненты тензора напряжений <т11; <г12, <г22, компоненты тензора деформаций е11;е12,е22, компоненты вектора перемещений и1; и2. Компоненты тензора напряжений а1з, <г2з и компоненты тензора деформаций е1з, е2з полагаются равными нулю. Все искомые величины являются функциями независимых переменных х1; х2. В задаче о плоском напряженном состоянии компонента тензора напряжений <гзз полагается равной нулю, а компонента тензора деформаций £зз может быть найдена после решения задачи. Выпишем уравнения плоской задачи теории упругости.
Уравнения равновесия бесконечно малого элемента записываются в следующем виде:
дсти(ж1,ж2) до-12(Ж1,Ж2) , , , _ ,.. ,
дХ1 + дХ2 +Л(Ж1'Ж2) = (1а)
до-21(ж1,Ж2) , д&22 (Ж1,Ж2) , , , _
-я--1--я--Ь/2(жьж2)= 0. (1Ь)
дх1 дх2
Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений по соотношениям Коши:
ди1 дп1 ди2 ди2 , .
е11 — я-1 е12 — я--ь я-1 е22 — я-•
дх1 дх2 дх1 дх2
В данной работе исследуется напряженно-деформированное состояние пластин из ортотропного материала. Материал, у которого имеются три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, называется ортогонально анизотропным или ортотропным. Ортотропными материалами, используемыми в промышленности, являются, например, натуральная древесина, прокатный листовой бетон, металл и др. [14]. Ортотропными являются некоторые типы композитных материалов. В частности, углепластик является ортотропным материалом. Углепластики — это полимерные композиционные материалы из углеродных волокон, симметрично расположенных в матрице из полимерных, например, эпоксидных смол. Такие материалы имеют высокую прочность, жесткость и малую массу. Они прочнее стали, но намного легче ее. Благодаря таким свойствам углепластики широко используются во многих отраслях промышленности.
В случае плоского напряженного состояния соотношения закона Гука для ортотропного материала записываются в следующем виде [14]:
/ди1(хьх2) ди2(хьх2)\ _ ,
ац(х 1,х2)-а11 -—--Ь72-—- 1= 0, (За)
( ди2(х1,х2) дм1(жьж2)^ ~ а2 ^ 9ж2 + 71 ) = 0, (ЗЪ)
.12(хьх2) - + ^^) , (Зс)
где
Е-,
Ео
Ы\ =
1 - ^12^21
ао =
1 - ^12^21
71 = ^12, 72 = ^21.
В соотношения (3а)—(3с) входят следующие независимые постоянные материала: Е1 — модуль упругости в направлении 1, Е2 — модуль упругости в направлении 2, ^12 — коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие при растяжении в направлении 1. Еще две постоянные входят в выражение для деформации £33, если ее определять после решения задачи о плоском напряженном состоянии. Краевую задачу будем решать в прямоугольной области (слое) О : [0 < х1 < I, —Н < х2 < +Н].
На границе области ставятся следующие краевые условия.
На боковых поверхностях слоя:
а^(0, Х2) + 610-11(0, Х2) = ^о(х2), На лицевых поверхностях слоя: С1И1(х1, ±Н) + ¿10ю(х1, ±Н) = ^±ь(х1)
а2П2(1,Х2) + 62021 (1,х2) = фь (х2 ) . (4)
С2И2(хЬ ±Н) + ^20"22(х1, ±Н)
ф±ь(х1)
(5)
Таким образом, ставится следующая задача: найти функции о11, о12, о22, £11, £12, £22, и1, и2, удовлетворяющие в области О уравнениям (1а), (1Ь), (2), (3а)—(3с) и краевым условиям (4), (5).
2. Переход к безразмерным величинам. Введем следующие безразмерные величины:
£ =
х1 Т:
с =
х2
(011,012,022) =
<711 <712 <722 оо ' оо ' оо
и1
И1 = 7Г'
и2 г ЛН
и2 = ~Г, ¡1 = -,
Н оо
оо
(6)
где оо — некоторое характерное напряжение.
Запишем уравнения задачи в безразмерных переменных. Для простоты записи уравнений в безразмерных переменных символ «"» опущен. Уравнения равновесия в безразмерных переменных:
дстп(С, С) , д*12(£,С) п
"—ас— + —ЭС— + с) = '
до21(£,0 , до22(£,0
V-
+ ■
+ /2(£,0=0.
д£ дС
Соотношения закона Гука в безразмерных переменных:
он С) - «1 —--
0-22(4,0 - "2 1 -Щ--1" 717?
С) - 912 ( -^- + ??
