CC BY
6
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СФЕРИЧЕСКОЙ ПРОСЛОЙКЕ
Соловьев Сергей Викторович
Профессор, докт. физ. -мат. наук, Тихоокеанский государственный университет, г. Хабаровск
В работе рассматривается конвективный теплообмен электропроводящей жидкости с учетом внутренних источников тепла и джоулевой диссипации в сферической прослойке. Исследовано влияние различных факторов на структуру течения, теплообмен и магнитное поле. Математическая постановка задачи описывается уравнениями:
энергии, с учетом внутренних источников тепла и джоулевой диссипации; движения, с учетом инерционных, вязких, подъемных и магнитных сил; магнитной индукции и неразрывности для скорости и магнитной индукции. Используется приближение Буссинеска. Ускорение свободного падения направлено к центру ядра. Математическая модель в безразмерной форме имеет вид [1]:
вг
1 С^ТТ С 1
-— + (w)v = -Eu VP + — (roffi X B) + —AV + y-^- О, (1)
Ho Эт Rem Re Re
1 ЭО 1
—ЭО + (VV)0 = — (AO + Qv + J(rotB)2) (2) Ho Эт Pe
1 ЭВ , \ 1 .
= rot(VxB) + —-AB, (3)
Ho Эт ' Rem
div V = 0, div B = 0. (4)
Здесь Ho =
Для магнитной индукции, функции тока и вихря гранич-
- число гомохронности. Остальные
Г
ЭВ
обозначения приведены в работе [1].
Задача решалась в переменных температура-вихрь-функция тока в сферических координатах с учетом симметрии по долготе. При проведении вычислительного эксперимента на границах сферической прослойки для температуры задавались следующие граничные условия: тепловой поток на внутренней границеГ1 и температура
на внешней границе Г2: -дЭ/аТГ1 =±1; 3|г = 0; («+» - подвод тепла; «-» - отвод тепла). Граничные усло-
ные условия имели вид:
ЭВ
Э0
= d = 0
10=0, л 10=0, л
0=0, л
Э0
= 0,
0=0,л
вия для температуры на оси симметрии:
ЭО Э0
= 0.
В = В = 0; Bj =-0,01sin0= 0,01sin0
r In r 1Г2 ' 0 In ' ' 01Г2 '
Граничные условия для напряженности вихря на границах сферической прослойки предполагают линейное изменение его по нормали. Расчет локальных и осредненных чисел Нуссельта на поверхности внутренней и наружной сферы производился по формулам:
0=0,л
Nu = -
эо
эг
,Nu2 = - R2
эо
Эг
NU „ = Ш = -1}
X 2 0
эо'
Эг
— п Г
Sin0d0, Nuг2 = п 2
Г1
X
RJI
- 2 Г
^Т J
^ 0
so'
Эг
Sin0d0.
Г2
Численное решение задачи осуществлялось с помощью метода конечных элементов. Для аппроксимации рассчитываемых полей применялись билинейные конечные элементы. Дискретный аналог системы дифференциальных уравнений был получен с применением метода взвешенных невязок. Полученная система алгебраических уравнений решалась методом Зейделя с применением нижней релаксации. По времени использовалась неявная схема. В результате численного решения задачи было ис-
следовало влияние магнитных сил, джоулевой диссипации и внутренних источников тепла на структуру течения жидкости, теплообмен, магнитное поле и распределение локальных чисел Нуссельта. На рис. 1-4 приведены результаты стационарных расчетов при следующих значениях безразмерных чисел подобия: Gr = 103; Re = 10; S = 10-4; Rem = 10; Pe = 100; Г2М = 2.
На рис. 1 приведены результаты без учета магнитных сил (то есть неэлектропроводной жидкости), джоуле-вой диссипации и внутренних источников тепла.
Рисунок 1. Расчетные поля: а - температура; б - функция тока; в - вихрь; г - локальные числа Нуссельта (1—на
внутренней границе, 2—на внешней)
Основное изменение температуры (рис. 1, а) происходит в области полюсов и экватора. В слое образуются четыре конвективные ячейки - рис. 1, б (две из них в области полюсов незначительной интенсивности) и четыре вихря (рис. 1, в). В северном полушарии поля функции тока (рис. 1, б) жидкость в области экватора движется по часовой стрелке (значения функции тока отрицательные, знак «-»), а в области полюса - против часовой стрелки (значения функции тока, хотя и незначительные, положительные, знак «+»). Для поля вихря (рис. 1, в) в северном полушарии в области полюса значения вихря положительные, а в области экватора - отрицательные. В южном полушарии наблюдается противоположная структура течения. Распределение локальных чисел Нуссельта на внешней границе (рис. 1, г-кривая 2) имеет два минимума (0~ л/4;
3л/4) и один максимум (6 ~ л/2). Распределение локальных чисел Нуссельта на внутренней границе (рис. 1, г- кривая 1) представлено (согласно граничным условиям) горизонтальной линией постоянного значения (этот результат сохраняется для всех последующих вариантов расчета). Локальные числа Нуссельта изменяются в интервале:
=ШГ1 =10; 0,68 < ШГ2 < 14,80. Осредненное
число Нуссельта принимает следующее значение: N^2 = 5,32. Интервал изменения других расчетных функций: 0 < О < 3,36; < 8,73-10-2; |ш| < 1,15.
