CC BY
28
информатика, вычислительная техника и управление
УДК 530.1+531.19
DOI: 10.25206/1813-8225-2018-159-118-122
а. в. мышлявцев м. д. мышлявцева
Омский государственный технический университет, г. Омск
моделирование методом трансфер матрицы решеточного газа жестких частиц на треугольной решетке с исключением вплоть до 3-го соседства_
В работе использован метод трансфер матрицы для изучения системы жестких частиц на треугольной решетке с исключением 1-го, 2-го и 3-го соседства. При построении трансфер матрицы была использована схема генерации колец, основанная на отборе допустимых состояний непосредственно в процессе их построения. Этот подход позволяет увеличить доступные размеры колец. Были построены изотермы модели для всех трех случаев. Для первого и второго были воспроизведены известные результаты. Для третьего случая было показано, что в системе наблюдается фазовый переход первого рода и размер элементарной ячейки упорядоченной фазы равняется семи. Ключевые слова: фазовые переходы, метод трансфер-матрицы, треугольная решетка, решеточные модели с исключением соседства.
Работа была выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 17-71-20053).
Введение. Модели решеточного газа, в которых и т.д. Было предпринято много усилий для получе-
частицы являются жесткими объектами, взаимодействующими друг с другом только через исключение соседства при определенном взаимном расположении, относятся к числу простейших систем, демонстрирующих фазовые переходы.
Модели такого типа могут описывать замерзание жидкостей [1], решеточных животных [2], адсорбцию сложных молекул и другие родственные системы. Начиная с середины 50-х годов прошлого века активно изучаются двумерные модели с различной формой частиц: квадраты [3], шестиугольники [4], димеры с исключением ближайшего соседства [5 — 8], треугольники [9], прямоугольники [10]
ния решений на двумерных решетках и решетках более высоких размерностей. К сожалению, единственное (не считая аналогичных) точное решение было получено для модели жестких гексагонов [4]. Ввиду отсутствия точных решений для большинства интересных задач, мы вынуждены использовать различные приближенные подходы.
В данной работе мы сосредоточим свое внимание на модели решеточного газа на треугольной решетке с исключением соседства определенного уровня. В рамках этой модели (решеточный аналог модели жестких дисков) узлы решетки, принадлежащие к первым N координатным сферам (окружностям
для рассматриваемого случая 2Б систем) не могут быть заняты другой частицей. Эта модель (простейшая форма частицы) используется, в частности, при описании адсорбции на поверхности твердых тел [11]. Как уже говорилось, решеточная модель с исключением ближайшего соседства до определенной координационной сферы является решеточной версией модели жестких сфер (модели жестких дисков для двумерного случая). Хорошо известно, что система жестких сфер при высокой плотности испытывает фазовый переход к кристаллической структуре. В пространстве двух измерений общепризнанный сценарий перехода от газа к кристаллу КТИЫУ (Костерлиц — Таулес — Гальперин — Нельсон—Янг) [12—14] предсказывает два непрерывных фазовых перехода. Вместе с тем даже для простейшей системы жестких дисков одного диаметра относительно рода этих переходов существуют различные точки зрения [15, 16]. В связи с этой проблемой представляют несомненный интерес модели с исключением ближайшего соседства при достаточно большом к.
На квадратной решетке описываемая модель изучена достаточно хорошо [17]. При к=1 (1-ЫЫ модель) существует один непрерывный фазовый переход, свойства которого хорошо изучены [17 — 19]. При к = 2 (2-ЫЫ модель), так же как и при к=1, наблюдается единственный непрерывный фазовый переход [17, 20 — 22]. При к = 3 (3-ЫЫ модель) род фазового перехода меняется и наблюдаемый фазовый переход оказывается переходом первого рода [17, 23]. При к = 5 (5-ЫЫ модель) фазовый переход по-прежнему первого рода [17]. В недавней работе [24] было показано, что при к = 4 (4-ЫЫ модель) в системе существуют два непрерывных фазовых перехода, а также изучены системы при 6 И к И 11 . Утверждается, что при к = 6,7,8,9 существует единственный фазовый переход первого рода, при к =10 — два перехода: один непрерывный, а второй — первого рода. И, наконец, при к =11 — два перехода, свойства которых не были однозначно установлены.
