Моделирование калибровочных соотношений для неполиномиальных сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 13, Специальный выпуск 4, 2008

Моделирование калибровочных соотношений для

____«J» *

неполиномиальных сплайнов*

А. А. Макаров Санкт-Петербургский государственный университет, Россия e-mail: Antony.Makarov@gmail. com

Approximation relations are regarded as a system of equations for deducing of (polynomial and non-polynomial) splines. Twice continuous differentiable splines of the third order on irregular grid are constructed; coordinate splines have minimal support. The main result of the paper is a numerical simulation of calibration relations for the trigonometric splines connected with a grid refinement. This leads to a wavelet decomposition of signals with fast oscillations. The obtained relations contain less then three terms and therefore these relations can be easily realized on a two-processor computer.

1. Предварительные обозначения

Пусть Ъ — множество целых чисел, К1 — множество вещественных чисел. Будем использовать четырехмерное векторное пространство К4, причем векторы в нем будем отождествлять с одностолбцовыми матрицами и применять к ним обычные матричные операции; в частности, для двух векторов а, Ь € К4 выражение атЬ представляет собой евклидово скалярное произведение этих векторов. Квадратная матрица, столбцами которой являются векторы а, Ь, с, с1 € К4 (в указанном только что порядке), обозначается символом (а, Ь,с,с1), а выражение ёе^а, Ь,с,с1) означает ее определитель.

Упорядоченное множество Аа= (а, },е2 векторов а, € К4 будем называть цепочкой

векторов. Цепочка А называется полной цепочкой векторов, если матрица Aj а= ^а„-3,

а,--2, а,-^, а,^ является неособенной при любом ] € Ъ.

Для произвольных векторов х, х', х", у, у', у", ъ. г', т!' из пространства К4 введем полилинейную вектор-функцию а, задаваемую символическим определителем

/ х х' х" \

а(х ,-х!,-х!',у,у',у",х,х',хп) = ^ ае^у УУ^) ае^у У У У) ае^у .

\аеф у у,х) ёеф У У У) ёеф У У У))

Через С2(а,в) обозначим линейное пространство функций, непрерывных вместе с первой и второй производными на интервале (а, в).

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 07-01-00269 и № 07-01-00451).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.

2. Bp-сплайны

На интервале (а, в) С R1 рассмотрим сетку X =f {xj }jez:

X : ... < x_i < x0 < x1 < ...; пусть аd= lim Xj, в=f lim Xj. (2.1)

Введем обозначения M = UjeZ (xj ,Xj+1) Sj = [

Xj, xj+4], J& = { k — 3, k — 2, k — 1, k}, где k, j £ Z. Для определенности в дальнейшем будем считать, что интервал (а, в) конечен (небольшая модификация предположений позволяет рассмотреть случай полубесконечного интервала, а также случай, когда (а, в) = R1)-

При K0 > 1, K0 £ R1 обозначим X(К0,а,в) класс сеток вида (2,1) со свойством локальной квазиравномерности K-1 < (xj+1 — xj)(xj — xj_1)_1 < K0 Vj £ Z и положим

SUPj€Z (xj+1 — xj).

Пусть <^(t) — четырехкомпонентная вектор-функция (столбец) с компонентами из

пространства С2(а,в); вводя обозначения ^j=f^(x?), ^ j =f^'(xj), ^ j' =f^''(xj), опреде-

{ j}

aj =f a (^j+b ^ j+Ъ ^ j+Ъ Pj^ ^ j+2, ^ j'+2, ^ j+3, ^ j+3^ j £ Z, (2.2)

и рассмотрим векторы dj £ R4, задаваемые тождеством

djx = det(^jjj', x), x £ R4, j £ Z. (2.3)

{ j}

Y^ j и? (t) = p(t) Vt £ (xk, xk+1), k £ Z, u?(t) = 0 Vt / Sj- П M, (2.4)

j'eJfc

однозначно определяются функции u? (t), t £ M, j £ Z.

Линейная оболочка (X) функций Uj (t), j £ Z называется пространством Ер-сплайнов на сетке X, функции Uj(t) — координатыыми Б^-сплайнами (третьего порядка), а ^ — порождающей вектор-функцией для пространства (X), Условия (2,4) называются аппроксимационными соотношениями.

