CC BY
29
4. Determination of optimum switching angles for speed control of switched reluctance motor drive system / Hamid Ehsan Akhter et al. // Indian Journal of Engineering and Materials Sciences, 2004. -Vol. 11(3). - P.151-168.
5. Карпович О.Я, Онищенко О.А. Компьютерное исследование динамических свойств вен-тильно-индукторного двигателя // Электротехника и электромеханика. - 2003. - № 4. - С. 42-45.
6. Карпович О.Я., Онищенко О.А. Разработка моделей с упрощенными контурами тока для вентильно-индукторного микроэлектропривода // Вестник НТУ «ХПИ». Проблемы автоматизированного электропривода. Теория и практика. - 2004. - № 43. - С. 91-94.
УДК 519.7+550.3
О.В. Мандрикова 12, Ю.А. Полозов 12, Н.В. Фетисова (Глушкова) 12
'Камчатский государственный технический университет, г. Петропавловск-Камчатский, 683003;
2Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Камчатский край, 684034 e-mail: oksanam'@mail. ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ
Предложены алгоритмы идентификации моделей временных рядов сложной структуры, основанные на совмещении вейвлетов с классом моделей авторегресии - проинтегрированного скользящего среднего и нейронными сетями. Алгоритмы позволяют детально изучить структуру ряда и выделить характерные компоненты. В процессе моделирования и оценки ошибок алгоритмы позволяют выявить аномалии, обусловленные изменением структуры временного ряда.
Применение предложенных средств для моделирования временных рядов критической частоты ионосферы показало их эффективность и позволило выявить аномалии в периоды ионосферных возмущений. Построены аппроксимации временного хода параметров ионосферы для районов Камчатки и Магадана (регистрацию данных выполняет ИКИР ДВО РАН). Сопоставление выявленных аномалий с геомагнитными данными и каталогом землетрясений п-ова Камчатка позволяет сделать предположение, что аномальные изменения в ионосфере в анализируемых районах могут быть обусловлены повышенной солнечной активностью, а также могут наблюдаться в периоды повышенной сейсмической активности на Камчатке.
Ключевые слова: вейвлет-преобразование, модель авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего, нейронная сеть, критическая частота ионосферы, аномалии.
10 10 10 1
O.V. Mandrikova , , N.V. Glushkova , , Yu.A. Polozov , ( Kamchatka State Technical University, Petropav-
lovsk-Kamchatsky, 683003; 2Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Paratunka, Kamchatka, 684034). Modeling and analysis of complex time series
In the paper we suggest algorithms for identification of complex time series models based on combining wavelets with a class of autoregressive-integrated moving average models, and neural networks. The algorithms allow us to study in detail the structure of time series and to extract characteristic components. During the course of modeling and error estimates the algorithms allow us to detect anomalies caused by changes in the structure of time series.
The application of the proposed techniques for modeling of the ionospheric critical frequency time series has shown their effectiveness and made it possible to detect anomalies during the periods of ionospheric disturbances. Approximations of the ionospheric parameter time variation were obtained for the regions located in Kamchatka and Magadan (data were registered by the Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation of the Far-Eastern Branch of Russian Academy of Science (IKIR FEB RAS)). The comparison of detected anomalies with geomagnetic data and the seismic catalogue data for Kamchatka Peninsula has made it possible to suggest that anomaly changes in the ionosphere in the monitored regions may be due to increased solar activity and may also occur during the periods of increased seismic activity in Kamchatka.
Key words: wavelet transform, an autoregressive-integrated moving average model, a neural network, the ionospheric critical frequency, anomalies.
