CC BY
77
МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ КОМПЕНСАЦИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММНОГО МЕХАНИЗМА
А.П. Смирнов, И.Е. Зацепина
Представлена модель параллелограммного механизма в среде MathCAD. Получены передаточные функции погрешностей параметров механизма. Рассмотрен пример компенсации погрешностей параллело-граммного механизма
Введение
Параллелограммный механизм принадлежит классу шарнирных механизмов с наименьшим числом звеньев, равным четырем. Наибольшее распространение имеют плоские шарнирные механизмы. Все звенья такого механизма совершают плоскопараллельное движение.
Параллелограммные механизмы широко применяются в приборостроении, медицине, промышленности, военной технике. В устройствах прицелов используется свойство параллелограммного механизма синхронно передавать движение, в навигационном оборудовании параллелограммная линейка используется для параллельного переноса заданного направления. Использование параллелограммного механизма облегчает манипуляции с медицинским диагностическим микроскопом МДМ-100, повышая его потребительские качества за счет напольного штатива с параллелограммным пружинно уравновешенным кронштейном. Удобство в использовании является также причиной применения параллелограммного механизма в строительном, мебельном, автомобильном дизайне (оконные стеклопакеты, дверные панели и т. п.).
Использование механизма в точных приборах часто ограничено небольшим диапазоном углов [1] вследствие сильной зависимости погрешности функционирования от величины входного угла. В работе на основе метода моделирования продемонстрирована возможность построения механизмов компенсации погрешности функционирования в широком диапазоне углов.
Передаточные функции погрешностей длины звеньев параллелограммного механизма
Независимо от того, используется ли механизм в измерительном приборе или несет силовую нагрузку, при его конструировании необходим расчет на точность. Рассмотрим четырехзвенный механизм (рис.1), состоящий из кривошипа - ведущего звена, коромысла - ведомого звена, шатуна - пассивного элемента, соединенных с помощью плоских шарниров А, В, С и Б. Входным информативным параметром является угол а, выходным - р. Начало декартовой системы координат помещено в центр шарнира А. В случае равенства противоположных сторон четырехзвенник становится параллело-граммным механизмом с функцией преобразования Р=а. Как видим, особенностью па-раллелограммного механизма является отсутствие конструктивных параметров в функции преобразования сигнала.
Погрешности функционирования параллелограммного механизма находят методом преобразования исходной схемы устройства, преобразовав его в четырехзвенный механизм (рис. 1). Передаточная функция связывает частичную погрешность с первичной погрешностью. Передаточные функции погрешностей длины кривошипа Ь1 и длины коромысла Ь3, длины шатуна Ь2 и длины стойки Ь4 имеют нелинейный характер [1]:
Дв = ^ ДА, Дв =-^ Мз, А0Ь2 = —I— М2, Д@ы = АЬ2.
Ь3 Ь3 Ь3 ео8(а) Ь3 ео8(а)
Погрешность функционирования существенно меньше, когда кривошип и коромысло перпендикулярны стойке (рис. 2).
кривошип
шатун
р = а.
коромысло
основание
А у
В .__7 С
01- -1 7
/ч р * а- Г3
^ 4
Рис.1. Четырехзвенный механизм. Замена параллелограммного механизма
четырехзвенным механизмом
Рис. 2. Передаточные функции погрешностей длины кривошипа (слева) и длины шатуна (справа). Пунктирные кривые соответствуют длине коромысла 100 мм,
сплошные - 50 мм
Моделирование параллелограммного механизма в среде МаШСАБ
Передаточные функции погрешностей в зазорах шарниров в силу неопределенности положения точки контакта цапфы в подшипнике из-за непостоянства коэффициента трения, направления вращения и неопределенности направления результирующей силы, если и имеют формульное выражение, то носят приближенный характер. В этом случае целесообразно воспользоваться методом моделирования погрешностей и функционирования механизма.
Метод моделирования является более удобным и наглядным способом анализа. Кроме того, сложности аналитических преобразований, если такие возникают, не является для метода моделирования препятствием. Метод моделирования позволяет получить всевозможные передаточные функции.
Пусть заданы следующие параметры четырехзвенного механизма: координаты точек А(0,0) и Б^у^, длина кривошипа Ь1, длина шатуна Ь2, длина коромысла Ь3, угол поворота кривошипа а.
Координаты точки В:
хв = -Ь1 Бт(а), ув = Ь1 соэ(а).
