Моделирование инвестирования в инновационные технологии в условиях конкуренции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

СОВРЕМЕННАЯ ЭКОНМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИРОВАНИЯ В ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В УСЛОВИЯХ КОНКУРЕНЦИИ

ПЕРЕВАЛОВ К.В.,

аспирант,

кафедра математики и информационных технологий, Кисловодский институт экономики и права, e-mail: kiep_asy@mail.ru

Для исследования стратегических взаимодействий между фирмами в условиях конкуренции и неопределенности, предложена модель товарного рынка как дуополии Курно со стохастическим параметром спроса. Определены оптимальные стратегии фирм в замену существующих производственных мощностей новыми, вычислены ожидаемые моменты инвестирования и вероятности осуществления оптимального инвестирования в пределах заданных временных интервалов.

Ключевые слова: инвестиции; инновации; оптимизация; моделирование.

In order to capture the effect of strategic interactions among the firms operating in an imperfectly competitive and uncertain environment we model the product market as a Cournot duopoly with a stochastic demand parameter. The optimal replacement strategies are determined, the expected replacement timing and the probabilities of making optimal replacement within given time interval are calculated.

Keywords: investments; innovations; optimization; modeling.

Коды классификатора JEL: D92, O32.

Активизация инвестиций в производственный капитал и особенно в инновационные технологии является одной из приоритетных стратегий роста национальной экономики России на современном этапе. Определение условий оптимального инвестирования и характер влияния на них неопределенностей, присущих экономическим процессам, является значимой задачей для экономико-математического моделирования. Возможности инвестиций в реальный капитал, в отличие от финансовых инвестиций, редко предоставляются отдельному предприятию в информационной изоляции. Большинство инвестиционных проектов в отрасли открыты для фирм с конкурирующими инвестиционными интересами. В таких случаях выбор момента инвестирования становится для фирмы ключевым стратегическим вопросом [3, 1].

© Перевалов К.В., 2010

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

В работе построена непрерывная по времени модель инвестирования, в которой фирма принимает решение о замене существующих производственных мощностей новыми, более эффективными и экономичными. Предполагается, что на товарном рынке имеются две конкурирующие идентичные фирмы, функционирующие в условиях неопределенности спроса и несовершенной конкуренции. Определены оптимальные стратегии фирм в замену существующих производственных мощностей новыми, вычислены ожидаемые моменты инвестирования и вероятности осуществления оптимального инвестирования в пределах заданных временных интервалов.

В условиях совершенной конкуренции или монополистической рыночной структуры современная теория инвестирования в условиях неопределенности предсказывает, что интервал времени до момента осуществления инвестирования увеличивается с ростом неопределенности. Это объясняется тем, что инвестирование необратимо, и фирма имеет возможность (опцион) откладывания момента инвестирования до появления новой информации. Однако, если (i) один и тот же инвестиционный проект могут осуществить две фирмы (несколько фирм) и (ii) инвестиционные решения фирмы непосредственно влияют на прибыли конкурентов, могут возникнуть ситуации, когда увеличение неопределенности влияет на момент инвестирования противоположным образом. Для того, чтобы исследовать влияние стратегических взаимодействий между фирмами, функционирующими в условиях несовершенной конкуренции и неопределенности, предложена модель товарного рынка как дуополии Курно со стохастическим параметром спроса. Обратная линейная функция спроса имеет вид p(t) = A(t) - Q(t), где A(t) есть мера объема спроса, а Q(t) — полное количество товара, поставляемого на рынок. Для каждого момента времени te[0,<»] p(t) представляет собой цену товара (услуги), предлагаемого фирмой, и может интерпретироваться как мгновенный денежный поток в расчете на единицу проданного товара. Прибыли фирм описываются геометрическим броуновским движением [2]

(IA(i)= oA(i yit + oA(t (1)

где — мгновенная тенденция (тренд стохастического винеровского процесса (1)), — мгновенное среднее квадратическое отклонение (волатильность), dw(t) — приращение винеровского процесса.