При <^(t) £ С3(а, в) рассмотрим вронскиан W(t) = det(<£, ^ ', ^ '', ^ ''')(t). Лемма. -Если ^ £ С4[а,в], вронскиан W(t) отличен от нуля на, отрезке [а,в] и

X £ X(K0, а, в) для, некоторого K0 > 1, то существует £ > 0 такое, что при < £ { j}

Доказательство сводится к использованию формулы Тейлора в представлении

( а, в) .

здесь останавливаться не будем.

Теорема. Если цепочка векторов aj полная, то функции Uj (t) дважды, непрерывно

( а, в)

j ¥>(t)

= -т- nPU t е [xJix3+~i)i (2-5)

jj

^jCO = ^ - • ^H-i^*) t £ [xj+i,Xj+2), (2.6)

dj aj dj aj dj+^j+1

и (¿)

3+4 3

и, (Ь) = 0 при Ь е [х,, х3+4].

при Ь е [хз+2,хз+з)

(2.7)

(2.8)

Доказательство получается подстановкой формул (2.5)-(2.8) в аппроксимацион-

,,

(2,3)), Непрерывность функции и,(Ь), ее первой и второй производных проверяется в узлах х,+г, I = 0,1, 2, 3, 4, непосредственным применением формул (2.5)-(2.8). В остальных точках интервала (а, в) их непрерывность очевидна,

3. Калибровочные соотношения для В^-сплайнов

Исходная сетка X дополняется новым узлом ^ и на полученной таким образом сетке X рассматриваются сплайны Калибровочные соотношения дают представление сплайнов ил,-(£) в виде линейной комбинации сплайнов ш¿'{Ь). Следствием этих соотношений является вложенность пространства В1р(Х) в пространство В1р(Х).

Пусть £ — упомянутый новый узел, £ € (хк,Хк+1), а Х3 — узлы вновь полученной сетки:

при ] < к, при ] >к + 2, Хй= {х^ \ ] € Щ.

Функции и, зависят от узлов х,,Хз+1,Хз+2,Хз+3,Хз+4] введем функцию шести вещественных переменных и(п,ь,'ш,у,г, Ь) (см, формулы (2.5)-(2.8)) такую, что

Условимся надчеркивать обозначения всех ранее введенных объектов, определяемых

„ „ ~Т7" - def /— \ - / def / /— \ - // с1е£ // /— \

повои сеткой А . в частности, положим ^ = (р{хз), <р 3 = <р {Х3), <р 3 = <р {Х3),

Функции ик-3, ик-2, ик-1 и ик можно представить с помощью линейных комбинаций и,

и,(Ь) = и(х,,xj+l,xj+2,Хj+з,Хj+4,t) V? е

На новой сетке рассмотрим функции й^Ь)

Очевидно, что для Ь е (а, в) верны тождества

= То^) при ] < к — 4, = при ] >к + I.

(3.1)

(3.2)

— сМ /— — / — // — — / — // — — / — // \

аз = а(<Рз+1, з+1,ч>з+2, <р 3+2, ^ 3+2, <Р ¿+з> ]+з)

хб!4,

Шк-з^) = (¿к-з(£) +рк-3,к-2^к-2^),

Ш к-2^) = рк-2,к-2^к-2^) + рк-2,к-1^к-1^), Ш к-1^) = Рк-1,к-1^к-1^) + рк-1,к^к^),

(3.3)

(3.4)

(3.5)

где

^fc(í) = Pk,k^k(t) + Lük+1(t),

_ dfc+2afc-2

Pfc—3,fc—2 — IJf-

pfc-2,fc-2

dfc+2afc-3 í-тт _ -jT _ dfc+2afc_2

I afc+3afc-2 — Ufc+3afc-3_T _-

V dfc+2afc_3 /

„ _ dfc+3afc_i Pfc—2,fc— 1 — ZJp-

dfc+3a fc-2

tT

Pfc-l,fc-l

AT dfc-^ fc-i

dfc+3afc-2,

pfc-1,fc

'-jT _ -jT _ djafc \ /-Т

ak_i&k — ufc_1afc+i=y— i / afc_1afc_i, dfcafc+i/ /

_ dfcafc

Pfc,fc _y

dfcafc+i

Тождества (3.2)-(3.6) называются калибровочными соотношениями.

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

4. Моделирование B^-сплайнов и калибровочных соотношений

Рассмотрим тригонометрические B^-сплайпы, получаемые при <^(t) d=f (1, sin t, cos t, sin2t)T. Имеем ^ '(t) = (0, cos t, - sin t, 2cos2t)T, ^ ''(t) = (0, - sin t, - cos t, -4sin2t)T, ^ '''(t) = (0, - cos t, sin t, -8 cos 2t)T.