дС ди2(£,С)
= 0,
(7а) (7Ь)
(8а) (8Ь) (8с)
¡
¡
0
0
0-21(^0-312 (—^—+г)—щ—)=о. (8а)
Соотношения (8с) и (8d) в силу симметричности тензора напряжений представляют собой одно и то же соотношение. Однако такая запись целесообразна для дальнейшего изложения.
Соотношения Коши:
дих дих ди2 ди2
£12 = ^с+Г1^' 622 = (9)
3. Аппроксимация напряжений и смещений отрезками полиномов Лежандра. При построении уравнений плоского слоя уравнения равновесия элемента, бесконечно малого в направлениях жх,ж2 и единичной ширины в направлении жз (7а)—(7Ь), заменим уравнениями равновесия элемента, бесконечно малого в направлении жх, конечной ширины в направлении ж2 и единичной ширины в направлении жз: 1
+ + = (Ю)
+ (П)
х
х
+ (12)
-х
Напряжения и смещения будем аппроксимировать отрезками полиномов Лежандра. В соответствии с уравнениями (10)—(12) напряжения и массовые силы аппроксимируются следующими отрезками полиномов Лежандра:
*хх(£,С)= *х(0+ тх(С)Рх(С), (13)
*22&С) = ¿2(0+ т2(С)Рх(С), (14)
^2«, С) = *х2(0 + тх2(С)Рх(С) + Гх2(С)Р2(0, (15)
*2х(£,С)= ^(О, (16)
/х(£,С) = 9хо(С) + 9хх(С)Рх, /2(^,0= ЫО- (18)
В (13)—(18) Рх(С), Р2(0 — полиномы Лежандра, образующие полную орто-нормированную систему функций на отрезке [-1,1].
Напряжения <гх2 и <г2х аппроксимируются различными отрезками полиномов, так как в уравнения равновесия входят производные от этих функций по различным координатам. Такая аппроксимация учитывает различную изменяемость напряженно-деформированного состояния по пространственным координатам в тонкостенных конструкциях.
Аппроксимации для смещений выбираются так, чтобы выражения, содержащиеся в круглых скобках в соотношениях (8a)—(8d) имели тот же порядок
-х
х
аппроксимации по £, что и напряжения. Поэтому аппроксимируем соотношения
(9) следующим образом:
£11—17-^т-, ¿£12 ----1-т/-—-, £22
дС
дС
где
и!(£,С )= ^(0 + и1(£)Р1(С), <(0 О = ^(0 + и1(£)Р1(С) + и?(£)Р2(С) + и3(£)Рз(С), и2(£,С ) = и°(0, и2'(£, 0 = и°(£) + и1(£)Р1(0 + и2(£)Р2(С).
(19)
(20) (21) (22) (23)
Для смещений и1 и2 используются по две аппроксимации. Это обусловлено тем, что в соотношения Коши входят производные от этих функций как по так и по С-
С учетом введенных аппроксимаций для напряжений и смещений соотношения (8а)-(8а) заменяются следующими соотношениями:
1
J (°п(0С) — п
+ 72
дС
Ро(С) ¿С = 0,
(24а)
J (0С) — п
-1 1
У ^22 (С, С) д(,
ди^Х) ди2({,()
---^ 72
дС
1-+
1
J (°22 (0С) — а2
{ди2(£,о ди^х)
+ 71??'
V дС
{дт&О ди2(^Х)
+ Г]
/ (-12«, С)" 512 ( ^ , , ^
-1 1
1 ГС) " 512 зГ"
! (°21(0С) — 012 (
(ди^Х)^ ди2($Х)
+ Г]
дС
Р1(С) ^ = 0, Ро(С) ¿С = 0, Р1(С) ¿С = 0, Ро(С) ¿С = 0, Р1(С) ¿С = 0, Р2(С) ¿С = 0.
(24Ь) (24с) (24а) (24е) (24^ (248)
Краевые условия на лицевых поверхностях (5) для коэффициентов отрезков полиномов Лежандра принимают следующий вид:
С1(и?(0 ± и1(£) + и2(£) ± и?(0) + ¿1(412(0 ± Ш12(0 + Г12(£)) = <±ь(0, (25)
и°(0 ± и2(£) + и2(0) + ¿2(42(0 ± Ш2(0) = <±ь(0.
