Моделирование минимальных триангулированных поверхностей: оценка погрешности вычисления площади при проектировании сооружений Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

DOI: http://dx.doi.oгg/10.15688/j■volsu1.2016.3.7

УДК 517.951, 519.632 ББК 22.161, 22.19

МОДЕЛИРОВАНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ ТРИАНГУЛИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ: ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ

__________О

ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СООРУЖЕНИЙ 1

Алексей Александрович Клячин

Доктор физико-математических наук,

заведующий кафедрой математического анализа и теории функций, Волгоградский государственный университет klyachin-aa@yandex.ru, matf@volsu.ru

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

о

см

Алиса Геннадьевна Панченко

Студентка института математики и информационных технологий, Волгоградский государственный университет alice1051@ya.ru, matf@volsu.ru

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

,нГ Аннотация. В настоящей работе вычисляется погрешность, с которой

^ может быть подсчитан заданный интегральный функционал, если в качестве

я приближений взять класс кусочно-квадратичных функций, определенных над

^ триангулированной областью. Показывается, что при некоторых геометриче-

^ ских условиях на триангуляцию степень погрешности будет порядка 0(к3),

^ где к — максимальная сторона треугольников триангуляции.

® Ключевые слова: кусочно-квадратичная функция, площадь поверхно-

^ сти, аппроксимация функционала, триангуляция, минимальная поверхность.

©

Введение

Некоторые задачи, возникающие при проектировании архитектурных сооружений, сводятся к построению поверхностей минимальной площади. Это достаточно подробно отражено в книге [6], а также в работах [1; 7], где изучается проблема разработки тентовых тканевых конструкций. Подробный анализ приведенных там результатов приводит к задаче разработки эффективных методов приближенного решения уравнения минимальной поверхности и математическому обоснованию найденных методов в плане устойчивости и сходимости приближенных решений. Основная трудность при исследовании данных вопросов заключается в том, что уравнение минимальной поверхности является нелинейным, и поэтому традиционные методы, используемые для линейных уравнений, не пригодны. В работе [4] рассмотрен метод, который заключается в определении понятия кусочно-линейного решения минимальной поверхности над заданной триангуляцией расчетной области, и устанавливаются необходимые свойства этого решения. Именно, доказывается, что последовательность кусочно-линейных решений уравнения минимальных поверхностей будет сходиться к точному решению при условии, что функционал площади будет аппроксимироваться кусочно-линейными функциями с точностью 0(к2), где к — максимальная сторона треугольников триангуляции. Однако в трехмерном случае такой степени аппроксимации недостаточно. Для обоснования сходимости приближенных решений функционал площади должен быть приближен с точностью до 0(к3). В этом случае предлагается использовать кусочно-квадратичные функции. Отметим также, что в работах [3;8] получены оценки погрешности вычисления площади поверхностей для триангуляции частного вида, построенной по прямоугольной сетке.

1. Основные результаты

Пусть О С И"" — ограниченная область. Рассмотрим функционал, задаваемый интегралом

I(и) = ! С(х,и, Vи)(1х, (1)

п

который определен для функций и € С2(О). Отметим, что уравнение Эйлера — Лагран-жа вариационной задачи для этого функционала имеет вид

N

Я\и\ = (х,и, Vu))'xi - Си(х,и, VII) = 0. (2)

к= 1

В случае когда подынтегральное выражение С(х,и, VII) = л/1 + ^и\2, уравнением (2) является уравнение минимальной поверхности

^ 4x1 10

Другим примером является уравнение Пуассона Аи = f(х), которое соответствует функции С(х,и, VII) = 2 + 2!(х)и(х).

Пусть задана многоугольная ограниченная область О € И2. Рассмотрим разбиение этого многоугольника на треугольники. Т\,Т2,...,Т^. И пусть М\,М2, ...,МР —

все вершины этих треугольников. Будем предполагать, что ни одна из точек Mj не является внутренней точкой ни одной из сторон треугольников (см. рис. 1). Через Гi будем обозначать стороны всех треугольников, I = 1, 2,...L, а максимальный диаметр всех треугольников обозначим через h, то есть h = max diamTk, где diam F =

1 <k<N

= sup(|x — y\ : x,y E F), а — минимальный угол в треугольнике Тк, а = min а^ > 0.

