CC BY
27
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4
УДК 532.5, 556 DOI 10.23683/0321-3005-2019-4-27-35
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНЦЕНТРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ ПРИ ИЗОТАХОФОРЕЗЕ*
© 2019 г. М.Ю. Жуков12, О.А. Цывенкова1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт ВНЦРАН, Владикавказ, Россия
SIMULATION OF GRAVITATIONAL CONCENTRATION CONVECTION IN ISOTACHOPHORESIS
M. Yu. Zhukov1'2, O.A. Tsyvenkova1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia
Жуков Михаил Юрьевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Во-ровича, Южный федеральный университет, ул. Мильча-кова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; профессор, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, Владикавказ, РСО-А, 362027, Россия, e-mail: myzhukov@sfedu.ru
Цывенкова Ольга Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воро-вича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: oacyven-kova@sfedu.ru
Michael Yu. Zhukov - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Department of Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Professor, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Markusa St., 22, Vladikavkaz, RNO-A, 362027, Russia, e-mail: myzhukov@sfedu.ru
Olga A. Tsyvenkova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: oacyvenkova@sfedu.ru
Построена математическая модель, описывающая гравитационную концентрационную конвекцию при изотахофорезе - методе разделения многокомпонентной смеси на индивидуальные компоненты при помощи внешнего электрического поля. В финальной стадии процесса изотахофореза смесь разделяется на отдельные компоненты, образуя пространственные зоны, границы которых движутся с одинаковой скоростью. Концентрации веществ в зонах почти всюду постоянны, за исключением малых окрестностей границ. В процессе разделения возникает сильная пространственная стратификация жидкости по плотности. В гравитационном поле возможно возникновение конвективной неустойчивости, которая может приводить к разрушению границы между зонами и перемешиванию разделившихся компонент смеси, снижая разрешающую способность метода.
Задача исследования конвективного перемешивания сводится к отысканию критических значений параметров -характерного коэффициента диффузии, подвижностей, коэффициентов концентрационного сжатия и т. п. Ввиду того что размеры отдельных зон, как правило, много больше, чем ширина границы между зонами, достаточно ограничиться исследованием в окрестности границы раздела лишь между двумя какими-либо зонами. Точную постановку задачи гидродинамической устойчивости предлагается заменить асимптотической моделью, основные особенности которой заключаются в следующем. Во-первых, задача на бесконечной оси заменяется на задачу в области, в которой концентрации компонент существенно отличаются от постоянных. Во-вторых, уравнения переноса вещества заменяются на их аналоги, справедливые в окрестности границы. В частности, последнее предположение позволяет заменить действительные распределения концентрации веществ в окрестности границы, описываемые функцией Лерха, на линейные распределения.
* Работа выполнена при финансовой поддержке базовой части государственного задания № 1.5169.2017/БЧ Министерства образования и науки РФ, ЮФУ.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4
Ключевые слова: конвективная неустойчивость, вязкая жидкость, разделение многокомпонентной смеси, изотахофорез.
A mathematical model describing gravitational concentration convection under isotachophoresis, a method of separating a multicomponent mixture into individual components using an external electric field, is constructed. In the final stage of the isotachophoresis process, the mixture is divided into separate components, forming spatial zones whose boundaries move at the same velocity. The concentrations of substances in the zones are almost everywhere constant except in the small vicinity of the boundaries. In the process of separation, there is a strong spatial stratification of the liquid density. In the gravitational field, convective instability may occur, which can lead to the destruction of the boundary between the zones and the mixing of the separated components, reducing the resolution of the method.
The convective mixing problem is reduced to finding critical values of parameters - characteristic of the diffusion coefficient, mobilities, concentration etc. Due to the fact that the size of individual zones, usually much more than the width of the boundary between the zones, it is sufficient to only study problem in the vicinity of the boundary between the two any zones. The exact formulation of the problem of hydrodynamic stability is proposed to replace the asymptotic model, the main features of which are as follows. First, the problem on the infinite axis is replaced by a problem in the domain in which the component concentrations differ significantly from the constants. Secondly, the transport mass equations are replaced by their analogues, which are valid in the vicinity of the boundary. In particular, the latter assumption allows us to replace the real distributions of the concentration of substances in the vicinity of the boundary, described by the Lerch function, by linear distributions.