На рис. 2 представлены результаты расчетов, полученные с учетом магнитных сил и без учета джоулевой диссипации и внутренних источников тепла.
Рисунок 2. Расчетные поля: а - температура; б - функция тока; в - вихрь; г, д - радиальная и меридиональная составляющие магнитной индукции; е - локальные числа Нуссельта (1-на внутренней границе, 2-на внешней)
Основное изменение температуры (рис. 2, а) происходит также в области полюсов и экватора. В ядре образуются четыре конвективные ячейки и четыре вихря (рис. 2, б, в). Направление течения жидкости в ячейках поля функции тока и вихря (рис. 2, б, в) такое же, как и для результатов, представленных на рис. 1, б, в. Из сравнения результатов, приведенных на рис. 2 и рис. 1 следует, что учет магнитных сил практически не приводит ни к качественному, ни к количественному изменению поля температуры, структуры тече-
ния и распределения чисел Нуссельта. Интервал изменения других расчетных функций: |Вг| < 6,49-10-4; |В0| < 10-2.
На рис. 3 представлены результаты расчетов, полученные с учетом магнитных сил и джоулевой диссипации, но без внутренних источников тепла. Из сравнения результатов, приведенных на рис. 3 и рис. 2 следует, что учет джоулевой диссипации приводит к изменению поля температуры, структуры течения и распределения чисел Нуссельта на внешней границе. Направление движения жидкости в ячейках изменяется на противоположное.
Рисунок 3. Расчетные поля: а - температура; б - функция тока; в - вихрь; г, д - радиальная и меридиональная составляющие магнитной индукции; е - локальные числа Нуссельта (1-на внутренней границе, 2-на внешней)
Структура радиальной составляющей магнитной индукции изменяется. Характер изменения локальных чисел Нуссельта (рис. 3, е) значительно отличается от результата, представленного на рис. 2, е. Распределение локальных чисел Нуссельта на внешней границе (рис. 3, г-кривая 2) имеет максимум (6 ~ л/2), а их значения изменяются в интервале: 2,32 < NuГ2 < 71,60; осредненное принимает значение:
Nup2 = 50,07. Интервал изменения других расчетных функций: 0 < О< 5,96; 1,83-lü-1; |ю|< 2,92;
IB I < 1,90-10-3; |ВЙ| < 10-2.
I Г I I 6 I
Были проведены расчеты с учетом магнитных сил, джоулевой диссипации и внутренних источников тепла (Qv =1), которые качественно не отличаются от результатов рис. 3 (поэтому не приводятся). Учет внутренних источников тепла приводит к увеличению значений расчетных функций: 0 < 5,96; 1,83-10-1; |ю|< 2,92;
В < 1,90-10-3; В J < 10-2. Локальные числа Нуссельта изменяются в интервале: 5,32 < NuГ2 < 84,82; а осредненное принимает значение: Nup2 = 61,34.
Были проведены расчеты с учетом магнитных сил, джоулевой диссипации и внутренних стоков тепла (Qv = -1), которые качественно не отличаются от результатов рис. 2 и рис. 3 (поэтому не приводятся). Учет внутренних стоков тепла приводит к уменьшению значений расчетных функций: -0,02 < О < 4,94; < 1,71-10-1; |ю| < 2,37;
В < 1,48-10-3; В J < 10-2. Локальные числа Нуссельта изменяются в интервале: -0,87 < NuГ2 < 58,08; а осред-ненное принимает значение: Nu 2 = 38,70
На рис. 4 представлены результаты, полученные с учетом магнитных сил и внутренних стоков тепла (Qv = -1), но без учета джоулевой диссипации.
