4Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 3 (95) 2020
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ-
УДК 330.42(045), 51-77(045)
MSC: 62H30; 62P20; 91B42
DOI: 10.35330/1991-6639-2020-3-95- 74-91
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ ПОКУПАТЕЛЕЙ МЕЖДУ ДВУМЯ АЛЬТЕРНАТИВНЫМИ ТОВАРАМИ С ПОМОЩЬЮ ЕМКОСТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА РЕДКИХ СОБЫТИЙ В ЭКОНОМИКЕ* (Часть 1)
Ю.А. КОРАБЛЕВ
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации (Финуниверситет) 125993, г. Москва, Ленинградский проспект, 49 E-mail: academy@fa.ru
В статье предложен подход для восстановления динамики изменения предпочтения потребителя между двумя альтернативными товарами из данных редких событий, связанных с покупками этих товаров, основанный на емкостном методе анализа редких событий. Кратко изложена основная идея емкостного метода, в котором редкие события анализируются с точки зрения процессов, происходящих внутри источников событий. Процессы потребления, которые являются наиболее распространенными в экономике при образовании событий, можно моделировать как процессы опустошения/наполнения емкости. Это позволяет восстанавливать скорость изменения уровня этой емкости (скорость изменения запаса продукции) с помощью математического метода восстановления функции по интегралам. Рассмотрены четыре варианта образования событий при пополнении запасов двух альтернативных товаров. Для каждого варианта даны предложения, как можно восстановить динамику изменения предпочтения потребителя между двумя альтернативными товарами. Для варианта, в котором потребитель пополняет запасы обоих товаров, когда заканчивается запас любого из товара, необходимо предварительно выполнить задачу распознавания и определить, образовано ли событие завершением первого или второго товара. Даны рекомендации для осуществления этого распознавания. Показаны примеры восстановления динамики изменения предпочтения между двумя альтернативными товарами.
Ключевые слова: редкие события, емкостный метод, скорость потребления, восстановление, предпочтение, альтернативные товары.
Анализ данных имеет большое и важное значение в современных исследованиях в любой области, поэтому развитие новых методов анализа данных является актуальной задачей. Особняком стоят методы исследования редких событий, для которых не применимы классические статистические методы на основе временных рядов. Для анализа данных редких событий применяют специальные методы.
Часть таких методов по-прежнему рассматривает данные редких событий через призму временных рядов, в результате чего получаются ряды, содержащие большое количество нулевых значений. Но в этих методах производят особенные манипуляции, чтобы «корректно» обрабатывать эти ряды с нулевыми и ненулевыми значениями. Например, метод Кростона [1, 2] предполагает разбить временной ряд на два ряда - ряд ненулевых значений и ряд с длительностью между ненулевыми значениями. Далее по методу Кростона предполагается экспоненциальное сглаживание полученных двух рядов и предположение, что следующее событие возникнет через ожидаемое (сглаженное) количество нулевых интервалов со значением, равным ожидаемому (сглаженному) ненулевому значению. Одна-
* Статья подготовлена по результатам исследований, выполненных за счет бюджетных средств по государственному заданию Финуниверситета 2020 года
ко данный метод самый примитивный, ненулевое значение не обязательно появляется через заданное количество нулевых значений, само ненулевое значение может изменяться, экспоненциальное сглаживание не способно находить закономерности.
Другим подходом обработки данных редких событий в виде временных рядов, содержащих большое количество нулевых значений, являются методы классификации. Например, метод ближайших соседей [3, 4] просматривает ряд данных, двигая по ряду данных скользящее окно фиксированной ширины, и пытается определить участки (соседей), которые наиболее похожи на последовательность последних наблюдений, ориентируясь на некоторую норму, например, эвклидово расстояние. Затем для всех наиболее похожих соседей рассматривается следующее за ними наблюдение, подсчитывается либо среднее арифметическое значение, либо вычисляется взвешенное значение на основе той самой «похожести» (эвклидово расстояние), которое затем возвращается как прогнозное будущее значение. Причем в данном случае для распознавания используются признаки, которые построены как вектор прошлых значений (скользящее окно, которое движется по временному ряду).
Очень часто в качестве признаков используются не данные самого временного ряда, полученного из данных редких событий, а внешние признаки, которые наблюдаются одновременно со значениями временного ряда. Самым популярным методом классификации в данном случае является метод логистической регрессии [5], который работает с данными, представленными в виде нулей и единиц (относится ли это событие к одному классу или к другому). Задача метода тогда заключается в классификации по имеющемуся входному набору признаков складывающейся обстановки и прогнозировании (на основе классификации) редкого события в период, к которому отнесены эти наблюдаемые признаки. То есть, например, если перед каким-то редким явлением наблюдаемые признаки имеют тенденцию показывать определенные значения, то когда мы вновь наблюдаем похожие значения признаков, это свидетельствует о большом шансе возникновения этого явления. Методы классификации очень популярны для анализа редких событий, но у них есть свои недостатки. Так, из-за того, что в обучающей выборке доля положительных наблюдений крайне мала, оценка вероятности возникновения этих событий оказывается смещенной (заниженной) и приходится корректировать ее особым образом. Существенным же недостатком является то, что некоторым редким событиям не предшествуют никакие наблюдаемые характерные изменения признаков, признаки изменяются не до возникновения события, а во время или после наступления его. Также хочется обратить внимание, что задача классификации или распознавания немного отличается от задачи анализа данных. В задачах распознавания мы ищем знакомые образы, в то время как в задаче анализа данных мы пытаемся выявить закономерности.
Еще одним подходом работы с редкими событиями, представленными временным рядом, является метод Виллемейна (бутстреппинга) [6, 7], идея которого заключается в случайном отборе фиксированного количества наблюдений, подсчете суммы и повторении этой процедуры множество раз, в результате чего можно искусственно построить эмпирическую функцию распределения для суммы заданного количества случайно отобранных наблюдений. Этот метод используют в логистике для определения запасов на таком уровне, чтобы этих запасов хватило на заданное количество будущих периодов времени для удовлетворения спроса с заданной доверительной вероятностью. Данный метод также слишком наивный, исходное распределение значений во временном ряду может быть неслучайным или значения будут коррелированными, а слепой отбор этих значений с помощью равномерного распределения не сможет этого учесть.
Совсем по-другому на редкие события смотрят в теории случайных процессов [8], в которой данные о редких событиях представляются в виде Пуассоновских потоков или потоков Пальма, в которых предполагается, что время между событиями является случайной величиной с некоторым законом распределения. В этом случае по имеющимся данным определяют характеристики закона распределения. Для Пуассоновского потока время между событиями соответствует экспоненциальному закону с нестационарной интенсивностью событий, которую определяют как функцию от времени. Для потока Пальма закон распределения времени между событиями может быть произвольным, но он всегда стационарен, для потока Пальма определяют вид распределения и его стационарные параметры. С помощью Пуассо-новских потоков можно найти вероятность появления заданного количества событий за некоторое время, но при этом нельзя определить моменты времени возникновения событий. С помощью потоков Пальма можно определить моменты времени следующих событий, отложив математическое ожидание интервалов между событиями от предыдущего события, однако так как закон распределения стационарен, будущие события будут идти с одинаковым шагом, что не всегда соответствует действительности.
