УДК 532.517
О.Н. Гончарова, Ю.Е. Южкова
Моделирование конвективного течения в наклонном слое с движущимися границами
Ключевые слова: конвекция, точное решение, наклонный слой, движущаяся граница, источник тепла.
Key words: convection, exact solution, inclined layer, moving boundary, heat source.
1. Введение. Моделирование конвективных течений представляет собой комплекс задач и проблем, возникающих как при прогнозировании природных явлений, так и при исследовании различных технологических процессов. Изучение конвективных течений жидкостей и газов, заполняющих бесконечные слои с твердыми либо свободными границами, продолжает оставаться актуальной задачей [1]. Различные аспекты конвективных движений жидкости в плоском слое исследовались аналитически и численно многими авторами (см. [1— 5]). В [2] построено решение задачи в плоском горизонтальном слое с твердыми, непроницаемыми, неподвижными границами, на которых задан постоянный горизонтальный (продольный) градиент температуры. Конвективное движение характеризуется кубической зависимостью продольной компоненты скорости от поперечной координаты. При этом температура жидкости линейно зависит от продольной координаты и имеет составляющую, полиномиально зависящую от поперечной координаты (полином 5-й степени). Интенсивность гравитационной конвекции существенно зависит от угла, определяющего ориентацию градиента температуры относительно вектора ускорения силы тяжести [3—5]. Наиболее интенсивное конвективное движение возникает в вертикальном слое [3, 5]. Конвективное течение жидкости в плоском бесконечном вертикальном слое изучается в [3, 5] для случая твердых, непроницаемых, согласованно движущихся границ, на которых поддерживается постоянная разность температур. Возникающее стационарное течение характеризуется линейным распределением температуры относительно поперечной координаты и кубическим профилем скорости. В [5] рассматривается решение для наклонного слоя с твердыми, непроницаемыми, неподвижными границами, на которых поддерживается одинаковая температура, в случае, когда по объему жидкости однородно распределены внутренние источники тепла. Свободная конвекция в замкнутых объемах
исследуется численно в [6], при этом используются точные решения для бесконечных слоев и решения, полученные в приближении ползущего течения. Устойчивость конвективных и термодиффузионных течений в наклонных слоях изучается в [1,3, 5, 7].
В настоящей работе рассматривается задача конвекции жидкости в наклонном слое с твердыми, непроницаемыми, движущимися границами. Конвективное движение жидкости в поле силы тяжести описывается системой уравнений Обербека-Буссинеска [1-3]. Строится точное решение двумерной стационарной задачи. Данное решение является обобщением известного решения Бириха о конвекции жидкости в горизонтальном слое [2].
Цель работы - построение точного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение жидкости, моделирование продольных и поперечных градиентов температуры, выявление особенностей взаимодействия различных механизмов конвекции в гравитационном поле различной интенсивности. При изучении конвекции в слое с движущимися границами при наличии внутренних источников тепла, распределенных однородно либо неоднородно, исследуется взаимодействие гравитационной конвекции и эффектов сдвиговых течений Куэтта, а также влияние величины угла наклона слоя на характер течения.
2. Постановка задачи. Пусть жидкость заполняет бесконечный, наклонный слой с твердыми, непроницаемыми, движущимися границами, нагретыми до разной температуры, а также при наличии продольного температурного градиента А (см. рис. 1).
Система уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска в плоском случае может быть представлена в виде [1—3]:
щ + (~V V)lV = —Vp + vA ~vV—
P
—Щвт, (і)
divlV = 0. (2)
Уравнение переноса тепла при наличии вну-
треннего тепловыделения имеет вид [3]:
Tt-¥ щVT = XAT+Q. (3)
Pep
Здесь IV = (и, V) - вектор скорости; р - давление (отклонение от гидростатического давления) ; Т - температура; ~д /ЗТ - сила плавучести; ~д = (д!,д2) - ускорение силы тяжести; в -коэффициент теплового расширения; V - коэффициент кинематической вязкости; х ~ коэффициент температуропроводности; - количество тепла, выделяемого внутренними источниками в единице объема жидкости за единицу времени; р - некоторое относительное значение плотности жидкости; ср - теплоемкость при постоянном давлении.
