CC BY
13
ЭЛЕКТРОНИКА, АВТОМАТИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА
УДК 621.372.011.72
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОГО УСИЛИТЕЛЯ В БАЗИСЕ
ФУНКЦИЙ ХААРА
© 2003 г. Е.А. Волков, А.Н. Капитанова
Существует большой класс устройств импульсной и цифровой техники, для которых основным является импульсное воздействие и характерны резко нелинейные режимы работы. Сложность нелинейных моделей и воздействия не позволяют без применения ЭВМ рассчитать все необходимые характеристики импульсного нелинейного устройства, получить информацию о таких свойствах сигналов, как формирование фронтов, срезов, задержка выходного сигнала по отношению к входному, форма рабочей части импульса. Расчет этих характеристик для импульсных систем путем решения систем нелинейных дифференциальных уравнений каким-либо из численных методов наталкивается на ряд существенных трудностей, связанных с выбором шага интегрирования, необходимостью расчета установившегося режима с использованием переходного, что требует увеличения ресурсов ЭВМ и ограничивает область применения численных методов.
Для анализа импульсных нелинейных систем предложен метод [1], позволяющий рассчитать отклик нелинейной инерционной цепи на импульсное воздействие с помощью определенным образом сформированных сигналов. Основными базисными функциями для такого анализа выбраны ортогональные функции, например Уолша, Хаара, Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра.
Метод позволяет найти стационарный режим системы, минуя переходной процесс, в том числе и для высокодобротных цепей, и обобщает известные методы, основанные на принципе гармонического баланса [2, 3]. Он позволяет свести систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических, решение которой гораздо проще и может быть найдено с использованием одного из численных методов, например метода Ньютона.
Целью данной статьи является рассмотрение результатов моделирования импульсного транзисторного усилителя с помощью предложенного метода в базисе кусочно-постоянных ортогональных функций Хаара.
Как известно, ортогональные системы специальных функций могут быть подобраны таким образом, чтобы требуемая точность представления обеспечивалась при минимуме членов ряда [4]. Этим требованиям наилучшим образом удовлетворяет базис функций Хаара [5].
Функции Хаара Наг(], 9) или н£и) (9) образуют
полную ортонормированную систему из N кусочно-постоянных функций, каждая из которых может быть определена своими выборками, сделанными в 2 равноудаленных точках 9Ь 92,... 9N отрезка [0,1). Каждая выборка соответствует имеющему постоянную величину участку функции Хаара. Базис Хаара может быть записан в виде квадратной матрицы N х N.
" Наг(1,1) Наг(1,2) ... Наг(1, N) Наг (2,1) Наг (2,2) ... Наг (2, Ы)
(H) n =
har (N ,1) har (N ,2) ... har (N, N)
(1)
Пусть на вход усилителя, представленного на рис. 1, подается биполярный импульс (как, например, на рис За или 4а), подобный импульсам, применяемым при передаче информации по электрическим кабелям связи с использованием биполярных кодов. Представим входное воздействие в(() в виде разложения по функциям Хаара:
N-1
е($) =1 Е; Наг(], 9), (2)
1=0
где Наг (1,9) - функция Хаара с номером
(] = 0, N - 1), переменной 9 е [0,1), N - размерность ортогонального базиса, 9 = t|T , Т - интервал ортогональности; Е1 - ]-й компонент вектора коэффициентов разложения внешнего воздействия е($) по системе
1
функций Хаара, Е: = | е(^Наг (1,9)^ 9.
E,
U „
© D
_C 4
100 пФ
Рис. 1. Электрическая схема усилителя
Составим эквивалентную схему анализируемого устройства (рис. 2), состоящую из линейных и нелинейных двухполюсников с сосредоточенными постоянными. В данной схеме транзистор представлен моделью Эберса - Молла [6], упрощенной исходя из того, что коллекторный р-п переход смещен в обратном направлении, т.е. при расчете учитываются нелинейная барьерная емкость коллектор - база Ctc и коллекторный управляемый напряжением источник тока 1С ; а эмиттерный р-п переход смещен в прямом направлении, т.е. существенное влияние оказывают нелинейная диффузионная емкость перехода эмиттер - база Cde и нелинейное сопротивление перехода эмиттер - база Rde; г - внутреннее сопротивление
источника входного сигнала U0 ; Я
bb
Re.