Keywords: convective instability, viscous liquid, multicomponent mixture separation, isotachophoresis.
Введение
Метод изотахофореза предназначен для разделения многокомпонентных смесей на индивидуальные компоненты при помощи электрического поля. В электрофоретическую камеру, представляющую собой длинный тонкий капилляр, разделяемая смесь помещается между двумя эталонными электролитами, имеющими наименьшую и наибольшую подвижность в электрическом поле (терминатор и лидер). В финальной стадии вещества смеси, имеющие различную подвижность, в процессе разделения образуют пространственные зоны, содержащие лишь одну компоненту смеси и движущиеся с постоянной скоростью. Подробное описание процесса изотахофореза, который также иногда называется методом подвижной границы, имеется, например, в [1, 2]. Математические модели процесса в бездиффузионном приближении построены в [310], детальное описание процесса разделения смеси при изотахофорезе дано в [6, 10], вычислительные эксперименты, результаты которых хорошо совпадают с экспериментами, описаны, в частности, в [11].
Основными факторами, влияющими на разрешающую способность метода - ширину границы между отдельными зонами - в случае капиллярных электрофоретических камер (пространственно одномерных), являются напряженность
электрического поля и эффекты диффузии. Влияние указанных факторов на ширину границы между зонами на основе математических моделей исследовано в [10, 12] и качественно, например, в [13]. В случае пространственно неодномерных камер при препаративном изотахофорезе (выделение веществ в больших количествах) на ширину зоны существенно влияет гравитационная концентрационная конвекция.
Дело в том, что при разделении смеси на зоны, содержащие отдельные компоненты, возникает сильная пространственная стратификация смеси по плотности, так как индивидуальные вещества имеют различную плотность. На границе между тяжелой и легкой зонами в поле тяжести возникает конвективное перемешивание жидкости (неустойчивость типа Рэлея - Тейлора), которое может полностью разрушить границу между зонами. Следует сказать, что проблемам конвективного перемешивания в задачах переноса массы электрическим полем, в частности, в задачах электрофореза, уделяется недостаточно внимания. Имеются лишь отдельные работы [10, 12, 14-18], в которых такие проблемы частично изучены. Применительно к задачам изотахофореза конвективная неустойчивость границ зон частично исследована в монографии [12], в которой, в частности, дан обзор состояния проблемы и намечены пути дальнейшего развития теории.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
Предлагаемая ниже работа является реализацией некоторых идей монографии [12], более конкретно, построения грубой асимптотической модели, описывающей конвекцию в окрестности границы между двумя зонами [12, с. 68, 69]. В случае плоской горизонтальной границы между двумя зонами (бесконечными слоями жидкости), перпендикулярной действию силы тяжести, критические значения параметров (характерный коэффициент диффузии, напряженность электрического поля, подвижность компонент) для некоторого примера вычислены в [12, с. 54-56]. Одна из трудностей численного решения задачи конвекции заключается в том, что решение задачи о механическом равновесии, хотя и находится явно, содержит трудновычисляемую трансцендентную функцию Лерха [19, с. 43-46; 12, с. 64, 65]. Другая трудность - приходится исследовать так называемую задачу об устойчивости со сдвигом, в данном случае в движущейся системе отсчета [20].
Схематичный вид профилей концентрации и1, и2 и проводимости смеси S = и1 + и2 в окрестности границы между двумя соседними зонами в случае механического равновесия показан на рис. 1. Хорошо видно, что существенное отличие концентраций компонент u1(z) , u2(z) от констант наблюдается лишь в области границы z1 < z < Z2. Именно в этой области имеется градиент концентраций, который в зависимости от знака градиента приводит либо к устойчивости, либо неустойчивости механического равновесия [21]. Достаточно очевидно, что наиболее опасной для возникновения неустойчивости является окрестность границы между зонами. Ввиду этого предлагается заменить сложную полную модель «грубой» асимптотической, заменяя профили концентраций для полной модели линейными профилями концентраций. Сформулируем основные гипотезы для асимптотической модели:
i. Бесконечная область заменяется конечной z1 < z < Z2, шириной W = Z2— Z1, т.е. областью, наиболее опасной с точки зрения возникновения неустойчивости.
ii. Точки z1, Z2 определяются как точки пересечения касательной линии S(z) = Sz(0)z + S(0) к функции S(z) в точке перегиба Szz(0) = 0 (рис. 1).
iii. Точные уравнения, описывающие процесс
« к
переноса концентраций и* электрическим полем с учетом диффузии, заменяются уравнениями диффузии - переноса, имеющими в стационарном случае линейные по переменной z решения.