Введение
Работа направлена на разработку математических моделей для аналитического описания природных временных рядов сложной структуры и построения автоматизированных систем моделирования и анализа на их основе. Наличие модели природного временного ряда, несущего информацию об исследуемом процессе либо явлении природы, значительно расширяет возможности их изучения, а также позволяет решать задачу предсказания их поведения во времени. Наряду с другими методами исследований анализ временных рядов систем геофизического мониторинга, регистрирующих вариации геофизических полей, имеет крайне важное значение для решения целого ряда фундаментальных научных задач физики атмосферы, ионосферы, магнитосферы, распространения радиоволн и практических задач обеспечения, в конечном счете, безопасной жизнедеятельности на Земле [1-5]. В данной статье рассматривается задача, связанная с анализом параметров ионосферы и обнаружением аномальных эффектов, возникающих в периоды ионосферных возмущений.
Регистрируемые временные ряды параметров ионосферы имеют сложную нестационарную структуру, зависящую от суточного и сезонного хода процесса, солнечной и геомагнитной активности [1-7]. В периоды повышения солнечной активности на фоне регулярных изменений в ионосферных параметрах могут наблюдаться аномальные изменения [1, 2, 4]. Моменты возникновения, относительная величина и временная протяженность ионосферных аномалий зависят от многих факторов. В сейсмоактивных районах Земли аномалии в ионосфере также могут быть обусловлены повышенной сейсмической активностью [1, 6, 7]. Ионосферные аномалии вызывают серьезные нарушения в новейших сложных коммуникационных и навигационных системах, поэтому задача контроля состояния ионосферы и оперативного выделения аномалий является весьма важной [1-5]. Несмотря на интенсивное развитие технологий мониторинга околоземного пространства и методов анализа данных, возможности контроля и прогноза состояния ионосферы в настоящее время еще весьма ограничены [1, 5]. Помимо сложности характера процесса данная проблема связана с отсутствием возможности прямых измерений, в некоторых случаях с редкой сетью ионозондов и низкой чувствительностью измерительных приборов, а также с разрозненностью используемых технологий и методов [1, 5].
Сложная структура ионосферных данных, а также наличие мешающих факторов различной природы делают неэффективным непосредственное применение к ним традиционных методов анализа временных рядов [8, 9]. В настоящее время интенсивное развитие в задачах контроля и прогноза состояния ионосферы получают методы адаптивной фильтрации, нейронные сети и вейвлет-преобразование [2-5, 9]. Естественным и наиболее эффективным способом представления ионосферных данных является построение нелинейных адаптивных аппроксимирующих схем на основе экстраполирующих фильтров. Инструментом, позволяющим реализовать такую процедуру, является вейвлет-преобразование [10, 11]. Использование в алгоритмах распознавания ионограмм методов вейвлет-преобразования [3] позволило значительно повысить скорость и качество их распознавания в автоматическом режиме для районов Юго-Восточной Азии, тем самым оптимизировать процесс мониторинга параметров ионосферы и раннего выявления ионосферных неоднородностей в этих районах. Расширяя область традиционных методов моделирования и анализа временных рядов, в более ранних работах авторами введены математические конструкции, основанные на вейвлетах и позволяющие описать данные сложной структуры [6, 7, 12]. Представленная работа является их продолжением. В статье предложены алгоритмы идентификации моделей временных рядов, основанные на совместном применении моделей авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) и многослойных прямонаправленных нейронных сетей с вейвлет-преобразованием. Алгоритмы позволяют детально изучить структуру ряда и путем минимизации погрешности аппроксимации выделить характерные компоненты и подавить шум. Для детального анализа аномалий применяется алгоритм, основанный на непрерывном вейвлет-преобразовании и пороговых функциях.
На примере данных критической частоты ионосферы (/с^2) показана эффективность алгоритмов. В исследовании использовались часовые данные критической частоты ионосферы /^2) за период с 1969 по 2012 гг. для районов Камчатки и Магадана. Построены аппроксимации временного хода данных, выполнен анализ данных и выделены аномалии в ионосфере, возникающие в периоды повышенной солнечной и геомагнитной активности, также в моменты сильных землетрясений на Камчатке.
