Моделирование интервала неопределенности внутренней нормы доходности инвестиционного проекта Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

10 (100) - 2012

Математические методы анализа

в экономике

УДК 519.86:330.322.54

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВНУТРЕННЕЙ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА

В. А. БЫВШЕВ,

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования экономических процессов Е-mail: vbyvshev@mailfrom. ги

М. Ю. МИХАЛЕВА,

кандидат экономических наук, доцент кафедры математического моделирования экономических процессов Е-mail: mariah. mikhaleva@mail. ш Финансовый университет при Правительстве РФ

В работе предложена модель, позволяющая рассчитывать интервал неопределенности для количественной оценки внутренней нормы доходности инвестиционного проекта (IRR). Данная модель позволяет проводить отбор инвестиционных проектов для последующей реализации, сравнивая ставку дисконтирования денежных потоков не с осредненной величиной IRR, а с ее минимальным возможным значением.

Ключевые слова: инвестиционная деятельность, риск, проект, внутренняя норма, доходность, IRR, эффективность.

Величина внутренней нормы доходности IRR является случайной, поскольку эффективность ин-

вестиционного проекта, как правило, оценивается в условиях неопределенности развития событий в будущем. Поэтому, оценивая максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть понесены при реализации инвестиционного проекта, необходимо сравнивать ставку дисконтирования денежных потоков не с осредненной оценкой внутренней нормы доходности IRR (internal rate of return), а с ее нижней границей. Как рассчитать интервал неопределенности для случайной величины IRR и оценить ее минимальное возможное значение? Ответу на этот вопрос посвящена данная статья. Для того чтобы сделать изложение решения представленной проблемы последовательным, начнем с определения инвестиционного проекта.

Математические методы анализа в экономике

10 (100) - 2012

Определение инвестиционного проекта прямо пропорциональна величине

Инвестиционным проектом (ИП) называется временной план инвестирования денежных средств в некоторый актив и генерируемых в ответ этим активом денежных доходов. Если буквой T обозначить отрезок времени существования актива, символом t = 0,1, 2,..., T обозначить относительные моменты времени, в которые от инвестора в актив исходят инвестиции в количестве COFt, а от актива инвестору поступают денежные средства CIFt, то под инвестиционным проектом можно понимать множество {COFt, CIFt }T=0. Добавим, что разность

cf = CIF - COF,

именуется консолидированным денежным потоком за период t [2, с. 253], и часто инвестиционным проектом называют множество

P = {CF0, CF,..., CFt }. (1)

Стандартные критерии оценки инвестиционных проектов

Рассмотрим стандартные критерии оценки ИП, расположенные в общепринятом порядке их значимости.

1. Чистая текущая стоимость, NPV

т CF

NPV = 1-^*—,

£0 (1+г )t

где г - коэффициент дисконтирования, в качестве которого обычно принимается средневзвешенная цена капитала инвестора [1, с. 5] г = WACC.

2. Внутренняя норма окупаемости, IRR

NVP( IRR) = 0. Подчеркнем, что инвестиционный проект признается пригодным для реализации, если соответствующий ему коэффициент дисконтирования г. удовлетворяет неравенству

г < IRR. (2)

Построим для величины IRR интервал неопределенности

IRR~< IRR < IRR+, (3)

и, в соответствии с этим интервалом, авторский принцип отбора инвестиционных проектов во множество допустимых проектов будет базироваться на неравенстве

г < IRR-. (4)

Добавим, что длина интервала неопределен-

ности

d = IRR+ - IRR-

(5)

7х"

R=

1

dNPVt

(6)

\NPV'(IRR)\ { dг

По этой причине количество R можно интерпретировать как одну из мер риска проекта. Более подробно взаимосвязь (5) и (6) обсудим далее.

Расчет интервала неопределенности величины IRR

Известно [2, с. 208], что элементы CFt будущего денежного потока (1) определяются в результате разработки бюджета капиталовложений. Поскольку будущее всегда неопределенно, элементы CF. оказываются приближенными величинами. Чтобы подчеркнуть данное обстоятельство, символ CF. сохраним за точным значением элемента денежного потока. В свою очередь, символом CFt обозначим известное приближенное значение величины CF Следовательно, при анализе инвестиционного проекта (1) из расчетов оказываются известными приближенные величины NPV(г) и IRR. Задача заключается в оценке точности величины IRR, т. е. в расчете ее средней квадратической ошибки oirr.

Справедливо следующее утверждение. Пусть элементы CFt консолидированного денежного потока (1) определены с относительной точностью 5 (например 5 = 0,05 или 0,1) и истинные ошибки At = CFt - CFt этих элементов попарно некорре-лированы. Тогда средняя квадратическая ошибка величины IRR определяется по правилу

(7)

0 RR = ^

где a =,

т

I

t =0

CF

(1 + IRR)

R =

dNPV. dг

= (1+iRR)-

1

i:

CFt

4t=0 (1 + IRR) Доказательство этого полезного для практики утверждения, которое базируется на методах эконометрики [3, с. 86], и пример применения формулы (7) приведем в следующем разделе. Здесь же воспользуемся его следствием.