Конечно же, в некоторых условиях для определенных целей перечисленные методы могут быть достаточны, однако для целей прогнозирования как моментов возникновения событий, так и значений этих событий описанные методы либо не применимы, либо обладают большой погрешностью из-за неспособности выявлять закономерности. Поэтому разработка новых методов анализа редких событий является актуальной задачей.
Идея емкостного метода
В разработанном мной методе анализа редких событий представление событий ближе всего к потокам событий, когда события имеют дискретный характер. Но при этом я утверждаю, что их появление происходит не через случайные периоды времени, а подчинено определенным процессам, которые происходят в источниках образования событий, и целью анализа является определение этих процессов и их параметров. Для анализа событий первым делом надо отделить одни события от других, ни в коем случае не перемешивать и не агрегировать данные событий, образованные в разных источниках. Для этого всего лишь надо отказаться от агрегирования событий и построения из редких событий временных рядов, а разделять события по идентификаторам источников. Следующим шагом является предположение на основе всей имеющейся информации вида процесса, в результате которого образуются события. Процесс может быть задан как некоторый алгоритм, в результате работы которого формируются события. Затем из имеющихся данных редких событий необходимо определить параметры данного процесса, то есть осуществить восстановление (регрессию) параметров процесса. Для этого надо получить обратный алгоритм, который бы из дискретных событий мог определить значения параметров процесса (если в математике обратную функцию к у(х) изображают иногда как у-1 = х(у), то для алгоритма функционирования процесса мы получаем как бы алгоритм в минус первой степени, который из результатов работы процесса получает параметры процесса). После того, как параметры процесса были восстановлены, нужно произвести поиск закономерности изменения этих параметров с ходом времени или от изменения внешних условий, если такие изменения параметров наблюдаются. Целью этого этапа является экстраполяция параметров процесса на будущее для того, чтобы с этими параметрами на последнем этапе запустить процесс образования событий и получить прогноз будущих дискретных событий.
В экономике самым распространенным процессом образования событий является процесс потребления, который работает по следующей схеме. С ходом времени постоянно уменьшается запас некоторой продукции, и по достижению некоторого критического уровня срабатывает событие, которое пополняет запас продукции на определенную величину. Другим таким процессом может являться процесс накопления возмущения до некоторого уровня, после которого срабатывает событие и возмущение сбрасывается. Оба этих процесса можно моделировать как процессы опустошения или наполнения емкости, метод исследования таких процессов я называю емкостным [8-12]. Параметром процесса будет являться нестационарная скорость опустошения/наполнения емкости f(t), которую можно восстановить из данных редких событий. Такой функцией может являться спрос от времени, индивидуальная скорость потребления продукции, интенсивность покупок у выбранного покупателя, интенсивность накопления возмущения (у источника событий, а не у наблюдателя). Для восстановления этой функции инвертируем процесс потребления продукции, получаем обратную задачу к задаче управления запасами, когда по имеющимся данным - моментах времени и величинах воздействия события (покупок) -определяется скорость /(€) изменения запаса неподконтрольных нам покупателей. Для этого используем основное предположение - величина совершенного события есть интеграл от функции /(€) за время от момента совершения этого события ^ до момента
времени совершения следующего события т.е. у± = Г^1/(0^. Это предположение
ч
справедливо для процессов потребления, оно негласно используется в логистике в системах управления запасами [13], когда строится пилообразный график во время моделирования собственных запасов. Однако на практике по многим причинам наблюдаемые значения у± в точности не совпадают со значениями интегралов, всегда присутствует некоторая погрешность £[. Тогда предположение будет выглядеть следующим образом:
Задача восстановления функции по ее интегралам превращается в оптимизационную задачу, в которой минимизируется сумма квадратов между наблюдаемыми значениями и интегралами от функции плюс дополнительный штраф на нелинейность (С - произвольная большая константа, влияющая на сглаживание; п - номер последнего события).
Решение данной задачи получено мной в виде интегрального кубического сглаживающего базисного сплайна со штрафной функцией [14], оно не входит в планы данной статьи, но будет многократно здесь использоваться.
Использование емкостного метода позволяет чуть ли не с идеальной точностью восстанавливать исходную функцию, заложенную при моделировании тех же систем управления запасами, в которых события образуются в результате процессов, схожих с процессами опустошения или наполнения емкости. В результате получается восстановить скорость (интенсивность) расходования запаса продукции из наблюдений редких событий, провести поиск закономерностей, экстраполировать их и получить прогноз будущих покупок неподконтрольного нам покупателя (получить прогноз будущих событий, возникающих в процессе потребления). Полученный результат считаю законченным. Но хочется пойти дальше и использовать данный метод в новых, совсем других задачах. Одно из применений, которое мне удалось обнаружить, связано с восстановлением изменения предпочтения клиента между двумя альтернативными товарами по данным покупок данного товара.
Уг = £+1/(№ + г1
I.
п — 1
2
Задача восстановления предпочтения между двумя
АЛЬТЕРНАТИВНЫМИ ТОВАРАМИ
Существует множество научных работ, посвященных моделированию предпочтений, ранжированию товаров в соответствии с этими предпочтениями и принятию решений в зависимости от предпочтений. Сами же предпочтения иногда связывают с функцией полезности. Разработано множество математических способов, как моделировать функцию полезности для лица, принимающего решение [15]. Однако среди всего множества научных публикаций практически нет работ, посвященных выявлению этих самых предпочтений из данных приобретения различных товаров. Все имеющиеся публикации используют либо маркетинговые методы, такие как соцопросы и анкетирование, которые взаимодействуют с живыми людьми и выявляют их мнение о разных товарах (например, работы [16, 17]), либо методы исследования социальных сетей, что по сути те же методы опроса населения, но которые не уведомляют людей о том, что их мнение собирается, так как те сами добровольно все о себе рассказывают. В одной из последних работ [18] используются метод анализа настроений по текстам сообщений и нечеткие множества, чтобы обрабатывать неточности при этом анализе. Однако методов, которые выявляют предпочтения среди товаров, а тем более динамику изменения этих предпочтений со временем, найти не удалось. Предлагаемый подход будет таким средством выявления предпочтений и может быть интересен для маркетологов.
Говоря об альтернативных товарах, я подразумеваю такие товары, которые удовлетворяют одну и ту же потребность потребителя, но при этом по некоторым причинам потребитель не хочет потреблять лишь один из товаров, а хочет разнообразить их. Например, это могут быть продукты питания, белый и черный хлеб или гречневая и геркулесовая крупа. То есть такие товары, которые могут заменить друг друга. Для простоты изложения и большего понимания иногда буду давать физическую интерпретацию, в которой участвуют такие товары.
