МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ В ФОРМЕ РОМБА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Моделирование колебания мембраны в форме ромба

Н.А. Чернышов, А.С. Лобакин, А.А. Постнов ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж

Аннотация: В данной работе рассмотрено моделирование колебаний мембраны в форме ромба. Найдены некоторые частные решения задачи о свободных колебаниях мембраны с различными начальными условиями и получены собственные частоты свободных колебаний. Полученное решение возможно использовать при усилении элементов конструкций летательных аппаратов ячеистой ромбовидной структурой, а также при проектировании беспилотных дронов типа летающее крыло.

Ключевые слова: Свободные колебания мембраны, мембрана в форме ромба, собственные частоты колебаний.

Введение

В современной промышленности часто применяют конструкции, содержащие мембраны различной формы. В авиастроении корпус военных и гражданских самолетов усиливается заполнителями различной формы для увеличения прочности несущих конструкций и улучшения шумоизоляции. Известны некоторые аналитические решения о свободных колебаниях мембран прямоугольной, треугольной [1], шестиугольной [2] и круглой формы. Целью представленной работы является моделирование свободных колебаний мембраны в форме ромба при заданных начальных условиях. В [3,4] найдены собственные частоты и формы прямоугольной мембраны методом разделения переменных. Методом Рэлея-Ритца решена задача о колебаниях треугольной пластины с учетом действия осевых сил [5]. Для треугольной пластины, имеющей сложные опорные условия, применялся метод множителей Лагранжа в [6]. В работах [7,8] рассмотрена треугольная пластина при различных нагрузках. Случай круговой пластины, шарнирно закреплённой и упруго подвешенной на винклеровом основании, рассмотрен в [9].

и

Постановка задачи

Пусть мембрана в форме ромба закреплена на границе и имеет заданную начальную форму. Затем она выводится из равновесия и начинает совершать поперечные свободные колебания перпендикулярно плоскости ХОУ. Такие колебания мембраны можно описать дифференциальным уравнением [10]:

д 2W 2 = a

í д 2W д 2W^

д t1

к дх2 ду2 у

где W - отклонение точек мембраны от плоскости ХОУ, ? - время. На границе мембрана закреплена:

^ г = 0 (2)

В качестве начальных условий примем следующие:

дW

(1)

W t=0 = f (X y)

= 0 (3)

t=0

dt

Решение представим в виде:

W = U (x, y) T (t). (4)

После подстановки (4) в (1) получим дифференциальные уравнения:

T" + a2 ^2T = 0 (5)

AU + ^2U = 0 (6)

Решение (5) не представляет сложности, запишем его

T = A cos aXt + B sin dkt

Решение задачи

Сделаем замену переменных (рис. 1):

^ = y, =1 (л/Эх - y), l - высота ромба (7)

2

Переменные имеют следующие свойства: 1. Граничные условия принимают удобную форму:

и

^ = 0, §2 = 0, ^ = I, §2 = /

2. Возможна дифференциальная замена:

d )

(8)

(9)

Рис. 1. - Геометрический смысл переменных ^, . Решение (6) запишем в виде:

U = С (sin X^ + sin X^2 - sin + )), (10)

Нетрудно доказать, что (10) удовлетворяет дифференциальному уравнению (6). Проверим выполнение граничных условий: Пусть ^ = 0. Тогда:

U = С (sin0 + sin X^2 - sin X( 0 + £2)) = с (sin X^2 - sin X^2) = 0. При = 0 получим:

U = С (sin ^ + sin0 - sin X(^ + 0)) = С (sin X^ - sin X^) = 0. Возьмем ^ = l

U^ =l = С(sinX/ + sinX^2 - sinX(I + ^2)) = QsinX/ + sinX^2 - sinX/cosX^2 -- cosXl sinX^2) = С(sinX/ (1 - cosX^2) + sinX^2 (1 - cosXI)) = 0 Выполнение граничного условия возможно только при sin Xl = 0 и

и

1 - cos Xl = 0. Отсюда получаем собственные частоты колебаний мембраны

1 2ш 1 О -2

X =-, n = 1,2,3...

n I ' , ,

(11)

Так как начальные скорости (3) отсутствуют, то В = 0. Примем ¿и = АС. Запишем все частные решения уравнения (1):

W = b cos

n n

2jn

■at

sin-

2m

2jn

2jn

—§1 + sin j §2 - sin_y— (§1 + §2 )

(12)

Просуммировав все частные решения, найдем общее решение:

ТТ7 2jn г

W = > b cos-at

¿—i n 1

n=1 1 v

. 2jn „ . 2 jn „ . 2jniV „ ч sm~j~ §1 + sm~j~ §2 - sm~j~ (^1 + §2 )

(13)

/

Рассмотрим частный случай начальной формы:

w ч . 2я-„ . 2jn„ . 2jnir r ч f (. у) = sin— §1 + §2 - sin_^- (§1 + §2)

Учитывая (3), получим уравнение:

. 2jn Л

f, L 2 j- „ . 2 jn „

> bn | §1 + sin-^- §2

sin-

n=1

7"(§1 +§2 )

. 2 jn „ . 2 jn „

sin-§, + sin-§9

I 1 I 2

2jn

(§1 +§2 )

(14)

Отсюда = 1. Выбирая и = 1,2,3,... получим различные начальные

формы, соответствующие собственным частотам. На рис. 2 показана первая собственная форма колебаний мембраны при п = 1. Общее решение при п = 1.