Следствие 1. Границы простейшего интервала неопределенности внутренней нормы окупаемости (3) могут быть определены по правилу IRR- = IRR - a5R 1 IRR + = IRR + a5R Г

25

-i

2

-1

г=IRR

10 (100) - 2012

Математические методы анализа в экономике

Следствие 2. Отбор инвестиционных проектов целесообразно осуществлять согласно принципу (4), в котором риск учитывается лучше, чем в популярном принципе отбора (2).

Расчет точности IRR

Для вывода формулы расчета точности величины IRR введем обозначения.

т CF

1. f (r) = NPV = у-*— - истинная (безо-

t=о (1 + r )

шибочная) функция NPV аргумента r.

т CF

2 . f(r) = NPV = У-t—t

t=0 (1 + r)t

доступная для

расчетов функция NPV, отягощенная ошибкой

T A

Af(r) = f (r) - f (r) = 1;:-^ ^ t0 (1 + r)

где At = CFt - CFt - истинная неизвестная ошибка финансового потока CF

3. Символом r0 обозначим истинную величину IRR, т. е. о

Го = IRR :..f (ГО) = 0. (8)

В свою очередь, символом Г0 обозначим доступную для расчетов величину IRR, т. е.

Г° = IRR :...f(r) = 0. (9)

Следовательно, объектом исследования служит количественная характеристика girr истинной ошибки

Аго = Го - Го (10)

величины IRR

Гипотеза 1. Будем предполагать, что истинные ошибки А элементов CFt финансовых потоков по проекту являются центрированными и попарно некоррелированными случайными величинами, т. е.

E(At) = 0, cov(At, Ат) = 0

(11)

при t Ф т, и, кроме того, все элементы имеют одинаковую относительную точность 5 , т. е.

^ =5СР<, (12)

Авторы полагают, что известно значение |5|, которое далее будем обозначать символом 5 , что не должно приводить к недоразумениям. Например, если 5 = 0,1, то это значит, что финансовые потоки С^, по проекту, определены с точностью 10 %.

Гипотеза 2. В процессе вывода примем необременительное предположение, что

Т '(Го ) = г= Т' (Г, ) = . (13)

Вывод формулы расчета точности доступной внутренней нормы доходности IRR. В силу (8) и (9) справедливо равенство

f (Го) - f (Го) = 0.

Уменьшаемое в этом равенстве можем представить в виде

f (Го) = f (Го) + Af (Го), (14)

где Af (Г°) - истинная ошибка функции f(r) в точке r = r0 . В свою очередь, первое слагаемое в (14) запишем, рассуждая с учетом (10), в дифференциалах:

f (Го) = f (Го +Aro) = f (Го) + f(ro )Aro. (15) Теперь, учитывая в (14) выражение (15) и

равенства (8) и (9), находим f' (r0 )Ar° + Af (r0) = 0, или

Af (Г)

Ar = -■

f '(ro)

(16)

Формула (16) позволяет по правилам эконометрики [3, с. 85] получить правило расчета искомой величины с^ = Е (ДГ02):

2 °Wo)]

°IRR =

[f '(ro)]2 ' с учетом (11) и (12) получим:

G2[f (ro)] = E[Af (г )]2 =52 £

(17)

CFt 2

t=o (1 + Г )2t

= 52а2.

Принимая в знаменателе формулы (17) гипотезу (13) и учитывая равенство

f' (Г) = -

1

_T у tCFt

(1 + Г)о £ (1 + г )t

приведем (17) к следующему виду:

Girr = 5aR;

где R =

1 = Г

1 + IRR

f '(Г)

у;

tCF

т tCFt

у

41 + Го )t (1 + Го )t

Следствие. Величина R служит в условиях неопределенности мерой риска проекта, поскольку простейший интервал неопределенности для величины IRR имеет вид:

IRR~< IRR < IRR+,

где

IRR± = IRR -G

(18)

Интервал с границами (18) является доверительным интервалом, накрывающим существующее, но не известное экономисту значение IRR с вероятностью p ~ 0,68. Если вместо Gr в формуле (18) взять , то интервал с соответствующими

1

Математические методы анализа в экономике

10 (100) - 2012

границами накроет истинное значение IRR с вероятностью p « 0,95.

Расчет интервала неопределенности

В качестве примера рассмотрим региональный инвестиционный проект «Строительство первой очереди рудника «Пионер» [4].

Целью проекта является развитие добычи и создание мощностей для первичной переработки золотосодержащей руды на месторождении «Пионер» на территории Зейского и Магдагачинского районов Амурской области. Основные характеристики проекта представлены в табл. 1.