Описание алгоритмов Представление данных на основе кратномасштабных вейвлет-разложений
В качестве базового пространства регистрируемых дискретных данных /■ рассмотрим
замкнутое пространство V = ф(277 — к)): к е Z), порожденное масштабирующей функ-
цией фе Ь2(Я), ¿2(Я) - пространство Лебега, Ъ - множество целых чисел [10, 11]. Не нарушая общности, примем 7 = 0. На основе кратномасштабных вейвлет-разложений (КМА) до уровня т функция / может быть представлена [6, 7, 10]:
т=£ g[2Jt]+(1)
7=—1
где / [2 ~mt с_т кф_т к(1) - сглаженная компонента масштаба т, / [2_т7 ]еУ—т,
к
С—т,к ={ / , ф— т,к); 8 [2 ]t ]=! < ],к ,к () - детализирующая компонента масштаба 7,
к
g[2jt]еЖ/, V. - пространство, порожденное вейвлет-базисом ^ к(t) = 27 24(24 — к), = (/,] •
Схема представления функции /0 на основе соотношения (1) показана на рис. 1.
Рис. 1. Схема представления функции на основе КМА
Алгоритм идентификации модели временного ряда на основе совмещения вейвлет-преобразования с методами АРПСС
На основе КМА и путем изменения уровня разложения т мы можем получить различные представления временного ряда. Наша задача - определить наилучшее представление, которое выделит стационарные составляющие из шума и позволит получить для них адекватную модель АРПСС. Сглаженные компоненты вейвлет-разложений /[2—менее подвержены влиянию случайного фактора, чем детализирующие g[2J ^ (см. соотношение (1)), следовательно, решение задачи построим на анализе сглаженных компонент:
1. Выполним кратномасштабные вейвлет-разложения ряда до уровней т = 1, М (максимальный допустимый уровень разложения М определяется длиной ряда N : М < log2 N) и получим
набор сглаженных компонент f [2—^] = ^ е—т кф—тк (0, т = 1,М .
2. Из набора компонент ^2 mt], т = 1,М определим стационарные компоненты. Для стационарных компонент , используя традиционные подходы [13], выберем модели из класса АРПСС для их аппроксимации и получим представление каждой компоненты в виде:
т
к
f—m [2 mt] = £ ^m,kФ —m,k (t),
p h где s-m,k =iy-m,lm,k—l — Z9
l=1 n=1
a-mk = i , - оператор взятия разности порядка v ; p, y—m l - порядок и параметры ав-
торегрессии сглаженной компоненты; h , в_тп - порядок и параметры скользящего среднего сглаженной компоненты, а_от к - остаточные ошибки модели. 3. Выполним оценку погрешностей моделей компонент:
к к
Em = ZZ em+r ,
k=1 r=1
[„факт „прогноз*2 г Л
где ek+r = r — s_mk+ r j - ошибка модели компоненты в точке
k с упреждением r , s——mmKm+r - фактические значения компоненты ряда, snp°z™r - модельные значения компоненты ряда, R - длина упреждения данных, K - длина компоненты ряда.
4. Наилучшим представлением временного ряда будем считать представление, соответствующее КМА до уровня m*, где m* : E . = minEm .
5. Из набора детализирующих компонент g[2-'У], Ч = — 1,—да определим стационарные компоненты. Для стационарных компонент g[2J t], используя традиционные подходы [13], выберем модели из класса АРПСС для их аппроксимации.
6. Компоненты g[2 Ч ], которые не являются стационарными, содержат локальные особенности и шум.