Первоначальные постоянные предельные издержки производства единицы товара составляют K, а внедрение новой технологии снижает эти издержки до к. Для того, чтобы начать использовать новые производственные мощности, фирма i должна понести невозвратные затраты I. Мгновенные прибыли фирмы

i, (соперничающая фирма обозначается j, j i) определяются следующим об-

разом

к00 = -(А~кУ,п'° =-(A + K-2kJ, я01 =-(А-2К +kj,n" = -(A-kJ. <) ч ч Ч (2)

Верхний индекс 1(0) в выражениях для П обозначает фирму, которая произвела замену (не произвела замену) существующих производственных мощностей (индекс I обозначает рассматриваемую фирму, а] — конкурирующую фирму). Из соотношений (2) нетрудно установить, что выполняется цепочка неравенств я111 > л11 > к00 > л01. Прибыль единственной фирмы, осуществившей замену производственных мощностей более эффективными, выше, чем прибыль фирм в ситуации, когда обе конкурирующие фирмы осуществили такую замену. В свою очередь прибыль л11 превосходит прибыль идентичных фирм, осуществляющих свою деятельность при прежней технологии, а прибыль л00 выше прибыли фирмы, не осуществившей замену производственных активов, в то время как вторая фирма провела такую замену.

Существуют три возможности осуществления фирмой I инвестирования относительно решения конкурента (фирмы ]). Во-первых, фирма может инвестировать раньше фирмы I и тем самым стать лидером. Напротив, фирма ] может инвестировать раньше фирмы I, и фирма I становится последователем. Наконец, обе фирмы могут инвестировать одновременно. Доказано, что оптимальные инвестиционные пороги фирмы-последователя и одновременного инвестирования возрастают с ростом неопределенности.

Стандартным подходом, используемым для решения динамических игр, является метод обратной индукции по времени. Поэтому начнем с определения оптимальной стратегии фирмы-последователя. Далее будет проанализировано оптимальное инвестиционное решение фирмы-лидера. Затем будет обсужден случай, когда инвестирование осуществляется одновременно. Рассмотрим фирму, которая осуществляет замену существующих производственных мощностей второй (фирму-последователя). Поскольку другая фирма (фирма-лидер) уже осуществила замену производственных мощностей, решение последователя о замене не испытывает воздействий стратегических взаимодействий (последователь выбирает свой оптимальный порог в условиях, когда роли фирм предопределены). Из (2) получаем, что после замены производственных активов лидером стоимость фирмы-последователя в момент г осуществления инвестирования фирмой-лидером равна

(3)

где Е — оператор математического ожидания, Т — случайное время остановки, связанное с заменой производственных мощностей последователем. Первое слагаемое в выражении (3) представляет собой ожидаемый дисконтированный денежный поток, получаемый до замены производственных мощностей. В момент Т последователь осуществляет замену и с этого момента производит при более низких предельных издержках к. Ожидаемый дисконтированный денежный поток после замены производственных мощностей описывается вторым слагаемым и в (3).

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

Рассмотрим оптимальную стратегию замены производственных мощностей фирмой-последователем. В задачах инвестирования рассматриваемого типа существует пороговое значение стоимости опциона инвестирования А, при котором фирма безразлична между инвестированием и отказом от инвестирования. Следовательно, стоимость фирмы максимизируется, когда замена производственных мощностей имеет место, как только А превосходит это пороговое значение. Записывая уравнение Беллмана, соответствующее максимизации (3), решая полученное дифференциальное уравнение и применяя условия непрерывности и гладкого склеивания к решению, получаем оптимальное пороговое значение стоимости опциона инвестирования, соответствующее замене производственных мощностей

(4)

Определены типы равновесия игры двух фирм, сформулированной в рамках теории реальных опционов. Показано, что для фирм оптимально заменять свои производственные мощности последовательно, когда связанные с этим издержки относительно низки, и одновременно — в противном случае.