Как это часто бывает, решетки, отличные от квадратной, изучены существенно хуже. Так, в частности, на треугольной решетке изучались модели при к=1 и к = 2 (1-ЫЫ и 2-ЫЫ модели). При к=1 мы получаем хорошо известную модель жестких гексагонов, для которой было полученоточно аналитическое решение [4]. Фазовый переход для этой модели непрерывный. Модель при к = 2 изучалась в работе [25], где было показано, что в системе существует непрерывный фазовый переход и определены его параметры.
Целью нашей работы является определение рода фазового перехода при к = 3 и сравнение полученного результата с аналогичным для квадратной решетки.
Модель и метод. В качестве численного метода мы будем использовать метод трансфер-матрицы [ 18, 26], некоторые детали которого будут описаны ниже.
Рассмотрим треугольную решетку L хю с периодическими граничными условиями вдоль конечного направления. Узел решетки может быть заняттоль-ко одной частицей. Первые к ближайших соседних узлов не могут быть заняты другими частицами (к-NN модель). На рис. 1 показаны запрещенныеместа для к =1,2,3 соответственно. Для данного к все места, помеченные цифрами, меньшими или равными к, являются запрещенными. В целях дальнейшего использования метода трансфер-матрицы выберем удобные группы узлов исходной решетки, которые
Рис. 1. Черным кружком показан центр жесткой частицы. Цифры 1, 2 и 3 показывают узлы первой, второй и третьей координационной сферы для жесткой частицы
О
©
®
о
Рис. 2. Овалами выделена группа из двух узлов исходной решетки, которая выбирается в качестве узла новой решетки. Показано соответствие между состояниями выбранной пары узлов и нового узла, которые помечены цифрами 0, 1, 2
будем обозначать как узлы новой решетки. Для к=1 новый узел будет совпадать со старым. При к=2 и3 в качестве нового узла удобно выбрать пару соседних узлов, расположенных вдоль «бесконечного» направления. Новые узлы, как показано на рис. 2, снова формируют треугольную решетку, однако теперь каждый узел может находиться в трех состояниях, которые также показаны на этом рисунке.
Трансфер-матрица модели решеточного газа всегда может быть записана в следующем виде [26]:
Т = БАБ,
(1)
где Б — диагональная матрица, ненулевые элемен-тыкоторой определяются следующим равенством:
Dii = ехР
Цп (О 2RT
(2)
здесь л0) — число ненулевых элементов в г-м кольце; |1 — химический потенциал; Д — универсальная газовая постиянчио; Г — чимг^ература в градусах Кельв ина.
Для рвссматриваемого класса моделей матрица А является целочисиенной — атрицей, элементы которой равняются либо нулю, либо едшице в зависимости от еого, разрешен а или нет пара колец (г, ]).
С учетом экепоненциальногн роста размерности трансфер-матицы при увеличении числа узлов в кольце кок а 1 ( а — число состояний узла), это обстоятельство обычно является лимитирующим фактором прииспользовании метода. Размерность используемой матрицы может быть уменьшена примерно в Ь раз, если учесть трансляциониую инвариантность колец. Это достигается путем построения некоторой редуцированной —атрицы R, размерность которой примерно в Ь раз меньше, чем исходной матрицы Т, и ее наибольше е и о модулю собственное значение совпадает с наибольшим по модулю собственным значением матрицы Т [18, 26]. Структура матрицы R аналогична ст—укоури матрицы Т, и она может быть представлена в еиде (1), где центральная матрица по-прежнему является целочисленной, однако ее элементы принимают значения от нуля до Ь, а не только нуль и единица.
При нахождении наибольшего по модулю собственного значения матрицы R достаточно эффективным оказывается метод простой ите лации.
Остановимся кратко на способе генерации колец возможных состояний колец из Ь узлов с —чо-том пространственных запретов. По-видвмому, наиболее экономный алгоритм, преимуществ а которого особенно явно проявляются при большие Ь и значи-тельном числе запретов, заключается в следующем.
Пусть построено множество из Ь узл 0 со свободными границами (без замыкания е кооьцо). Чтобы построить множество рядов из Ь + 1 уз ла, необходимо присоединить дополнительный узел и отсеять в процессе построения нелопустимые конфигурации. На втором шаге мы залыкаем по -лученные ряды в кольцо и снова элиминируем недопустимые конфигурации. Изложенный подход существенно экономит как время, так и требуе—ый объем оперативной памяти по сравнению с традиционным, который сводится к построению веет аЬ колец с последующим отбором.
Описанный алгоритм позволяет получить линейные рекуррентные соокношения для числа допустимых рядов. Эти соотношения весьма полезны при предварительне й рц енке трудоемкости вычислений.