7. Используя соотношение (1), объединим полученные модели компонент в общую многокомпонентную конструкцию, описывающую временной ход данных:
ЛЬ) =£ Ч,кЬIк(0, (2)
ц=1,Т к=1,^
рч у
где 5— а- оценочное значение ц -й компоненты; рЧ, у1^ - порядок и
ы и=1
параметры авторегрессии ц -й компоненты; НЦ, - порядок и параметры скользящего среднего ц -й компоненты; юЧк =Уу рч к , уц - порядок разности ц -й компоненты, р* к = с^ к, = , ц = 2 ,Т, Т - количество моделируемых компонент, аЦк - остаточные ошибки модели ц -й компоненты, NЧ - длина ц -й компоненты, Ь^ к =ф ^ к - масштабирующая функция, Ьц к = ^ к, ц = 2, Т - вейвлет-базис ц -й компоненты.
Прогнозирование значения 5 г, г > 1 определяет прогноз 5 в точке к с упреждением г.
на основе модели ц-й компоненты определяется как
ц а ц
Ч ,п Ч,к+г—п •
Значение S j,k + r на
pj hj
S jk+r l=1 lш j,k+r—l — Z 9 n=1
Остаточные ошибки модели ц -й компоненты определяются как разность между фактиче-
,ц _ ц.фактч _ ц.прог
Ч.к+г = 5 Ч.к+г 5 ].к+г
1 , „ц. ц,фактч и.,прогноз
скими и прогнозными значениями в точке k + r : а^к+г = — s^
k
mna-mk-n - оценочное значение сглаженной компоненты;
На рис. 2 в качестве примера представлены автокорреляционные функции (АКФ) ряда критической частоты ионосферы за период 19.12.2011-08.01.2012 г. Также на рис. 2 показаны АКФ первой разности ряда и выделенных, на основе предлагаемого алгоритма, его компонент / [23 г ]
и g[23 г].
Я
1 5 10 15 20 24
Лаги
б л
10 15 20 24
Лаги
ШМм
IIИ11111П1Уп
1
0.5
о
-0.5
10 1 5 20 24 1
Лаги
I
Г
10 15 20 24
Лаги
ШМи, .
1ГИ11II и! и У-1 «|
1
0.5
о
I
10 15 20 24 1 5
Лаги
10 15 20 24
Лаги
Рис. 2. Автокорреляционные функции: а - АКФ ряда/р2; б - АКФ первой разности ряда/дК2; в - АКФ компоненты /[2_3 г]; г - частная АКФ компоненты /[2_3 г]; д - АКФ компоненты g[2~3 г]; е - частная АКФ компоненты g[2~3 г]
Анализ рис. 2 показывает, что исходный ряд имеет сложную нестационарную структуру, и непосредственное применение методов АРПСС не позволит получить для него адекватную модель. Выделенные компоненты ряда имеют затухающие автокорреляционные функции, что, в соответствии с методами АРПСС, позволяет идентифицировать для них модели и подтверждает эффективность предлагаемого алгоритма.
Аппроксимация сглаженной компоненты ряда на основе нейронной сети
Описанный выше способ моделирования и анализа параметров ионосферы, основанный на совмещении вейвлет-преобразования с методами АРПСС, позволяет выявлять закономерности в данных и получать прогноз параметров. Вместе с тем он имеет ограничения на возможность его использования для отдельных структур данных. Учитывая разнообразие и сложную форму аномалий, возникающих в ионосфере, для аппроксимации и анализа временных рядов критической частоты ионосферы совместно с данным способом в работе применяется аппарат нейронных сетей. Нейронные сети хорошо зарекомендовали себя при воспроизведении сложных нелинейных зависимостей данных [2, 4, 12]. В работах авторов [12, 14] показано, что данный аппарат совместно с вейвлет-преобразованием позволяет построить аппроксимации компонент ряда критической частоты ионосферы и выявить ионосферные аномалии [12, 14, 15]. Ниже представлен алгоритм аппроксимации сглаженной компоненты ряда критической частоты ионосферы, используемый в данной работе.
Алгоритм аппроксимации компоненты /[21] ряда/Р2:
1. Выполняем вейвлет-восстановление компоненты /[2 31] до исходного разрешения и получаем ее представление в виде [10]:
/(() = £ С0ДФ 0,к (') .