Прежде всего попробуем представить задачу восстановления предпочтения между двумя альтернативными товарами на формализованном языке математики и логики. Пусть есть потребитель, который пополняет запасы каждого товара. Товары считаются равнозначными для удовлетворения некоторой общей для обоих товаров потребности. Пусть каждый товар удовлетворяет общую потребность в одинаковом объеме. Причем сама эта общая потребность может также меняться со временем. Обозначим потребность как функцию от времени f(t). Такой потребностью может быть, например, потребность в заданном количестве килокалорий каждый день, причем сама эта потребность может быть неизвестна (не наблюдаться). Потребитель для удовлетворения этой потребности использует как первый, так и второй товар, причем в зависимости от предпочтений он может использовать один товар больше, чем другой товар. Предпочтения также могут меняться со временем. Предпочтение первого товара обозначим как функцию от времени а(^, а предпочтение второго товара - ^(0 = 1 — а(^), где функция а(0 £ [0; 1]. То есть предпочтение будет показывать долю использования товара в общем использовании обоих товаров (функции а(0 и безразмерные). Функции а(0 и так же, как и /(0, напрямую не наблюдаются, функции а(0 и ^(0 могут быть независимы от функции потребности /(0. В результате скорость потребления первого товара составит /"(0 = а(0/(^), а скорость потребления второго товара - /2(0 = ^(0/^) = (1 — а(0)/(^.
У рассматриваемого потребителя есть некоторые запасы первого и второго товара, которые расходуются со скоростью /"(О = а(0/(^ и /2(0 = = (1 — а(0)/(^) соответственно. Когда запасы товаров подходят к концу, данный потребитель вынужден по-
полнить запасы. В результате образуется набор данных объемов покупок , первого и второго в моменты времени . Однако тут есть несколько вариантов, как происходит расход продукции и пополнение запаса в зависимости от схемы поведения потребителя. Рассмотрим несколько вариантов.
1). Когда любой из товаров закончился, потребитель совершает покупку только того товара, который закончился, и не покупает тот товар, который еще не закончился (например, в момент покупается первый товар в объеме , когда второй товар не покупается
). В данной схеме поведения получается так, что события, которые образовались в результате пополнения запаса первого товара, совершенно не зависят от событий, которые образовались в результате пополнения второго товара. Всю имеющуюся выборку наблюдений можно разбить на две независимые выборки ( ? ^ , у ") и ( t ¿, у2) (индекс / в разных выборках разный, независимый). Так, объемы покупок каждого товара не зависят от объемов покупок другого товара, мы имеем ситуацию, когда наблюдаемые объемы покупок каждого товара расходуются от момента совершения покупки до момента времени совершения следующей покупки. То есть в рамках этого предположения получается так, что объем каждой покупки есть интеграл от скорости расхода за время между текущим и следующим событием, имеем у1 = [ 1+1 / 1 ( ^ йt и у2 = [ 1+г/2 ( й^ По этим данным мож-
II 11
но с легкостью восстановить функции скорости расхода продукции f "( 0 = а ( 0 f ( ^ и /2( 0 = /? ( О / (, воспользовавшись упомянутым выше методом восстановления функции по интегралам. Тогда предпочтения между товарами определяются следующим образом:
а ( 0 = / "( 0 / (/ "( 0 +/ 2( 0 ) и 0 ( о = / 2( о / (/ "( о +/ 2( о ) .
2). Когда запасы одного товара заканчиваются, потребитель начинает потреблять запасы другого товара до тех пор, пока и другой товар не закончится, а когда оба товара заканчиваются, потребитель совершает покупку и пополняет оба товара одновременно. То есть тут возникает только одно событие, привязанное к моменту времени, когда запасы обоих товаров закончились. Получается так, что за время между двумя событиями расходуется суммарный объем обоих покупок, и этот объем соответствует интегралу от общей
функции потребности: у" + у,2 = 1 (/ "( 0+/2( 0 )й t = V ( 0 й t. Из данных
наблюдений можно будет восстановить только общую функцию потребности
/ (0 , но нельзя выявить предпочтения между товарами, так как никакой информации о скорости расхода каждого товара наружу не поступает. Может сложиться впечатление, что информация о предпочтении заключается в покупках и , раз мы наблюдаем эти объемы покупок, но это не так. Дело в том, что в данной схеме объем покупки одного товара может использоваться как замещение предпочтения в другом товаре. Например, если первый товар закончился раньше, то оставшаяся часть второго товара расходуется для
компенсации расхода первого товара (часть от пошла на [ , где - время, за
которое закончился первый товар). То есть потребитель был вынужден потреблять второй товар вместо первого, хотя ему этого не хотелось. В этой схеме не получится восстановить истинные предпочтения потребителя и .
3). Потребитель пополняет запасы не тогда, когда они заканчиваются, а в произвольный другой момент, когда ему по некоторым причинам оказалось удобно это сделать. Например, потребитель не специально вышел из дома, чтобы пополнить запасы, а возвращаясь с работы, на обратном пути по дороге домой зашел в магазин. То есть событие пополнения
запаса совсем не связано с моментами израсходования запаса. Без дополнительных предположений выяснить, как расходовался запас каждого товара, не получится. Однако если предположить, что покупатель всегда закупается до определенного уровня, можно сказать, что объем совершенной покупки есть объем потребления спустя предыдущее событие до текущего. То есть если покупатель всегда дома держит 10 буханок белого хлеба и 5 черного и сегодня он у вас купил 4 буханки белого и 1 черного, то значит, с момента времени предыдущей покупки он потребил ровно столько же буханок белого и черного хлеба. В этом случае получается, что наблюдаемый объем покупок и есть интеграл от скорости потребления с предыдущего события до текущего события, Г и
4-1
У I = Г 1 /2 ( ^ (когда событие образуется вследствие завершения запаса, было у1 =
4-1
Г и Г , обратите внимание на индексы). При этом, если пред-
ч ч
положить, что такие события пополнения запаса всегда происходят раньше, чем запас любого из товаров заканчивается (каждый день человек, возвращаясь с работы, пополняет запас, не давая ему закончиться), то потребление одного товара оказывается независимым от потребления другого товара (человек потребляет только то, что ему в данный момент больше хочется, не заставляет себя есть то, что ему не очень хочется). Тогда мы будем иметь по-прежнему два независимых набора данных и (обратите внима-
ние на индекс). Из этого набора данных мы по-прежнему можем восстановить скорость расхода продукции f 1( ;) = а ( ;) / ( ;) и /2( ;) = /? ( ;) f ( ;) с помощью метода восстановления функции по интегралам. Еще раз подчеркну, что за время между событиями ; ^+1 — ; ^ расходуется объем , а не . поэтому надо в исходных данных сдвинуть наблюдаемые объемы покупок на одну позицию. В результате у нас так же, как и в первом случае, получается восстановить функции предпочтений а ( ;) и /? (;) . Конечно же, дополнительные предположения о том, что покупатель всегда пополняет запасы до фиксированного постоянного уровня, и предположение о том, что он делает это достаточно часто, чтобы запасы не закончились, могут быть неверны. Нарушение предположений требует дополнительных исследований.