Для к = 1 соответствующие выражения хорошо известны и имеюе следующий вид:
с дополнительным условием п(1) = 2, п(2)=3. При больших О чиело Фибонечо— уеовлеттиряют известной асимптотике:
75 —О8"04
(5)
Из (5) следит что исцобЬбye—ый иаыи алгоритм генерации колец при больш их Ч суще сев енно превосходит станыартныИ, дия котоиого число генерированных колец коеняелся 21.
Запишем рекуррентные свотнок-еныя —я слуде-ев к = 2 и л— = Ри
(а) к = 2. Число состоя—ия узла р = 3, со ответ -ственно сситема ]э^к;уг]3]яелтных —отношений имеет следующий виц:
ы001п н 0 и с]oo(Ч) ]C лю(п) н лс0 (ч1 б0l(Ч н 1 0 е бoo(Ч0 00 01 о(Ч- н исс(ч)
иос (инl-иЛoo (ю - о- л^ (ю- , — n^0(Чн1)=б0l(ч-Л20(Ч 00 1- и б 0T (Ч-
где П](Ь) число тс_н 11,0:^, у o(oтoрых; тюнледние два узла находятся всс^т то яниы г л - си отлете эвтнно.
Смысл индеюсов я — никезын на рис. 2.
(б) к = 3. Число с от тоиниц утеа а =3. Система рекуррентных соотнс( те нний ымеет следующий вид:
ы00(Ч н 1- и тoo(Ч- 00 тl0(ч1 н Ии(ч1
ыш(Ч н 1 1 и Too(ЧЯ н Лю)0) н ыс0(Ч1
Ыы(Чн11О бoo (ч- . (7)
ы10(Ч н 1-и ы01(ч1 бсo (чн;0о ы0с(ч1
Эыа сыстема ддыает Сыто оаменынн щим
рекуррентным уз—(нением
11(10 и К) ен ^0)(у -т игТ1оо(Я-2) -п ю°0(а - 4); (8)
Эффестивлосдь испо—муемого ылгоритма уене-рацис кoюец —ло иссытдуемых мо8елей —нова существенно (еш)у, ч(м траиыционныго( Для к = 3 пони-еем
л(Ч) - ^^вТ)1
(9)
Лo (Ч н 1) и Лo (Ч -н ло-Ч-Лl-Ч н 1-и Лo(Ч- ,
(3)
Очевидн0, о но п)Ь) п ]ои дос талы чно оолыпих 4 су-щестсенно ме^к^ше, тео Т1.
При посоооении изытеры коею трых ыоделой использовалось стaндaрвнее оооотнышение метода трансф ер-мнгрицы 01е, 2° 1е и рооиимающее в данном случав следующиы вид;
где п0(Ь) и п1(Ь) — чинло рядов длины Ь, ока —чива-ющихся на 0 (узел пуу т) иси на 1 (узел занят), соответственно.
Система (3) легно может быть ны евчащена в единственнов уравнение для полного числа рядов длины Ь.
п(Ь+1) ы (0— ¿о + и(ы-1),
(4)
Сот ^Д1о(Лка(0 С [чКЭо^Ь)] '
а и
не
нТ ад
0т|^| , (10)
где п(Ь) — полное число рядов длины Ь.
Легко видеоы, что рекирреноные ypaынeлие (4) имеет решением последовательность Фибоначчи
где Лшах — наиЛкльшее по монслаэ собственное значение траисф т в матрицы ; С — аольшой термодинамический потенциал, приходящийся на один узел лешетки , а — среднее число частиц в одной ячейке.
Результаты и обсуждение. Хорошо известно, что для определения положения точки фазового перехода и его свойств при использовании приближен-
ных подходов, таких как метод трансфер-матрицы или метод Монте Карло, критическим параметром является размер системы, поэтому необходимо использовать максимально возможные ртзмеды. Это, естественно, определоется ыыыдслителсными мощностями, доступными исследователю.
Число узлов в кольце L должно ыыть кратным одному из размеров элементарной очейки упорядоченной фазы, формирующейся в исследуемой модели.
Соответствендо, при к = С мы имеем ходошо известный результат. L = 3m, где т — положительное целое число.
Нами были пнстроенье итоиырмы п°и L = 6,...,24, которые воспроизводят извлттные ]сезлтэтаты. Изотермы при L=12, 18 и 24 показаны на рис. 3. Хорошо видна точка фазового перехода втор ого рода, определяемая точкой перегиба изотермы. При к =1 (модель жестких гексагонов) известно точное значение критическо й активнм сти [4]
■ eRT « 11,09017...
