CC BY
158. Демин В.А., Шарафутдинов Г.З. Метод геометрической линеаризации в задачах нелинейного деформирования // Mechanika. Bialystok: Dzial wydawnictw i poligrafii, 2001. Zeszyt 24. 123-127.
9. Гольденблат И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М.: ГИТТЛ, 1955.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7: Теория упругости. М.: Наука, 1987.
11. Шарафутдинов Г.З. О постоянных Ламе и определяющих соотношениях механики деформируемых тел //Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 1. 55-58.
12. Ильюшин А.А. Пластичность. М.; Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.
13. Шарафутдинов Г.З. Теория деформаций // Изв. МГИУ. 2008. № 1. 92-111.
14. Варданян Г.С., Мусатов Л.Г., Павлов В.В. Приспособление для двухосного нагружения плоских образцов // Заводская лаборатория. 1969. № 2. 225-226.
15. Шарафутдинов Г.З. Осесимметричная деформация толстостенной трубы из высокоэластичного материала // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 2. 108-120.
Поступила в редакцию 07.09.2011
УДК 539.4
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ОЦЕНКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЛОПАТОК ПРИ ИСПЫТАНИЯХ КОРПУСОВ НА НЕПРОБИВАЕМОСТЬ
П. А. Ваганов1, А. Р. Лепешкин2
Разработана расчетная методика по определению напряженно-деформированного состояния и несущей способности лопатки с целью ее обрыва. Метод обрыва лопатки заключается в перераспределении напряжений в заданном сечении лопатки за счет дополнительного термического нагружения и в обеспечении разрушения по указанному сечению на заданной частоте вращения. Приведены результаты расчетного моделирования напряженно-деформированного состояния лопатки с ослабленным сечением. Предложенная методика была использована при проведении испытаний корпуса на непробиваемость на разгонном стенде.
Ключевые слова: лопатка, метод расчета, прочность, напряжения, обрыв, ослабленное сечение, нагрев, дополнительное нагружение.
A numerical method to determine the stress-strain state and bearing capacity of a blade for breaking the blade is proposed. The method of blade breakage consists in a redistribution of stresses in the rear cross section of the blade because of an additional thermal loading and in the enforcement of destruction over this cross section at a given frequency of rotation. Some results of numerical study of the stress-strain state are discussed for the case when the cross section is weakened. The proposed method was used to test the impenetrability of the frame using an acceleration stand.
Key words: blade, numerical method, strength, stresses, break, weakened cross section, heating, additional loading.
Нормы летной годности требуют проведения испытаний корпусов газотурбинных двигателей (ГТД) в случае обрыва лопаток на максимальной частоте вращения ротора. По данным испытаниям судят о достаточной прочности корпуса. При этом в нормативных документах не указано, каким методом должен быть произведен обрыв и каким минимальным запасом статической прочности должна обладать лопатка с ослабленным сечением. Задача экспериментаторов заключается в имитации усталостного разрушения в заданном сечении. Наиболее распространенный метод взрыва [1] состоит в том, что заданное сечение ослабляется подрезкой, в центральной части замка устанавливается заряд и при выходе на рабочие обороты производится взрыв. Данный метод имеет следующие недостатки: работа со взрывчаткой, сложности с
1 Ваганов Петр Алексеевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: petrvaganov@yandex.ru.
2 Лепешкин Александр Роальдович — доктор техн. наук, начальник сектора Центрального института авиационного моторостроения им. Баранова, e-mail: lepeshkin.ar@gmail.com.
подбором величины требуемого заряда, к тому же при взрыве выделяется большая дополнительная энергия, которая меняет траекторию полета лопатки. Другой метод, наиболее простой в исполнении, — метод последовательной подрезки [2]. В этом случае подрезают сечение, затем выходят на заданную частоту вращения; если обрыв не произошел, то делают дополнительную подрезку и так далее. Однако обрыв может произойти на меньшей ча-рис. 1 стоте вращения и условия испытаний
уже не будут соответствовать требуемым. С учетом вышеуказанных недостатков существующих методов в ЦИАМе был разработан новый оригинальный метод обрыва рабочей лопатки без использования взрыва [3]. В соответствии с этим методом первоначально производят подрезку в заданном сечении для уменьшения запаса прочности лопатки вентилятора ГТД до 1,3—1,4 (область 4 на рис. 1), оставляют центральное сечение 1 с вырезом под нагреватель и кромки 2 и 3. При выходе на заданную частоту вращения включают нагреватель, после чего происходит разгружение (удлинение) центральной части и догружение кромок лопатки. Вследствие этого разрушаются кромки, далее — центральная часть лопатки. Данный процесс требует математического моделирования, поскольку при испытании диск с лопатками (одна из которых подрезана) необходимо раскрутить до заданной максимальной частоты вращения (в данном случае 11000 об/мин) и при этом обеспечить гарантированный обрыв лопатки. Поэтому подрезанная лопатка должна обладать достаточным запасом прочности в каждом из ее сечений. При включении нагревателя догружение кромок должно быть таким, чтобы они оборвались. Итак, необходимо подобрать такой запас прочности в заданном ослабленном сечении, чтобы в начальный момент времени обеспечить выход на заданную частоту вращения и обрыв кромок при нагреве.