Рис. 1. Геометрия области течения
Выберем систему координат таким образом, что д\ = дсова, ^ = — двіпа. Запишем систему уравнений (1) (3) в стационарном случае в безразмерной форме, оставив за искомыми функциями прежние обозначения:
1
и ' их "Г V ' иу — рх
На
Не
и
Не2Рг
Т сов(
V -V,, = -
Ру
1
Не
Дv+
На
нг-Рг
Т віп а;
и ■ ТхЛ Не
V, = 0;
V ' Ту~ НеРг
Т
Ч.
(4)
(5)
(6) (7)
и% 1
V
число Рейнольдса; Еа =
^9Т*в т, и V тт
--------число Рэлея; Рг =-------число Прандт-
vх X
ля; ц - источпиковый член. Звездочкой обозначены некоторые характерные величины скорости (п*), температуры (Т*); I - характерный размер области течения, например, ширина слоя.
П
д = \д\. Пусть 0 < а < Заметим, что источ-никовый член ц в безразмерном виде (см. (7))
введен без обсуждения характерной величины мощности тепловыделения; безразмерный анализ не проводится, а основное внимание будет уделено возможной зависимости ц от поперечной координаты у.
В качестве граничных условий на движущихся, непроницаемых границах рассмотрим условия прилипания для скорости п\у=о = щ,п\у=1 = т^\у=0 = 0,
Лу=1 = 0.
(8)
Будем считать, что на границах слоя задано линейное распределение температуры. При переходе к безразмерным величинам граничные условия для температуры примут вид:
Т\у=о = Ах + ^
Т |у=і — Ах + в\.
(9)
А1 Т-
Здесь А = —, 0- = (^ = 0,1), если в раз-
ТТ
мериой форме граничные условия имеют вид
Т\у=о = А'х + То, Т\у=\ = А'х + Т.
Заметим, что перепад температуры \Т\ — То \ = Т* может быть принят в качестве характерной температуры.
В качестве дополнительного условия примем условие замкнутости потока:
и(у)Лу = 0.
(Ю)
3. Моделирование течения жидкости в наклонном слое. Пусть решение задачи (4) (10) имеет такой вид, когда продольная компонента скорости зависит только от поперечной координаты, а температура линейно зависит от продольной координаты и имеет составляющую 0(у) (см. [2-6]): V = 0,п = п(у), Т = Ах + 0(у), р = р(х, у). Пусть источпиковый член ц линейно зависит от у ц = ц^у + ц2-
Тогда из системы уравнений (4) (7) следует
п0
^іу) _ Ра д"С08а, НеРг
(П)
а затем и уравнение четвертого порядка для нахождения функции и: 1У^ — На сое аАи =
—дгНа сов ау—
Ч2На сое а.
(12)
и ■ V
х
и
х
3.1. Случай положительного продольного градиента температуры. Пусть А > 0. Тогда решение уравнения (12) имеет вид:
= Се™ + С2е-™ + С ап(7у)+
П I \ , -1 , —
С^соз^у) + а_у + А
(13)
где 74 = ЕаАсояа > 0.
Постоянные Сг находятся с помощью краевых условий (8)—(Ю). Из условий прилипания (8) следует:
СА = ш — С — С — -|,
03 = 0(7 —
вШ7
в1П7
ц
по7+ А1
сЛп—
1
АвШ7
цц
п
8Ш7
(14)
п
стемы (4)-(7) находим составляющую темпера-0у
^ ЕеРг
0
Еа а С4СОв(7у)) — Ауа+
С\е7у + С2е-1у — Сдшп^у) —
ЕвРгС§ Еа а
(15)
а затем и давление
р(х,у) =
^^{Се1у — Се-7у + С3 сое^у — С^ът^у) Ее
ЕаА а Ее2Рг
ху-
ЕаА а ЕаА а
2Ее2Рг сое а
у-
2Ее2Рг
Сьа С5 С
Жу — Еёх + С‘. (Ш)
Из условий (9) для температуры и условия замкнутости потока (10) следует:
+ С — о ■ ЕеРгС
Еа а
Еа а
0
^ ЕеРг 1 Еа а
(Се1 + Се 1 — С3вт7 — С4сов7) — Аа+
ЕеРгС
Еа а
С\е — 1) — С2(е- — 1) — С3(со8 7 — 1)+
+ 1^^+1(цА = {}. (17)
Решим систему уравнений (14), (17) относительно Сг. Введем обозначения:
М1=е~! — 1 —
сое2 7
вШ7
е17 + 7
вШ7
М2 = е 1 — 1
сое2 7
----------е '7 — 7 -
эт7
вт7
81П7;
51117;
ц ц ц
М = сое 7 — 1) щ7 — — 7+ —-------------------------------+ —
А А шп 7 А вт 7
П ч , -1 92 / 42
вШ7
7
А
'7
А
вт 7 I п0
А
N = 2 е
М_ -1 _ М
м9е М
№ =
Еа а ЕеРг72
0
о;
цМ — + 2— А М,
ЕаА а М ----------— 2-----е
ЕеРг72 М2
+- п — по.