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4
Отметим, что последнее наиболее существенное и нетривиальное предположение не эквивалентно замене профилей концентраций в окрестности границы линейными функциями. Во-первых, точки перегиба функций и1, и2, S(z) различны и замена профилей касательными привела бы к неоднозначности определения области окрестности границы. Во-вторых, простая замена в полной задаче одних функций на другие привела бы к некорректности постановки задачи об устойчивости - исходная задача оказалась бы линеаризованной на некотором произвольном решении, а не на решении, соответствующем механическому равновесию.
1 0 z2
Рис. 1. Окрестность границы между двумя зонами: S(-m) = Sb s(+ot) = S2; S(zJ = S1; S(z2) = S2; z = x3 — Vt; x3 - вертикальная координата;
V - скорость движения границы между зонами / Fig. 1. The neighborhood of the boundary between the two zones: S(—<xi) = s1; s(+ot) = s2; S(z{) = s1;
S(z2) = s2; z = x3 — Vt; x3 - vertical coordinate;
V - velocity of the boundary between zones
Для построенной указанным образом асимптотической модели с помощью метода нормальных мод [21] сформулированы спектральные задачи, позволяющие определять критические значения, при которых возможно возникновение монотонной (нейтральной) или колебательной неустойчивости в линейном приближении для механического равновесия. Критические значения параметров вычислены при помощи метода пристрелки. Модель справедлива для случая, когда ширина границы между зонами достаточно мала, т.е. в области, где возможна замена функций, описывающих механическое равновесие, линейными функциями. Учитывая, что W~£, где £ - характерный коэффициент диффузии [12, 10], асимптотическая модель применима в случае достаточно малых £.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 4
Основные уравнения и соотношения
Процесс изотахофореза описываем системой уравнений в безразмерных переменных [12, (5.1)-(5.5), (5.7); 10]
div v = 0, — = -d + v-V,
dt dt
%=-Vp + n Av-T.ru ßmUmk,
dt
(1)
,k
— + div = 0,
dt
k =
(2)
-£1ЛкУик + 1ЛкикЕ, (3)
)=Б Е, а = Тпит, (4)
div } = 0, Е = -Ч(р, (5)
где V - скорость; р - давление; ик - эффективная
■ к
концентрация компоненты; - плотность потока концентрации; ^ - кинематическая вязкость смеси; - коэффициент концентрационного сжатия; > 0 - подвижность компоненты в электрическом поле (скорость переноса); £^к -коэффициент диффузии; Е - напряженность электрического поля; ф - потенциал электрического поля; } - плотность электрического тока; 5 - проводимость смеси; к - орт оси х3; верхние индексы - нумерация компонент.
Неизвестными являются скорость у(х, £), давление р(х, £), концентрации ик(х, Ь) и потенциал ф(х,Ь). Все параметры предполагаются постоянными и известными.
Механическое равновесие
Разыскиваем решение уравнений (1)-(5), соответствующее механическому равновесию (V = 0), ограничиваясь рассмотрением лишь одной границы между соседними зонами, которые возникают в стационарной финальной стадии процесса изотахофореза. В этом случае система (1)-(5) сводится к двум уравнениям
/ к к\ дгик + дхз (-£^к дхзик + у'о ) = 0, (6)
Б = и1 + и2, к = 1,2, 0 < /и1 < \12. Здесь предполагается, что движение компо-
з .
нент смеси происходит вдоль оси х3; уо - заданная плотность тока; 5 - проводимость смеси.
Для построения решения вводим автомодельную переменную (переход в систему координат, движущуюся со скоростью V)
г = х3 -УЬ (7)
и разыскиваем автомодельное решение
ик = ик(г) с условиями при г =
и1(-^) = 51, и1(+ж) = 0, (8)
и2(-ю) = 0, и2(+ю) = 52, где 51, я2 - известные постоянные концентрации (совпадающие в безразмерных переменных с про-водимостями).