Рисунок 4. Расчетные поля: а - температура; б - функция тока; в - вихрь; г, д - радиальная и меридиональная составляющие магнитной индукции; е - локальные числа Нуссельта (1-на внутренней границе, 2-на внешней)
Для данного результата, по сравнению с результатом рис. 3, (полученным хотя и без учета внутренних источников тепла Qv =1, но как было отмечено выше, это не привело к качественному отличию, когда учитывались внутренние источники тепла), происходит изменение направления течения жидкости (рис. 4, б, в), перестройка поля температуры и распределения чисел Нуссельта. Локальные числа Нус-сельта (рис. 4, е) изменяются в интервале:
-6,28< NuГ2 < -4,87; а осредненное принимает значение: N^2 = -6,06. Интервал изменения других расчетных функций: -0,96 < 1,98; < 4,16-10-2; |ю| < 7,69-10-1; |В I < 4,1010-4; |В„| < 10-2.
I г | I 6 |
По результатам математического моделирования конвективного теплообмена электропроводной жидкости
в сферической прослойке и анализу полученных данных, можно сделать следующие выводы:
- для рассмотренных значений безразмерных чисел подобия в расчетной области образуются две, либо четыре конвективные ячейки;
- учет магнитных сил и джоулевой диссипации, а также учет магнитных сил и внутренних стоков тепла приводит к изменению циркуляции жидкости в конвективных ячейках;
- полученные результаты расширяют знания о тепловых и гидродинамических процессах, происходящих в замкнутых объемах.
Список литературы:
1. Соловьев С. В. Тепловая конвекция в ядре с учетом джоулевой диссипации // Тихоокеанская геология. - 2004. - Т.23, - № 4. С.3-12
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИИ NVIDIA CUDA ДЛЯ ПОИСКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ
Высоцкий Александр Витальевич1
Аспирант, г. Саратов Тимофеева Надежда Евгеньевна1
Ассистент кафедры дискретной математики и информационных технологий, аспирант 2 года обучения, г. Саратов
Савин Александр Николаевич1
Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры дискретной математики и информационных технологий, г. Саратов
Шоломов Константин Игоревич1
г. Саратов
Поиск собственных значений с использованием разложение Холецкого
Разложение Холецкого — представление симметричной положительно-определённой матрицы A в виде A = LLT, где L — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы [2].
Метод разложения Холецкого можно применить для нахождения собственных значений. Для этого для матрицы A необходимо построить последовательность {Ak} матриц по следующим правилам:
• A1 = A;
• Для всех k = 1,2,... матрица Ak+1 получается из матрицы Ak следующим образом:
- Строим разложение Холецкого матрицы Ak: Ak = LkLk,
- Вычисляем матрицу А произведение матриц L
^fc+i = ¿fc^fc Алгоритм поиска собственных значений симметричной, положительно определенной матрицы А заключается в следующем:
Введение
В настоящее время широко применяется математическое моделирование различных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом приходится часто решать задачу связанную с поиском собственных значений матриц (например, при поиске собственных частот колебаний динамической системы). Одной из важных проблем, возникающих при этом, является большие вычислительные затраты, а следовательно, длительное время вычислений.
Существует большое количество методов, позволяющих решать проблему поиска собственных значений [1]. При этом, нахождение собственных значений матриц, имеющих размерность порядка 103 - 106 и более, требует больших вычислительных затрат, а следовательно, длительное время вычислений. Но с другой стороны задаче нахождения собственных значений присущ внутренний параллелизм, что дает основания использовать параллельные вычислительные системы для их решения.
Одной из платформ, ориентированной для осуществления различных матричных преобразований, является программно-аппаратная платформа NVIDIA CUDA. Современные графические ускорители NVIDIA (GPU) имеют сотни упрощенных вычислительных ядер и большие объемы встроенной памяти, позволяющие максимально эффективно решать задачи, в которых необходимо одинаковые операции применить к множеству независимых данных[2].
Аппаратные возможности графических процессоров NVIDIA в совокупности с поставляемой с ними библиотекой CUBLAS - набором подпрограмм, предназначенных для вычислений задач линейной алгебры и использующие прямой доступ к ресурсам GPU, можно использовать для поиска собственных значений у матриц высоких порядков.
Целью работы являются изучение технологии параллельных вычислений NVIDIA CUDA и реализация различных методов поиска собственных значений с помощью средств библиотеки CUBLAS и оценка их эффективности.
как и Lfc:
1.
Осуществляем разложение Холецкого матрицы Л: А = LLT;
Получаем новое значение матрицы А путем умножения матрицы Ьт на L : А' = ЬТЬ; Если сумма внедиагональных элементов для каждого столбца и строки больше заданного е, возвращаемся к шагу 1;
Возвращаем диагональные элементы матрицы А в качестве результата вычислений [3]. Наиболее эффективное распараллеливание приведенного выше алгоритма можно получить, распараллелив следующие функции:
• поиск элементов в первом столбце при разложении матрицы методом Холецкого;
2.
3.
4.