Ниже приводим денежный поток, имитирующий реальный денежный поток проекта и отвечающий основным, представленным в табл. 1, финансово-экономическим характеристикам (табл. 2).

Предположим, что данный поток был оценен с относительной точностью 5 = 10%. Вычислим интервал неопределенности для оценки внутренней нормы доходности IRR = 0,1955.

Промежуточные расчеты для интервала неопределенности представлены в табл. 3.

Из представленных в табл. 3 расчетов видно, что максимальная допустимая относительная IRR - WACC

ошибка 5max =-оценивания денежного

max aR

Таблица 3

Вычисление интервала неопределенности для случайной величины IRR инвестиционного проекта за 2009-2020 гг.

Показатель 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

t, номер года 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CFt -2 406 658 1 710 2 700 3 500 4 080 4 438 4 624 4 662 4 590 4 433 4 224

CFt (1+IRR) -2 013 460 1 001 1 322 1 433 1 397 1 271 1 108 935 770 622 496

h CFtt h (1+IRR) 8 801,988

R = 1 +IRR h CF,t t=0 (1+iRr) R = 1 + °,1955 = 0,000136 8801,988

f cf Y [ (1+iRR) J 4 050 263 52 988 111 282 109 188 82 159 54 246 32 993 19 186 10 782 5 923 3 195 1 705

a = . 1 h Г CFt 1 [_ (1+IRR) _ 2 a = ,/4533911 = 2129,298; onPv = a5 = 2129,298 x 0,1 = 212,93

Таблица 1

Основные количественные характеристики проекта

Показатель Значение

I, млн руб. 3 649,58

NPV, млн руб. 256

IRR, % 19,55

WACC, % 16, 46

BPI, доля 2,93

ET, % 0,46

E , ед. m' ^ 4 400

Таблица 2 Денежный поток инвестиционного проекта, млн руб.

Год Значение

2009 -2 406

2010 329

2011 570

2012 675

2013 700

2014 680

2015 634

2016 578

2017 518

2018 459

2019 403

2020 352

10 (100) - 2012

Математические методы анализа в экономике

Окоанчание табл. 3

Показатель 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

IRR~ = IRR -5aR IRR~ = 0,1955 - 0,1x 2129,298 x 0,000136 = 0,1666 - минимальное возможное значение IRR проекта (5 = 10%)

IRR+ = IRR +5aR IRR+ = 0,1955 + 0,1 x 2129,298 x 0,000136 = 0,2244 - максимальное возможное значение IRR проекта (5 = 10%)

5 IRR - WACC max = aR 0,1069 - максимальная допустимая точность (ошибка) оценивания денежного потока проекта означает, что если денежный поток оценен с ошибкой, превышающей данное пороговое значение, фактическое значение IRR может оказаться ниже ставки дисконтирования (WACC).

потока проекта не может превышать 10,69 %. Иначе коммерческая эффективность проекта может быть потеряна.

Выводы и рекомендации

В заключение сформулируем следующие выводы и рекомендации.

1. Величина внутренней нормы доходности, IRR, является случайной, поскольку эффективность инвестиционного проекта, как правило, оценивается в условиях неопределенности развития событий в будущем. Для оценки возможного отклонения фактического значения IRR от оцененного авторами предложен показатель

R =

dNPV. dr

который, по существу,

2.

может быть использован как мера риска проекта. Величина Я позволяет оценить нижнюю границу возможных значений внутренней нормы доходности.

При оценивании коммерческой эффективности инвестиционного проекта следует учитывать относительную точность 5 расчета денежных

потоков. Это значит, что, сравнивая ставку дисконтирования с внутренней нормой доходности проекта, необходимо ориентироваться на ее нижнюю границу, IRR-. Другими словами, при планировании инвестиционного проекта должно быть обеспечено такое качество бюджетирования, при котором коммерческая эффективность проекта будет сохранена при любом развитии событий. 3. Для расчета величины 5 необходимо проведение анализа чувствительности и анализа прогнозных сценариев реализации инвестиционного проекта.

Список литературы

1. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. М.: ЮНИТИ, 1997.

2. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. Т. 1. СПб: Экономическая школа, 1998.

3. Бывшев В. А. Эконометрика: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2008.

4. Строительство первой очереди рудника «Пионер». URL: http://archive. minregion. ru/OpenFile. ashx/090929_pioner. ppt?AttachID=3257.

r=IRR

ВНИМАНИЮ КРЕДИТНЫХИ СТРАХОВЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ !

Предлагаемпубликацию годовой и квартальной отчетности.

Стоимость однойпубликации — 8 000рублей (НДСнеоблагается) задве журнальные страницы формата A4.

Тел./факс:(495) 721-85-75 www.fin-izdat.rupost@fin-izdat.ru