С использованием данных обозначений получим:
№
С
С — № I е
Сз~жь—
С1 = Г
М\ N2 | М3
м^ + М
М±
Мл
М
— •
п07 ■
ц
-7
ц
вш 7М2 вт 7М2 92 п Мз
1 1 7;
А А шп 7 А вш 7 вш 7 М2
Сп-
N
N
Мг
М
М
М2
42
А’
п
42 „ N2 М\ .
— + 2------
А
(18)
С
6 - произвольная постоянная.
Тем самым конвективное течение жидкости в наклонном слое определяется соотношениями (13), (15), (16) с учетом (18), если А > 0.
3.2. Случай А > 0. Примеры течений. Приведем графики профилей скорости для различных параметров задачи. Пусть Рг = 10,Ее = 1, что соответствует выбору жидкости типа воды, раствора этанола и характерной скорости П* — VII.
Пример 1. Пусть угол между вектором силы тяжести и слоем жидкости шириной I = 1 (см. рис. 2) равен а = п|3, безразмерный
е
е
п
е
е
е
е
продольный градиент температуры и параметры в граничных значениях определяются соответственно как А = 1,0О = 2,01 = 3 (при этом Т0 = 20,Т = 30, а характерная температура равна Т* = 10). Тогда, если внутренние источники тепла отсутствуют (91 = 0,92 = 0), то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (13), (18), представлен на рисунке 2. Здесь Ка = 105, что соответствует условиям пониженной гравитации д = 100 (см/сек2), а скорости движения границ равны и = —2,и± = —1 (безразмерные).
Рис. 2. А = 1, 9 = 0, ио = —2, щ = — 1
Рис. 3. А = 4, 9 = 5, и0 = 5,щ = 0
Пример 2. Пусть угол между вектором силы тяжести и слоем жидкости шириной I = 1 (см. рис. 3) равен а = п/3, безразмерный продольный градиент температуры и параме-
тры в граничных значениях определяются соответственно как А = 4,0о = 2,0 =3 (при этом То = 20,Т = 30, характерная температура равна Т* = 10). Тогда, если внутренние источники тепла распределены в жидкости однородно (91 = 0,ф2 = 5), то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (13), (18), представлен на рисунке 3. Здесь Ка = 105, что соответствует условиям пониженной гравитации д
другая неподвижна: щ = 5,щ =0 (безразмерные ).
Рис. 4. А = 3, 9 = Зу + 15, щ = 10, щ = —10
Пример 3. На рисунке 4 представлен профиль скорости в случае, когда а = 4п/9, что позволяет сравнить характер течения, представленного на рисунках 2, 3. Безразмерный продольный градиент температуры и параметры в граничных значениях определяются следующим образом: А = 3,0о = 20, 0 = 21. При этом размерные параметры равны Т0 = 20,Т = 21, а характерная температура в данном случае принимается равной Т* = 1. Если внутренние источники тепла распределены в жидкости неоднородно (91 = 3,92 = 15), то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (13), (17), представлен на рисунке 4. Здесь Ка = 104, что соответствует условиям пониженной грави-д
гласоваино в противоположных направлениях: щ = 10, щ = —10 (безразмерные).
3.3. Случай отрицательного продольного градиента температуры. Пусть А < 0. Тогда решение уравнения (12) имеет вид:
и = Се7У сов('уу) + Се7^п(уу) +
C3e Yy cos(yy) + C±e Yy sin(yy)+
4i . 42 Ay+A,
(19)
ft n ya+2ya=0-
(25)
1
где = — -КаА сое а > 0.
