Моделирование методом Монте-Карло упругого и неупругого рассеяния электронного пучка в газе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.125.523.348 + 004.942 Д.Б. Золотухин, В.А. Бурдовицин

Моделирование методом Монте-Карло упругого и неупругого рассеяния электронного пучка в газе

Предложена компьютерная программа для моделирования методом Монте-Карло упругого и неупругого рассеяния моноэнергетического пучка электронов с энергией 2-10 кэВ в газе. Реализовано построение траекторий электронов в газе, вычисление линейной плотности тока электронов, получение энергетического спектра электронов после неупругого взаимодействия с газом. Результаты моделирования позволяют эффективно описывать упругие и неупругие столкновения электронов с газом.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, моделирование, рассеяние электронов.

Описание распространения электронного пучка в газе представляет собой важную научнотехническую задачу в силу широкого распространения электронно-лучевых технологий [1, 2]. Это в полной мере относится к использованию электронного пучка в форвакуумном диапазоне давлений 5-15 Па [3], в частности для обработки диэлектрических материалов электронным пучком [4], поскольку рассеяние электронов на газовых молекулах может значительно изменить параметры пучка (диаметр пучка, ток и энергию электронов) [5]. Так как аналитическое исследование переноса электронов в веществе может быть выполнено только в простейших случаях с невысокой точностью [1], возникает необходимость применения эффективных моделей и численных методов, некоторые из которых рассмотрены в [1].

Цель настоящей работы состояла в моделировании упругого (при котором не происходит превращений частиц и не изменяется внутреннее состояние атома [6]) и неупругого (с учетом потерь энергии на ионизацию и возбуждение атомов газа) рассеяния электронов на атомах газа методом Монте-Карло.

Метод Монте-Карло является универсальным методом решения большого числа математических и научно-практических задач [7] и подразумевает генерацию массивов псевдослучайных чисел у, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1, с последующим изменением закона их распределения, причем новый закон должен описывать моделируемое физическое явление.

В рамках данной работы рассматривался акт единичного столкновения электрона с рассеивающим центром - атомом, при этом учитывалась возможность потери кинетической энергии электрона на ионизацию или возбуждение атома. При столкновении с атомом пренебрегалось спин-орбиталь-ным взаимодействием, а также не учитывались молекулярное строение и многообразие форм электронных оболочек атомов, что, согласно [6], вполне допустимо. В зависимости от выбранной длины свободного пробега электрон претерпевал разное число столкновений до попадания на коллектор [5]. Угловое распределение рассеянных электронов описывалось с помощью формулы Резерфорда [8]:

где 0 - угол, на который рассеиваются электроны; 2 - зарядовое число; е - заряд электронов; те -масса электрона; п - число атомов газа в единице объема; а - толщина газового слоя.

С целью исключения деления на ноль при нулевом значении аргумента нормировка выражения (1) проведена в пределах изменения угла 0 от 1 до 180°. Знак угла рассеяния задавался случайным образом. Для вычисления доли отклонившихся частиц методом Монте-Карло в качестве верхнего предела интегрирования выбрана некоторая переменная £, а весь интеграл был равен случайной величине у, которая равномерно распределена на интервале (0,1):

(1)

л 8Іп(0)

(2)

где А - константа в выражении (1), не зависящая от угла рассеяния 0. Вычисление интеграла (2) позволяет выразить угол рассеяния £:

8 • A

1-Y

(3)

Таким образом, выбрана математическая модель, которая описывает упругое рассеяние нерелятивистских электронов на атомах по закону Резерфорда. Путем интегрирования в пределах допустимых моделью углов рассеяния формула Резерфорда преобразована в функцию, описывающую вероятность рассеяния электрона на определенный угол - очень значительную для малых углов и очень малую для больших - тем самым подготовлена основа для компьютерного моделирования случайного процесса упругого рассеяния методом Монте-Карло.

Для моделирования неупругой потери энергии электроном при столкновении с атомом газа была использована формула дифференциального сечения потерь энергии [6]:

d ств = п Z • e

1

1

1

в(0 -в)

d в

E0

(4)

2 (-в)2

где Е0 - энергия быстрого электрона; 2 - зарядовое число атома; е - заряд электрона; є - количество энергии, переданное быстрым электроном атому (потеря энергии).

В рамках данной модели предполагалось, что область допустимых потерь энергии лежала от 1 эВ до £0/2. Аналитическое выражение интеграла от (4) имеет вид

I (в) = const •

Ї- -1' ( +

_1в0 в V

1

1

Л

E0-в E0 -в0

(E0 -вр ^ в0

——ln(E0-в E0

(5)

где const - нормировочная константа, вычисляемая для каждого значения Е0 и обеспечивающая изменение значений (5) в диапазоне от 0 до 1, необходимое для моделирования по методу Монте-Карло, е - случайно разыгрываемая потеря энергии электроном в акте соударения с атомом.