4). Когда запасы одного товара заканчиваются, потребитель пополняет запасы как первого, так и второго товара. Событие пополнения запаса обоих товаров происходит при условии, что либо один товар закончился, либо другой товар закончился. При такой схеме поведения в момент срабатывания события один товар полностью израсходовался, когда другой товар может быть еще в наличии, но при этом его запас также пополняется. Также можно сказать, что срабатывание события для одного товара влечет появление события для второго товара. При такой схеме мы располагаем одним набором данных , когда в
один и тот же момент времени наблюдаются покупки обоих товаров в объемах и соответственно. Данная схема поведения клиента более естественная и поэтому более интересная. С одной стороны, может показаться, что получится использовать тот же прием, что и в третьем варианте, когда события никак не были связаны с пополнением запаса, и можно с помощью сдвига данных на одну позицию произвести восстановление обоих функций предпочтения. Действительно, для того товара, который остался в наличии, пусть для первого, время события не связано с расходом товара, и объем покупки (при предположении, что потребитель придерживается постоянного уровня) будет соответствовать объему
потребленной продукции спустя предыдущее событие ( Г ). Однако так как
4-1
для другого товара, который закончился, пусть для второго, событие привязано к моменту завершения запаса и за время спустя предыдущее событие израсходовался объем не текущей покупки у2, а предшествующей у2_ 1 (т.е. у2 = Г-1"1" 1/2( ;) й;), сдвиг данных делать не
ч
нужно, также не нужно делать предположение, что покупатель пополняет запасы всегда до одного и того же уровня. Оказывается, что если правильно распознать среди набора данных, для какого из товаров произошло событие пополнения запаса, то получится по-прежнему корректно восстановить функцию изменения предпочтения потребителя. Рассмотрим этот вариант поведения потребителя более подробно.
Модель восстановления предпочтения между двумя
АЛЬТЕРНАТИВНЫМИ ТОВАРАМИ Чтобы подробно разобраться в этом случае, построим модель, в которой в искусственно заданных условиях действует потребитель, расходующий запасы первого и второго товара с разной скоростью в зависимости от изменяющихся предпочтений, затем проанализируем полученные данные на возможность восстановления этого предпочтения из данных покупок этого потребителя. Пусть будет задана исходная функция потребности / ( ;) , которая изменяется со временем определенным образом, пусть это будет гармоническая функция. Зададим исходные функции предпочтения и , пусть они
также будут гармоническими функциями, но частота которых выше, чем у . Внешний вид функций и изображен на рисунке 1.
140 120 100 80 60 40 20 0
0 0 3 0О 2 9О 2 8О 2 7О 2 6О 2 2 5О 2 4О 2 3О 2 2О 2 1 9О 2 0О 1 9О 1 8О 1 7О 1 6О
О О 0 0 0 0 1 1 О 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1
01 3О 4О 6О 8О 0О 2О 0 4О 6О 8О 0О 2О 2О 4О 6О 8О 0О 2О
О2 2 2 2 2 2 2 О 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 0 21 21 21 21 21 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2
ft)
1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
vo ОО <1 О-n
ооооооооооооооооооо
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
-границы года
-alfa(t)
■границы года
Рис. 1. Функция потребности f ( t) (шт./в день) и функция предпочтения а( t) (в долях)
Далее строим модель на основе модели управления запасами, но при этом с двумя товарами, причем так, что когда один товар заканчивается, то пополняются запасы обоих товаров. Пусть пока что для простоты реализации запасы товаров пополняются до некоторого постоянного уровня, но при этом будем иметь в виду, что в общем виде это может не выполняться. Запасы пополняются тогда, когда запасы одного из товаров опустились ниже некоторого критического уровня (ниже нуля, после чего используются страховые запасы). Реализация модели в Excel представлена на рисунке 2. Подробно останавливаться на том, как устроена модель, не будем. В результате работы модели получаем моменты времени и объемы пополнения запасов продукции обоих товаров, данные представлены в таблице 1 (для большей точности не округляем значения до целых чисел)О Рассмотрим эти данные подробно.
D E F G н J к L М N о
1 Оба товара пополняются одновременно Товар 1 Товар 1
2 Предпочтение Макс запас 700 500
3 одного товара Начальный запас % 0,9 0,4
4 Время Потребление над другим Запас Запас
✓ =12*33 | /|=К2*КЗ
5 t вд alfa(t) l-alfa(t) 630 200
6 01.01.2020 130 0,7 0,3 „,-fTq -
7 02.01.2020 129,9955552 0,699733363 0,300267 ■^448,037773' - ^121^9667
8 03.01.2020| -EC/1I1((I5-E6*F6>0)*(M5-E6*G6>0);I5-E6*F6;$J$2) ~~~ - 82,83347* -
9 04.01.2020 129,4 =ECflI1((I5-E6*F6>0)* ;M5-E6*G6>0);"-";D6) ^,--26^528069 - - .уЦ,53415- -
10 05.01] =ЕСЛИ((15 E6*F6>0)*(M5 E6*G6>0);" $J$2 I5+E6*F6) 176,1302883 - - ^ 4^03021 - -
11 06.01.2020 129,8889452 0,693369563 0,30663 700 06.01.2020 500 06.01.2020 535,8249
12 07.01.2020 129,84Q1246 0,690475515 0,309524 610,3485731 - 459,8113 - -
13 14 08.01.2020 09.01.2020 129,7824617 129,7159736 0,68707359 0,312926 521,1784712 419,1989 - -
|=E01I1((I5-E6*F6>0)S (M5-E6*G6>0);M5-E6*G6;$K$2) . 378,1014 - -
15 10.01.2020 129,64068 0,6787831 =ECmi((I5-E6*F6>0)*(M5-E6*G6>0);"-";D6) I - 336,4587 - -
16 11.01.2020 129,55660j — ECJ1H((I5-E6*F6>0)*(M5-E6*G6>0) ■'-■■;$K$2-M5+E6*G6) - - 294,2126 - -
17 12.01.2020 129,4637682 0,668588307 0,331412 170,6935832 - - 251,3068 - -
18 13.01.2020 129,3622024 0,662809219 0,337191 84,95112293 - - 207,6871 - -
13 14.01.2020 129,251936 0,656596021 0.3434D4 0,084816104 - - 163,3014 - -
20 15.01.2020 129,1330016 0,64996528 0,350035 700 15.01.2020 783,8472 500 15.01.2020 381,8996
21 16.01.2020 129,0054344 0,642934677 0,357065 617,0579327 - - 453,9366 - -
22 17.01.2020 128,8692723 0,635522958 0,364477 535,1585516 - - 406,9667 - -
23 18.01.2020 128,7245557 0,627749884 0,37225 454,3517266 - - 359,D49 - -
24 19.01.2020 128,5713273 0,619636183 0,380364 374,6842802 - - 310,1451 - -
25 20.01.2020 128,4096326 0,611203487 0,388797 296,1998649 - - 260,2199 - -
26 21.01.2020 128,2395195 0,602474282 0,397526 218,9388524 - - 209,2414 - -
27 22.01.2020 128,0610385 0,593471843 0,406528 142,9382318 - - 157,181 - -
28 23.01.2020 127,8742423 0,584220174 D,41578 68,2315197 - - 104,0135 - -
29~ 24.01.2020 127,6791865 0,574743943 0,425256 700 24.01.2020 705,1513 500 24.D1.2020 450,2829
30 25.01.2020 127,4759286 0,565068417 0,434932 627,9673788 - - 444,5567 - -
31 26.01.2020 127,2645291 0,555219395 0,444781 557,307644 - - 387,9519 - -
32 27.01.2020 127,0450505 0,545223137 0,454777 488,039743 - - 330,1747 - -
33 28.01.2020 126,8175579 0,535106298 0,464894 420,178869 - - 271,2181 - -
34 29.01.2020 126,5821186 0,524895853 Q,4751Q4 353,7364399 - - 211,0784 - -
3S 30.01.2020 126,3388025 0,514619026 0,485381 288,7200884 - - 149,7559 - -
36 31.01.2020 126,0876817 0,504303219 0,495697 225,1336646 - - 87,25467 - -
37 01.02.2020 125,8288305 0,493975939 0,506024 162,9772499 - - 23,58225 - -
38 02.02.2020 125,5623256 0,483664721 0,516335 700 02.02.2020 597,7528 500 02.02.2020 541,25
39 03.02.2020 125,2882461 0,473397059 0,5266Q3 640,6889128 - - 434,0228 - -
40 04.02.2020 125,0066732 _:_r\ 0,46320033 0,5368 582,7857806 - - 366,9193 - -
Рис. 2. Пример модели в Excel
Таблица 1
Данные моделирования, моменты времени и объемы пополнения
ЗАПАСОВ ПРОДУКЦИИ ОБОИХ ТОВАРОВ
i Дата tj Объем покупки i Дата tj Объем покупки i Дата tj Объем покупки
У1 У? У1 У? У1 У?
