Моделирование магнитного поля фрактального проводника с током Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

15. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск:Наука и техника.-1987.

16. Онуфриенко В.М. Ближнее поле фрактального распределения токов однопроводной линии // Изв.высш.учеб.заведений.Радиоэлектроника.-2002.- Т.45,

№ 9. - С.47-53.

17. Ж. де Рам. Дифференциальные многообразия. М.:ИЛ.-1956.

18. И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов. Обобщенные функции и действия над ними. М.:Физматгиз.- 1958.

УДК 621.37:537.87

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ФРАКТАЛЬНОГО

ПРОВОДНИКА С ТОКОМ

В.М.Онуфриенко, В.Н.Левыкин

Применением методов интегродифференциального сглаживания фрактальных контуров учтены их локальные свойства. Получены решения базовых задач магнитостатики (определение стационарного магнитного поля вблизи бесконечно тонкого проводника с током, поверхность которого обладает фрактальными свойствами; нахождение магнитного поля, создаваемого током в окрестности и на оси фрактального контура). В графическом виде представлены структуры магнитных полей вблизи фрактальных объектов.

Застосуванням метод1в дифер1нтегрального згладжування фрактальних контур1в ураховано шт локальт властивост1. Отримано розв'язки базових задач магттостатики (визна-чення стацюнарного магттного поля поблизу несктченно тонкого пров1дника з1 струмом, поверхня якого мае фрак-тальш властивост1; знаходження магттного поля, створю-ваного струмом поблизу та на ос1 фрактального контуру). У граф1чному вид1 представлено структури магттних пол1в поблизу фрактальних об'ект1в.

An application of differintegral methods in fractal contours smoothing takes into account their local properties. Decisions of basic magnetistatics tasks (definition of a stationary magnetic field nearby indefinitely thin conductor with a current, which surface has fractal properties; determination of a magnetic fields created by a current in a vicinity and on an axes of a fractal contour) are obtained. Structures of magnetic fields near to fractal objects are graphically represented.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность изучения фрактальных свойств вещества связана с возросшим в последнее время интересом к исследованиям областей радиофизики (теории киральных сред, анизотропных управляемых покрытий и т.п.), где необходимо учитывать влияние микроскопических неоднородностей среды на структуру ближнего электромагнитного поля.

Использование моделей масштабно-инвариантных фракталов [1] для приближений в описаниях реальных объектов (аналогично тому, как это обычно осуществляется с помощью понятий точки, прямой, плоскости, гладких контуров и поверхностей) обусловливает применение интегродифференциального аппарата для анализа явлений радиофизики. Ввод а -характеристик компонент электромагнитного поля в уравнения Максвелла представляет возможность учета неровностей реальных поверхностей и структуры среды [2].

Применение аппроксимационной техники к спрямлению контуров и поверхностей с использованием конструктивных (а не традиционных аксиоматических) определений длины по Минковскому или Хаусдорфу позволяет обобщить постановку и решение краевой задачи для фрактальных контуров и поверхностей и получить верные предельные переходы к классическим результатам, соответствующим идеальным гладким моделям [3].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В качестве примера использования интегродифференциального сглаживания фрактальных контуров с учетом их локальных свойств получим решения базовых задач магнитостатики для фрактальных проводников и контуров.

Задача 1. Магнитное поле бесконечно

тонкого фрактального проводника

Рассматривается проводящий стержень В, поперечное сечение, которого представляет собой фрактальное множество Жюлия J, т.е. в плоскости перпендикулярной оси 02 имеются геометрические сингулярности, вдоль 02 объект однородный (рис. 1). Пусть вдоль стержня течет линейный постоянный ток. Стержень обладает шероховатой поверхностью, которую необходимо учитывать в расчетах. Ставится задача о выводе выражения для определения магнитной напряженности стационарного магнитного поля, создаваемого током в окрестности тела В, и построении графической картины поля в сечении фрактального проводника.