Для моделирования случайной потери энергии генерировалось псевдослучайное число ц из интервала (0,1) и сравнивалось со всеми значениями 1(е), и случайной потерей энергии считалось такое значение аргумента е, для которого 1(е) = ц.

На основе приведенной выше модели была разработана компьютерная программа, позволяющая построить траектории распространения электронов в газе, вычислять линейную плотность тока электронов на коллектор, наблюдать энергетический спектр электронов после неупругого взаимодействия с газом (рис. 1).

-10 -9 -S -7 -6 J -4 Л -2 -1 О 1 2 3 4 3 6 7 S 9 10

. I - Энергия электронов, кэВ

Длина свободного пробега, г* 25

Число траекторий 2000

Радиус пучка, мм

Число соударений электрона: 8

| Рассчитать! | [ Плотность тока | Потери энергии

Статус вычислений: Сделано! Прошло времени: 5Є с

гатусур

Рис. 1. Главное окно программы с траекториями электронов в газе

Путем подсчета доли электронов, попавших на определенное расстояние от центра коллектора, строится график линейной плотности тока электронов на коллектор. Типичный график линейной плотности тока электронов на коллектор в относительных единицах приведен на рис. 2.

Рис. 2. Линейная плотность тока электронов на коллектор

В результате учета всей энергии, которую каждый электрон потерял в результате всех неупругих соударений до его попадания на коллектор, строится энергетический спектр электронов, как, например, в работе [9] (рис. 3).

Рис. 3. Энергетический спектр электронов с начальной энергией 5 кэВ

Заключение. В ходе проделанной работы были достигнуты следующие результаты:

1) Написана программа, позволяющая построить траекторию каждого электрона, и дающая возможность анализировать уширение пучка в зависимости от дальности его распространения в газе.

2) В программе вычисляется линейная плотность тока электронов на коллектор. Это позволяет просто и наглядно оценить степень изменения изначально плоского профиля пучка при его распространении в газе.

3) Разработан алгоритм моделирования методом Монте-Карло потерь энергии в единичном акте соударения быстрого электрона пучка и атома газа, на основе которого становится возможным оценить уширение энергетического спектра моноэнергетических электронов в результате неупругих столкновений с атомами газа.

Литература

1. Головин А.И. Методы расчета распространения пучка электронов в веществе и результаты экспериментального исследования свойств создаваемой пучком плазмы: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 0.1.04.08. - М., 2002. - 85 с.

2. Квитко Г.В. Моделирование процессов пространственной эволюции релятивистских пучков заряженных частиц в газовых средах и внешних полях: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. - Калининград, 2006. - 21 с.

3. Burdovitsin V.A. Fore-vacuum plasma-cathode electron sources / V.A. Burdovitsin, E.M. Oks // Laser and particle beams. - 2008. - № 26, Iss. 04. - P. 619-635.

4. Plasma cathode electron gun for surface modification technologies at the forevacuum pressure range / V. Burdovitsin, Y a. Burachevskii, A. Mytnikov, E Oks // 5th International Conference on Modification of Materials (24-29 September, Tomsk, Russia). - Tomsk, 2000. - P. 143-146.

5. Monte Carlo simulation of the electron beam scattering under gas mixtures environment in an HPSEM at low energy / Omar Mansour, Karim Aidaoui, Abd-Ed-Dai m Kadoun et al. // Vacuum. -2010. - № 84. - P. 458-463.

6. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: учебн. пособие для вузов: В 10 т. - Т. 3: Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - 4-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 768 с.

7. Соболь И.М. Метод Монте-Карло // Популярные лекции по математике. - М.: Наука, 1968. -Вып. 46. - 64 с.

8. Савельев И.В. Курс общей физики. - Т. III: Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. - 537 с.

9. Батраков А.А. Статистическое моделирование спектров упругоотраженных электронов / А. А. Батраков, А.В. Лубенченко // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, вып. 3. - С. 22-26.

Золотухин Денис Борисович

Студент каф. электронных приборов и устройств ТУСУРа

Тел.: 8-953-922-23-02

Эл. почта: ZolotukhinDen@sibmail.com

Бурдовицин Виктор Алексеевич

Д-р техн. наук, профессор каф. физики ТУСУРа

Тел.: 8-913-804-94-67

Эл. почта: Burdov@fet.tusur.ru

Zolotukhin D.B., Burdovitsin V.A.

Monte Carlo simulation of elastic and inelastic scattering of an electron beam in gas

A software for Monte Carlo simulation of elastic and inelastic scattering of a monoenergetic electron beam with energy from 2 to 10 keV in gas is described in this article. This program is designed to build electron trajectories in gas, to calculate the linear density of electron current and to show the spectra of electron energy after inelastic interactions with gas molecules. The results of the simulation allow us to describe with high efficiency the elastic and inelastic collisions of an electron with gas.

Keywords: Monte Carlo simulation, electron scattering.