Rcc -
сопротивления соответственно базы, эмиттера и коллектора транзистора, Ек - ЭДС источника питания коллектора. Характеристики транзистора аппроксимировались следующими выражениями: ток эмиттер-
ного перехода Iэ = Iоэ
b0 ибэ л
e -1
; ток коллектор-
ного управляемого напряжением источника тока Iк = а1 э; диффузионная емкость перехода эмиттер -
база Cde = c0ee
b0U б
; барьерная емкость перехода
коллектор - база Ctc = С0С11 +
U.
бк /
Фт
I Z i i
I r
\
Ca
V ' R П
-, N4
TCr
JR ;
Рис. 2. Эквивалентная схема усилителя
Таким образом, получаем сложную нелинейную цепь, в которой каждый элемент представлен своей моделью. Объединим линейные элементы в линейные двухполюсники 22, 23 (см. рис. 2), каждый из которых описывается положительной вещественной функцией. Составим граф схемы рис. 2 [6], который содержит 3 узла и 4 ветви, и выберем фундаментальное дерево графа таким образом, чтобы в ветвях дерева были линейные элементы, а все нелинейные находились в хордах. Для данного графа можно найти матрицу главных контуров Вт , которая для выбранной модели усилителя имеет вид
BT =
-11 0 -11 0 -1 0 1 1 0 -1
Определив матрицу Вт , можно установить связь напряжений на элементах хорд с напряжениями на ветвях дерева
(3)
и
L = BTuT ,
где иь - вектор напряжений на элементах хорд; ит -вектор напряжений на элементах дерева, и связь токов в ветвях дерева с токами хорд
i T = BT i L :
(4)
где 1т — вектор токов в ветвях дерева; гь — вектор
*
токов элементов хорд; - знак транспонирования.
Для выбранной схемы связь токов хорд ¡ь = [г1; /2, /3, /4 ] с токами ветвей дерева (4) описывается уравнением
i1 i1 i2 i3 + l4
T = i2 = BT iL = i1 + i2
i _ _ i3 - i4
Предположим, что искомые напряжения на каждом из линейных двухполюсников дерева графа также могут быть представлены в виде разложения по функциям Хаара
N-1 ( Л
uT =1 VT j) har (j, 9),
j=0
(5)
где - вектор искомых коэффициентов при функциях Хаара у-го порядка в разложении напряжений на элементах дерева ит , который связан по закону Кирхгофа с вектором коэффициентов
иТ 1) в разложении напряжений на линейных двухполюсниках дерева графа соотношением V'Т1 = Е(- и1; Е(1 ) - коэффициенты из (2).
Воздействие вектора напряжений на элементах дерева ит на линейные двухполюсники дерева описывается системой дифференциальных уравнений
т = М(р) ит (Г), (6)
где М(р) - диагональная матрица М(р) = diag[М1(p), М2(р), М3(р)], Мт(р) - полином отр = для каждого двухполюсника, 1т (/) = [\ (/), /2 ^), /3 (/)] * - вектор токов дерева.
Подставив (5) в дифференциальное уравнение (6), после прямого одностороннего преобразования Лапласа от обеих частей уравнения получим вектор изображений по Лапласу токов элементов дерева. Обратное преобразование Лапласа позволяет найти вектор токов линейных двухполюсников (дерева графа)
n
Z
3
N-1
ij(t) = X Фj (t) UT
j=0
(j)
(7)
N-1
= - X BTV*j)har(j, 9). j=0
(8)
iT = BT iL
N-1 , л
- X BtvT 1)har( j, 9)
j=o
(9)
yüT = B* IL .
(10)
вид
{üг }(„+i) = {üг }(„) -
( n )
| - BT
Ml dür
BT
(n)
X j\|/ ü г - BT IL
(n)
U„
1 С+1 и
где ф; (t) = — | М(р) Ф; (р) ерЧр .
1 с- ] и
Так как М(р) - операторная проводимость линейного двухполюсника, то каждый компонент диагональной матрицы ф 1 ^) есть ток, протекающий через
этот двухполюсник при воздействии напряжения, имеющего форму функции Хаара '-го порядка.
При формировании фундаментального дерева графа нелинейные двухполюсники были вынесены в хорды. Подставив (5) в (3), найдем вектор напряжений хорд
ю
20
U1
30
40
10
20 б
U2
30
б
Если нелинейные двухполюсники описываются вольтамперными или вольткулоновыми характеристиками, то вектор токов хорд гь можно представить в виде вектора, в котором соответствующие компоненты вектора (8) используются в качестве аргументов в уравнениях двухполюсников. Тогда в соответствии с (5) вектор токов дерева имеет вид
10
20
30
U3
16 14 1 2 1 О 8 6
-
10
-
30
Приравнивая (7) и (9) , разложив левую и правую части по функциям Хаара и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях, получим систему уравнений цепи
Рис. 3. Эпюры напряжений в контрольных точках усилителя
Матрица (Н)8 для базиса из 8 функций Хаара в соответствии с (1) имеет вид:
которая содержит 3Ы уравнений, N - размерность выбранного базиса функций Хаара.