1 06.01.2020 613,93 535,82 39 11.01.2021 709,77 328,05 77 15.01.2022 777,14 387,77
2 15.01.2020 783,85 381,90 40 20.01.2021 735,60 423,96 78 25.01.2022 764,90 516,27
3 24.01.2020 705,15 450,28 41 29.01.2021 635,37 509,77 79 03.02.2022 572,27 562,28
4 02.02.2020 597,75 541,25 42 06.02.2021 469,11 531,92 80 11.02.2022 415,01 574,03
5 10.02.2020 436,13 557,89 43 13.02.2021 341,06 518,68 81 18.02.2022 302,30 545,14
6 17.02.2020 316,88 535,62 44 20.02.2021 289,10 553,12 82 25.02.2022 262,76 565,66
7 24.02.2020 272,10 561,96 45 27.02.2021 255,07 567,56 83 04.03.2022 243,27 564,26
8 02.03.2020 246,72 566,96 46 06.03.2021 241,51 559,75 84 11.03.2022 244,17 540,92
9 09.03.2020 241,94 549,70 47 13.03.2021 247,87 530,56 85 19.03.2022 302,72 565,47
10 16.03.2020 255,94 512,34 48 21.03.2021 312,05 548,19 86 28.03.2022 391,94 546,23
11 24.03.2020 327,85 520,32 49 30.03.2021 405,77 523,19 87 08.04.2022 563,87 526,20
12 03.04.2020 478,26 535,92 50 11.04.2021 636,43 537,30 88 21.04.2022 758,33 450,41
13 16.04.2020 726,36 515,24 51 23.04.2021 711,13 389,65 89 03.05.2022 721,98 321,10
14 28.04.2020 723,11 348,34 52 05.05.2021 717,82 314,22 90 16.05.2022 718,88 340,34
15 11.05.2020 753,43 332,97 53 18.05.2021 702,04 346,80 91 01.06.2022 701,68 518,61
16 26.05.2020 729,31 441,98 54 03.06.2021 673,14 537,35 92 14.06.2022 406,80 535,42
17 09.06.2020 501,88 530,26 55 15.06.2021 361,51 504,59 93 25.06.2022 261,46 515,47
18 21.06.2020 313,31 540,87 56 26.06.2021 256,84 519,02 94 06.07.2022 233,25 537,25
19 02.07.2020 237,60 533,88 57 07.07.2021 233,25 537,25 95 17.07.2022 256,84 519,02
20 13.07.2020 242,35 530,20 58 18.07.2021 261,46 515,47 96 29.07.2022 361,51 504,59
21 25.07.2020 328,07 529,68 59 31.07.2021 406,80 535,42 97 13.08.2022 624,37 508,09
22 08.08.2020 526,37 512,90 60 16.08.2021 701,68 518,61 98 27.08.2022 750,81 376,05
23 23.08.2020 753,71 428,29 61 29.08.2021 718,88 340,34 99 08.09.2022 717,82 314,22
24 04.09.2020 703,38 307,20 62 10.09.2021 721,98 321,10 100 20.09.2022 711,13 389,65
25 16.09.2020 721,75 355,50 63 22.09.2021 702,84 409,88 101 02.10.2022 636,43 537,30
26 29.09.2020 718,70 529,53 64 03.10.2021 571,92 512,49 102 11.10.2022 405,77 523,19
27 09.10.2020 470,43 548,90 65 12.10.2021 398,81 534,76 103 19.10.2022 312,05 548,19
28 17.10.2020 322,37 529,84 66 20.10.2021 307,25 556,97 104 26.10.2022 247,87 530,56
29 24.10.2020 252,94 518,75 67 27.10.2021 245,85 535,93 105 02.11.2022 241,51 559,75
30 31.10.2020 241,40 553,48 68 03.11.2021 242,19 562,23 106 09.11.2022 255,07 567,56
31 07.11.2020 249,08 567,62 69 10.11.2021 258,70 566,84 107 16.11.2022 289,10 553,12
32 14.11.2020 277,38 559,44 70 17.11.2021 295,52 549,33 108 23.11.2022 341,06 518,68
33 21.11.2020 324,65 530,31 71 24.11.2021 349,66 512,40 109 01.12.2022 469,11 531,92
34 29.11.2020 446,97 549,44 72 02.12.2021 480,35 522,90 110 10.12.2022 635,37 509,77
35 08.12.2020 610,41 530,71 73 12.12.2021 726,10 549,35 111 19.12.2022 735,60 423,96
36 17.12.2020 715,70 441,19 74 21.12.2021 753,72 408,21 112 27.12.2022 709,77 328,05
37 26.12.2020 789,98 376,53 75 29.12.2021 717,41 321,33
38 03.01.2021 726,34 313,46 76 06.01.2022 724,54 315,05
Самая первая покупка произошла из-за того, что закончился второй товар, когда первый товар был еще в наличии. Вторая покупка произошла из-за того, что закончился первый товар. Третья покупка произошла тоже из-за того, что закончился первый товар. Четвертая покупка произошла из-за того, что закончился второй товар. Пока мы будем считать, что нам известно, какая покупка чем вызвана, это нужно для следующего анализа (а чуть позже будем смотреть извне системы управления запасами, когда мы не будем знать эту информацию). Желтым (а также сиреневым) цветом выделены те покупки, которые вызваны событием завершения запаса.
