CC BY
1УДК 51
Ковалишин Н.И.
магистрант
Московский государственный университет им. Н.Э. Баумана
(г. Москва, Россия)
МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕЖСЛОЕВОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ
ТОНКИХ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИНАХ НА ОСНОВЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Аннотация: в работе представлен способ разрешения проблемы критических значений коэффициента скольжения, которая возникает при решении квазистатической задачи прогиба многослойной несимметричной упругой композитной пластины с проскальзыванием слоёв в её середине. Теперь считается, что коэффициент скольжения — это не заранее известная константа, уже неизвестная нам функция, зависящая от продольной координаты. Так же делается предположение, что эта функция изменяется относительно слабо, поэтому её производными при решении задачи можно пренебречь. В работе реализуется итерационный алгоритм при помощи программных математических инструментов.
Ключевые слова: многослойные композитные материалы, проскальзывание слоёв, упругость, асимптотическая теория, условие скольжения, итерационный алгоритм.
Введение. В работе [1, с. 31-32] осуществляется постановка задачи прогиба многослойной упругой композитной пластины с проскальзыванием слоёв. Решение там произведено для четырёхслойной пластины. По мере её решения коэффициент скольжения в считается ненулевой константой только в серединной поверхности контакта слоёв. В остальных поверхностях контакта он равен нулю. Это означает, что проскальзывание при прогибе будет происходить только в середине пластины. В той же работе [1, с. 52] установлено, что при такой постановке решение задачи имеет бесконечное
множество критических (сингулярных) значений {вкр}. При их достижении
решения задачи не существует, а в их окрестности все атрибуты решения стремятся к бесконечности. Очевидно, что это не физично, и при реальном проскальзывании такого не происходит.
В связи с этим в данной статье немного видоизменяется постановка задачи, предложенная в [1, с. 31-32]. Теперь считается, что коэффициент скольжения в зависит от продольной координаты х. Но эта зависимость настолько относительно слабая, что производными по этой координате при решении можно будет пренебречь. Данная «слабость» объясняется тем, что скольжение слоёв в пластине распределяется мгновенно и практически равномерно. Поэтому на поверхности контакта скольжения не может быть участка, где коэффициент скольжения в будет существенно отличаться от остальных участков.
Алгоритм решения. С точностью до математических записей ход решения задачи с переменным коэффициентом скольжения будет идентичен ходу решения задачи с постоянным в в работе [1, с. 31-44]. Когда дело будет доходить до формирования граничных условий, здесь будет иное решение.
Обзор алгоритма. Алгоритм является итеративным. На каждой итерации граничные условия (ГУ) будут обновляться, коэффициент скольжения будет считаться неизвестным, но кусочно-постоянным. Обновление ГУ будет происходить путём смещения координат концов к центру на фиксированный шаг и подстановки значений из решения предыдущего шага. Обновление коэффициента скольжения будет происходить уже после решения дифференциального уравнения прогиба (см. работу [1, с. 44]) для текущей итерации с обновлёнными ГУ. При этом дополнительно применяется условие контактного трения, о котором будет рассказано ниже. Далее эти действия нужно повторить, пока не достигаем середины пластины.
Нулевая итерация. Мы можем считать, что на краях пластины при х0 = о и х0 = 1 коэффициент скольжения равен какому-то стартовому значению. Возникает вопрос, как его найти?
и13
и33
Ответ очевидный, мы решаем задачу при ГУ на х° = о и х0 = 1. Получаем какое-то решение в виде перемещений и напряжений. Оно будет зависеть от координат и от неизвестного в01} - начального значения.
Далее подставляем эти решения в условия проскальзывания ( , где ^{1}- коэффициент трения в серединном (первом) слое
контакта слоёв, о-Ц - сдвиговые напряжения, о3{3} - изгибные напряжения).
Находим значение в01}, которое будет стартовым значением для итеративного алгоритма на обоих концах пластины. На самом деле не важно, какой конец подставлять, потому что как для левого, так и для правого конца коэффициент скольжения, найденный по условию проскальзывания, будет одинаковым. Далее полагается, что и на всех итерациях эта симметричность будет сохраняться.