Опуская подробности построения решения задачи (6)-(8) [10, 12, с. 29-34], приведем соотношения для и1(г), и2(г), Б(г)
и1(у) = 5-Ш1 и2(у) =
73 J0
ys(y)
1+у , rs-l
dr
1+т
1+У
яу)=^(1 + у)у-
lim S(y) = sv lim S(y) = S2, У = yoe^z, Уо^уу(Уо) + Sy&o) = 0,
(9)
Л =
V =
vJ!pfl>0,8 = -^1>1,
Joß1
Joß2
> 0.
(10)
(11)
В [10] показано, что корень уравнения (10) для определения у о зависит лишь от 5, удовлетворяет оценке 5(5 — 1)-1 < Уо < и для вычисления у о можно использовать метод Ньютона, выбирая в качестве начального приближения у о = 5(5 — 1)-1. Приведем соотношения, которые потребуются при построении асимптотической модели [12, с. 66, 67] Б22(0) = 0, Бг(г) = АуБу, ^гг(^) = уА2(у5уу(у) + Бу(у)). Решение задачи (6)-(8) в виде (9) (см. рис. 1) описывает структуру ударной волны, в которую это решение вырождается при £ ^ +0 (отсутствие диффузии). Функция Б (у) представляет собой один из вариантов записи трансцендентной функции Лерха при помощи интегралов [19, с. 4346; 12, с. 64, 65].
Обратим внимание, что решение задачи (6)-(8) возможно только при выполнении условий (10), которые известны как условия Кольрауша [1-3, 5-13]. Иными словами, концентрации веществ в зонах вне окрестности границ между зонами в финальной стадии процесса не являются произвольными, а связаны между собой подвижностью веществ в электрическом поле. Именно выполнение условий Кольрауша приводит к тому, что все границы между зонами движутся с одинаковой постоянной скоростью. Это, в частности, оправдывает использование перехода (7) в движущуюся систему координат не только для окрестности границы между зонами, а для всей задачи (1)-(5) в целом.
1
2
S
S
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 4
Асимптотическая модель конвекции
При численном исследовании полной модели конвекции, как уже говорилось, одна из трудностей связана с вычислением функций, описывающих механическое равновесие, а также с бесконечностью области в направлении оси х3. Считая, что основной вклад в конвективное перемешивание вносит окрестность границы между зонами, рассматриваем лишь область < г <22, где , 22 - точки пересечения касательной £ = Б2(0)г + Б(0) к функции Б (г) в точке перегиба 2 = 0 с линиями 5 = Б = Б2 (см. рис. 1). Б2(0)г1 + Б(0) = 5-, Б2(0)г2 + Б(0) = з2, Бгг(0) = 0.
Сконструируем уравнения диффузии - переноса, которые в движущейся системе координат (7) в стационарном случае имеют линейные решения. Для этого заменим уравнения (2), (3) следующими:
div0 u + wz = 0, р = ß1u1 + ß2u2,
(16)
du1
+ div (—£plVul + ulVK) = 0.
(12)
Здесь принято во внимание, что в финальной стадии процесса изотахофореза вне окрестности границы в силу уравнения (4) и условий Кольра-уша (11) выполнены соотношения
}о = ^-Е1, ]о = 52Е2, р1Е1 = р2Е2 = V, Е12 = Е(+™) ■ к .
В стационарном случае в движущейся системе координат уравнения (12) принимают вид
-Уи'г - £р1и1гг + Уи12 = 0, 1 = 1,2. (13)
Добавляя условия сшивания решения внутри области г1 < г < г2 с решением вне области и1(21) = 51, и1(22) = 0, (14)
и2(21) = 0, и2(2-2) = 32, получим решение задачи (13), (14), соответствующее механическому равновесию, в виде линейных функций
= и%(г) = (15)
Заметим, что такое решение, справедливое в области 21< 2 < 22, в принципе, можно считать и решением на всей бесконечной оси со слабыми разрывами в точках г1, 22.
Таким образом, сохраняя «гидродинамическую часть» задачи, т.е. уравнения (1), заменяя уравнения (2)-(5) на (12), получим асимптотические уравнения, которые запишем в движущейся системе координат (х1,%2,2) для концентраций и1 и горизонтальной и и вертикальной w компонент скорости V = и + шк:
ut — Vuz + и • V0u + wuz = —V0p + p Ди, wt — Vwz + и • V0w + wwz = —pz + рДw — p, u[ + u• V0ul + wulz = e^Au1, V0 = (dXl, dX2), div0u = V0 • u.