Задача 2. Магнитное поле фрактального

контура с током

Рассматривается замкнутый фрактальный контур Ь с линейным током. Поперечное сечение контура представляет собой комплексное фрактальное множество М (рис. 2). Ставится задача нахождения стационарного магнитного поля, создаваемого током вблизи фрактального контура Ь (рис 4,а-в) и на его оси (рис. 2), разрабатывается алгоритм графического построения силовых линий поля.

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ

Для учета шероховатости поверхности проводника введем в алгоритм решения геометрическую информацию о форме фрактальной области или ее участков.

В качестве способа измерения "величины" фрактального множества точек У в пространстве используется идея Ф. Хаусдорфа о разбиении множества на конечное или счетное число подмножеств , диаметр каждого из

которых не превышает £ > 0 . Если {} - разбиение У, то

предел числа }) = ^Н[d(Ji)] по всевозможным

г

разбиениям при фиксированном £ является внешней Н-мерой Хаусдорфа.

Рисунок 1 - Магнитное поле бесконечно тонкого фрактального проводника

Рисунок 2 - Магнитное поле на оси фрактального контура с током

Покроем гладкий контур, имеющий фрактально распределенные геометрические точки, на регулярном участке ломаной Ьд, со звеньями Д1п , а на фрактальном

введем меру Хаусдорфа с покрытием ломаной Ьд, .

т

Протяженность контура будет определяться формулой

L = lim £Мп + lim £

А/

А/п ^ 0 'п

А/ ^ 0'

А/в -1 '

(1)

Граничный переход в первом слагаемом интерпретируется как обычный дифференциал дуги, интегрирование которого дает длину регулярной части контура, во втором слагаемом - как дробный дифференциал [4]. Использование дифферинтеграла порядка а длины I

de( l) = D e( /) dl =

1 1

Г(а)( /)

1—а dl, а=2 - р, 0 <р< 1 (2)

позволяет формулировать уравнения электродинамики в терминах а -характеристик [2].

Найдем стационарное магнитное поле, создаваемое током в окрестности фрактального тела В , характеризующееся индукцией Ва, напряженностью На и плотностью

тока ]а , связанными системой дифференциальных уравнений Максвелла, при условии отсутствия самопроизвольной намагниченности токов

rotH = j ,

div^ = 0 ,

ва = 1^0 дНа.

(3)

(4)

(5)

Решение полученного из (3)-(5) векторного уравнения Пуассона

У2На = -rotj

>а

записывается в виде:

На( Г) = 41 Ш fOP

V |r r|

(6)

С учетом

rothb = rot m+

r >. |r - r'|

запишем (6) в виде

r - r'

]а(r'), grad'

r - r'

m

На(r) = ¿|ш j

" V |r - r'|

dV -

- HI j (r'), grad'r

dV

(7)

цилиндрических координатах вектор (рис. 1) магнитного поля получаем в виде

7*а(>) I Лz0 d°z, r 0 ] * I rs in -&daz

H (r) = 4ПI= ф04П I

Согласно теореме Остроградского-Гаусса

= -H i J а ( r') , ds' | = 0

s lr - rl

III rot'Jr^ dV = -°|l

r - r

и учитывая, что gra (7) преобразуется к виду

d|r - r'| = r0|r - r'|

H"<r) = rJII &

J (r'X r0

функции Дирака 5а(r - r') = (8) преобразуется к виду

Г(а) | v - i'|1

на( r) = 4-и/' г.! 1 =

>,,|2 r - r

= [ т 0 5 а ( r'' - r' ) , r 0 ]

4п

°II

LS

P >,,|2

r - r

I ДdaI', r0]

ds" dl = -I-1 -T]-:0-.

4n° r Ы2

L lr rl

4 I r = ф04гё I

rdaz

4n J (r2 + z2)3/2'

Подставив в (9) значение daz =

выражение получим

* I 1

Н (r) = ф0-

i

1 -а

(8)

> - t* /I> >fl

где r0 = (r - r')/|r - r'| .

Представление (8) свободно от дифференцирования плотности тока и применимо, когда компоненты вектора

jc недифференцируемы [5].

