Моделирование изменения концентрации физиологически активного вещества внутри замкнутых помещений Текст научной статьи по специальности «Математика»



ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Г. В. Ганин

канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра классической математики, ФГБОУ ВПО «Государственная классическая академия имени Маймонида»

Е.Л. Сандригайло

преподаватель, кафедра современных технологий программирования, ФГБОУ ВПО «Государственная классическая академия имени Маймонида»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИ АКТИВНОГО ВЕЩЕСТВА ВНУТРИ ЗАМКНУТЫХ ПОМЕЩЕНИЙ

Аннотация. В работе рассматривается динамика изменения концентрации физиологически активного вещества как внутри зарытого помещения, так и внутри нескольких закрытых помещений, имеющих общую приточно-вытяжную вентиляцию. Предложено общее дифференциальное уравнение массового баланса для примеси. С помощью функции Грина решение задачи представлено в интегральной форме. Рассмотрены случаи пролива, мгновенного выброса физиологически активного вещества в виде пара или газа, кратковременного действия физиологически активного вещества внутри закрытого помещения, имеющего приточно-вытяжную вентиляцию. Получены выражения, позволяющие рассчитать динамику изменения концентрации в помещениях.

Ключевые слова: физиологически активное вещество, концетрация.

G.V. Ganin, Maimonides State Classical Academy

E.L. Sandrigaylo, Maimonides State Classical Academy

MODELLING OF CHANGES OF PHYSIOLOGICALLY ACTIVE SUBSTANCE CONCENTRATION

INSIDE OF CLOSED ROOM

Abstract. This work is dedicated to the studying of the changes of the dynamics of physically active substance concentration both inside of excluded room and inside several closed rooms that have one common channel induced air draft. The differential equation of mass balance is derived for touches. The solution of the equation is presented in the integral form with the help of Green function. As well, the cases of channel and instantaneous flow of physically active substance are viewed in a form of gas or steam and the case of the short-term flow of physically active substance inside a closed room as well where combined extract and input ventilation has a place. So as a result the expressions are derived to estimate the changes of the dynamics of concentration in the rooms.

Keywords: physically active substance, concentration.

В настоящее время научно-технический прогресс сопровождается ухудшением аварийной обстановки в результате функционирования опасных химических объектов и объектов атомной промышленности. С другой стороны, по-прежнему остаются угрозы, связанные с террористической деятельностью отдельных диверсионных групп. В связи с этим актуальными становятся задачи по оценке изменения во времени концентрации вредных примесей как в атмосфере в результате аварий на промышленных объектах, так и в воздухе помещений (закрытых объемах).

Настоящая работа посвящена решению задач, связанных с определением изменения во времени концентрации поллютанта как в отдельных помещениях при различных аварийных ситуациях, так и связанных общей приточно-вытяжной вентиляцией

двух замкнутых объемах.

Рассмотрим схему потоков внутри вентилируемого помещения, схематически представленную на рис. 1. Согласно этой схеме запишем уравнение массового баланса для примеси.

и ,Са(х,0 и, С®

ст

л тт

Рисунок 1 - Общая схема потоков

Уравнение массового баланса будет иметь вид и • С0(х, /) • а + тЕУ • Я = V • 6С + таЬ5 • с№ + и • С • Я (1)

или

и • Со(х,/) • с/ + K£V • Л£V • 61 = V • 60 + Уа,Ьз • С • Ааьэ • * + и • С • 61 , (2)

где и - скорость воздушного потока, подаваемого в помещение [ м3 / с ];

С0(х, /) - концентрация физиологически активного вещества (здесь и далее

ФАВ) в воздухе, поступающем в помещение [ кг / м3]; / - время [с];

V - объем помещения [м3 ];

mEV = VEV • AEV ,

т^ - количество испаряющегося в единицу времени внутри помещения вещества [ кг / с ];

V^ - масса вещества, испаряющегося с единицы поверхности пролива в единицу времени [кг/(м2 • с)];

А^ - площадь поверхности испарения [м2];

таЬв = ^Ьз • АаЬв • С ,

ть - поток абсорбируемого в единицу времени вещества [ кг / с ];

vabs - скорость абсорбции [м/с];

АаЬз - поверхность абсорбирующего материала [м2 ];

С - концентрация ФАВ [кг/м3].

+ п • С = п„ • С0(х,О + . (3)

Проводя подстановку пу = и / V; паЬз = УаЬ$ , получаем

П = ^ + ПеЬэ .