Краевые условия (14), соответствующие свободным плоским недеформируемым непроницаемым границам области гt < 2 < 22'.
w(21) = 0, d^w(z1) = 0, w(z2) = 0, djwfa) = 0.
Здесь приведена только часть условий, которые потребуются далее для записи спектральной задачи. Полные краевые условия для жидкости на свободной недеформируемой границе см., например, в [21].
Спектральная задача
Для отыскания критических значений параметров потери устойчивости механического равновесия линеаризуем задачу (16), (14) в окрестности решения u = 0, w = 0 и (14), сохраняя прежние обозначения и1, u, w для бесконечно малых возмущений.
div0 u + wz = 0, р = р1и1 + р2и2,
Wt
Vuz = —V0p + р. Ди, Vwz = —pz + p Дw — p,
(17)
ult + w dzu0 = £р1Ди1, w(21) = 0, d^w(z1) = 0,
w(Z2) = 0, d2w(22) = 0,
(18)
и1(21) = 0, и1(г2) = 0, и2(г1) = 0, и2 (22) = 0.
Решение задачи (17), (18) разыскиваем в виде нормальных мод, периодических по направлениям х = (х1,%2), перпендикулярным г, с периодами 2п/а1, 2п/а.2
(и,ш) = {й(2),ы(2)}еи+1ах,
[р,ик} = {р(г),ик(г)}е
Ät+ia-x
где а = (а1, а2) - волновой вектор; Л - спектральный параметр.
Обычные формальные замены дг ^ А, Уо^ А ^ (д% - а2) позволяют исключить и , р из уравнений (17) и представить их в форме
Щ-У д2)ы = р12м +а2р, (19)
Хик + ж д2и$ = £ркЬик, (20)
р = р1и1 + /32и2, Ь = (д2 — а2), где с учетом (15)
дг^0 = -^, дги0 =-^г,
W
W = Z2—Z1
U
t
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Обратим внимание, что в случае V = 0 система (19)—(21) совпадает с уравнениями так называемой двойной диффузии - тепловой конвекции в жидкости с примесью - и может быть легко решена [21].
Монотонная неустойчивость
При А = 0 (случай монотонной потери устойчивости механического равновесия) величины uk могут быть исключены из уравнений (19)-(21) и получено одно обыкновенное уравнение шестого порядка для функции w. Однако при этом краевые условия для w не будут поточечно разделены, т.е. краевые условия будут заданы не только для функций, но и для их линейных комбинаций. Численная реализация решения задачи при этом будет гораздо сложнее. Значительно проще решать непосредственно систему (19)-(21) с краевыми условиями (18).
Для определения критических параметров в случае монотонной неустойчивости следует решать спектральную задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке [0,1]:
(D2-a2)2w = ra2u-V0(D2-a2)Dw, (22)
J (23)
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 4
(DD2 - a2)u = w, D = —,
K 0 dx
w — Dw = u = 0, x — 0,1,
где
Т/ _ VW (ß2-ß1)bW3
Vft — -, I — -.
0 ^ £^V
(24)
(25)
Переход от уравнений (19)-(21) при Л = 0 к уравнениям (22)-(25) осуществлен при помощи
замен 2 = 21 + Шх, а0 = аШ, и1 = — ,
1 0 еуш
и2 = с учетом соотношений (11), (21).
еуш
Числа подобия У0 и г являются аналогами чисел Рейнольдса и Рэлея, которые для обычных задач конвекции записываются в виде , Ка~(ер1)-1. Переход от отрезка [г1,г2] к стандартному [0,1] возможен ввиду инвариантности уравнений относительно сдвига вдоль оси г. Интересно отметить, что в силу соотношений (11), (21) удается заменить два уравнения (20) для определения и1, и2 на одно уравнение (23) для и (только при Л = 0).
Таким образом, в окончательном варианте спектральная задача в случае монотонной неустойчивости содержит всего три параметра ( У0,
г, ад), что позволяет строить нейтральные кривые, например, вида г* = г*(аЦ, У0) при фиксированных значениях У0. Заметим, что при р1 = ¡2 величина = 0 и конвективное перемешивание невозможно. Такой результат достаточно прозрачен с физической точки зрения - в случае одинаковых коэффициентов концентрационного сжатия в силу соотношения Кольрауша (11) отрицательный градиент концентрации и1 «уничтожает» положительный градиент концентрации и|), обращая возмущения архимедовой силы плавучести р в нуль.