(11)
Из рис. 3 легко видеть, что точка перегиба изотермы с ростом Ь смещается по направлению к точному значению. Использование феноменологического конечно-размерного скэйлинга позволяет определить положение точки фазового перехода с достаточно высокой степенью точности, однако это не является целью данной работы.
При к=2 необходимая кратность величины Ь оказывается равной 2 (Ь = 2т). Нами были построены изотермы при Ь = 6,8,...,18. На рис. 4 показаны изотермы при Ь = 8,12,18. Здесь также хорошо видна точка фазового перехода второго рода при р и 0,092, что хорошо коррелирует с известным результатом [25] (с учетом выбранной нормировки). Отметим, что по сравнению со случаем к=1 положение точки перегиба слабо зависит от Ь.
Как показывает анализ полученных результатов, при к= 3 размер элементарной ячейки равняется 7. Соответственно, мы должны выбирать значение Ь = 7т. На рис. 5 показаны изотермы при Ь=14,18,20,21. Хорошо видно, что с высокой достоверностью в данном случае происходит фазовый переход первого рода.
Таким образом, мы показали, что, так же как и в случае квадратной решетки, изменяется тип фазового перехода. Заметим, что это происходит в обоих случаях при переходе от к=2 к к=3. Очевидно, что необходимо продолжить исследования в этом направлении, увеличивая число исключенных соседей и ширину полосы, используемой в методе трансфер-матрицы.
Благодарности
Авторы благодарят сотрудников кафедры «Химическая технология и биотехнология» Акименко Сергея Сергеевича, Горбунова Виталия Алексеевича, Стишенко Павла Викторовича за полезные советы и плодотворное обсуждение.
Библиографический список
1. Alder B. J., Wain wright T. E. Phase transition in elastic disks // Physical Review. 1962. Vol. 127. P. 359-361. DOI: 10.1103/PhysRev.127.359.
Рис. 3. Изотермы при k=1 (1-NN модель)
Рис. 4. Изотермы при k=2 (2-NN модель)
Рис. 5. Изотермы при k=3 (3-NN модель)
2. Brydges D. S., Imbrie J. Z. Dimensional reduction formulas for branched polymer correlation functions // Journal of Statistical Physics. 2003. Vol. 110. P. 503-518.
3. Ramola K., Dhar D. High-activity perturbation expansion for the hard square lattice gas // Physical Review. E. 2012. Vol. 86 (3). 031135. DOI: 10.1103/PhysRevE.86.031135.
4. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике: моногр. М.: Мир, 1985. 488 с.
z
c
5. Dickman R. Discontinuous phase transition in a dimer lattice gas // The Journal of Chemical Physics. 2012. Vol. 136. 174105. DOI: 10.1063/1.4918908.
6. Fefelov V. F., Gorbunov V. A., Myshlyavtsev A. V., Myshlyavtseva M. D. Model of homonuclear dimer adsorption in term of two possible molecule orientations with respect to surface: square lattice // Physical Review. E. 2010. Vol. 82. 041602. DOI: 10.1103/PhysRevE.82.041602.
7. Akimenko S. S., Gorbunov V. A., Fefelov V. F., Myshlyavtsev A. V., Myshlyavtseva M. D. Devil's staircase behavior of a dimer adsorption model // Adsorption. 2013. Vol. 19. P. 495 — 499.
8. Akimenko S. S., Fefelov V. F., Myshlyavtsev A. V., Stishen-ko P. V. Remnants of the devil's staircase of phase transitions in the model of dimer adsorption at nonzero temperature // Physical Review. B. 2018. Vol. 97. 085408. DOI: 10.1103/ PhysRevB.97.085408.
9. Verberkmoes A., Nienhuis B. Triangular trimmers on the triangular lattice: an exact solution // Physical Review Letters. 1999. Vol. 83. P. 3986-3989. DOI: 10.1103/PhysRevLett.83.3986.
10. Kundu J., Rajesh R. Phase transitions in a system of hard rectangles on the square lattice // arXiv: 1401.5590V3[cond-mat. stat-mech] 16 May 2014.
11. Fefelov V. F., Gorbunov V. A., Myshlyavtsev A. V., Myshlyavtseva M. D. The simplest self-assembled monolayer model with different orientations of complex organic molecules. Monte Carlo and transfer-matrix techniques // Chemical Engineering Journal. 2009. Vol. 154. P. 107-114.