2 л

W = cos—at I

sin-

2j

2j

2j

-§1 + siny §2 - siny (§1 + §2)

(15)

Общее решение для произвольного n имеет вид:

W = cos

2jn

■at

. 2jn

. 2jn

. 2jn

sin-

j- §1 + sin j §2 - sln-y-(§1 + §2)

(16)

I

М Инженерный вестник Дона, №12 (2022) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nl2y2022/8055

Рис. 2. - Первая начальная форма мембраны. На рис. 3 показана вторая форма колебаний мембраны при п = 2.

Рис. 3. - Вторая начальная форма мембраны.

Анализируя рисунки 2,3, можно заметить, что собственные формы имеют такие же зоны пучностей и узловые линии, которые наблюдаются и для известных решений свободных колебаний мембран прямоугольной, треугольной и шестиугольной форм.

В представленной работе получены некоторые частные решения задачи о свободных колебаниях мембраны в форме ромба с заданным начальным отклонением. Получены собственные частоты и найдены первые две собственные формы. Полученный результат может быть использован при

М Инженерный вестник Дона, №12 (2022) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nl2y2022/8055

проектировании различных элементов конструкций летательных аппаратов. Некоторые элементы самолета, такие как крыло, корпус и т.д., могут усиливаться ячеистой структурой ромбовидной формы. Зная модель поведения элементарной ячейки, можно прогнозировать поведение конструкции в целом и тем самым улучшить аэродинамические характеристики летательного аппарата.

Литература

1. Чернышов Н.А. Моделирование колебания мембраны треугольной формы. // Инженерный вестник Дона, 2020, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2020/6336.

2. Чернышов Н.А., Голомидов Н.А., Маслиев А.И. Моделирование колебания мембраны шестиугольной формы. // Инженерный вестник Дона, 2022, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2022/7442.

3. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение 1985. 472 с.

4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 444 с.

5. Laura P.A.A., Gutierrez R.H. A note on vibrating triangular equilateral plates subject to a hydrostatic state of in-plane stress // Journal of sound and vibration. 1991. №149. pp. 513-515.

6. Liew K.M. On the use of pb-2 Rayleigh-Ritz method for free flexural vibration of triangular plates with curved internal supports // Journal of sound and vibration. 1993. №165. pp. 329-340.

7. Mirza S., Bijlani M. Vibration of triangular plates // AIAA journal. 1983. №21. pp. 1472-1475.

8. Чернышов А.Д., Чернышов Н.А. Колебания треугольной упругой пластины под совместным действием равномерно распределенной поперечной нагрузки и равномерного растяжения // Известия инженерно

М Инженерный вестник Дона, №12 (2022) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nl2y2022/8055

технологической академии чувашской республики. 1998. №11. С. 87-95.

9. Агаларов Дж.Г., Мамедова Г.А. Колебания пластины, шарнирно закреплённой и упруго подвешенной на винклеровом основании // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований, 2018, № 7. URL: applied-research.ru/ru/article/view? id=12328.

10.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

References

1. Chernyshov N.A. Inzhenernyj vestnik Dona, 2020, №2. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/N2y2020/6336.

2. Chernyshov N.A., Golomidov N.A., Masliev A.I. Inzhenernyj vestnik Dona, 2022, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/ N2y2022/7442.

3. Timoshenko S.P. Kolebaniya v inzhenernom dele [Vibrations in engineering]. M.: Mashinostroenie 1985. 472 p.

4. Sobolev S.L. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. M.: Nauka, 1966. 444 p.

5. Laura P.A.A., Gutierrez R.H. Journal of sound and vibration. 1991. №149. pp. 513-515.

6. Liew K.M. Journal of sound and vibration. 1993. №165. pp. 329-340.

7. Mirza S., Bijlani M. AIAA journal. 1983. №21. pp. 1472-1475.

8. Chernyshov A.D., Chernyshov N.A. Izvestija inzhenerno tehnologicheskoj akademii chuvashskoj respubliki, 1998, №11, pp. 87-95.

9. Agalarov J.G., Mamedova G.A. International Journal of Applied and Fundamental Research, 2018, №7 URL: applied-research.ru/ru/article/view?id=12328.

10.Tihonov A.N., Samarskij A.A. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. M.: Nauka, 1977. 736 p.