Магнитное поле бесконечно тонкого фрактального проводника

Для идеального линейного тока на фрактальном L контуре а -характеристику плотности можно определить в

виде j°(r) = Т0!5а( V- r'), где r, г' описывают точки на поверхности S, к которой линия тока ортогональна, I = const, Т0 - касательный вектор к контуру L в точке r' , 5а( V- r') - двумерная а -характеристика дельта-

1 При этом

* I ф0

4пГ(2 - а) J (r2 + z2)3/2

г+' -а, г+^ 1

1 1 г (2 - С] ) z 1 -

dz =

(9)

dz ,

2п3/2 Г(2 - а) rа'

(10)

Выражение (10) является искомым решением Задачи 1, которое при а = 1 принимает вид классического выражения для магнитного поля, создаваемого текущим вдоль бесконечно тонкого проводника линейным током [6]

Н1( r) = Ф 0Т! I

_r_dz = Ф _±_

4п J (r2 + z2 ) 3 / 2 z ф02 п r .

Для прямолинейного тока, текущего вдоль оси z, дифферинтегральный элемент равен (а V = !ос(а2 . В

а)

оо

оо

оо

оо

оо

На(>) 1 , [ & 1 , Г о

Н (г) " 4П1

4пЬ |г - 2 '

Вычислим векторное произведение [dа 1, го^] в (11), учитывая, что г = гог , Го^ = (Г - г')|г - г'|-1 и [daI, -г'] = = а2!о^аф' = а2 +госоз—-—о Бт—*dаф' (рис.4,а,в). Тогда

[dа\, год] = |г - П-1Г + 1 ■ *

+ а2)^соэ—--о , dаф'

аг) - -о соэ ф' - ф эшф' соэ—, +

и в итоге

1а ~ —о гсоэф' + а)гоС0э—-—о эт—

Н

_ 1а г

(г) = 4П1

4п о (г2 + а2 + 2агэ1п—соэф')372

dаф' .(12)

Согласно (2), подставляя в (12) значение 11

б;

Рисунок 3 - Картина магнитного поля уединенного фрактального проводника (для области вне проводника)

На рисунке 3, а, б приведены результаты вычислительно-графического построения поля вблизи фрактального проводника В в сечении, перпендикулярном оси 02. Фрактальность моделируется комплексным множеством Жюлия (рис 3,а). Конфигурация эквипотенциальных и силовых линий магнитного поля существенно усложняется по мере приближения к краям фрактального множества Жюлия J (рис. 3,б).

Магнитное поле фрактального контура с

током

Рассмотрим круглый контур (виток) тока I (рис. 2; 4,а). Найдем а -характеристику магнитного поля путем непосредственного применения закона Био-Савара.

daф' =

— dф', получаем выражение для

Г(2 - а)ф'а-

определения магнитного поля фрактального витка с током

(11)

В используемой сферической системе точка интегрирования Р (г' ) и точка наблюдения М( г) имеют координаты Г = а, — = 9о° , ф' и г, —, ф = 9о° соответственно. Из рисунка 4,а видно, что расстояние

|г - г'| = ТМё^ГРО2 = „/г2 + а2 + 2га эт—соэф'. Векторный дифференциал длины da I' разложим на две компоненты (рис. 4,б): daI' = ф da/'ф + Иоdа/'д = = (-фосоэф'+ Иоэтф') adaф', причем фо указывает

азиму-тальное направление в точке М, а Ио - радиальное

направление в плоскости витка для каждой точки), -г

Ио = ^эт — + —осоэ— .

На( г) =

1а 1 4 пГ ( 2 - а )

2 п

1 ф' а - 1

- —о гсоэф' + а) госоэ —оэт—

( г2 + а2 + 2 агзт—соз ф') 3 ^2

daф'. (13)

М(Т)

Р(Г')

к

го БтЭ х-,

>0"

\Эо совЭ

х

а

б

фрактального контура Ь плоскостью параллельной оси 02. Поперечное сечение витка с током образует в нашем случае два комплексных фрактальных множества типа

Мандельброта М + и М- (рис. 5,а). Ток сквозь сечения направлен в противоположные стороны и образует вблизи шероховатого контура стационарное магнитное поля с фрактальной структурой (рис. 5,б).

