CC BY
17
УДК 517.9
О.М. ЛЕНЮК
Чершвецький нащональний ушверситет ÏMeHÏ Юрiя Федьковича
МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕС1В З ВКЛЮЧЕННЯМ ВАНТАЖ1В НА К1НЦЯХ
За допомогою ттегрального перетворення Лапласа одержано ттегральне зображення розв'язку крайово1 3adaui для однорiдного рiвняння коливання з включенням вантажiв на ктцях. При цьому в крайовi умови входять друга та перша похiднi по часовт змтнт, а також перша похiдна по просторовт змтнт. До^джено спектр задачi, виписано головт розв 'язки задачi.
Ключовi слова: ттегральне перетворення Лапласа, рiвняння коливання, крайова задача.
О.М. LENYUK
Chernivtsi National University by Yuriy Fed'kovych
MODELLING OF OSCILLATION PROCESSES INCLUDING LOADS ON THE ENDS
Annotation
By integral Laplace transform the solution of the boundary value problem for the equation of oscillations with the loads on the ends is obtained. This means that the boundary conditions contain second and first derivatives with respect to time variable and the first derivative of the spatial variable. Spectrum of the problem is investigated, main solutions of the problem are written.
Keywords:integral Laplace transform, equation of oscillations, boundary value problem.
Постановка проблеми та aHaii3 публшацш за темою дослвдження. Одним i3 ефективних методiв побудови точних аналтгичних розв'язшв piBHHHb математично! фiзики е метод штегральних перетворень. Цей метод дае змогу знаходити аналггачний вигляд розв'язшв багатьох задач математично! фiзики, що дуже зручно для дослвдження властивостей розв'язшв. У щдручниках та поабниках з математично! фiзики наведеш постановки рiзноманiтних крайових задач (наприклад, див. [1]), але для багатьох з них не знайдеш аналиичш вигляди розв'язк1в. У працях [2,3] розв'язана крайова задача для рiвняння коливання у випадку включения вантажу на лiвому кiнцi та крайово! умови першого роду на правому шнщ.
Цiль статтi. Дана стаття присвячена побудовi методом iнтегрального перетворення Лапласа розв'язку крайово! задачi для рiвияния коливання з включенням вантаж1в на обох шнцях у випадку однорщного рiвняния, однорiдних початкових умов та неоднорщних крайових умов.
Основна частина. Розглянемо однорвдну струну (або однорщний ненапружений стержень) довжини l, шнщ яко! (якого) наваитаженi: до кожного з них прикршлена пружина жорсткосп k, до пружини прикршлено вантаж масою m, на який д1е сила тертя, пропорцшна швидкосп.
0
0
Рис.1.
Задача про мал поперечш коливання тако! струни (або повздовжш коливання жорсткого стержня) математично приводить до побудови обмеженого в обласп D = {(t,х): t > 0,x G (0,l)} розв'язку р1вняння коливання
1 д2u д 2u
a2 dt2 дх2
= 0
(1)
за початковими умовами
„бы
ы и=0, - =0 (2)
бг
\ крайовими умовами [1]
^ б2ы бы т
+ Т--+ кы - Т
бы
бг2 ' бг бх
( б2ы бы
бы
= %1(гХ т^ТГ + Ч — + кы + Т — = %2(г\
бг2 ' бг бх
(3)
де т - маса прикршленого вантажу, Т =сошг - стала натягу струни (модуль Юнга матер1алу
стержня, помножений на площу поперечного перер1зу) в точках х = 0 та х = I, к - жорстшсть пружини, Т] - коефщент тертя.
Припустимо, що задаш й шукана функцп е орипналами Лапласа стосовно г [4]. У зображенш за Лапласом задач1 (1) - (3) ввдповвдае крайова задача: побудувати на (0,I) розв'язок р1вняння
и 2
Л
Я
за крайовими умовами
[Т^с - Я1 Лy (p, х)
Тут прийнятi позначення
й
ы*( р, х) = 0,
х=0
= - ЯЛ р\ \Т— + Я1 \ы (p, х)
= - % *2(Р)-
(4)
(5)
х=1
9 —9 9 9 9
Я = а р , р = а + is, г = —1, Я1 = тр +]р + к, ы\р,х) = Цы(г,х)], %2(р) = Ь[%,(г)1 %2(р) = Ь[%2(г)].