4
Постоянные С находятся с помощью краевых условий (8)—(10). Из условий прилипания (8) следует:
Сз = щ — С1 — 9а;
С4 = —С^в1 — 1) — Ов1 — (ио — |) 7+
Решим систему уравнений (20), (23)—(25) относительно СI. Введем следующие обозначения:
Ых = 2вт77+2со877 — 2 + 277(3^7+0)87 — в7); Ы2 =
(щ — А)е-^п у + и0 — и1 + 9А + А(91+ 2^) —
(е 7 cosy - 1)(^— Щ - ^ - ^) - ^ot 7+ ^7);
sin 7 A A A
42
e< ( 4l 42 \
ibY V 1 - A - a)-
(20)
Составляющая температуры 0 зависит от поперечной координаты следующим образом:
2^2 Кв Рг
0 = —-(~Се7^п(уу) ^ С2в~/У сов(уу) +
М3 = е1 - 2е7 sin 7;
Ra cos а
C3e Yy sin(yy) -
Ce 7У cosi^y)) - Aya+C§.
N М 2 Y
N2 = -^-e ' М
М
ft 42.
42
K'iL 'iZ \ ,4.4
-A-A-U°1+A1'
R
М
(21) _ 2 sin Y7+-— e1 cosy - Nie 7cos7 + Ni -
Давление определяется из уравнений (4), (5) и имеет вид:
Ya
p{x,y) = ~б~(-Cely(sinyy - соsyy) +
Re
C eYy (sin yy + cos yy) - C3 e_7y (sin yy + cos yy) -
C4e Yy (sinyy -соsyy))
RaA а Re2 Pr
-xy -
RaA а C Ra а
2Re2 Pr cos a^ ' Re2Pr RaA а C Ra а
y-
01 =
Ra а 2y2RePr
Ra а C2e7cos 7 + C3e - 7 sin у -
М
М
RaCOSa М Y
R= zfRePr{01 - * + Aa - M(e 51 -
1) + (^ - «o)e~7 sinу + N2(e-7 cosy - 1).
A
Тогда в этих обозначениях имеют место следующие зависимости:
К
2Кв2Рг ~ Ке’Рг Х + С- (22)
С использованием граничных условий для температуры (9) и условия замкнутости потока (10) получим три уравнения:
0о = 2^КвРГ С — С4) + С5; (23)
C
М\ R2 | М2
MR + М3’
R4
с-щ - R - а
R C4 = Ni^ + N2; R
2YRePr R _ М }
Ra cos a R М3
Ce Y соsj) - Aa + Cr,] (24)
C (e7 sin у + eY cos у - 1) + C2 (e7 sin у -eY cosy + 1) + C3(e~7 sin у - e~Y cosy + 1) + C4(-e~7 sinу - e~Y cosy + 1)+
C
Y
Y
Том самым конвективное течение жидкости в наклонном слое определяется соотношениями (19). (21). (22) с учетом (26). если продольный градиент температуры отрицателен А < 0.
3.4. Случай А < 0. Примеры течений. Приведем графики, изображающие профили скоростей в случае А < 0. Положим Рг = 10, Яв = 1.
Пример 4. Пусть а = 4п/9, безразмерный продольный градиент температуры отрицателен А = —3, что соответствует бесконечному удалению нагревателя вверх по потоку. Параметры, задающие граничные значения температуры, определяются следующими значениями: 0О = 20,01 = 21. При этом размерные параметры равны Т0 = 20,Т = 21, характерная температура принимается равной Т* = 1. Тогда, если внутренние источники тепла распределены однородно 9 = 0,^2 = 1) и границы движутся в противоположных направлениях со скоростями щ = —5,и = 1, то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (19), (26), представлен на рисунке 5. Здесь Яа = 105, что соответствует условиям нормальной гравитации д = 1000 (см/сек2). Данный рисунок позволяет сделать вывод о возможности изменить качественно характер течения жидкости в слое (сравните с рис. 2).