Рисунок 4 - Компоненты магнитного поля фрактального контура с током

Рассмотрим поле на большом расстоянии от контура (г» а). Знаменатель подынтегрального выражения разложим в биноминальный ряд и вычислим предельное значение интеграла (13)

2п

На(г) = Иш -^-т—1—- Г - 3асозф' -

V ^ 0 4пг3 Г(2 - а) ■! V г о

а / г ^ 0 а21 = const

3 а 2 _ 2 г2

го^— - 0 ( . а , г ,

---т Sln — + -COSф'

а - 1 ф'а - 1V а -

ф'

ф'

(ф'=

2п

1а 1 г - г 0 со s - - - 0 sin - _ -осо£ф| (ф' (14) 4 п г3 Г ( 2 - а )Г

ф'

а - 1

аф"

11 сф'.

При а = 1 выражение (14) преобразуется в классическую формулу для нахождения магнитного поля витка с током [6]

2

Н1( г) = ^ (г02а»- + - оsln — =

ш (>

4п|о|г3

го2а^— + — оsin— I.

При а/г ^ 0 виток с током ведет себя как магнитный диполь с моментом ш = 1о1о1па21.

Выражение для определения магнитного поля на оси фрактального контура с током (рис. 2), находится

аналогично

2п

> 1а2 г sln-dаф >

Н (г) = 20ТТ I -^ = 20

4п ; а2 + г2

1а2

4п(а2 +г2)372

2п

I (аф

2п

>

20

_ >

= 20

1а1

1

4п(а2 + г2)3/2Г(2 - а) 1а2

I ф1 - а(ф =

0

1 - а

2а(а2 + г2)3/2Г(2 - а)(2 - а)' На рис. 5,а,б представлено сечение магнитного поля

б

Рисунок 5 - Силовые линии магнитного поля фрактального контура с током

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В конечном итоге, на примере элементарных задач, нами показана возможность интегродифференциального сглаживания фрактальных объектов с учетом их локальных свойств. Предложены интегродифференциаль-ные модели базовых элементов магнитостатики, позволяющие учитывать в расчетах особенности неоднородной структуры реальных металлических проводников.

Применение дифферинтегрального математического аппарата позволяет оценивать картину магнитного поля вблизи фрактальной поверхности с помощью классических уравнений Максвелла без введения в них каких-либо дополнительных уточняющих слагаемых, что неизбежно возникает при попытках построения адекватной физической модели.

Приведенные в работе результаты могут служить построению и дальнейшему анализу подобных математических моделей, осуществить адекватное описание воздействия фрактальных границ среды на ход реальных

в

а

0

0

В.А.Часовский, Н.П.Чернобородова, М.П.Чернобородов, Д.М.Пиза: НЕСИНХРОННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ПОМЕХ

ЦИФРОВАЯ СИСТЕМА КОМПЕНСАЦИИ

магнитных процессов, позволить уточнить существующие (классические) модели, объяснить расхождения между существующими теоретическими и практическими результатами.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1982. 461 pp.

2. Onufrienko V. Physical and Geometric Interpretation of Electromagnetic Field's а - Characteristics // Telecommunications and Radio Engineering, V. 53, N 4-5, 1999, pp.136-

139.

Онуфриенко В.М., Левыкин В.Н. Поле излучающей системы элементарных фрактальных множеств // Всеукр. межвед. научно-техн. сб. Радиотехника. - Вып. 122.-2001. - С. 208211.

Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника.-1987. - 688 с. Онуфриенко В. М. Стационарное магнитное поле фрактального распределения токов проводимости// Радиофизика и электроника: Сб. науч. тр./ HAH Украины, Ин-т радиофизики и электроники им. A.Я.Усикова. -Харьков..-2001. - Т. 6, № 1. - С.7-11.

Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука. - 1973. - 608 с.

УДК 621.391.828

ЦИФРОВАЯ СИСТЕМА КОМПЕНСАЦИИ НЕСИНХРОННЫХ

ИМПУЛЬСНЫХ ПОМЕХ

В.А.Часовский, Н.П.Чернобородова, М.П.Чернобородов, Д.М.Пиза

Розглянуто алгоритм обробки радюлокацшног гнформа-цп, яка надходить на вх1д когерентно1мпульсноЧ РЛС, що дозволяв провести виявлення й компенсащю несинхронноi 1мпульсноЧ завади (Н1З) за результатами обробки одного елмента розр1знення за далиною. Алгоритм основано на використант доплер1вських фазових ф1льтр1в, сформованих гз коефщгентгв дискретного перетворення Фур'е. Наведено результати математичного моделювання алгоритму оброб-ки вх1дного сигналу цифровою системою компенсацп Н1З, реалiзовано'i на основг спектрального анал1зу характеристик Н1З. Запропоновано декглька варгантгв побудови системи компенсацп Н1З.

Рассмотрен алгоритм обработки радиолокационной информации, поступающей на вход когерентно-импульсной РЛС, позволяющий произвести обнаружение и компенсацию несинхронной импульсной помехи (НИП) по результатам обработки одного элемента разрешения по дальности. Алгоритм основан на использовании доплеровских фазовых фильтров, сформированных из коэффициентов дискретного преобразования Фурье. Приведены результаты математического моделирования алгоритма обработки входного сигнала цифровой систе-мой компенсации НИП, реализованной на основе спектрального анализа характеристик НИП. Предложено несколько вариантов построения системы компенсации НИП.

The algorithm of processing the radar-tracking information passing at an input of the coherent-pulse radar is considered, allowing to make detection and cancellation of asynchronous pulse noise (APN) by results of processing one range bin. The algo-rithm is based on use of the Doppler phase filters formed upon factors of discrete Fourier transform. The article gives the results of mathematical modeling of the algorithm of the input signal processing by a digital system of the APN cancellation realized on the basis of the spectral analysis of characteristics APN. Some variants of the APN cancellation system structure are offered.

Современные радиолокационные станции (РЛС), оборудованные системами помехозащиты, предназначены для решения задач обнаружения сигналов от целей при воздействии естественных и искусственных помех. Оптимальная процедура обнаружения существенно зависит как

от структуры сигнала, так и от структуры помех.

В данной работе рассматриваются алгоритмы обработки радиолокационной информации, использование которых позволит синтезировать компенсатор несинхронных импульсных помех (НИП) на основе анализа временных, энергетических и спектральных характеристик НИП, воздействующих на когерентно-импульсную РЛС, по результатам обработки радиолокационной информации только одного (основного) канала обработки РЛС и только одного элемента разрешения по дальности (дискрета). Последние два требования обусловлены тем, что существующие на сегодняшний день системы подавления активных помех требуют построения дополнительного канала обработки (что ведет к существенному удорожанию РЛС) или требуют информации большого количества дискретов, не пораженных НИП (что в сложной помеховой обстановке приводит пропуску НИП на вход системы обнаружения станции). Кроме того, использование алгоритмов с нелинейной обработкой принимаемых сигналов для подавления НИП (например, известного алгоритма "широкая полоса - ограничение - узкая полоса" [1, с. 285]) приводит к существенному снижению эффективности выделения полезных сигналов на фоне пассивных помех.

Пусть на вход цифровой системы обработки (ЦСО) РЛС поступают последовательности откликов N зондирующих импульсов (структура излученного сигнала представлена на рис. 1, а). В общем случае, на входе ЦСО действует аддитивная смесь сигналов от целей, активных и пассивных помех, принятых антенной радиолокатора:

£ (г) = (г) + ¿ш.п. (г) + £ц( г) + £п.п.( г), (1)

где £н( г) - несинхронная импульсная помеха; £шп. (г) -активная шумовая помеха; £ц (г) - отраженный от цели