Согласно классической теории реальных опционов, по мере роста неопределенности спроса для фирмы оптимально отложить инвестирование до повышения уровня спроса. Однако в стратегической постановке фирма должна принимать во внимание также взаимодействия на товарном рынке, которые могут существенно снизить гибкость решения в выборе момента инвестирования. Исследовано влияние волатильности спроса на оптимальный порог инвестирования фирмой-последователем в замену производственных активов и оптимальный порог при одновременном инвестировании обеих фирм. В этих случаях оптимальное пороговое значение, соответствующее инвестированию Аорг, может быть выражено следующим образом:

л°" =ф-Г(1,К,к,г,а.)

Э, -1

Анализ показывает, что в рассматриваемом случае инвестиционный порог возрастает с ростом неопределенности. Оптимальное пороговое значение, соответствующее инвестированию Уор‘, может быть выражено следующим образом:

г" =-гЧ/М.*.г.“), р! -1

где р.

положительным корень уравнения

-сгр(р -1)+оф -г-0.

Проверка показывает, что

дуор'

д(а2) (р,-!)2

f(l,K,k,r, a)S^y>0

(5)

так что оптимальные инвестиционные пороги фирмы-последователя и одновременного инвестирования возрастают с ростом неопределенности. В случае решений фирмы-последователя ее конкурент уже произвел замену производственных мощностей. Поэтому последователю остается только выбирать оптимальный момент инвестирования. Поскольку фирма-лидер уже приняла решение, стратегические решения в этой ситуации роли не играют.

Выяснено влияние волатильности на оптимальный инвестиционный порог ZL(V) фирмы-лидера. Оптимальный порог инвестирования фирмы-лидера равен max где Vе — наименьший корень уравнения

1(f) /'(>'') /"V') 0. Для выяснения влияния неопределенности рынка на VP вычислим производную от функции Z(V) по а, которая может быть представлена в следующем виде:

d%(v) +si(v)dvF

ар,

эффект опциона у инвестирования

8VF i/p,

стратегический эффект у

(б)

(V — оптимальное пороговое значение V, соответствующее фирме-

последователю). Производная

Эр, да

непосредственно измеряет влияние

неопределенности рынка на Z(V), т.е. на чистую выгоду фирмы от пребывания

d^(y)dV‘

в роли лидера. Произведение

dVF i/p, д^2)

отражает влияние на чистым

выигрыш фирмы от пребывания в роли лидера того факта, что оптимальный инвестиционный порог последователя растет с ростом неопределенности. Доказано, что имеют место неравенства

(7)

с%(у) ар, а|(^Г ар, ар, а(т2) ' дУр с/р, ар) *

На первый взгляд, совместное влияние обоих эффектов неоднозначно. Первое неравенство (7) представляет простой смысл аргумента ожидания: если неопределенность велика, предпочтительнее ждать появления новой