к

Рис. 1. Триангуляция области Q

Для построения кусочно-квадратичной функции нужно к имеющимся вершинам треугольников М\, М2,..., Мр добавить середины всех сторон треугольников (см. рис. 2) и задать в них дополнительные значения функции и.

Пусть А1, А2,..., Ат — получившийся набор точек, включая все середины сторон и вершины всех треугольников. Для произвольного набора значений и1,и2, ...ит определим кусочно-квадратичную функцию и : П ^ И. так, что и(Аг) = иг,г = 1,...,т и функция и в каждом треугольнике Тк,к = 1,...,И, имеет вид: и(х1,х2) = акх\ + + 2Ькх1х2 + скх2 + ¿кх\ + екх2 + ¡к. Данная функция будет непрерывной в П. Прежде всего получим равенство, которое может быть применено для произвольного интегрального функционала. Пусть функция f € С2(П). Обозначим через ¡И — кусочно-линейную функцию, такую что ¡м(Мг) = ¡(Мг),ъ = 1, 2..., т. Пусть д1 = ¡м + - ¡м). Следующее утверждение дает формулу определения погрешности приближенного вычисления функционала.

Теорема 1. Предположим, что функция / € С2(П) и — соответствующая кусочно-квадратичная функция. Предположим, что для каждого внутреннего ребра произвольным образом выбрана нормаль V. Тогда

N 1 п 1

Ш) - 1(П = Е/и -Л/^х + ¡и-Г) Е V I Сь (х,д\ Чд*)^ + к=1тк о да г=1 о

п 1

+ Е Е уг[Сьг (х, д\, Чд\)-Сьг (х, д_, Чд_ ^¿Б, (3)

внушр.т^1 г=1 0

где д+_, д_ — функция д1, рассматриваемая в двух тетраэдрах с общей гранью Те, причем д\ соответствует тому тетраэдру, для которого нормаль V является внешней.

Доказательство. Рассмотрим разность

N Г N с 1 А

НЛ-1(П = Е 1(°(х,1, ЧЛ-С(х,Г, = Е/ I | (С(х,д\ Чд*))<ксх =

к=1тк к=1тк о

N „ 1

Е

к=1тк о

дС (} -г) + ¿1 и -Г

дС

=1

N „ п

N с 1

вх<й = Е I I дС и - ^ )ЛхсИ +

к=1тк о

+ / Е/£ дС V

о

Рассмотрим отдельно интеграл

о к=1тк г=1

/I а -¡" У-.*-

тк

Преобразуем его, воспользовавшись формулой Гаусса — Остроградского:

1дС иУ^х = -/дхХдСг (х,дЧх), Чд'(х))) V)*х + / ддС и-Г ^ф.

тк тк 9тк

Тогда

/ 1 1

д (дС

(

1тк \0 0

пл - пг) = Ё/(/ -Iй) (/ - / дхг {дС{х,д*{х), ч^))) ^) +

N п 1

+ Ё/ ( / ) Ё ^^¿8.

к=1дТк г=1 0

дС д^

Рассмотрим теперь отдельно интеграл по границе

п 1

( f _ ^) V /

д1

£/а-Г) £ V / дС- = /а-Г) Ё / дС^+

к=1дТк 1=1 0 дП г=1 0

п 1

+ £ /а-Г) £ У<[ (д£(х, 9%, Ч%) - дС (х, д_, Уд_))<к<18, внутр.Г£ Г г=1 0 ^

где <7%,дь_ — функции дь, рассматриваемые в треугольниках с общей гранью Г^, причем <7% соответствует тому треугольнику, для которого нормаль V является внешней Таким образом, окончательно приходим к равенству

N 1 п 1

'(/) - ДЛ = Ё/(/^Ь/4]^ + /(/-Г) £ V I (х,д\ Уд^Б +

0 дП г=1 0

п 1

+ £ /(/-Г) Ё V / (х, , У %)(х, , Уд_ )<М£ внутр.гГ ^ 0

Далее нам понадобится оценка погрешности вычисления функции и ее производных в некотором треугольнике при условии, что данная функция приближается интерполируемым многочленом [2]. Итак, имеется некоторый треугольник А, каждая сторона которого разбита на I равных частей, и через точки разбиения проведены прямые Ьд, параллельные сторонам треугольника. Стороны треугольников также будем относить к множеству прямых Ьд. Обозначим через Л множество, состоящее из точек пересечения этих прямых, лежащих в замкнутом треугольнике А. (Таким образом, Л включает также точки разбиения сторон треугольника и вершины треугольника.) Число таких точек равно р = 1 + 2 + ... + (I +1) = (I + 1)(1 + 2)/2. Будем обозначать их через

Q1(хl, х'2) , Qn(х1, х2).