Матрица у, рассчитанная из (10), имеет размерность 3 • N х 3 • N, на главной диагонали ее расположены матрицы уг трёх линейных двухполюсников дерева, т. е. у = diag[у1, у 2, у3 ].
Решение для отклика нелинейной цепи в виде напряжений на трех линейных двухполюсниках дерева графа , 22,23 находится методом Ньютона и имеет
(H)8 =
11 11
1
11
1
1
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1
л/2 л/2 -V2 -л/2 ooo o
ooo o л/2 л/2 -л/2 -л/2
2 - 2 o oooo o
o o
- 2 o o
o o 2 - 2 o o
o o - 2
где п - порядок приближения.
На основе изложенного алгоритма расчета импульсного усилителя была составлена программа в среде Бе1рЫ-6. Работа схемы моделировалась в базисе из 8 функций Хаара (N=8) и для двух различных входных воздействий (рис. 3а и 4а).
При разложении входных воздействий по функциям Хаара в соответствии с (2) ненулевым оказался только
один коэффициент разложения: Е5 = 2 Пвх для импульса
рис. 3а и Е2 = Пвх для импульса рис. 4а, Пвх = 3В - амплитуда входного импульса источника и0.
Параметры модели транзистора определялись по его входной и выходной характеристикам и имели следующие значения: Яьь = Яее = Ясс = 10 Ом;
гг = 10 Ом; 10Э = 4,534 • 10-6 А; Ь0 = 36,8; а = 0,98; С0е = 1,93 • 10-11 Ф; С0с = 8,066 • 10-12 Ф; п = 0,325; Фт = 0,65 .
а
u
L
в
г
X
U„
ит
10
20 а
U1
30
40
10
20
30
б U2
10
20
из
30
13 12 11 10 9
0
10
20
-
30
Рис. 4. Эпюры напряжений в контрольных точках усилителя при С1=С2=62 нФ
Эпюры напряжений П(Г) в точках 1, 2, 3 усилителя приведены на рис. 3 б, в, г и 4 б, в, г и обозначены соответственно как Ш, П2, П3, 0 < t < Т, Т = 40 мкс -период следования импульсов.
В схеме усилителя моделировались также искажения фронтов и срезов импульсов. Для этого при подаче входного импульса (рис. 4а) уменьшались значения емкостей С1 и С2 (см. рис. 1) с 62 мкФ до 62 нФ, что приводило к увеличению фронтов и сколов вершин выходных импульсов. На рис. 5 б, в, г наблюдаются увеличения фронтов импульсов по сравнению с входным импульсом на рис. 5а.
Таким образом, приведенные результаты моделирования импульсного транзисторного усилителя с помощью метода [1] в базисе ортогональных функций Хаара подтверждают возможность его применения для анализа нелинейных цепей при импульсных входных воздействиях и расчета основных характеристик выходных импульсов: длительностей фронтов и срезов, задержек и сколов вершин.
10
20
а
U1
30
40
0 10 20 30
б
U2
4 1 1 1
2 г — ----1---
0 I I 1 1
г ---1--- ----1--- ---
-2 1-- 1 1 —
0 10 20 30
в
из
14 t -
12
10
8 t -
о
10
20
30
Рис. 5. Эпюры напряжений в контрольных точках усилителя при С1=С2=62 мкФ
Литература
1. Волков Е.А., Капитанова А.Н. Метод анализа нелинейных систем в базисе ортогональных функций // Изв. РГУПС. 2002. № 1.
2. Алексеев О.В., Асович П.Л., Соловьев А.А. Спектральные методы анализа нелинейных радиоустройств с помощью ЭВМ. М., 1985.
3. Волков Е.А. Метод анализа стационарного режима электрической цепи с комплексными нелинейностями при полигармоническом воздействии // Теоретическая электротехника. Вып. 34. Львов, 1983.
4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.,
1986.
5. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. -М., 1989.
6. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. М., 1980.
Ростовский государственный университет путей сообщения
20 сентября 2002 г.
в
г
г