(26)
1
-1
1
1
-1
Уравнения (10)-(12), (24a)-(24g), (25), (26) представляют собой систему дифференциальных и конечных уравнений относительно коэффициентов отрезков полиномов Лежандра для напряжений и смещений:
^'х + тх2 + 9х0 = 0, Пто'х + 3гх2 + 9хх = 0, П^ + т2 + 920 = 0, ах(72«х + пИо) - ¿х = 0, ах (372^2 + п^!) - тх = 0,
«2(«х + 7хпи0) - ¿2 = 0, «2(3^2 + 7хпи/х) - то2 = 0, дх2(их + Из + п«0) - ¿х2 = 0, тх2 - 3дх2И2 = 0, гх2 - 5дх2Из = 0, = ¿2 ± т2, = ± и2 + и2, = ¿х2 ± тх2 + Г х2, и± = и0 ± ^х + и^ ± и3,
(27а) (27Ь) (27с) (27d) (27е) (271) (27g) (27Ь) (271) (27]) (27к) (271)
где , ст±2,и± — заданные функции; штрих обозначает производную по
переменной £.
Уравнения (27а)-(271) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций и0(£), их(£), г>0(£), 4 хх(£), т хх(£), 4х2(£). Если ввести вектор
Ъ = [и0, и х, «0, 4 х х, тх х, 4х2]Т,
то систему дифференциальных уравнений ортотропного слоя можно записать в матричной форме:
Ъ' = Я^ + (28)
где Ъ = [и0, и х, «0, 4 х х, т х х, Iх 2]Т, Н — квадратная матрица 6 х 6, Е — вектор из шести компонент.
Из краевых условий на торцах поверхностей слоя (4) следуют краевые условия при £ = £0 и £ = £ х для системы (28), которые можно записать в следующем виде:
АХ + БУ = С, (29)
где
и0 *х х
Х= и х , У = т
«0 *х 2
А, Б — заданные матрицы порядка 3 х 3 и С — заданный вектор с тремя компонентами. Матрица Н и вектор Е зависят от вида краевых условий на лицевых поверхностях слоя. Компоненты вектора Ъ имеют следующий физический
Рис. 1. а) зависимость прогиба в середине балки от параметра 1/К; б) распределение касательных напряжений в торцевом сечении балки; в) распределение нормальных напряжений в среднем сечении балки; г) однослойная балка; сплошные линии и точки — решение по уравнениям слоя, штриховые линии — аналитическое решение.
смысл: и0 — осредненное по толщине слоя продольное перемещение, и1 — поворот поперечного сечения, Уо — осредненное по толщине слоя поперечное перемещение, ¿1 — продольная сила, £12 — перерезающая сила, т1 — изгибающий момент.
4. Алгоритм вычисления напряженно-деформированных состояний в слоистых пластинах. Основным преимуществом построенных уравнений упругого ортотропного слоя является то, что они допускают постановку условий на лицевых поверхностях как в смещениях, так и в напряжениях, при этом порядок системы дифференциальных уравнений не меняется. Это позволяет построить уравнения слоистых пластин. В каждом слое используется система уравнений (28). На границах между слоями ставятся условия сопряжения — условия непрерывности нормальных напряжений и смещений на границах между слоями.
Так, например, для трехслойной пластины получим систему дифференциальных уравнений 18-го порядка. Матрицы И в каждом слое будут различными, так как условия на лицевых поверхностях слоев будут различных типов. Для решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений 18-го порядка в данной работе использовался метод ортогональной прогонки.
Рис. 2. а) зависимость прогиба в середине балки от параметра 1/Н; б) распределение касательных напряжений в торцевом сечении балки; в) распределение нормальных напряжений в среднем сечении балки; г) двухслойнаяя балка; сплошные линии и точки - решение по уравнениям слоя, штриховые линии — аналитическое решение.
5. Сравнение численного решения задачи о напряженно-деформированном состоянии слоистых ортотропных пластин с аналитическими решениями. В работах [15-17] построены аналитические решения задач о цилиндрическом изгибе многослойных балок, состоящих из ортотропных слоев. Рассмотрим задачу о цилиндрическом изгибе балки с шарнирно закрепленными торцами, на которую действует внешняя нагрузка 9(х) = 90 в1п(пх//), где 90 — интенсивность нагрузки, Ь — длина балки.
Балка состоит углепластиковых монослоев со следующими характеристиками (ось х совпадает с направлением армирования): Ец = 1, 724 • 105 МПа; Е22 = 6895 МПа; = 3448 МПа; С2з = 1379 МПа; ^ = 0, 25 МПа.
На рис. 1 представлены результаты расчетов для однослойной балки (направление армирования слоя совпадает с осью балки х).