к
2. Для исключения влияния краевого эффекта, возникающего при вейвлет-обработке, у восстановленного набора данных удаляем первые и последние 2 1 * q отсчетов (размер окрестности, содержащей краевой эффект, на масштабном уровне (-1) определяется по формуле к-1 = 2 1 * q, где q - размер носителя используемого вейвлета).
3. Полученный массив данных {с0 к , где К - число элементов массива, делим на блоки: {с0к^,{с0к}0"1,...,{С0к}к_г_ е. Длина блока 2 = 24, определялась в соответствии с
суточным ходом часовых данных ^0^2.
4. Используя полученные блоки данных, формируем сеть переменной структуры [14]. Критерием качества обучения сети является:
Е А =
'1
П
5> А,2 (1)'
'=1
где вА > 0 - наперед заданное маленькое значение, е^,.(/) = с', - с^ - ошибка решения в дискретный момент времени I с шагом упреждения ', е'01 - желаемое, с' 1 - действительное выходное значение сети, I - длина выходного вектора сети.
Выделение и детальный анализ аномалий на основе непрерывного вейвлет-преобразования
Относительно каждого базисного вейвлета ^ непрерывное вейвлет-преобразование определяется формулой [10, 11]
КЛ,а)НаГ2 I/ е ¿2(Я),а, V е Я, а Ф 0.
— ГШ ^
Так как вейвлет ^ имеет нулевое среднее значение, при стремлении масштаба а к нулю коэффициенты (w^fv а) характеризуют свойства функции / в окрестности V . Согласно теореме Жаффара [10], когда масштаб а убывает, амплитуды коэффициентов fvа\ имеют быстрое убывание до нуля в областях, где функция f не имеет локальных особенностей. Это свойство непрерывного вейвлет-преобразования позволяет получать детальную информацию о локальных свойствах функции f .
Основываясь на этом свойстве вейвлет-преобразования, для выделения аномальных особенностей воспользуемся пороговой функцией:
ХДа,если \Wyfv,а - > Та
0, если \wwfvа-Wwfvnаd\< Та
^Ла ) Ч
где порог Та = С/ * Ла - определяет наличие аномалии на масштабе а вблизи точки Е, содержа-
щейся в носителе ^ а (см. замечание ниже), Stа =
гТл WT1/V,а)2, W^Чfv.
Ф - 1 ,=1
Ww/^к - соответственно среднее значение и медиана, определяемые в скользящем временном окне длины Ф и, с учетом суточного хода данных/ор2, вычисляемые для каждого часа отдельно, С - коэффициент порога.
< е а
Замечание [10] . Так как носитель ^ а на масштабе а равен [у - Оа, V + Оа], то конус влияния точки Е на масштабе а определяется неравенством
|у <О*а.
Соответственно с замечанием временная длительность аномалии на масштабе а определяться конусом влияния точки Е и равна
Н„ = 2 *О*а.
Моделирование и анализ данных ионосферы
Для идентификации моделей использовались данные в периоды спокойного геомагнитного поля и не содержащие сильных сейсмических событий. Поскольку временной ход данных f0F2 существенно зависит от сезона, построение моделей для каждого сезона выполнялось отдельно. В разложениях использовался вейвлет Добеши 3-го порядка, который был определен путем минимизации погрешности аппроксимации.
На основе алгоритма, описанного в п. 2.2, идентифицирована модель ряда/0Р2 вида:
-2
МО = / [г3 х ]+ я [г3 х ]+£ g[2 'г ], (3)
]=-1
где /[2 3X]=Хс-3,кф-3,к(X) - сглаженная стационарная компонента, g[2 3X] = Х^-3,к¥-3,к(X) -к к
детализирующая стационарная компонента, g[2Ч] = Х dj,k(X) j = -1,-2 - детализирующие
к
компоненты, содержащие локальные особенности и шум.