Посмотрим на объем второй покупки для первого товара . За какой пери-
од времени израсходовалась эта покупка? Объем этой второй покупки израсходовался за время от события совершения этой покупки до времени совершения следующей
покупки , то есть Г . Теперь взглянем на объем первой покупки второго
товара . Но мы не можем сказать, когда закончился объем покупки , так
как следующая покупка была спровоцирована тем, что покупатель пошел пополнять
запасы первого товара, а не второго. Также мы не знаем, когда закончился объем второй покупки второго товара , так как третья покупка также была спровоцирована тем, что закончился первый товар. Однако из -за того, что четвертая покупка была вызвана тем, что закончился второй товар, мы можем сказать, что объем товара у2 + у| + у| закончился за время, когда была совершена первая покупка до времени, когда была совершена четвертая покупка ;4, т.е. у2 +у| +у| = Х--4/2( О й; Действительно, в
' 1
момент времени закончился второй товар, но в моменты времени и второй товар еще не закончился, он закончился в момент времени , при этом в моменты и происходило пополнение запаса второго товара, поэтому объем покупок и надо прибавить к первой покупке . Получается, что те покупки, которые пополняют запас, когда запас еще не закончился, мы объединяем вместе (как объем одной большой покупки, суммируем) и говорим, что этот большой объем закончился за время от начала самой первой вошедшей сюда покупки до времени, когда последняя вошедшая покупка закончилась (то есть до времени следующей за ней покупки). Так, надо объединить покупки первого товара с номера до номера , второго товара с номера до номера / = 1 6, затем опять первого товара с / = 1 6 до / = 2 2 и так далее. В таблице сиреневым цветом выделены последние покупки из последовательности покупок, которые вызваны тем, что запас соответствующего товара закончился, начиная с этой последней покупки надо начинать суммирование. Оранжевым цветом выделены покупки, объем которых заканчивается в момент возникновения следующей покупки. После отмеченных оранжевым цветом покупок начинается последовательность покупок, которые вызваны завершением запаса (отмеченные желтым цветом, затем последовательность опять завершается сиреневым цветом). Получается так, что происходит как бы переключение событий (завершения запаса) с первого на второй товар и наоборот (это происходит из-за того, что предпочтения между товарами меняются). Покупки, которые отмечены фиолетовым и оранжевым цветом, а также покупки между ними надо как раз объединять в одну большую покупку.
(Заметим, что объемы тех покупок, которые происходят тогда, когда соответствующий товар еще в наличии (не отмеченные желтым или сиреневым цветом), у нас получились как правило меньше (в нашей модели покупатель закупался до фиксированного максимума, хотя это может быть не так), так как покупателю нужно меньше этого товара. Объем тех покупок, которые произошли из-за завершения запаса соответствующего товара, приблизительно соответствует максимальному уровню запасов плюс некоторая величина на восстановление страховых запасов. )
В результате мы можем сформировать два набора данных и , состоящие
из объемов покупок первого и второго товара, причем в эти наборы также входят объединенные покупки, которые привязаны к дате совершения этой объединенной покупки (то есть к дате первой составляющей покупки из этого объединения покупок). Например, из данных покупок, содержащихся в таблице 1, можно получить два набора данных, представленных в таблице 2, где можно заметить, что объем третьей покупки первого товара у1 = £ 12 зу* = 3 878.7 3, а объем первой покупки второго товара есть сумма у2 = у2 + и так далее. Полученные два набора будут уже независимыми.
Таблица 2
ДВА НЕЗАВИСИМЫХ НАБОРА ДАННЫХ
Набор 1 Набор 2
1 Дата ^ Объем покупки у1 1 Дата ^ Объем покупки 1 Дата ^ Объем покупки
1 06.01.2020 613,93 1 06.01.2020 1368,01 42 18.07.2021 515,47
2 15.01.2020 783,85 2 02.02.2020 541,25 43 31.07.2021 535,42
3 24.01.2020 3878,73 3 10.02.2020 557,89 44 16.08.2021 1589,94
4 16.04.2020 726,36 4 17.02.2020 535,62 45 03.10.2021 512,49
5 28.04.2020 723,11 5 24.02.2020 561,96 46 12.10.2021 534,76
6 11.05.2020 753,43 6 02.03.2020 566,96 47 20.10.2021 556,97
7 26.05.2020 2878,88 7 09.03.2020 549,70 48 27.10.2021 535,93
8 23.08.2020 753,71 8 16.03.2020 512,34 49 03.11.2021 562,23
9 04.09.2020 703,38 9 24.03.2020 520,32 50 10.11.2021 566,84
10 16.09.2020 721,75 10 03.04.2020 535,92 51 17.11.2021 549,33
11 29.09.2020 3914,32 11 16.04.2020 1638,52 52 24.11.2021 512,40
12 17.12.2020 715,70 12 09.06.2020 530,26 53 02.12.2021 522,90
13 26.12.2020 789,98 13 21.06.2020 540,87 54 12.12.2021 1981,72
14 03.01.2021 726,34 14 02.07.2020 533,88 55 25.01.2022 516,27
15 11.01.2021 709,77 15 13.07.2020 530,20 56 03.02.2022 562,28
16 20.01.2021 4568,95 16 25.07.2020 529,68 57 11.02.2022 574,03
17 23.04.2021 711,13 17 08.08.2020 1603,89 58 18.02.2022 545,14
18 05.05.2021 717,82 18 29.09.2020 529,53 59 25.02.2022 565,66
19 18.05.2021 2895,04 19 09.10.2020 548,90 60 04.03.2022 564,26
20 16.08.2021 701,68 20 17.10.2020 529,84 61 11.03.2022 540,92
21 29.08.2021 718,88 21 24.10.2020 518,75 62 19.03.2022 565,47
22 10.09.2021 721,98 22 31.10.2020 553,48 63 28.03.2022 546,23
23 22.09.2021 3853,09 23 07.11.2020 567,62 64 08.04.2022 1638,06
24 12.12.2021 726,10 24 14.11.2020 559,44 65 01.06.2022 518,61
25 21.12.2021 753,72 25 21.11.2020 530,31 66 14.06.2022 535,42
26 29.12.2021 717,41 26 29.11.2020 549,44 67 25.06.2022 515,47
27 06.01.2022 724,54 27 08.12.2020 2413,91 68 06.07.2022 537,25
28 15.01.2022 777,14 28 29.01.2021 509,77 69 17.07.2022 519,02
29 25.01.2022 4063,23 29 06.02.2021 531,92 70 29.07.2022 504,59
30 21.04.2022 758,33 30 13.02.2021 518,68 71 13.08.2022 1588,02
31 03.05.2022 721,98 31 20.02.2021 553,12 72 02.10.2022 537,30
32 16.05.2022 718,88 32 27.02.2021 567,56 73 11.10.2022 523,19
33 01.06.2022 2845,90 33 06.03.2021 559,75 74 19.10.2022 548,19
34 27.08.2022 750,81 34 13.03.2021 530,56 75 26.10.2022 530,56
35 08.09.2022 717,82 35 21.03.2021 548,19 76 02.11.2022 559,75
36 20.09.2022 4544,49 36 30.03.2021 523,19 77 09.11.2022 567,56
37 19.12.2022 735,60 37 11.04.2021 1587,97 78 16.11.2022 553,12
38 27.12.2022 709,77 38 03.06.2021 537,35 79 23.11.2022 518,68
39 15.06.2021 504,59 80 01.12.2022 531,92
40 26.06.2021 519,02 81 10.12.2022 1261,79
41 07.07.2021 537,25
Далее для каждого набора мы можем произвести восстановление функции скорости расхода продукции f 1( ;) = а( ;) /( ;) и /2( ;) = /? ( ;) /(;) , воспользовавшись методом восстановления функции по интегралам (так как у нас вновь получилось, что наблюдаемые значения расходуются за время от текущего события до следующего события, у,1 = 1/ 1 ( ;) й; и у,2 = 1/2 ( ;) й;). По имеющимся данным из первого набора вос-
Ч Ч
станавливаем функцию / 1( ;) (рис. 3), а из второго набора функцию /2 ( ;) (рис. 4). На рисунках 3 и 4 горизонтальными линиями изображена средняя скорость расхода продукции , которая выглядит как ступенчатая функция, причем ширина
каждой ступеньки разная, где-то ступеньки идут часто, а где-то редко. Восстановление функции по интегралам заключается в том, чтобы подобрать такую функцию, чтобы площадь под графиком этой функции на каждом интервале приближалась к площади каждой ступеньки. Как было сказано выше, решение находится в виде интегрального кубического сглаживающего базисного сплайна со штрафной функцией. Обратите внимание, что данный метод совсем не похож на обычный метод сглаживания, если бы мы сглаживали ступенчатую функцию, никогда бы не получилось так, чтобы аппроксимирующая кривая опустилась ниже ступеньки и затем поднялась бы обратно на одном интервале (функция стремилась бы к самой этой ступенчатой линии, а у нас площадь под функцией стремится к площади под ступенькой).