Ставится задача построения многочлена степени I

Р(х1,х2) — ^ ^ &т1т2х1 х

т\%Ш2<1

т,2 2 ;

принимающего в этих точках Qj(х1,х2) заданные значения

Р (х1,х2) = Л- ,3 = 1,...,п. (4)

Число неизвестных коэффициентов ат1 т2 также равно р, и, таким образом, соотношения (4) образуют систему р уравнений с р неизвестными. Если система (4) разрешима, то из нее могут быть найдены коэффициенты ат1т2. Для их нахождения можно выписать искомый многочлен Р(х) в явном виде.

Возьмем некоторую фиксированную точку Q1. Можно показать, что среди прямых Ьд имеется ровно I прямых, удовлетворяющих следующему условию. Существует не более одной вершины треугольника, такой что Q1 и эта вершина лежат по одну сторону от такой прямой. При этом оказывается, что каждая точка из Л, отличная от Q1, лежит на одной из таких прямых. На рисунке 3 эти прямые обозначены жирными линиями.

Рис. 3. Разбиение треугольника

Пусть Lj,i(xi,х2) = 0, ...,Lj,£(xi,х2) =0 — уравнения этих прямых. Функция

Ч (X! ) = П НХТХЙ

I

г=! (х!, х2)

является многочленом степени I, равна 1 в точке Q1 и 0 в остальных точках Qi. Поэтому многочлен степени I

р

Р(х1 ,х2) = ^ ¡1 ф^(х1 ,х2)

3=1

будет искомым. В случае, когда /3 = /(х{,хг2) при всех ], многочлен Р(х1 ,х2) будет интерполяционным многочленом по отношению к /(х1 ,х2).

Утверждение 1. Значения многочлена Р(х1 ,х2) на каждой из сторон треугольника зависят от значений /3, соответствующих точкам Qз этой стороны. Утверждение 2. Пусть И — это длина максимальной из сторон треугольника А, /з = /^з), / — некоторая гладкая функция,

M+ = max max

Г1 +Г2=£+1 A

a1+1 f(Xi ,X2 )

дхг11дх212

a — наименьший из углов треугольника. Тогда справедлива оценка

max |/(xi,X2) -Р(xi, X2)| < C*jMt+ihl+i, где Ca,£ - постоянная, зависящая только от I и a.

Утверждение 3. При выполнении условия утверждения 2 для 0 < г1 + г2 < I + 1 справедлива оценка

max А

дг 1+Г2 f(xi,x2) дг 1+Г2Р (хих2)

дхг11дхг22

дхг11дхг22

< Ca/Me+1h£+1-r 2.

В частности, тах IV{ - V Р| < л/2Са,еМе+1ке.

2. Основные результаты

Применим доказанное равенство в теореме 1 для оценки погрешности вычисления площади графика функции

1(Л = Ц V1 + А + fl^l ^2

в случае плоской области Q С R2. Пусть f G C2(Q). Положим M1 = max max | fX.(х)|, M2 = max max | fXiX.(х)|. Получим оценку для значений оператора

1<г<2 Q

1<г<2 Q

QW] = (х,9*, Vg*))« - G'gt(х,д\ Vgf).

г=1

Ясно, что

G'gt (х,д\ Vgf ) = 0,

так как G зависит только от Vgb. Тогда

G

91

ди yrriWF'

д ,QGх 9Xx •(1 + iV9ti2) - g*X] • gXx

дх^уди)

(1 + iVg'i2) 2

Таким образом,

QW] = E

2 gl x •(1 + lV9ff)- gX ^ gX 3 • gX x

2 £

=1

3

=1

У qX (

i,j=1 \

(1 + iVg^i2) 2

4 , (1 + iVgti2)bl3- дХгgX

(1 + iVg'i2) 2

)

Тогда для всех i,j = 1, 2 имеем

4 (1 + iVgtl2)blJ- gX.gXjj

g X X •

(1 + iVg+f)2

<

< 191гХз I ■ ((1 + IVf)I + |д'х/хз I) < м2(1 + (Ml + V2C«,2M3h2)2).