Фундаментальну систему розв'язшв для р1вняння Фур'е
и2 ^
Я
V = 0
ч йх J
утворюють функцп скях та 8кях . Це дае можливють побудувати розв'язок крайово! задач1 (4), (5) у виглядг
ы* (р, х) = А1 скях + А2 ^кях. (6)
Знайдемо стал А1 та Л2, подставивши функцш ы (р, х) , що зображаеться формулою (6), у крайов1 умови (5). Одержимо систему двох алгебра!чних р1внянь:
- Я1А1 + ЯТА2= - %1(р\ (ТЯ'?кд1 + яскя1) А1 + (Тяскя1 + я^кя1) А2 = %*( р). (7)
Визначник ще! системи
А =
Я1
яТ
Тя$кя1 + я\скя1 Тяскя1 + я^кя^
= -(2яТяскя1 + (я2 + Я Т2 )ькя1) = -А2 (р)
(8)
Припускаючи, що А*(р) Ф 0, обчислимо А1, А2 за формулами Крамера:
_ (р)(яТскя1 + яАя1) + ъ* (р)Тя.
А = А*(р) '
л _ ё2(р)Я1-¿*(р)(яТ^кя1+яскя1) А2 А2(р) .
Тод1 единий розв'язок крайово! задач1 (4), (5) запишеться так:
и ^ х)=(p, х)(р)+^ х)%2 (р). У р1вност1 (9) беруть участь породжеш крайовими умовами (5) функци Грша
ТТг2, . яТскя( х +1) + я &кя(1 - х)
щ (р,х) = -—^—2 X -¿,
А (р)
х=0
х
Wf*(p, x) =
_ qTchqx + q shqx
A*( p)
(10)
Повертаючись у piBHOCTi (9) до орипналу, одержуемо штегральне зображення розв'язку 3aAa4i
(1) - (3):
u(t, x) = jW1 (t - т, x)g1 (z)dz + jW2 (t - т, x)g2 (f)dx.
0 0
У формулi (11) за означенням
1 0
Wj(t,x) = M J" W*(p,x)eptdp, j = 1,2,
(11)
(12)
де <Jo - абсциса збiжностi штеграла Лапласа.
Знайдемо коректний для iнженерних розрaхункiв вигляд функцiй W. (t, x), j = 1,2 .
*
Особливостi функцiй Wj (p, x) зосередженi в коренях рiвняння
A* (p) = 2qTqchql + (qf + q 2T 2)shql = 0. (13)
Зауважимо, що точка p = 0 е правильною (усувною) особливою точкою для функцш W1 (p, x),
W^(p,x).
Справедлива лема.
Лема. (про розподш особливостей). ¡'¡вияиия (13) не мае кореше у теплощит Re р > 0 за еиттком точки J) = 0 (простий нуль).
Доведения проведемо в чотири етапи за схемою, викладеною в пращ [2].
1. 1снуе число R1 > 0 таке, що р1вняння Д* (р) = 0 не мае корешв в обласп |р| < R1
р — комплексно! площини, за винятком точки р = 0.
Для доведения цього факту скористаемось асимптотикою функцш
Тод1
Очевидно, що можна пццбрати число так, щоб Д* (р) Ф 0 при |р| < р Ф 0. 2.1снуе число > 0 таке, що р1вняння Д* (р) = 0 не мае корешв в области
Скористаемося асимптотикою функцш
Осшльки exp j-i j Ф 0, то можна шдабрати R2 таким чином, щоб Д" (р) Ф 0 при |р| > fi2, |argp| < -. 3. Р1вняння А* (р) = 0 не мае корешв на уявнш oci | arg РI = ~ KPiM точки р = 0. Яюцо р — IS, то
isT isl
isl
Ä*(is) = 2 (-ms2 + irjs + k) — ch— + (-ms2 + ¿r/s + k)2---T2 sh—.