На рис. 2 представлены результаты расчетов для двухслойной балки (направление армирования первого слоя совпадает с осью балки х, а направление армирования второго слоя перпендикулярно оси балки: Е^ = Ец, = Сх2,
----------- 0.5 /Л й слой _ / м =
2- й слой с
-80 -40 40 80
1-й слой
Рис. 3. а) зависимость прогиба в середине балки от параметра 1/Н; б) распределение касательных напряжений в торцевом сечении балки; в) распределение нормальных напряжений в среднем сечении балки; г) трехслойнаяя балка; сплошные линии и точки - решение по уравнениям слоя, штриховые линии — аналитическое решение.
ЕХ = Е22, = С23).
На рис. 3 представлены результаты расчетов для трехслойной балки (направление армирования первого и третьего слоев совпадает с осью балки х, а направление армирования второго слоя перпендикулярно оси балки: ЕХ = Е11,
= ^12 (к = 1> 3); ЕХ = Е22, С2хг = С23).
Интенсивность нагрузки до = 0, 6895 МПа. На рисунках результаты представлены в следующих безразмерных переменных:
Но(1/2,0) =
ШЕ22Ь3Ш(1/2,0)
и =
Е22и(0, г)
&13 =
Тхх (0,г)
^3 =
**(1/2, г)
до I4 до I4 до до
Для различных значений параметра Н/1 (Н — толщина балки, I — ее длина) на рисунках приведены распределения смещений и напряжений в некоторых характерных точках и сечениях балки. Максимальная погрешность при вычислении напряжений с использованием построенных уравнений не превышает 3%.
Заключение. С использованием модифицированных уравнений упругого слоя построены дифференциальные уравнения слоистых ортотропных пластин. Проведено сравнение численных решений о напряженно-деформированном состоянии однослойной, двухслойной и трехслойной ортотропных балок с аналитическими решениями соответствующих задач. Из результатов сравнения следует, что с использованием модифицированных уравнений упругого слоя можно построить уравнения слоистых пластин, позволяющие определить напряженно-деформированное состояние в слоистых пластинах с достаточной для технических приложений точностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.
2. Солер А. Теории высшего порядка анализа конструкций, основанные на разложениях по полиномам Лежандра // Тр. Амер. о-ва инженеров механиков. сер. Е. Прикл. механика. 1969. Т. 36, № 4. С. 107-112.
3. Иванов Г. В. Решение плоской смешанной задачи теории упругости в виде рядов по полиномам Лежандра // Прикл. механика техн. физика. 1976. № 6. С. 126-137.
4. Иванов Г. В. Теория пластин и оболочек. Новосибирск: НГУ, 1980.
5. Пелех Б. Л., Лазько В. А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наук. думка, 1982.
6. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А. Решение задач упругого слоя по приближенным уравнениям и сравнение с решениями теории упругости // Динамика сплошной среды. 1977. № 28. С. 43-54.
7. Vajeva D. V., Volchkov Yu. M. The equations for determination of stress-deformed state of multilayered shells // Proc. 9th Russian-Korean Intern. Symp. on Sci. and Technol. Novosibirsk, 26 June-2 July 2005. Novosibirsk: Novosib. State Univ., 2005. P. 547-550.
8. Волчков Ю. М. Конечные элементы с условиями сопряжения на их гранях // Динамика сплошной среды. 2000. № 116. С. 175-180.
9. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А., Иванов Г. В. Численное моделирование напряженных состояний в плоских задачах упругости методом слоев // Прикл. механика техн. физика. 1994. Т. 35, № 6. С. 129-135.
10. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А. Краевые эффекты в напряженном состоянии тонкой упругой прослойки // Прикл. механика техн. физика. 1999. Т. 40, № 2. С. 189-195.
11. Алексеев А. Е., Алeхин В. В., Аннин Б. Д. Плоская задача теории упругости для неоднородного слоистого тела // Прикл. механика техн. физика. 2001. Т. 42, № 6. С. 136-141.
12. Алексеев А. Е., Аннин Б. Д. Уравнения деформирования упругого неоднородного слоистого тела вращения // Прикл. механика техн. физика. 2003. Т. 44, № 3. С. 157-163.
13. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А. Уравнения упругого анизотропного слоя // Прикл. механика техн. физика. 2004. Т. 45, № 2. С. 188-198.
14. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматгиз, 1961.
15. Pagano N. J. Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending // J. Composite Materials. 1969. V. 3, N 4. P. 398-409.
16. Pagano N. J. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates // J. Composite Materials. 1970. V. 4, N 1. P. 20-34.
17. Pagano N. J. Elastic behavior of multilayered bidirectional composites // J. Composite Materials. 1972. V. 10, N 7. P. 931-933.
Статья поступила 2 сентября 201-5 г.
Волчков Юрий Матвеевич, Полтавская Екатерина Николаевна Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН пр. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090 volk@hydro.nsc.ru