о -
о
сч
01-2020 05-2020 09-2020 01-2021 05-2021 09-2021 01-2022 05-2022 09-2022
Рис. 3. Восстановление из данных редких событий скорости расхода запасов первого товара f 1 ( ;) (штук в день)
01-2020 05-2020 09-2020 01-2021 05-2021 09-2021 01-2022 05-2022 09-2022
Рис. 4. Восстановление из данных редких событий скорости расхода запасов второго товара /2( ;) (штук в день)
После восстановления скорости расхода запаса продукции первого и второго товара / 1(;) , /2( ;) получаем оценку исходной функции потребности f( ;) = / 1 ( ;) + /2(;) . Сравнение восстановленных функций с исходными функциями, заложенными при моделировании, представлено на рисунке 5. Затем определяем изменяющиеся предпочтения потребителя между первым и вторым товаром а ( ;) = f 1 ( ;) // ( ;) и /? ( ;) = /2( ;) // ( ;) . Сравнение восстановленных функций предпочтения с исходными представлено на рисунке 6. На обоих рисунках пунктирной линией указаны исходные, заложенные при моделировании функции.
140
0
01.01.2020 19.07.2020 04.02.2021 23.08.2021 11.03.2022 27.09.2022 -А -£2 ----ОД ----^аИаф ----^(ЬаНаф)
Рис. 5. Сравнение восстановленных функций с исходными
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
01.01.2020 19.07.2020 04.02.2021 23.08.2021 11.03.2022 27.09.2022
А/(А+2) -£2/(А+2) ----а£а(1)
ЬаИаф
Рис. 6. Сравнение восстановленных предпочтений с исходными
В результате получилось достаточно точно восстановить все исходные функции. Причем предположение о том, что потребитель придерживается своего постоянного уровня запасов, мы не использовали, потребитель мог каждый раз осуществлять покупки, не придерживаясь никакой определенной схемы. Однако в своих рассуждениях мы использовали то, что у нас заранее было определено, какая из покупок вызвана завершением запаса, а какая нет. Естественно, если мы будем анализировать данные покупок неподконтрольного нам потребителя, то такой информацией мы обладать не будем, у нас будут только даты и объемы купленной продукции одного и второго товара. Но оказывается, что из данных покупок потребителя можно распознать, какая покупка произошла вследствие завершения запаса, а какая нет, о чем будет рассказано во второй части статьи.
В данной части исследования мы получили механизм, как из данных редких событий (т.е. покупок) восстанавливать динамику изменения предпочтений покупателя между двумя альтернативными товарами с помощью метода восстановления функции по интегралам. Были рассмотрены 4 схемы образования редких событий. Первая - потребитель совершает покупку только того товара, который закончился, и не покупает тот товар, который еще не закончился. При этой схеме поведения восстановление происходит элементарно, не требуется никакой дополнительной обработки данных, достаточно рассматривать покупки каждого товара отдельно. Вторая схема, когда запасы одного товара заканчиваются, потребитель начинает потреблять запасы другого товара до тех пор, пока другой товар не закончится, и только потом пополняет запасы обоих товаров. При второй схеме, к сожалению, не получится восстановить истинные предпочтения потребителя, нужно вводить дополнительные предположения, например, такие, что потребитель при покупке товара заранее знал, что товар не успеет ему надоесть (но получается так, что не изменение предпочтения влияет на покупки, а наоборот, покупки влияют на предпочтение). В третьей схеме покупки не привязаны к завершению запасов, а происходят по другим не связанным причинам. В этой схеме, если ввести предположение, что покупатель не изменяет свой максимальный уровень запасов со временем, то восстановление также происходит довольно просто, достаточно в исходных данных произвести сдвиг на одну пози-
Заключение
цию (объем покупок yj+1 отнести к предыдущему моменту времени tj). Наконец в четвертой схеме, когда потребитель пополняет запасы как первого, так и второго товара, если закончились запасы любого из товаров, также получается восстановить динамику изменения предпочтений потребителя. Однако в этом последнем случае анализировали данные исходя из того, что мы знаем покупка какого товара была вызвана завершением запаса, а какая нет, что на практике априори знать о неподконтрольном покупателе невозможно. В следующей части исследования будет показано, что на самом деле можно произвести распознавание событий, анализируя относительную среднюю скорость расхода запаса, и получить эту информацию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Croston J.D. Forecasting and stock control for intermittent demands. Operational Research Quarterly (1970-1977). 1972; 23(3):289-303.
2. Johnston F.R., Boylan J.E. Forecasting intermittent demand: a comparative evaluation of Croston's method. Comment. International journal of forecasting. 1996; 12(2):297-298.
3. Altman N. S. An introduction to kernel and nearest-neighbor nonparametric regression. The American Statistician. 1992; 46(3):175-185.
4. Cove T., Har P. Nearest neighbor pattern classification// IEEE Transactions on Information Theory. IEEE Transactions on Information Theory. 1967; 13(1), 21-27.
5. Walker S.H., Duncan D.B. Estimation of the probability of an event as a function of several independent variables. Biometrika. 1967. 54 (1/2): 167-178.
6. Efron B. and Tibshirani R.J. An introduction of the Bootstrap. New York: Chapman & Hall, 1993.
7. Willemain T.R., Park D.S., Kim Y.B., Shin K.I. Simulation output analysis using the threshold bootstrap. 2001;134(1):17-28.
8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учеб. пособие для втузов. 2-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.
9. Кораблев Ю.А. Емкостный метод определения функции скорости потребления // Экономика и менеджмент систем управления. Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2015. №15(1.1). С. 140-150.
10. Кораблев Ю.А. Погрешность емкостного метода анализа редких событий, удаленность от конечного потребителя // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. Нальчик. 2019. № 3 (89). С. 48-77.
11. Кораблев Ю.А. Емкостный метод анализа редких событий в торговле различными товарами // Бизнес. Образование. Право. Вестник Волгоградского института бизнеса. 2019. № 3(48). С. 121-131.
12. Кораблев Ю.А. Разбор причин и оценка погрешности аномальных картин в емкостном методе анализа редких событий // Экономика и управление: проблемы, решения. м.: Научная библиотека, 2017. №8(6). С. 8-12.