Результаты вычислений
Спектральная (22)-(24) задача решалась методом пристрелки. При фиксированных значениях У0 = к , к = 0,...,10 определялись нейтральные кривые - зависимости г = г(а0; У0~) (рис. 2).
Рис. 2. Нейтральные кривые монотонной потери устойчивости г = r(a0) / Fig. 2. Neutral curves of monotonie instability r = r(a0)
Нейтральная кривая при Vq = 0 (пунктирная линия на рис. 2), естественно, совпадает с нейтральной кривой для задачи Рэлея - Бенара о тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости со свободными недеформируемыми границами [21, с. 31-39]. Заметим, что для задачи изо-тахофореза V0 > 0, так как в противном случае
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
невозможно образование разделившихся зон. Нейтральная кривая при Vq = 0 приведена для того, чтобы подчеркнуть формальный переход задачи (22)-(24) в задачу о тепловой конвекции.
Критические параметры г*, «0 (таблица) возникновения конвекции разыскивались обычным образом при помощи соотношения
r* = min r(a0; V0~) = r(a*0; V0). а0
Результаты вычислений показывают, что с ростом параметра V0 критические числа г* возможного возникновения конвекции увеличиваются. Иными словами, увеличение плотности электрического тока jo (см. (25) и (11)) стабилизирует механическое равновесие жидкости, предотвращая возможность конвективного перемешивания.
Зависимость критических параметров г*, аЦ от V0 / The dependence of the critical parameters г*, аЦ on V0
Vo г* а*0
0 657,511 2,221
1 665,256 2,230
2 687,996 2,252
3 724,396 2,287
4 772,626 2,327
5 830,725 2,372
6 896,855 2,416
7 969,433 2,459
8 1047,159 2,497
9 1128,998 2,533
10 1214,141 2,566
Конечно, при практическом использовании результатов расчетов следует учитывать, что величины г , Уо представляют собой сложные комплексы, зависящие от большого количества параметров. Требуется дополнительный анализ взаимосвязей между различными характеристиками процесса (подвижность компонент , концентрация ио и т. п.) для проведения процесса изотахофореза.
Заключение
Метод, использованный для построения модели (замена уравнений переноса на аналогичные, допускающие более простые решения, чем исходные уравнения), может быть применен для построения асимптотических моделей и в случае других задач электрофореза; в более об-
ЕСТЕСТВЕННЫЕНАУКИ. 2019. № 4 NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4
щем случае - для задач массопереноса внешними полями [22]. Подчеркнем, что следует изменять именно уравнения, а не решения, так как в противном случае исследование устойчивости будет производиться не на решении, отвечающем механическому равновесию, а на некотором, строго говоря, произвольном решении. Конечно, для развития метода желательно было бы получить его строгое математическое обоснование, позволяющее сравнить спектры линеаризованных задач для исходной и асимптотической моделей. В настоящее время такое сравнение имеется лишь для изученной модели. Полученные результаты расчетов достаточно хорошо совпадают с численными [12, с. 54-61]. Численное решение и сконструированная простая асимптотическая модель, на наш взгляд, имеют важное значение для совершенствования методов препаративного изотахофореза (выделение из смесей чистых веществ в больших количествах), а не только для аналитического изотахо-фореза (разделение смесей с целью идентификации ее компонент).
Литература
1. Константинов Б.П., Ошуркова О.В. Быстрый микроанализ химических элементов методом подвижной границы // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148, № 5. С. 1110-1113.
2. Степанов А.В., Корчемная Е.К. Электромиграционный метод в неорганическом анализе. М.: Химия, 1979. 328 с.
3. Longsworth L.G. Moving Boundary Electrophoresis - Theory // Electrophoresis: theory, methods, and applications. M. Bier (ed.). N.Y.: Academic Press, 1959. P. 91136.
4. Moore G.T. Theory of isotachophoresis. Development of concentration boundaries // J. Chromatogr. 1975. Vol. 106, № 1. P. 1-16.
5. Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая модель изотахофореза // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267, № 2. С. 334-338.
6. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка, 1983. 241 с.
7. Жуков М.Ю. Методика расчета движения зон и времени полного разделения смеси при изотахофорезе // Молекуляр. биология. 1984. Вып. 36. С. 28-34.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
8. Жуков М.Ю. Нестационарная модель изотахо-фореза // ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24, № 4. С. 549-565.
9. Жуков М.Ю. Уравнения переноса масс для сильно концентрированных многокомпонентных смесей при наличии электрического поля. Модель изотахо-фореза // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, № 4. С. 19-28.
10. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 2005. 216 с.
11. Zhukov M. Yu., Ermakov S. V., Majorova O.A. Computer simulation of transient states in capillary zone electrophoresis and isotachophoresis // Electrophoresis. 1992. № 13. P. 838-848.
12. Жуков М.Ю., Цывенкова О.А., Ширяева Е.В. Гидродинамика и поведение границ зон при изотахо-форезе. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 94 с.
13.Mosher R.A., Saville D.A., Thorman W. The Dynamics of Electrophoresis. N.Y.: VCH Publishers, 1992. 236 p.
14. Жуков М.Ю., Петровская Н.В. Колебательная неустойчивость жидкости в почти нестратифициро-ванной бесконечно-компонентной смеси // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 5. С. 24-37.
15.Жуков М.Ю., Сазонов Л.И. Асимптотика собственных значений для краевой задачи с дельта-образными коэффициентами // Диф. уравнения. 1997. Т. 3, № 4. С. 470-477.
16. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Мышкис А.Д., Копа-чевский Н.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Киев: Наукова думка, 1992. 590 с.
17. Жуков М.Ю., Цывенкова О.А. Ветвление решений, расчет и асимптотика нейтральных кривых монотонной потери устойчивости в задаче о концентрационной конвекции в электрическом поле // Изв. РАН, МЖГ. 1994. № 5. С. 150-157.
18. Жуков М.Ю., Цывенкова О.А. Расчет нейтральных кривых монотонной потери устойчивости для задачи конвекции в бесконечно-компонентной смеси // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 5. С. 11-20.
19. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966. Т. 3. 296 с.
20. Кузнецов Ю.А. Существование и устойчивость бегущих волн в системах «реакция - диффузия» с одной пространственной переменной. Препринт. Пу-щино: Научный центр биологических исследований АН СССР, 1982. 40 с.
21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
22. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Микрогидродинамика, жидкие плёнки и электрофорез. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 240 с.
ECTECTBEHHblEHAyKH. 2019. № 4 NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4
References
1. Konstantinov B.P., Oshurkova O.V. Bystryi mikro-analiz khimicheskikh elementov metodom podvizhnoi granitsy [Rapid microanalysis of chemical elements by the method of moving boundaries]. Dokl. AN SSSR. 1963, vol. 148, No. 5, pp. 1110-1113.
2. Stepanov A.V., Korchemnaya E.K. Elektromi-gratsionnyi metod v neorganicheskom analize [Electromi-gration method in inorganic analysis]. Moscow: Khimiya, 1979, 328 p.
3. Longsworth L.G. Moving Boundary Electrophoresis - Theory. Electrophoresis: theory, methods, and applications. M. Bier (Ed.). New York: Academic Press, 1959, pp. 91-136.
4. Moore G.T. Theory of isotachophoresis. Development of concentration boundaries. J. Chromatogr. 1975, vol. 106, No. 1, pp. 1-16.
5. Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Matematicheskaya model' izotakhoforeza [Mathematical model of isotachophoresis]. Dokl. AN SSSR. 1982, vol. 267, No. 2, pp. 334338.
6. Babskii V.G., Zhukov M.Yu., Yudovich V.I. Matematicheskaya teoriya elektroforeza: primenenie k metodam fraktsionirovaniya biopolimerov [Mathematical theory of electrophoresis: application to biopolymer fractionation methods]. Kiev: Naukova dumka, 1983, 241 p.
7. Zhukov M.Yu. Metodika rascheta dvizheniya zon i vremeni polnogo razdeleniya smesi pri izotakhoforeze [Method of calculating the movement of zones and the time of complete separation of the mixture at isotachophoresis]. Molekulyar. biologiya. 1984, iss. 36, pp. 28-34.