Теперь уравнение (2) можно преобразовать к виду:

дС „ „ , .. уЕи • Ае

— + п • С = пу ■ С0(х, t) + —е

Решение уравнения (3) может быть получено с использованием функции Грина, которая для однородного дифференциального уравнения

— + п • О = 0 , при t = т, О = 1

Л к

имеет вид

О^ — т) = 0 при t <т,

— т) = е п('—т) t >т.

С помощью функции Грина решение задачи (1) может быть записано в интегральной форме. При этом в зависимости от постановки задачи, для получения математической модели и решения, описывающего временное распределение концентрации ФАВ в вентилируемом помещении, уравнение (3) следует дополнить различными начальными условиями.

Рассмотрим различные сценарии, возникающие при описании математической модели в различных ситуациях.

1. Пролив ФАВ в закрытом вентилируемом помещении.

Пролив ФАВ в закрытом вентилируемом помещении характеризуется наличием действующего в течение периода времени Т источника эмиссии поллютанта. В этом случае математическая модель, описывающая временное распределение концентрации внутри помещения в период испарения, имеет вид:

¿С+ пС = 4*^, (4)

т V

С = 0 при t = 0, 0 < t < Т. Тогда решение уравнения (4) имеет вид:

С ^) = (1 — е-п'). (5)

п V

Математическая модель, описывающая изменение концентрации поллютанта в помещении после прекращения испарения, т.е. при t > Т, имеет вид:

— + пС = 0, (6)

Л

при условиях СЦ) = Уеу ' Аеу (1 — е-пТ) при t = Т, t > Т .

п V

Решение уравнения (6) имеет вид:

Ср) = ^ 'А^ (1 — е-пТ) • е-п('Т). (7)

п V

Графическое изображение зависимостей (5) и (7) дано на рис. 2. На рисунке хорошо видно, что концентрация на интервале времени 0 < t < Т монотонно возрастет, в соответствие с зависимостью (5), и на интервале t > Т монотонно убывает, в соответ-

ствие с зависимостью (7).

Рисунок 2 - Изменение концентрации при проливе в замкнутом вентилируемом помещении

2. Мгновенный выброс ФАВ в виде газа или пара в закрытом вентилируемом помещении.

В частном случае, если в момент времени / = 0 в вентилируемом помещении происходит выброс поллютанта в парообразном (газообразном) состоянии, справедлива математическая модель

^ + пС = М- 0), (8)

а V

где М - масса поллютанта [кг], 6() - дельта функция Дирака [1/с].

Решение уравнения (8) имеет вид:

С(/) = Vе. (9)

График этой функции подобен «ниспадающей» части кривой на рис. 2.

3. Кратковременный выброс ФАВ в виде газа или пара в закрытом вентилируемом помещении.

Кратковременный выброс ФАВ в закрытом вентилируемом помещении характеризуется наличием действующего в течение периода времени Т источника эмиссии поллютанта интенсивностью т [ кг / с ]. В этом случае математическая модель, описывающая временное распределение поллютанта внутри помещения в период действия источника, имеет вид:

6С_

а

пС = тМ1 • 6/

V

С = 0 при / = 0, 0 < / < Т .

Решение уравнения (10) можно записать в следующем виде:

(10)

C(t) = jG(t - т) • ^ = V }е-"<'-т) • m(r)dr. (11)

0 V V 0 В частном случае, когда интенсивность эмиссии поллютанта m(t) = const, решение (11) принимает довольно простой вид

C(t) = -m- (1 - e-nt), 0 < t < T. (12)

n-V

Математическая модель, описывающая изменение концентрации поллютанта в помещении после прекращения действия источника, т.е. при t > T, имеет вид:

— + nC = 0. (13)

dt v '

Начальными условиями уравнения (13) будут следующие условия: 1 Т

С = -1 e-n(Т—т]т{т)б(т) при t = Т, t > Т .

0

Решение уравнения (13) имеет вид:

e-n(t-T) t

C(t) = --J e-n(t-T)m(r)dr. (14)

V T

В частном случае, когда интенсивность эмиссии поллютанта m(t) = const, решение (14) имеет вид:

C(t) = — (1 - е-nT )• е-n(t-T), t > T. (15)

n-V

Графическое изображение зависимостей (12) и (15) аналогично рис. 2

4. Изменение концентрации ФАВ во времени внутри двух закрытых поме-щениий, имеющих общую поточно-вытяжную вентиляцию.

Рассуждения, приведенные выше, справедливы и для случаев, когда рассматриваются два закрытых объема, имеющих общую приточно-вытяжную вентиляцию. Изменения концентрации в первом объеме V, будут аналогичны ранее рассмотренным случаям. В этом разделе рассмотрим изменения концентрации во времени во втором объеме V2 при изменении концентрации ФАВ в объеме V.