Есть небольшая проблема. Дело в том, что решений в условии проскальзывания будет бесконечно много. Какое из них выбрать, не понятно. Скорее определённость в этом вопросе задало бы ещё какое-то условие, которого нет в задаче. К сожалению, в данный момент мне не представляется возможным придумать такое условие. Может быть это как-то связано с молекулярными условиями, ведь известно, что трение во многом зависит от взаимодействий на микроуровне. Возможно, нужны какие-то экспериментальные данные. В этом плане задача является физически не полной.
Но с математической точки зрения это не важно, ведь мы можем выбрать какое-то одно начальное значение коэффициента скольжения, удовлетворяющее условию проскальзывания. На следующих итерациях из всего бесконечного множества решений будет выбираться решение наиболее близкое к предыдущей итерации, исходя из предположения, что не должен меняться сильно.
Последующие итерации. Для следующей итерации нужно получить координаты новых концов. Слева к координате х0 прибавляем фиксированный
шаг к, справа уменьшаем на шаг к. В итоге имеем новые концы X = к и х1г = 1 - И Теперь мы снова решаем задачу для пластины, но на этот раз с другими концами слева х1 и справа х1. Коэффициент скольжения снова считаем неизвестным. В итоге мы находим другие перемещения и напряжения, которые мы подставим в условие проскальзывания. Для этой итерации мы найдём уже другой коэффициент скольжения.
На следующих за этой итерациях мы снова прибавляем и вычитаем шаг к на левом и правом концах соответственно. И снова решаем задачу с уже другими концами. И так повторяем до тех пор, пока не дойдём до середины пластины.
Таким образом, должно получиться кусочно-постоянное решение для коэффициента проскальзывания. На каждой итерации он считается постоянным, но неизвестным. Как только мы его находим, сдвигаемся на к и решаем задачу снова.
Результаты численного моделирования. Ниже демонстрируются графики решений, полученных при реализации данного алгоритма. Были получены такие же величины при таких же входных данных, что и в работе [1, с. 51-53]. Качественно по графикам ниже они выглядят похожими, но в данной реализации появляется дополнительный эффект. Общее продольное перемещение м|0) ближе к правому концу пластины теряет плавность. Оно становится более рывкообразным. Скорее всего, это является следствием накопления побочных продольных деформаций, возникающих при проскальзывании, так как слева пластина защемлена, а справа нет. Но в целом при решении данным способом удаётся избежать сингулярностей.
Рис. 1. Зависимость общего продольного перемещения м|0) от х.
Рис. 2. Зависимость общего поперечного перемещения м30) от х.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А. Асимптотическая теория многослойных тонких упругих пластин с проскальзыванием слоев. Математическое моделирование и численные методы, 2022, № 2, с. 30-64;
2. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Том 4. Основы механики твёрдых сред - Москва: 2013. - 624 с;
3. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А. Асимптотическая теория тонких двухслойных пластин с проскальзыванием слоёв - МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва: 2015. - 26 c
Kovalishin N.I.
Bauman Moscow State Technical University (Moscow, Russia)
MODELING OF INTERLAYER SLIPPAGE IN MULTILAYER ASYMMETRIC THIN COMPOSITE PLATES BASED ON ASYMPTOTIC THEORY
Abstract: the paper presents a method for solving the problem of critical values of the slip coefficient, which arises when solving the quasi-static problem of deflection of a multilayer asymmetric elastic composite plate with layers slipping in its middle. Now it is assumed that the slip coefficient is not a pre-known constant, but a function already unknown to us, depending on the longitudinal coordinate. It is also assumed that this function changes relatively little, so its derivatives can be neglected when solving the problem. The paper implements an iterative algorithm using software mathematical tools.
Keywords: multilayer composite materials, layer slippage, elasticity, asymptotic theory, slip condition, iterative algorithm.