8. Zhukov M.Yu. Nestatsionarnaya model' izotakhoforeza [Unsteady model of isotachophoresis]. ZhVM i MF. 1984, vol. 24, No. 4, pp. 549-565.
9. Zhukov M.Yu. Uravneniya perenosa mass dlya sil'no kontsentrirovannykh mnogokomponentnykh smesei pri nalichii elektricheskogo polya. Model' izotakhoforeza [Mass transfer equations for highly concentrated multi-component mixtures in the presence of an electric field. Model of isotachophoresis]. Mat. modelirovanie. 1995, vol. 7, No. 4, pp. 19-28.
10. Zhukov M.Yu. Massoperenos elektricheskimpolem [Mass transfer by an electric field]. Rostov-on-Don: Izd-vo RGU, 2005, 216 s.
11. Zhukov M.Yu., Ermakov S.V., Majorova O.A. Computer simulation of transient states in capillary zone electrophoresis and isotachophoresis. Electrophoresis. 1992, No. 13, pp. 838-848.
12. Zhukov M.Yu., Tsyvenkova O.A., Shiryaeva E.V. Gidrodinamika i povedenie granits zon pri izotakhoforeze [Hydrodynamics and behavior of the boundaries of zones
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
when isotachophoresis]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2015, 94 p.
13. Mosher R.A., Saville D.A., Thorman W. The Dynamics of Electrophoresis. New York: VCH Publishers, 1992, 236 p.
14. Zhukov M.Yu., Petrovskaya N.V. Kolebatel'naya neustoichivost' zhidkosti v pochti nestratifitsirovannoi beskonechno-komponentnoi smesi [Vibrational instability of a liquid in an almost unstratified infinite-component mixture]. Izv. RAN. MZhG. 1997, No. 5, pp. 24-37.
15. Zhukov M.Yu., Sazonov L.I. Asimptotika sobstvennykh znachenii dlya kraevoi zadachi s del'ta-obraznymi koeffitsientami [Asymptotics of eigenvalues for a boundary value problem with Delta-shaped coefficients]. Dif. uravneniya. 1997, vol. 3, No. 4, pp. 470-477.
16. Babskii V.G., Zhukov M.Yu., Myshkis A.D., Kopachevskii N.D., Slobozhanin L.A., Tyuptsov A.D. Metody resheniya zadach gidromekhaniki dlya uslovii nevesomosti [Methods for solving problems of hydromechanics for weightlessness conditions]. Kiev: Naukova dumka, 1992, 590 p.
17. Zhukov M.Yu., Tsyvenkova O.A. Vetvlenie resh-enii, raschet i asimptotika neitral'nykh krivykh monotonnoi poteri ustoichivosti v zadache o kontsentratsionnoi kon-vektsii v elektricheskom pole [Branching of solutions, cal-
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4
culation and asymptotics of neutral curves of monotone loss of stability in the problem of concentration convection in an electric field]. Izv. RAN, MZhG. 1994, No. 5, pp. 150-157.
18. Zhukov M.Yu., Tsyvenkova O.A. Raschet neitral'nykh krivykh monotonnoi poteri ustoichivosti dlya zadachi konvektsii v beskonechno-komponentnoi smesi [Calculation of neutral curves of monotone loss of stability for the problem of convection in an infinite-component mixture]. Izv. RAN. MZhG. 1995, No. 5, pp. 11-20.
19. Beitman G., Erdeii A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental functions]. Moscow: Nauka, 1966, vol. 3, 296 p.
20. Kuznetsov Yu.A. Sushchestvovanie i ustoichivost' begushchikh voln v sistemakh «reaktsiya - diffuziya» s od-noi prostranstvennoi peremennoi [Existence and stability of traveling waves in reaction-diffusion systems with one spatial variable]. Preprint. Pushchino: Nauchnyi tsentr bio-logicheskikh issledovanii AN SSSR, 1982, 40 p.
21. Gershuni G.Z., Zhukhovitskii E.M. Konvektivnaya ustoichivost' neszhimaemoi zhidkosti [Convective stability of incompressible fluid]. Moscow: Nauka, 1972, 392 p.
22. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Mikrogidro-dinamika, zhidkie plenki i elektroforez [Microhydrody-namics, liquid films and electrophoresis]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2015, 240 p.
Поступила в редакцию /Received 5 августа 2019 г. / August 5, 2019