4.1. Изменение концентрации во времени в двух закрытых объемах, имеющих общую приточно-вытяжную вентиляцию, при проливе ФАВ в первом объеме.

При проливе ФАВ в объеме Ц изменение концентрации в объеме V2 также будут иметь место два периода времени. Период испарения ФАВ (0 < t < T), и период после испарения (t > T).

В первый период изменение концентрации в объеме V2 будет описываться выражением, имеющим вид:

+ n2C = nv -C0(x,t), (16)

dt 2

где Q)(x, t) = K£V1 [1 - e-n1 ], 0 < t < T.

Начальным условием для уравнения (16) будет С = 0 при ' = 0. Решение уравнения (16) можно записать следующим образом

С(') = {С(Т-г)• п,2 • Со(х,г)сТ = |е-Л2((-т) • п,2 • Со(х,т)Ст =

д Г 0 1 (17)

^ • ^ • П/ • Г -1 [1 - е-п] + • [е- - е-2' ] 1.

п/ {П2 п1 - П2 ]

Во второй период изменение концентрации в объеме /2 будет описываться выражением, имеющим вид:

СС + П2С = П/ • Со(х,'), (18)

ат

где Со(х, ') = Ущ '/в/ (1 - е ~пТ) • е^, ' > Т. П1 • /1

Начальным условием для уравнения (18) будет следующее: при ' = Т,

С = ^ • • П/2 • I.1 [1 - е-П2Т ] + --[е-П1Т - е-П2Т ] 1.

П/ {П2 П1 - П2 ] Решение уравнения (18) можно записать в виде

С(') = {С(Т-ТП/2 • Со(х,т)Ст = |е-П2((-т) • П/2 -Со(х,т)Ст =

АТ Г Т ! (1®) ^ Ае/1 П/2 •1-1[е-П2(Т-Т) -е-П2Т] + —1—[(е-п2('-Т) -е-П-Т))(1 -епТ) + е-П2'(е-(п--П2)Т -1)]1 П/ {П2 П1 - П2 ]

4.2. Изменение концентрации во времени в двух закрытых объемах, имеющих общую приточно-вытяжную вентиляцию, при мгновенном выбросе ФАВ внутри первого объема.

При мгновенном выбросе ФАВ в первом объеме математическая модель, описывающая изменение концентрации поллютанта во втором объеме по времени имеет вид:

^ + П2С = П/2 • Со(х,'), (2о)

ат 2

где Со(х,') = Ме~.

Начальным условием уравнения (2о) будет следующее соотношение: С = о при ' = о.

Решение уравнения (2о) можно записать в виде

С(') = |С(Т-т)• П/2 • Со(х,т)Ст = |е-П2('-т) • П/2 • Со(х,т)Ст:

о о (21) М • а, ' '

/2 . [е-- е П2 ]

/ • ( П2 - п 1)

4.3. Изменение концентрации во времени в двух закрытых объемах, имеющих общую приточно-вытяжную вентиляцию, при кратковременном выбросе ФАВ в первом объеме.

При кратковременном выбросе ФАВ в объеме / изменение концентрации в

объеме V2 также будут иметь место два периода времени. Период, в течение которого происходит эмиссия поллютанта в объеме Ц интенсивностью т [кг/с] (0 < t < Т). В этом случае математическая модель, описывающая временное распределение поллютанта внутри объема У2, имеет вид:

+ = Пу •Со1(х,t), (22)

ш

где С01(х, t) = V }е-ni(t-т) m(r)dr.

Vio

Начальным условием уравнения (22) будет следующее условие: при t = 0, С = 0. В частном случае, когда интенсивность эмиссии поллютанта m(t) = const,

Coi( X, t) = —— (1 - e-nii). ni' Vi

Общий вид решения уравнения (22) принимает следующее выражение:

С (t) = fG(t -т)' nV2-Coi(x,T)dT = \e-n2(t-T n2 • Coi( x,r)dr. (23)

0 0

Для частного случая, когда m(t) = const, выражение (23) упрощается и имеет вид:

m^nV f i , i , , ]

C(t) =-^ • \-L'[i - e n ] + —L_ [e-ni - e^ ] I. (24)

ni 'Vi I n2 ni - n2 J

Во второй период, когда эмиссия поллютанта в объеме V, заканчивается, изменение концентрации в объеме V2 будет описываться выражением, имеющим вид:

dC + n2C = nV2 •Ca2(x,t), (25)

dt

e-ni(t-T) т

где C02(x_t) = V f e-ni(t-T)m(r)dr, t > T.