Тогда вронскиан W(t)d=fdet(^(t),^'(t),<£''(t),<£'''(t)) отличен от нуля на отрезке

с , ибо

W (t) = det

1 0 0 0

sin t cos t - sin t - cos t

cos t - sin t - cos t sin t

У sin 2t 2 cos 2t -4 sin 2t -8cos2t/

6 cos 2t.

Поэтому для достаточно мелкой сетки из фиксированного класса локально квазиравномерных сеток координатные B^-сплайны существ уют и supp wj (t) = [xj, Xj+4], где j G Z. Из (2,3) найдем dj = (-6 sin Xj cos Xj, -4 cos3 Xj + 6 cos Xj, 4 cos2 Xj sin Xj + 2 sin Xj, - 1)T. Теперь представим вектор aj в покомпонентном виде aj = (ao,j, a1;j, a2,j, a3,j)T. Тогда ao,j, a1,j, a2,j, a3,j определяются равенствами

ao,j = Cj f o,j, ai,j = Cj((fo,j - f2,j ) sin Xj+1 - Ci,j cos Xj+i),

a2,j = Cj (f 1,j sin Xj+1 + (fo,j - f 2,j ) cos Xj+1) , a3,j = Cj ( (fo,j - 4f2,j ) sin 2Xj+1 - 2f 1,j cos 2Xj+1) , гДе Cj, fo,j, f1,j, f2,j вычисляются по формулам

• Xj+2 - Xj+1 • Xj+3 - Xj+1

Сj = sin —— sin ——.

j = 16(2 cos(xj+3 + Xj+1) + cos 2xj+3) cos Xj+2 cos

cos 3+2 J

X '+3 — X +1

x sin —--—---16(2 cos(xJ+2 + Xj+1) + COS 2xj+2) x

I a Xj+3 + 3xj+1 , Xj+3 — Xj+1 0 \ . Xj+2 — Xj+1

x 2 cos -— + cos -— cos 2ж7+з sm -—,

1 2 2)2

fa = 32 cos 3Xj+2 + (2 cos + 3Xj+1 +cos ~ cos 2x3+)j sin2 ~ — 32 cos 3^+3o+Xj+1 (2 cos +o3Xj+1 + cos ~ cos 2xJ+2) sin2 "

2 V 2 2 2

3 ^^ ,+3 I ^^ , + 1 ,+3 __, 1

= 32(j cos —^——(2 cos(xi+2 + xj+i) + cos 2xj+2) sin J+ J+—

-32(j cos ЗЖ?+2 ^ (2 cos(xj+3 + xj+i) + cos 2xj+3) sin Xj+2 Xj+l.

Согласно формулам (2.5)-(2.8) получаем следующие представления функции Uj (t):

1) при t G [xj, Xj+1) справедливо тождество Uj (t) =

— 2 cos 2xj sin(t — Xj) + 2 sin(t + Xj)(2 — cos(t — Xj)) — 2 sin 2xj —4a1)j- cos3 Xj + 4a2,j cos2 Xj sin Xj + 6a1,j cos Xj + (2a2,j — 3a0,j) sin Xj — a3,j'

2) при t G [Xj+1, Xj+2) справедливо тождество Uj (t) =

—2 cos 2Xj sin(t — Xj) + 2 sin(t + Xj)(2 — cos(t — Xj)) — 2 sin 2xj

—4a1,j cos3 Xj + 4a2,j cos2 Xj sin Xj + 6a1,j cos Xj + (2a2,j — 3a0,j) sin Xj — a3,j

—4a1,j+1 cos3 Xj + 4a2,j+1 cos2 Xj sin Xj + 6a1,j+1 cos Xj + (2a2,j+1 — 3a0j+1) sin Xj — a3,j+1 —4a1,j cos3 Xj + 4a2,j cos2 Xj sin Xj + 6a1,j cos Xj + (2a2,j — 3a0,j) sin Xj — a3,j

x [—2 cos 2xj+1 sin(t — Xj+1) + 2 sin(t + Xj+1)(2 — cos(t — Xj+1)) — 2 sin 2xj+1] x

x [—4a1,j+1 cos3 xj+1 + 4a2,j+1 cos2 xJ+1 sin xJ+1 + 6a1,j+1 cos xj+1+

+(2a2,j+1 — 3ao,j+1) sin Xj+1 — a3,j+1]-1,

3) при t G [xj+2,Xj+3) справедливо тождество Uj(t) =

— 2 cos 2xj+4 sin(t — Xj+4) + 2 sin(t + Xj+4)(2 — cos(t — Xj+4)) — 2 sin 2xj+4

—4a1,j cos3 Xj+4 + 4a2,j cos2 Xj+4 sin Xj+4 + 6a1,j cos Xj+4 + (2a2,j — 3a0,j) sin Xj+4 — a3,j