Для расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) лопатки в поле действия центробежных сил с учетом нагрева центральной области (нагревателя) применялась пластическая модель теории течения с изотропным упрочнением [4, 5]. Используем следующие уравнения: уравнения равновесия
ацц (и, Т) + = 0,
где = 0, = 0, ^з = реи2 \/ г2 + ж2, р — плотность материала, и — частота вращения, и — вектор перемещений, Т — температура, ац — компоненты тензора напряжений; соотношения Коши
_ 1 , £ч — 2 изЛ)у
где ец — компоненты тензора деформаций; закон Гука
где Сцш — компоненты тензора модулей упругости, екг — упругие деформации;
ёец = йеец + + йеР,
где еТ — температурная деформация, е^ц — пластические деформации
ч
ек1 = а(Т - Т0)5кг,
где а — коэффициент температурного линейного расширения, 5кг — символ Кронекера; критерий текучести
где Бц — компоненты девиатора тензора напряжений, а8 — интенсивность напряжений;
3
закон упрочнения
F{aij, Ар) = ^ SijSij - ак(Ар) = 0,
(1)
где йАр = а^ с1еР, Ар — работа пластической деформации, ак(Ар) определяется из диаграммы растяжения. В случае нагрузки, когда а^> 0, верно уравнение течения
дГ
если а^ йе^ ^ 0, то = 0.
Для определения пластической деформации из (1) получаем
dF =
dF
dan +
dF
даij дАр р
dAP = 0,
или
d,X = -
dF r _e до-ij
dF dF j ■ дАр d/Tij "
Для определения температурного поля, созданного нагревателем, используются следующие уравнения и граничные условия:
уравнение теплопроводности
дТ
где с — удельная теплоемкость, Ь — время , % — коэффициент теплопроводности, А — оператор Лапласа; граничные условия
Яи|Ео = до, Т |4=о = То,
где q = —% grad(T) — тепловой поток, п — нормаль к поверхности Ео.
Моделирование производилось в программном комплексе ANSYS. Результат прочностного расчета области лопатки в момент времени Ь = 0 представлен на рис. 2 (растягивающие напряжения направлены вдоль действия центробежной силы по оси 2).
Рис. 2
Расчeт на прочность будем производить по средним напряжениям, действующим на сечение. Максимальное значение нагрузок, которое может выдержать заданное сечение (экспериментально), будем называть несущей способностью. Для определения несущей способности ослабленной лопатки вентилятора ГТД вычисляется критическая сила Pcr — это максимальное значение нагрузки, которую может
выдержать сечение при действии заданного момента изгиба М, когда весь материал находится в пластическом состоянии. Аналогично Мсг — максимальное значение изгибающего момента при фиксированной нагрузке Р.
Теперь опишем критерий прочности по несущей способности для прямоугольного сечения в случае действия растягивающего усилия, изгиба и касательных напряжений на это сечение. Выберем модель идеальной пластичности с пределом текучести материала ак . При этом максимальное значение момента, действующего на сечение, будет достигаться в случае кусочно-постоянного распределения растягивающих напряжений вдоль сечения. Будем считать, что касательные напряжения распределены равномерно по
сечению, тогда можно ввести дополнительную величину ат = ат ~ ^т2 и назвать ее пределом текучести
при заданном действии касательных напряжений. Итак, когда весь материал находится в пластическом состоянии, верны следующие формулы:
Р Р
ТУ о Рсг ~ Рсг
Р = 2 атх0а, п = —, п = —,
:ъ2 Р2 \ I AM
Мсг = ата[ — - л 9 0 , Рсг = ата\ Ъ2 -
. . 2 9 1' cr _ \ " >
4 4a1a2J V атa
где Xq — расстояние от оси изгиба до центра масс сечения; a и b — стороны прямоугольника; n — запас прочности; П — запас прочности с учетом действия касательных напряжений.
Результаты проведенного расчета НДС и несущей способности лопатки в программном комплексе ANSYS (с использованием значений действующих сил в узлах конечно-элементной сетки) сведены в табл. 1 и 2: P — растягивающее усилие, Pcr — растягивающее критическое усилие, Mx и My — изгибы, n — запас прочности, т — касательное напряжение, ат — предел текучести, Pcr — растягивающее критическое усилие и П — запас прочности с учетом касательных напряжений, t — момент времени нагрева, T — температура в месте установки термопары.
Для криволинейного сечения параметры a и b определяются из уравнений
ab2
yc\Si + yc2S2 = —, S = ab,
где S — площадь криволинейного сечения, на S\ действует растяжение, на S2 — сжатие, а yc1 — расстояние от центра масс Si до оси изгиба, ус2 — расстояние от центра масс S2 до оси изгиба. Таким образом, криволинейному сечению ставится в соответствие прямоугольное сечение той же площади и того же сопротивления изгибу.