13. Бауэрсокс Дональд Дж, Клосс Девид Дж. Логистика: интегрированная цепь поставок. 2-е изд. / Пер. с англ. Н.Н. Барышниковой, Б.С. Пинскера. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2008. 640 с.
14. Кораблев Ю.А. Метод восстановления функции по интегралам для анализа и прогнозирования редких событий в экономике // Экономика и математические методы. 2020. № 3 (в печати).
15. Barbera S., Hammond P.J., Christian S. Handbook of utility theory. Kluwer academic Publishers. 1998. Vol. 1.
16. Вершинина А.Г., Холодкова А.Е. Потребительские предпочтения как основа для формирования ассортиментной линейки мучных кондитерских изделий // Азимут научных исследований: экономика и управление. 2019. Т.8. № 3 (28). С. 105-108.
17. Мирная К.Ф., Ермолаева Е.О., Поздняковский В.М. Анализ потребительских предпочтений при выборе рулетов копчено-вареных из мяса птицы // Известия вузов, пищевая технология. 2015, № 1. С. 113-115.
18. Ng C.Y., Law K.M.Y. Investigating consumer preferences on product designs by analyzing opinions from social networks using evidential reasoning // Computers and Industrial Engineering. 2020. Vol. 139.
REFERENCES
1. Croston J.D. Forecasting and stock control for intermittent demands. Operational Research Quarterly (1970-1977). 1972; 23(3):289-303.
2. Johnston F.R., Boylan J.E. Forecasting intermittent demand: a comparative evaluation of Croston's method. Comment. International journal of forecasting. 1996; 12(2):297-298.
3. Altman N. S. An introduction to kernel and nearest-neighbor nonparametric regression. The American Statistician. 1992; 46(3):175-185.
4. Cover T., Hart P. Nearest neighbor pattern classification // IEEE Transactions on Information Theory. IEEE Transactions on Information Theory. 1967; 13(1), 21-27.
5. Walker S.H., Duncan D.B. Estimation of the probability of an event as a function of several independent variables. Biometrika. 1967. 54 (1/2): 167-178.
6. Efron B. and Tibshirani R.J. An introduction of the Bootstrap. New York: Chapman & Hall, 1993.
7. Willemain T.R., Park D.S., Kim Y.B., Shin K.I. Simulation output analysis using the threshold bootstrap. 2001;134(1):17-28.
8. Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Teoriya sluchaynykh protsessov i yeye inzhenernyye prilozheniya: ucheb. posobiye dlya vtuzov. 2-ye izd., ster. [The theory of random processes and its engineering applications: Textbook. allowance for technical colleges. 2nd ed.]. M.: Higher school., 2000. 383 p.
9. Korablev Yu.A. Yemkostnyy metod opredeleniya funktsii skorosti potrebleniya //Ekonomi-ka i menedzhment sistem upravleniya [Capacitive method for determining the consumption rate function // Economics and management systems management]. Voronezh: Scientific Book Publishing House, 2015. №15 (1.1). Рр. 140-150.
10. Korablev Yu.A. Pogreshnost'yemkostnogo metoda analiza redkikh sobytiy, udalennost' ot konechnogo potrebitelya [The error of the capacitive method of analysis of rare events, remoteness from the end consumer] // News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences. Nalchik, 2019. No 3 (89). Pp. 48-77.
11. Korablev Yu.A. Yemkostnyy metod analiza redkikh sobytiy v torgovle razlichnymi to-varami [A capacitive method for the analysis of rare events in the trade in various goods] // Business. Education. Law. Bulletin of the Volgograd Institute of Business. 2019. No. 3 (48). Pp. 121-131.
12. Korablev Yu.A. Razbor prichin i otsenka pogreshnosti anomal'nykh kartin v yemkost-nom metode analiza redkikh sobytiy // Ekonomika i upravleniye: problemy, resheniya [Analysis of the causes and error estimation of anomalous pictures in the capacitive method of analysis of rare events // Economics and management: problems, solutions]. M.: Scientific library, 2017. № 8 (6). Pp. 8-12.
13. Bowersox Donald J., Kloss David J. Logistika: integrirovannaya tsep'postavok. 2-ye izd. [Logistics: Integrated Supply Chain. 2nd ed.] / Transl. from English N.N. Baryshnikova, B.S. Pinsker. M.: Olymp-Business CJSC, 2008. 640 p.
14. Korablev Yu.A. Metod vosstanovleniyafunktsii po integralam dlya analiza i prognoziro-vaniya redkikh sobytiy v ekonomike [A method of recovering a function by integrals for analysis and forecasting of rare events in the economy] // Economics and Mathematical Methods. 2020. No. 3 (in press).
15. Barbera S., Hammond P.J., Christian S. Handbook of utility theory. Kluwer academic Publishers. 1998. Vol. 1.
16. Vershinina A.G., Holodkova A.E. Potrebitel'skiye predpochteniya kak osnova dlya formi-rovaniya assortimentnoy lineyki muchnykh konditerskikh izdeliy [Consumer preferences, as a basis for the formation of an assortment line of flour confectionery] // Azimuth of Scientific Research: Economics and Management. 2019.V. 8. No. 3 (28). Pp. 105-108.
17. Mirnaya K.F., Ermolaeva E.O., Pozdnyakovsky V.M. Analiz potrebitel'skikh predpochteniy pri vybore ruletov kopcheno-varenykh iz myasa ptitsy [Analysis of consumer preferences when choosing smoked-boiled poultry meat rolls] // University News, Food Technology. 2015. No. 1. Pp. 113-115.
18. Ng C.Y., Law K.M.Y. Investigating consumer preferences on product designs by analyzing opinions from social networks using evidential reasoning//Computers and Industrial Engineering. 2020. Vol. 139.
MODELING AND RESTORATION OF CUSTOMER PREFERENCES BETWEEN TWO ALTERNATIVE PRODUCTS USING THE CAPACITY METHOD OF RARE EVENTS ANALYSIS IN THE ECONOMY* (Part 1)
Yu.A. KORABLEV
Financial University under the Government of the Russian Federation (Finuniversity) 125993, Russia, Moscow, Leningradsky prospect, 49 Email: academy@fa.ru
This article proposes an approach to restore the dynamics of changes in consumer preferences between two alternative products from the rare events data associated with the purchases of these goods, based on the capacity method of rare events analysis. The main idea of the capacity method, in which rare events are analyzed from the point of view of the processes occurring inside the sources of events, is briefly described. Consumption processes, which are the most common in the economy during the events formation, can be modeled as processes of emptying / filling capacity. This allows to restore the change rate of this capacity level (the rate ofproducts stock change) using the mathematical method of restoring the function by integrals. Four variants for the events formation with the replenishment of two alternative products stocks are considered. For each variant, suggestions on how to restore the changes dynamics in consumer preferences between two alternative products are presented. For the variant in which the consumer replenishes the stocks of both goods when any of the goods stock runs out, it is necessary to first perform the recognition task and determine whether the event is formed by end of stock of the first or second product. Recommendations for the implementation of this recognition are given. The restoration examples of the change dynamic in preference between two alternative products are shown.
Keywords: rare events, capacitive method, consumption rate, recovery, preference, alternative products.
Работа поступила 27.04.2020 г.
* The article was prepared based on the results of studies carried out at the expense of budgetary funds on the state assignment of the Financial University of 2020