Для аппроксимации компоненты /[2 3 X] ряда /00р2 построена нейронная сеть, имеющая следующую структуру:
( ( (Г
/ар (X ) =
ХЮЛк Xс0,кФ0,к (X) к \ к
где ш^к - весовые коэффициенты нейрона ^входного слоя сети, - весовые коэффициенты нейрона ^ скрытого слоя сети, ш^ - весовые коэффициенты нейрона и выходного слоя,
фЦ^ = Ф1 (г) —-, Ф3 (г) =* * ^ + У .
1 + ехр(- г))
На рис. 3, 4 представлены результаты совместного применения предлагаемых средств. Для анализа геомагнитной активности на рис. 3, 4 приведен К-индекс. Анализ рис. 3 показывает, что в период сейсмического события в ионосфере формируется многомасштабная положительная аномалия (повышение концентрации электронов относительно характерного уровня), длительность которой составляет около полутора суток (рис. 3, д), что согласуется с результатами моделирования данных (рис. 3, в). После землетрясения наблюдается увеличение ошибок моделей компоненты /[2 3 X] (рис. 3, б, г), что, возможно, обусловлено переходным процессом в ионосфере.
В период повышенной геомагнитной активности (рис. 4, е) в ионосфере формируется крупномасштабная положительная аномалия, которая в ночное время сменяется на крупномасштабную отрицательную аномалию. Длительность отрицательной аномалии составила около 2 суток, в этот период в моделях компоненты /[2 3X] наблюдается увеличение ошибок (рис. 4, б, г). Мелкомасштабные аномалии (рис. 4, д) и ошибки модели детализирующей компоненты я[23 X] (рис. 4, в), наблюдающиеся 08.08.2010, возможно, связаны с сильным землетрясением, произошедшим после магнитной бури 5 августа 2010 г. на Камчатке.
и
seat sea-i зоп-i 01)02 03.0s osos ai.os
Рис. 3. Результаты обработки данных fgF2 станции «Паратунка» за период 25.01-07.02.1987: a - временной ряд f0F2,
время местное; б - абсолютные значения ошибок модели компоненты /[2~3í]; в - абсолютные значения ошибок модели компоненты g[231]; г - абсолютные значения ошибок нейронной сети; д - аномалии, выделенные на основе алгоритма п. 2.4 (черным - отрицательные аномалии, серым - положительные), коэффициент порога U = 2.3, длина временного окна Ф = 336 часов; е - К-индекс. Пунктирная линия (б) и (в)- стандартные отклонения ошибок моделей. Стрелкой отмечен момент возникновения землетрясения на Камчатке (энергетический класс Ks = 12)
06.08 о&.ое юле
Рис. 4. Результаты обработки данных/0р2 за период 04.08-12.08.2010: а - временной ряд/0р2, время местное;
б - абсолютные значения ошибок модели компоненты /[2 У]; в - абсолютные значения ошибок модели компоненты
g[2 ъ ?]; г - абсолютные значения ошибок нейронной сети; д - аномалии, выделенные на основе алгоритма п. 2.4 (черным - отрицательные аномалии, серым - положительные), коэффициент порога и = 1.7, длина временного окна Ф = 336 часов; е - К-индекс. Пунктирная линия (б) и (в) - стандартные отклонения ошибок моделей. Стрелкой отмечен момент возникновения землетрясения на Камчатке (энергетический класс К = 12.8)
Выводы
На основе совмещения вейвлет-преобразования с методами АРПСС и нейронными сетями выполнены моделирование и анализ данных критической частоты ионосферы и выделены разномасштабные аномалии, возникающие в периоды ионосферных возмущений. Анализ результатов обработки данных показал, что аномальные изменения в ионосфере могут быть обусловлены повышенной солнечной активностью, а также могут наблюдаться в периоды повышенной сейсмической активности на Камчатке.