а
а
as
а
Враховуючи, що
0
маемо
Tis si
= 2 i {—ms + ink) — cos — a a
2Ts slrn 2л =-cos — — ms j —
a a
Прщлвняемо до нуля дшсну та уявну частини. Одержимо систему:
Подшимо перше р1вняння на —2'f/S sin —. Ф О *), друге р1вняння - на sin —, одержимо
систему:
2Tsa(k
Прщлвнявши npaei частини р1внянь. одержимо:
(ms2 — к)а a2T]2s2 + s2T2 — a2(k. — ms2y
Ts
2 Tsa(k — ms2)
або
Очевидно, що при s Ф 0 р1вняння не мае корешв.
4. Виберемо довиьш числа R3 та R^ та id. що й4 > R2,0 < R3 < R1 i побудуемо наступний
контур:
с=|| z=яфщ z <fI и || z=R^g Z <f [ и IR < И < R^g Z=2
ж I
ж
Розглянемо функцiю
2т ]с Д* (р)
Зпдно доведеному вшце, функц1я Д* (р) не перетворюеться в нуль на контур! С, отже, функщя / — неперервна.
3 шшого боку, зпдно принципу аргументу [5], функщя / (т., 7], к, I, а, Г) чисельно р1вна числу корешв функцп Д* (р), що лежать всередиш контура С.
Таким чином вона може набувати лише щлих значень. Але неперервна функщя, що набувае лише цш значення, може бути лише тотожною константою, для знаходження яко! порахуемо за теоремою Конп:
/(0,1,1,0,1,1) = ^^
[2(р+1)рГ
с 2(р + 1)р
dp = 0.
Отже, всередиш контура С р1вняння Д* (р) — 0 не мае корешв, що i завершуе доведения леми. Таким чином, рiвняння (13) не мае корешв у швплощиш Rep > 0. Це дае можливiсть покласти в
рiвностях (12) (Г0 = 0. Тодi рiвностi (12) набувають вигляду
Визначимо функцп:
W (t, x) = - j Re[W* (is, x)eist ]ds, j = 1,2. ж 0
A *(is) = c^(s, l, l) + ia2 (s, l),
2m 2T sl sl
H (s, ^, l2 ) =--cos —1 - 2rs(k - ms2)sin —
a a a
a2(s, l ) =
2Ts
a
sl Г a
// 2\ , /i 2\2 2 2 s T (k - ms )cos—h (k - ms ) —r s -
a
2^ . sl Sin —,
2
J
a
v (s, t) = cos sHy (s, l, l) - sin stw2 (s, l),
v (s, t) = cos stH2 (s, l) + sin strny (s, l, l). У результата виконання зазначених операцш одержимо KopeKTHi для iнженерних розрахуншв вирази головних розв'язшв задачi:
W¿t, x) = - f ж 0
W2(t, x) = - f ж i
(2s r) H (s, l + x, l - x)v2 (s, t) -rs sin ——— v (s, t)
_a_
H (s, l, l )]2 + H (s, l )]2
ds,
(2sr) H (s, x, x)v2 (s, t) -rs sin — v (s, t)
a
H (s, l, l )]2 + H (s, l )]2
-ds.
(14)
Подсумком викладеного вище е твердження.
Теорема. Якщо функци ^, е С^([0,го)), то функщя и(Х,X) , визначена формулою (11), е
класичним розв'язком гiперболiчноi задачi (1)—(3). При цьому головнi розв'язки ^X) (= 1,2)
визначаються формулами (14).
Висновки: Одержано iнтегральне зображення розв'язку riперболiчноl крайово! задачi у випадку наявносл у крайових умовах першо! та друго! пох1дних по часовш змiннiй та першо! похвдно! по просторовiй змiннiй. Дослвджено спектр задач^ виписано головнi розв'язки (функци Грша, породженi неоднорiднiстю крайових умов) задача
Лiтература
1. Комеч А.И. Практическое решение уравнений математической физики: Учеб.- метод. пособие / А.И. Комеч. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 160 с.
2. Ленюк О.М. Моделювання коливних процеав в елементах конструкцш з включенням вантажу на кiнцi / О.М. Ленюк // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. - Чершвщ: Прут, 2006. - Вип. 14. - С. 102-108.
3. Ленюк О.М. Неоднорщна крайова задача для рiвняння коливання з вантажем на лiвому шнщ / О.М. Ленюк // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып.2 (47). -Херсон: ХНТУ, 2013. - С. 197-201.
4. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа / Г. Деч. - М.: Наука, 1965. - 288 с.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