12. Kosterlitz J. M., Thouless D. J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1973. Vol. 6. P. 1181-1203.
13. Nelson D. R., Halperin B. I. Dislocation-mediated melting in two dimensions // Physical Review B. 1979. Vol. 19. P. 24572484. DOI: 10.1103/PhysRevB.19.2457.
14. Young A. P. Melting and the vector Coulomb gas in two dimensions // Physical Review B. 1979. Vol. 19. P. 1855-1866. DOI: 10.1103/PhysRevB.19.1855.
15. Bernard E. P., Krauth W. Two-step melting in two dimensions: first-order liquid-hexatic transition // Physical Review Letters. 2011. Vol. 107. 155704. DOI: 10.1103/ PhysRevLett.107.155704.
16. Wierchem K., Manousakis E. Simulation of melting of two-dimensional Lenard-Jones solids // Physical Review B. 2011. Vol. 83. 214108. DOI: 10.1103/PhysRevB.83.214108.
17. Fernandes H. C. M., Arenzon J. J., Levin Y. Monte Carlo simulations of two- dimensional hard-core lattice gases // Journal of Chemical Physics. 2007. Vol. 126. 114508. DOI: 10.1063/1.2539141.
18. Runnels L. K., Combs L. L. Exact finite method of lattice statistics I. Square and triangular lattice gases of hard molecules // Journal of Chemical Physics. 1966. Vol. 45. P. 2482-2492. DOI: 10.1063/1.1727966.
19. Chan Y.-b. Series expansions from the corner transfer matrix renormalization group method: the hard-squares model //
Journal of Physics A. 2012. Vol. 45. 085001. DOI: 10.1088/17518113/45/8/085001.
20. Lafuente L., Cuesta. J. A. Phase behavior of hard-core lattice gases: A fundamental measure approach // Journal of Chemical Physics. 2003. Vol. 119. P. 10832-10843. DOI: 10.1063/1.1615511.
21. Kinzel W., Schiek M. Extent of exponent variation in a hard-square lattice gas with second-neighbor repulsion // Physical Review. B. 1981. Vol. 24. P. 324-328. DOI: 10.1103/ PhysRevB.24.324.
22. Feng X., Blote H. W. J., Nienhuis B. Lattice gas with nearest-and next-to-nearest-neighbor exclusion // Physical Review. E. 2011. Vol. 83. 061153. DOI: 10.1103/PhysRevE.83.061153.
23. Fiore C. E., da Luz M. G. E. Exploiting a semi-analytic approach to study first order phase transitions // Journal of Chemical Physics. 2013. Vol. 138. 014105. DOI: 10.1063/1.4772809.
24. Nath T., Rajesh R. Multiple phase transitions in extended hard core lattice gas models in two dimensions // arXiv: 1404.6902 V.2 [cond-mat.stat-mech] 30 Apr 2014.
25. Zhang W., Deng Y. Monte Carlo study of the triangular lattice gas with first-and second-neighbor exclusion // Physical Review. E. 2008. Vol. 78. 031103. DOI: 10.1103/PhysRevE.78.031103.
26. Мышлявцев А. В., Мышлявцева М. Д. Вычислительные аспекты метода трансфер-матрицы: моногр. Кызыл: ТувИКОПР СО РАН, 2000. 102 с.
МЫШЛЯВЦЕВ Александр Владимирович, доктор
химических наук, профессор (Россия), проректор
по учебной работе.
SPIN-код: 1405-0884
AuthorID (РИНЦ): 44784
ResearcherID: H-7654-2013
AuthorID (SCOPUS): 6701836796
МЫШЛЯВЦЕВА Марта Доржукаевна, доктор физико-математических наук, доцент (Россия), заведующая кафедрой «Высшая математика». SPIN-код: 4952-9267 AuthorID (РИНЦ): 391268 ResearcherID: H-5361-2013 Адрес для переписки: myshlav@mail.ru
Для цитирования
Мышлявцев А. В., Мышлявцева М. Д. Моделирование методом трансфер матрицы решеточного газа жестких частиц на треугольной решетке с исключением вплоть до 3-го соседства // Омский научный вестник. 2018. № 3 (159). С. 118-122. DOI: 10.25206/1813-8225-2018-159-118-122.
Статья поступила в редакцию 29.05.2018 г. © А. В. Мышлявцев, М. Д. Мышлявцева