Vi 0

В частном случае, когда эмиссия поллютанта m(t) = const

MX, t) = jm-(i - e-niT) • e-ni(t-T), t > T. ni • Vi

Начальным условием для уравнения (25) будет следующее: при t = T,

C = f e-n2(i-T)nvC0,{ x,T)d (т).

0

Для частного случая m(t) = const при t = T начальное условие определяется

соотношением:

m^nV f i T i T T ]

C =-^ • \ — • [i - e n2T ] + —L_ [e-niT - e-n2T ] L

ni V {n2 ni - n2 J

Решение уравнения (25) можно записать в виде

C(t) = fG(tnV2 -C0(x,r)dr = fe-n2(f-T) n2 •C02(x,r)dr. (26)

T T

В частном случае, когда m(t) = const, решение уравнения (26) имеет вид: 30 № 4 (20) - 2013

C(t) = \—[e-n2{t-T) -e] + —1—[{e-"2{t-T) -e~"1<i-r))(1 -e"T) + e~"2'(e4n -"2>r -1)]!. (27)

nV I "2 n-- "2 J

Таким образом, в ходе исследования были получены зависимости, определяющие изменения концентрации ФАВ внутри замкнутых помещений для различных сценариев, возникающих при аварийных ситуациях. Полученные результаты могут быть использованы для составления программ расчета и получения количественных результатов динамики изменения концентрации.

Список литературы:

1. Горский В.Г. и др. Научно-методические аспекты анализа аварийного риска. М.: Экономика и информатика, 2002. - 260 с.

2. Детков С.П. и др. Охрана природы нефтегазовых районов. М.: Недра, 1994. -

336 с.

3. Допустимые выбросы радиоактивных и вредных химических веществ в приземный слой атмосферы. Под ред. Теверовского Е.Н., Терновского И.А. М.: Атомиздат, 1985. - 273 с.

4. Сеттон О. Г. Микрометеорология. Исследования физических процессов в нижних слоях атмосферы. Под ред. Лайхтмана Д.Л. Л.: Гидрометеоиздат, 1958. - 356 с.

5 .Ханна С. Р. Применение исследований в области турбулентности для моделирования загрязнений воздуха. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей. Под ред. Яглома А.М. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. - С. 281-314.

6. Briggs G.A. Diffusion Estimation for Small Emission, in Environmental Research Laboratories. Air Resources Atmospheric Turbulence and Diffusion Laboratory 1973 Annual Report ATDL-106, National Oceanic and Atmospheric Administration, 1974. - 59 pp.

7. Gifford F.A. Uses of Routine Meteorological Observations for Estimating Atmospheric Dispersion. Nuclear Safety, 1961, v. 2, № 4. - P. 47-57.

8. Methods for the Calculation of Physical Effects Resulting from Releases of Hazardous Materials (Liquids and Gases). TNO "Yellow Book", 2 Ed. Voorburg, 1992.

List of references:

1. Gorsky V.G. and others. Analysis of Accident Risk and Safety of Chemical Dangerous Facilities. (in Russian) Moscow. Economics and Informatics, 2002, 260 p.

2. Detkov S.P. and others The protection of the oil-and-gas districts environment. (in Russian), Moscow. Nedra, 1994, 336 p.

3. Permissible release of radioactive and harmful chemical substances into atmosphere. Editors Teverovsky E. H. And Ternovsky I. A. Moscow. Atomizdat. 1985. 273 p.

4. Sutton O.G. Micrometeorology: a study of physical processes in the lowest layers of the earth's atmosphere. Editor Lightman D.L. Leningrad. Hydrameteoizdat. 1958, 356 p.

5. Наnnа S. R. Applications in air pollution modeling. In Atmospheric turbulence and Air pollution modeling. Editor Yagloma A.M. Leningrad: Hydrameteoizdat. 1985, p. 281-314.

6. Briggs G.A. Diffusion Estimation for Small Emission, in Environmental Research Laboratories. Air Resources Atmospheric Turbulence and Diffusion Laboratory 1973 Annual Report ATDL-106, National Oceanic and Atmospheric Administration, 1974, 59 pp.

7. Gifford F.A. Uses of Routine Meteorological Observations for Estimating Atmospheric Dispersion. Nuclear Safety, 1961, v. 2, № 4, p. 47-57.

8. Methods for the Calculation of Physical Effects Resulting from Releases of Hazardous Materials (Liquids and Gases). TNO "Yellow Book", 2 Ed. Voorburg, 1992.