Полученные результаты, представленные в таблицах, согласуются с экспериментом. При испытаниях корпуса на непробиваемость обрыв лопатки на разгонном стенде произошел в момент времени t = 16 с при температуре термопары 180° С. Теоретическое время разрушения составляет 20 с (табл. 1). Таким образом, первоначально разрушается сечение 2 (рис. 1) входной кромки и далее гарантируется полное разрушение выходной кромки 3 и центральной части 1. Для этого был сделан аналогичный расчет, но без сечения 2. Имеет место существенное изменение НДС сечения 3: Mx = 3927, P = 471, т = 43,2, тогда по формуле (2) получаем Mcr = 3682, Mcr/Mx = 0,94, т.е. происходит дальнейшее разрушение и лопатка полностью обрывается.
Таблица 1
Нагрузки на передней кромке (угол обрыва 45°)
t, с Мх, кГ-мм Му, кГ-мм Р, кГ Per, кГ п т, кГ/мм2 ат, кГ/мм2 Per, кГ п Г°, С
0 -87 2574 2168 3246 1,5 16,9 90,38 3054 1,41 25
15 56 3133 2456 3092 1,26 19,1 89,05 2843 1,16 173
20 235 3435 2666 3006 1,13 20,2 88,32 2724 1,02 281
23 301 3664 2767 2939 1,06 21 87,76 2631 0,95 357
Таблица 2
Нагрузки на задней кромке (угол обрыва 45°)
t, с Мх, кГ-мм Му, кГ-мм Р, кГ Per, кГ п т, кГ/мм2 ат, кГ/мм2 Per, кГ п г°, С
0 — 1647 1008 2737 2,71 18 89,75 2539 2,52 25
15 — 2055 1155 2523 2,18 23 85,55 2321 2,01 173
20 — 2283 1231 2395 1,96 28,1 81,56 1861 1,51 281
23 — 2391 1282 1708 1,82 30 79,57 1708 1,33 357
Предложенная методика была использована при проведении испытаний корпуса на непробиваемость на разгонном стенде. Таким образом, разработанная методика расчета на прочность лопатки с ослабленным сечением является эффективной и ее можно использовать для проектирования (выбора схемы подрезки) любой другой аналогичной лопатки с целью проведения испытаний корпусов на непробиваемость.
Авторы признательны Д.В. Георгиевскому за советы и интересное обсуждение результатов работы. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-08-00332).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. BR715 clears last certification hurdle before 717 flight // Flight Int. 1998. № 4634. 12.
2. Moffat T, Nasr M. A design methodology for fan blade-off based on structural failure // Conf. ISABE. Montreal, Canada, 2009. 6.
3. Лепвшкин А.Р., Бычков Н.Г. Способ испытаний корпуса ротора лопаточных машин на непробиваемость и устройство для его реализации. Патент РФ № 2371692. Бюл. № 30. М., 2009.
4. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учеб. пособие. М.: Наука, 1986.
5. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматгиз, 2006.
Поступила в редакцию 13.02.2012
УДК 532.69
ВЛИЯНИЕ ИСПАРЕНИЯ И ДИФФУЗИИ ПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНОГО ВЕЩЕСТВА НА НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ
С. В. Герасимов1, Е. И. Могилевский2, В. П. Шкадова3
В работе проведен анализ линейной устойчивости стекающей пленки раствора поверхностно-активного вещества на участке активного испарения. Вычислены фазовые скорости и коэффициенты усиления гидродинамической и диффузионной мод возмущений.
Ключевые слова: стекающая пленка, раствор поверхностно-активного вещества, гидродинамическая неустойчивость, эффект Марангони.
The linear stability of a flowing-down film of a surface-active solute in the region of active evaporation is analyzed. The phase velocities and the gain coefficients are calculated for the hydrodynamic and diffusion modes of disturbances.
Key words: flowing-down film, surface-active solute, hydrodynamic instability, Marangoni effect.
Пленочные технологии активно используются для организации процессов тепло- и массообмена. Течение формируется под действием гравитационных, капиллярных и вязких сил. Большое внимание исследователей привлекает течение однородной пленки под действием силы тяжести: изучены стационарное течение, гидродинамическая устойчивость в линейном приближении и режимы нелинейных волн [1]. В настоящей работе исследуется влияние растворенного поверхностно-активного вещества (ПАВ) на стекание и неустойчивость пленки. Это влияние выражается через зависимость поверхностного натяжения от концентрации ПАВ, а также через эффект Марангони — появление касательных напряжений при наличии градиента коэффициента поверхностного натяжения. Концентрация ПАВ изменяется за счет испарения со свободной поверхности. В [2] показано, что учет этих эффектов приводит к появлению целого семейства собственных значений в задаче об устойчивости, которые отсутствуют при изучении устойчивости
1 Герасимов Сергей Владимирович — асп. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: s.gerasimov@mail.ru.
Могилевский Евгений Ильич — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: euginemog@gmail.com.
1 Шкадова Валентина Петровна — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: shkaad@imec.msu.su.