Рис. 5. А = —3, 9 = 1, щ = —5, и = 1
Пример 5. Если а = п/3, А = —1, но внутренние источники тепла распределены неоднородно (91 = 5,92 = 0), а твердые границы движутся в одном направлении с разной скоростью щ = Ю,щ = 5, то движение жидкости характеризуется профилем скорости, представленным
на рисунке 6. При этом 0О = 2,01 = 3 (размерные параметры равны То = 20,Т = 30, характерная температура - Т* = 10). Здесь Яа = 10е, что соответствует условиям нормальной грави-д
Рис. 6. А = — 1, 9 = 5у, щ = 10,и = 5
Пример 6. Рисунок 7 демонстрирует профиль скорости в случае значения угла между
а
4п/9 (сравните с рис. 4) при более пнтененв-А—
тепла распределены неоднородно (91 = 20,9 = 10), а твердые границы движутся в противоположных направлениях с одинаковой скоростью щ = — 10,щ = 10. При этом, по-прежнему, 0О = 2,01 = 3 (размерные параметры равны Т0 = 20,Т = 30, характерная температура - Т* = 10). Здесь Яа = 105, что соответствует условиям пониженной гравитации д = 100 (см/сек2).
Рис. 7. А = —6, 9 = 20у +10, м0 = — 10, и = Ю
4. Моделирование течения жидкости в наклонном слое при отсутствии продольного градиента температуры. Пусть, по-прежнему, дополнительным механизмом, вызывающим конвекцию, является неоднородность температуры за счет внутренних источников тепла, а твердые границы слоя поддерживаются при постоянной температуре
T У=о — eo,T\y=i — 9\.
(27)
6 2
УУ
в = —qiRePr— q^RePr--
6 2
(28)
RePr C3^--------У
C.
. р (29)
Яа а
Заметим, что если внутренние источники тепла отсутствуют 9 = 92 = 0), то и является по-
0
вой степени (см. также [3, 5]).
Постоянные интегрирования С находятся с помощью краевых условий (8), (10), (27):
Ci — —2ui — 4un
Ra а
в — в Ra а
RePr 1
З • 120
q
120
q
Будем искать решение системы уравнений (4)-(7) в виде: V = 0,и = и(у), Т = 0(у), р = р(х,у). Тогда функции и(у) и 0(у) имеют вид:
уу и = — Яа^ сое а^^ — Яа^^ сое а-^+
/qi q2 \ в — e0)Ra cos а
С, = —Racma^— + — )-----RPr-----
ии
C
Ra а
— eQ j ————— -Ь — q\ R^s а -j- — qRa cos а; RePr
C4 = 60. (30)
Давление определим из уравнений (4), (5): р(х, у) =
щймпа . Raisin a a CRaa 9
у------^-----у + —а—у^+
Re
CRa а
Re
У C — C x C.
Яв Рг С
Тем самым конвективное течение жидкости в наклонном слое определяется соотношениями (28), (29), (31) с учетом (30).
5. Заключение. Построенные точные решения уравнений Обербека-Буссинеска описывают гравитационную конвекцию жидкости, заполняющей бесконечный наклонный слой. Данные решения и проведенные расчеты позволяют изучить влияние различных сил на динамику и теплообмен в жидкости: влияние гравитационного поля различной интенсивности в случае, когда угол между вектором силы тяжести и продольным градиентом температуры жидкости либо границами слоя не равен нулю; влияние внутренних источников тепла, распределенных однородно либо неоднородно, на характер течения и теплоперенос; взаимодействие гравитационной конвекции и эффектов сдвиговых течений Куэтта; влияние величины угла наклона слоя на интенсивность течения. Построенные решения позволяют также исследовать возможность управления механизмами конвекции.
Библиографический список
1. Андреев, В.К. Современные математические модели конвекции / В.К. Андреев, Ю.А. Гапоненко, О.П. Гончарова, В.В. Пухначев. -М., 2008.
2. Бирих, Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости / Р.В. Бирих // ПМТФ. - 1966. - №3.
3. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни,
Е.М. Жуховицкий. - М., 1972.
4. Napolitano, L.G. Plane Marangoni-Poiseuille
flow of two immiscible fluids / L.G. Napolitano // Acta Astronautica. - 1980. - Vol. 2.
5. Гершуни, Г.З. Устойчивость конвективных течений / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, А.А. Непомнящий. - М., 1989.
6. Мызникова, Б.И. О численном моделировании свободной конвекции / Б.И. Мызни-
кова, Е.Л. Тарунин // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости: сб. ст. - Свердловск, 1983.
7. Бекежанова, В.Б. О конвективной неустойчивости двухслойного течения жидкости на
наклонной плоскости / В.Б. Бекежанова // ’’Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение”
: тез. докл. Всерос. конф. - Новосибирск, 2009.