Поэтому Далее ясно, что

Л (1 + Vf)bjj — д*хгд*х, 4

¿1 (1 + Vf)3 Ух'х'

< 4M2(1 + ( Ml + V2Ca,2M3h2)2).

z

г=1

V,;

S'X -dt

V((1 + IV^I2))

< |v|

V

V((1 + IWI2))

1.

Зафиксируем внутреннее ребро Г^. Обозначим через Т+ и Т- треугольники, соприкаса ющиеся по этому ребру. Тогда на Г выполнено Vд+ — Vд- = (V ¡и)|т+ — (V/W)|т_ Поэтому

Vg+

V

V(1 + IV д +12) V(1 + IV -12)

< 2IV д+ — V дЦ = 2I(V Г )It+ — (V fN )IT_ I.

Воспользуемся утверждением 3, где показано, что градиенты функции ¡и и f удовлетворяют неравенству IV { — V ¡и| < л/2Са,2М3Л,2. Тогда

£

г=1

(д + к

(д'-)х

V(1 + IV +12) V(1 + IV д -12)

< 4V2Ca,2Mah2

Положим 4v^2Ca,2M3h2 = C1. Применяя все приведенные неравенства к равенству (3),

получим

11( fN) — /(/)!<

< max If — fNI I 4M2(1 + (M1 + v^Ca^h2)2)^ + IdП + C^2 £ IГ11 \ внутр. Г

где IQI — площадь фигуры П, а IdQI — ее периметр. Мы можем предположить, что

триангуляция обладает таким свойством, что найдется постоянная C2, независящая от

h, для которой IГ11h < C2. Таким образом, мы пришли к неравенству

внутр.г£

где

11( Г) — /(/)I<C3 max IfN —/I,

C3 = 4M2(1 + (M1 + v/2Ca,2M3h2)2)IHI + Id П + C1C2h.

N

Далее несложно показать, что из Утверждения 2 следует, что — Ц < Са,2М3к3. Таким образом, окончательно приходим к следующей оценке

IП ) — /(/)|<Са,2СзМз^3.

Рассмотрим следующий пример, в котором мы вычисляем постоянные С2 и а, зависящие от триангуляции. Пусть П = [а, Ь] х [с,в\ и а = х0 < Х\ < ... < хт = Ь,с = у0 < < у\ < ... < ут = с1, где = а + г(Ь — а)/т, у^ = с + — с)/т. Тогда П разбивается

1

на прямоугольники П^ = [хг,хг+1] х [у^, у^+т], 0 < г < т - 1, 0 < ] < т - 1. Далее разделим каждый такой прямоугольник правой или левой диагональю. Тогда

- -а = mm I arctg I -- 1 , arctg I -- 1 1

т 1

С2 =-Б((Ъ - а) + (в, - с)) + Б2 < Бф + Р/22),

т

где Б = \/(Ь - а)2 + (й - с)2 — длина диагонали прямоугольника, а Р = 2(Ь - а + й -- с) — его периметр.

Заключение

В данной работе рассматривался вопрос об оценки точности кусочно-квадратичной аппроксимации площади С2-гладкой поверхности. В результате была получена оценка степени приближения 11(fN) - 1(/)1 < С^,2С3М3к3. Таким образом, порядок аппроксимации оказался выше на порядок, чем в случае, рассмотренном в работе [5].

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-41-02517-р_по-волжье_а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абдюшев, А. А. Проектирование непологих оболочек минимальной поверхности / А. А. Абдюшев, И. Х. Мифтахутдинов, П. П. Осипов // Известия КазГАСУ, Строительные конструкции, здания и сооружения. — 2009. — № 2 (12). — C. 86-92.

2. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. — М. : Бином, 2003. — 632 с.

3. Гацунаев, М. А. Приближенное вычисление площади поверхности / М. А. Гацунаев // Материалы Научной сессии, г. Волгоград, 26-30 апр. 2010 г. Вып. 6. Математика и информационные технологии. — 2010. — № 6. — C. 66-70.

4. Клячин, А. А. О равномерной сходимости кусочно-линейных решений уравнения минимальной поверхности / А. А. Клячин, М. А. Гацунаев // Уфимский математический журнал. — 2014. — № 6 (3). — C. 3-16.

5. Клячин, А. А. Оценка погрешности вычисления интегральных функционалов с помощью кусочно-линейных функций / А. А. Клячин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2015. — № 1 (26). — C. 6-12.