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

информации до замены существующих производственных мощностей. Следствием более позднего инвестирования фирмой-последователем для фирмы-лидера является то, что лидер имеет ценовое преимущество в течение большего интервала времени. Это делает более раннее инвестирование лидером потенциально более выгодным. Этот эффект описывается вторым неравенством (7), левая часть которого поэтому может интерпретироваться как приращение в стратегической стоимости стать лидером, обусловленное откладыванием фирмой-последователем реализации стратегии замены производственных мощностей. Анализ показал, что прямой эффект, описываемый первым неравенством (7), доминирует, независимо от значений входных параметров. Доказано, что с ростом неопределенности на товарном рынке барьерное значение спроса, при котором фирма-лидер осуществляет инвестирование в замену производственных мощностей, также возрастает. Из этого утверждения можно заключить, что качественная зависимость порога инвестирования лидера от волатильности подобна зависимости инвестиционного порога от волатильности в нестратегической постановке, т.е. порог инвестирования возрастает с ростом неопределенности (т.е. с ростом волатильности). Причина этого результата состоит в следующем. Во-первых, в построенной модели учитывается возможность откладывания инвестирования в замену производственных мощностей. Увеличение неопределенности повышает прибыльность замены производственных мощностей лидером (поскольку последователь производит такую замену позже), однако стоимость опциона инвестирования повышается еще больше. Во-вторых, неопределенность могла бы быть выгодной для более ранней замены производственных мощностей в силу выпуклости функции чистой прибыли. Однако в рассматриваемой модели функция чистой прибыли всегда линейна по стохастической переменной А. Если лидер инвестирует, поток прибыли л00 заменяется потоком прибыли из выражений (3) и (4) очевидно, что разность п10 - л00 линейна. То же самое справедливо для инвестирования последователя (разность п11 - л00 линейна) и одновременного инвестирования (разность п11 - л00 линейна). Для выяснения вопроса о том, может ли выпуклость функции чистой прибыли влиять на получаемые решения, нами рассмотрена ситуация, когда обе фирмы имеют возможность начать производство на новом рынке (в отличие от ситуации, рассмотренной ранее, в этом случае фирмы сначала неактивны и могут начать получать прибыль только после несения невозвратных издержек I). Доказано, что и в этом случае неопределенность повышает пороговые значения рыночного спроса, при котором для фирм оптимально инвестировать. Кроме того, результирующая выпуклость функций выигрыша не только повышает инвестиционные пороги фирм, но также приводит к возникновению областей параметров, в которых инвестирование не оптимально.

Проанализировано влияние неопределенности и стратегических взаимодействий фирм на оптимальный момент инвестирования. Хотя пороговое значение инвестирования и момент инвестирования взаимосвязаны, в общем случае нельзя заключить, что зависимость между этими характеристиками мо-

нотонна. Установлено, что ожидаемое время инвестирования фирмы в замену производственных мощностей растет с ростом неопределенности благодаря двум эффектам:

(8)

Во-первых, для любого данного инвестиционного порога связанное с ним ожидаемое время до момента оптимальной остановки (оптимального момента инвестирования) возрастает с ростом неопределенности (см. первую составляющую правой части в выражении (8)). Во-вторых, для фиксированного уровня неопределенности увеличение оптимального инвестиционного порога приводит к увеличению ожидаемого времени для достижения этого порога (см. вторую составляющую в правой части выражения (8)). Основываясь на анализе неравенства (8), можно заключить, что, когда инвестиционный порог увеличивается благодаря большей неопределенности, ожидаемое время до момента оптимального инвестирования также увеличивается.

Альтернативный подход для измерения влияния неопределенности на оптимальный момент инвестирования состоит в установлении вероятности, с которой оптимальный инвестиционный порог достигается в пределах временного интервала заданной длины т. В противоположность ожидаемому моменту оптимальной остановки этот подход не накладывает никаких ограничений на значения а. Знание вероятности оптимальной замены производственных активов в пределах заданного интервала особенно полезно, если этот интервал совпадает с бюджетным периодом. Кумулятивную функцию распределения времени остановки можно записать следующим образом

Р(Т <т)=Ф

-1п —+ | а —а

Гл/г

+

Ф

- 1п ——I а ——а

г л/х”

(9)

где Т — время достижения оптимального порога инвестирования, а Ф — стандартная функция нормального распределения Лапласа. Производная (1 ^ < т ^

да

не имеет постоянного знака, и поэтому можно показать, что неопределенность может оказывать как положительное, так и отрицательное влияние на вероятность достижения оптимального порога инвестирования в пределах заданного времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аркин В.И., Сластников А.Д., Аркина С.В. Инвестирование в условиях неопределенности и задачи оптимальной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 1. С. 3-33.

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 2 Часть 2

2. Наталуха И.Г. Стратегии оптимального хеджирования инфляционного риска в стохастических инвестиционных условиях // Финансы и кредит. 2006. № 9 (213).

3. Dixit, A.K., Pindyck, R.S. Investment under Uncertainty. Princeton: Princeton University Press, 1996.