Координаты точки С найдем на пересечении дуг с центрами в точках В и Б и радиусами, соответственно, 12 и 13:
|(хс - хв )2 + (ус - ув )2 = 4
{(Хс - х^2 + (Ус - у1)2 = Ь\ . Вычитая одно уравнение из другого, находим связь между координатами:
ус = а - Ъхс, а =
1^2 1/1 13 Х1 ++ .У1 2(У1 - Ув )
Ъ = Х1 хв
у1 - у в
а, <г- я,- deg к д *--Ь
Ув Ь | ССЕ(&)
к1 рд Соэ|9д| + Ь 4 + р егт(а-) у1 ^— р д-зт|'0 д'| + р е-соз(а)
а <г-
7 2 7 2 7 2 2 .2 - Ь з - Ь ^ + х1 + у1
2 (у1 - у в)
х1 - х
Ь
В
У1 - УВ
А 1 + Ь2 В ^ хв + Ъ-(а- ув)
2 ; \2 т 2
Б В - АС
ус<- а-Ьх,
t^0 Я х1 - хс < 10
1 а!ап
'уЬ-О
deg
+ 90 оШегтзе
ние
130 £ Ь > 90
Рис. 3. Программа моделирования параллелограммного механизма
Подставляя данное уравнение в систему уравнений, получаем квадратное уравне-
2 2 2 2 2 рхс - 2дхс + т = 0, р = 1 + Ъ , q = Хв + Ъ(а - ув), т = Хв + (а - ув) -
Анализ показывает, что из двух решений задаче удовлетворяет одно:
хс =■
q+V^ - Рт
2
Координаты шарнира С известны, определяем искомый угол поворота коромысла:
ß =
0, |xj - xc \ < s arctg
f У1 - Ус Л
V xi - xc
n +—. 2
На основе приведенных формул и с учетом компенсационных параметров, в качестве которых выбрано пространственное положение шарнира D и величина эксцентриситета шарнира D относительно оси поворота коромысла, составлена модель параллелограммного механизма в среде MathCAD (рис.3).
Передаточные функции погрешностей длины кривошипа и шатуна, определенные с помощью модели, совпадают с рассчитанными по формулам
Компенсация погрешностей длины параллелограммного механизма
В качестве примера рассмотрим случай, когда противоположные стороны парал-лелограммного механизма имеют равные и противоположные погрешности длины (рис. 4). Обозначим эту погрешность через 8.
Рис.4. Иллюстрация погрешностей длин сторон параллелограммного механизма
и направления сдвига шарнира D
h± AL,
мнн
мм
600
400
200
0
/
/ /
500
У
0.2
0.1
-50
50
-■0.1
/ \
/ \ QL
град
-50
0
50
-50 0 50
Рис. 5. Передаточные функции погрешностей длин звеньев параллелограммного механизма: график слева - без компенсации, графики по центру - без компенсации (пунктир), компенсация сдвигом нижнего шарнира коромысла (сплошная кривая), график справа - компенсация сдвигом шарнира коромысла и введением эксцентриситета относительно оси вращения
Передаточная функция такой суммарной погрешности представлена на рис. 5, кривая слева. Величина коэффициента изменяется монотонно от значения 9,052 до значения 522,476 в диапазоне входных углов механизма от -75° до 75°. Подбором смещения шарнира Б, которое оказалось равным 2е и направлено горизонтально в сторону шарнира А (рис .5), передаточная функция оказалась расположенной симметрично от-
носительно вертикального положения кривошипа и коромысла с максимальным значением, равным по модулю 256,5 - сплошная кривая на центральном графике.
Эксцентриситет положения шарнира D, равный смещению шарнира и имеющий противоположный знак, оказался достаточным, чтобы значительно погасить влияние погрешностей длин звеньев. Соответствующая передаточная функция приведена на графике справа (рис. 5).
Заключение
На примере параллелограммного механизма продемонстрирована возможность использования метода моделирования для нахождения передаточных функций погрешностей параметров, аналитическое выражение которых неточно или требует сложных и громоздких выкладок. Рассмотрен пример компенсации погрешностей параллело-граммного механизма. Наиболее полезным применением моделирования функционирования устройств является возможность проверки эффективности различных компенсаторов.
Предлагаемый в работе компенсатор представляет собой эксцентрик, на котором крепится шарнир коромысла. Поворот эксцентрика осуществляется с помощью дополнительного параллелограммного механизма. Использование компенсатора позволяет значительно расширить диапазон функционирования механизма без ощутимой потери точности.
Литература
1. Латыев С.М. Конструирование точных (оптических) приборов. Часть 2. Основы теории точности и понятие надежности приборов и элементов. СПб: СПб ИТМО (ТУ), 1999.