— [—4a1,j-1 cos3 Xj+4 + 4a2,j-1 cos2 Xj+4 sin Xj+4 + 6a1,j-1 cos Xj+4+ +(2a2,j-1 — 3a0,j-1) sin Xj+4 — a3,j-1]x x [—4a1,j cos3 Xj+4 + 4a2,j cos2 Xj+4 sin Xj+4 + 6a1,j cos Xj+4 + (2a2,j — 3a0,j) sin Xj+4 — a3,j]-1 x x [—2 cos 2xj+3 sin(t — Xj+3) + 2 sin(t + Xj+3)(2 — cos(t — Xj+3)) — 2 sin 2xj+3] x x [—4a1,j-1 cos3 Xj+3 + 4a2,j-1 cos2 Xj+3 sin Xj+3 + 6a1,j-1 cos Xj+3+ +(2a2,j-1 — 3a0,j-1) sin Xj+3 — a3,j-1]-1,

4) при t G [xj+з, xj+4] справедливо тождество Uj (t) =

—2 cos 2xj+4 sin(t — Xj+4) + 2 sin(t + xj+4)(2 — cos(t — xj+4)) — 2 sin 2xj+4 —4ai)j- cos3 Xj+4 + 4a2,j cos2 xj+4 sin xj+4 + 6a1;j cos xj+4 + (2a2)j- — 3a0,j) sin xj+4 — a3)j-

Рассмотрим пример тригонометрических сплайнов, построенных на отрезке [а, в] = [—1/2,1/2]. Зададим сетку Xd=f{xj | xj = j/10, j G Z}. Функции u-5(t), u-4(t), ..., u0(t), u1(t) изображены на рис, 1, их нормализованный вид показан на рис, 2,

Теперь исходную сетку X дополним новым узлом и па полученной таким образом сетке X рассмотрим 1> -сплайны Z0j(t). Пусть £ — упомянутый новый узел, £ £ (0,1/10), £ = 1/20, а — узлы вновь полученной сетки:

Xj = Xj при j < 0, х\ = £ = —, Xj = Xj-1 при j > 2, X = {xj | j £ Z}.

20

Для сетки X функции cj_5(í), cj_4(í), ..., cj0(¿), ^i(í) построены па рис, 3,

\ 25 ~

\ \ /\ 20~

\ \ м~

/ А 1 5-

0,7-

1 I 1 0,5-

ill /0,3"

lJ V 0,2]

\ /\0,l/

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Для t б [-1/2,1/2] справедливы калибровочные соотношения (см. (3.2)-(3.6) для k = 0):

ujjit) = TDj(t) при j < —4, ujjit) = сJj+i(t) при j > 1, Сj-3(t) = Lü-3(t) + p_3 -2^-2(i), = p-2,-2^-2(i) + P-2,-lü7-l(i),

= p_i _icJ_i(i) +p_i)0ö7o(i), =po,oWo(i) + Ü7i(i),

где

p-3,-2 = 0.06555766782, p_2>_2 = 0.3146550180, p-2>-1 = 0.06260940193,

p_i,_i = 0.06555770088, p_1>0 = 0.3099112440, p0,0 = 0.07105152915.

Построим на новой сетке X функции u_5{t), ..., u1(t), используя упомянутые выше калибровочные соотношения. На рис. 4 функции u_5{t), ... ,u1{t) изображены жирными линиями, а функции С<7_5(t), ... ,оЗ\ (t) — тонкими линиями.

Список литературы

[1] Демьянович Ю.К., Макаров A.A. Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов // Пробл. мат. анализа. Вып. 34. Межвуз. сб. / Под ред. H.H. Уральцевой. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2006. С. 39-54.

[2] Демьянович Ю.К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения // Докл. РАН. 2005. Т. 401, № 4. С. 1-4.

[3] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. Я.М. Жилейкина. М.: Мир, 2005. 671 с.

Поступила в редакцию 20 февраля 2008 г.