6. Михайленко, В. Е. Конструирование форм современных архитектурных сооружений / В. Е. Михайленко, С. Н. Ковалев. — Киев : Буд1вельник, 1978. — 138 с.

7. Попов, Е. В. Геометрическое моделирование тентовых тканевых конструкций с помощью метода натянутых сеток / Е. В. Попов // GraphiCon'2001. — 2001. — C. 140-144.

8. Rasmussen, A. F. Extrapolation methods for approximating arc length and surface area / A. F. Rasmussen, M. S. Floater // Numerical Algorithms. — 2007. — № 44 (3). — P. 235-248.

REFERENCES

1. Abdyushеv A.A., Miftakhutdinov I.Kh., Osipov P.P. Proеktirovaniе nеpologikh obolochеk minimalnoy povеrkhnosti [Design of Shallow Shells Minimal Surface]. Izvеstiya KazGASU, Stroitеlnyе konstruktsii, zdaniya i sooruzhеniya, 2009, no. 2 (12), pp. 86-92.

2. Bakhvalov N.S. Chislennye metody [Numerical Methods]. Moscow, Binom Publ., 2003. 632 p.

3. Gatsunaev M.A. Priblizhennoe vychislenie ploshchadi poverkhnosti [Approximate Calculation of the Surface Area]. Materialy Nauchnoy sessii, g. Volgograd, 26-30 apr. 2010 g. Vyp. 6. Matematika i informatsionnye tekhnologii, 2010, no. 6, pp. 66-70.

4. Klyachin A.A., Gatsunaev M.A. O ravnomernoy skhodimosti kusochno-lineynykh resheniy uravneniya minimalnoy poverkhnosti [On Uniform Convergence of Piecewise Linear Solutions of the Minimal Surface Equation]. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal [Ufa Mathematical Journal], 2014, no. 6 (3), pp. 3-16.

5. Klyachin A.A. Otsenka pogreshnosti vychisleniya integralnykh funktsionalov s pomoshchyu kusochno-lineynykh funktsiy [C1-Approximation of the Level Surfaces of Functions Defined on Irregular Grids]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2015, no. 1 (26), pp. 6-12.

6. Mikhaylenko V.E., Kovalev S.N. Konstruirovanie form sovremennykh arkhitekturnykh sooruzheniy [Designing Forms of Modern Architectural Structures]. Kiev, Budivelnik Publ., 1978. 138 p.

7. Popov E.V. Geometricheskoe modelirovanie tentovykh tkanevykh konstruktsiy s pomoshchyu metoda natyanutykh setok [Geometric Modeling of Tissue Awning Structures By Method Spanned Nets]. GraphiCon'2001, 2001, pp. 140-144.

8. Rasmussen A.F., Floater M.S. Extrapolation Methods for Approximating Arc Length and Surface Area. Numerical Algorithms, 2007, no. 44 (3), pp. 235-248.

MODELING MINIMUM TRIANGULATED SURFACES: ERROR ESTIMATION CALCULATING THE AREA OF THE DESIGN OF FACILITIES

Doctor of Physical and Mathematical Sciences,

Head of Department of Mathematical Analysis and Function Theory,

Volgograd State University

klyachin-aa@yandex.ru, matf@volsu.ru

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Student, Institute of Mathematics and Information Technologies, Volgograd State University alice1051@ya.ru, matf@volsu.ru

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation Abstract. Consider the functional given by the integral

defined for functions u G C n C(Q). Note that the Euler-Lagrange equation of the variational problem for this functional has the form

Alеksеy Aleksandrovich Klyachin

Alisa Gеnnadyevna Panchеnko

(1)

n

(2)

i=1

Where G(x,u, Vu) = + iVul2. Equation (2) is the equation of a minimal surface. Another example is the Poisson equation Au = f(x), which corresponds to the function G(x,u, Vu) = iVul2 + 2f(x)u(x).

Next, we examine the question of the degree of approximation of the functional (1) by piecewise quadratic functions. For such problems lead the convergence of variational methods for some boundary value problems. Note that the derivatives of a continuously differentiate function approach derived piecewise quadratic function with an error of the second order with respect to the diameter of the triangles of the triangulation. We obtain that the value of the integral (1) for functions in C2 is possible to bring a greater degree of accuracy. Note also that in [3; 8] estimates the error calculation of the surface triangulation, built on a rectangular grid.

Key words: piecewise quadratic function, area of a surface, the approximation of functional, triangulation, minimal surface.