Разработанное программное средство по выделению и детальному анализу аномалий в параметрах ионосферы, основанное на непрерывном вейвлет-преобразовании, размещено на сайте http://www.ikir.ru/ru/Departments/Paratunka/lsa/patents_programs/art001.html.
Данные сейсмического каталога любезно предоставлены Камчатским филиалом геофизической службы РАН (г. Петропавловск-Камчатский).
Работа поддержана грантом стипендии Президента Российской Федерации СП-2976.2013.5, грантом «УМНИК» - № 11754р/17262 от 05.04.2013, грантом РНФ № 14-11-00194.
Литература
1. The use of GPS arrays in detecting the ionospheric response during rocket launchings / E.L. Afraimovich, E.A. Kosogorov, K.S. Palamarchouk, N.P. Perevalova, A.V. Plotnikov // Earth, Planets, and Space. - 2000. - Vol. 52, № 11. - P. 1061-1066.
2. Nakamura M., Maruyama T. Shidama Y. Using a neural network to make operational forecasts of ionospheric variations and storms at Kokubunji, Japan // Journal of the National Institute of Information and Communications Technology. - 2009. - Vol. 56. - P. 391-406.
3. Development of automatic scaling software of ionospheric parameters / H. Kato, Y. Takiguchi, D. Fukayama, Y. Shimizu, T. Maruyama M. Ishii // Journal of the National Institute of Information and Communications Technology. - 2009. - Vol. 56. - P. 465-474.
4. TEC prediction with neural network for equatorial latitude station in Thailand / K. Watthanasangmechai, P. Supnithi, S. Lerkvaranyu, T. Tsugawa, T. Nagatsum, T. Maruyama // Earth, Planets and Space. - 2012. - Vol. 64. - P. 473-483.
5. Bilitza D., Reinisc B.W. International Reference Ioinosphere 2007: Improvements and new parameters // Advances in space research. - 2007. - Vol. 42. - P. 599-609.
6. Мандрикова О.В., Глушкова Н.В., Живетьев И.В. Моделирование и анализ параметров ионосферы на основе совмещения вейвлет-преобразования и авторегрессионных моделей // Геомагнетизм и аэрономия. - 2014. - № 5.
7. Mandrikova O., Glushkova N., Polozov Yu. Modeling and analysis of time variations of ionospheric parameters on the basis of wavelet transform and multicomponent models // Pattern Recognition and Image Analysis. - 2014. - Vol. 24.
8. Marple S. Digital spectral analysis with applications. - New-Jersey: Prentice-Hall, 1987.
9. Pervak S., Choliy V., Taradiy V. Spectral Analysis of the Ionospheric Irregularities from GPS Observations // Proc. of the 17th Annual Conf. of Doctoral Students - WDS 2008, Prague, Part II -Physics of Plasmas and Ionized Media. - 2008. - P. 189-191.
10. MallatS. A Wavelet tour of signal processing [Пер. с анг.]. - М.: Мир, 2005. - 671 с.
11. Chui C.K. An introduction in wavelets. - New York: Academic Press, 1992.
12.Mandrikova O.V., Polozov Yu.A., Zaliaev T.L. Methods of analysis and interpretation of ionospheric critical frequency FOf2 data based on wavelet transform and neural networks // European Seis-mological Commission 33-rd General Assembly (GA ESC 2012) 19.08.2012 - 24.08.2012.
13.Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. -604 с.
14. Method of detection of abnormal features in ionosphere critical frequency data on the basis of wavelet transformation and neural networks combination / O.V. Mandrikova, Yu.A. Polozov, V.V. Bogdanov, E.A. Zhizhikina // A Journal of Software Engineering and Applications. - 2012. -Vol. 5, №. 12B. - P. 181-187. doi:10.4236/jsea.2012.512b035.
15.Martin J.D., Morton Yu T., Zhou Q. Neural network development for the forecasting of upper atmosphere parameter distributions // Advances in Space Research. - 2005. - Vol. 36. - P. 2480-2485.
