Моделирование глобального распределения электрических полей в ионосфере Земли с учётом разрывов в распределении проводимости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общетехнические задачи и пути их решения

123

УДК 551.510.535

А. Б. Кондаков

ООО «Рексофт»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ИОНОСФЕРЕ ЗЕМЛИ С УЧЁТОМ РАЗРЫВОВ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОВОДИМОСТИ

Численное моделирование глобального распределения электрического потенциала выполнено при наличии разрывов первого рода в элементах тензора проводимости. Влияние этих разрывов на скорость сходимости исследовано для случаев симметрии и максимальной асимметрии между полушариями в распределении проводимости. Использование вариационно-разностного метода, основанного на концепции обобщенного решения, обеспечило сходимость во всех рассмотренных случаях.

ионосфера, электрический потенциал, моделирование, метод сеток, попеременно-треугольный метод, сходимость.

Введение

В работе [1] была сформулирована постановка задачи глобального распределения электрических полей в ионосфере Земли с корректным учетом специфики электродинамической связи токонесущих ионосферных оболочек противоположных полушарий.

Специфика заключается в следующем. В области средних и низких широт обоих полушарий, по данным измерений, не было обнаружено каких-либо заметных и устойчивых различий в картинах распределения крупномасштабных электрических полей и конвекции ионосферной плазмы, что свидетельствует об эффективном выравнивании электрического потенциала в магнитосопряженных точках противоположных полушарий. В области высоких широт, в северной и южной полярных шапках, эти картины, напротив, могут сильно различаться. Это свидетельствует об отсутствии выравнивания электрического потенциала в магнитосопряженных точках северной и южной полярных шапок, что может быть обусловлено сильным ослаблением электрических полей при их картировании вдоль силовых линий магнитного поля из одной полярной шапки в другую.

В краевой задаче, сформулированной в [1], эта специфика учитывается посредством выделения на сфере трех областей - северной полярной шапки, южной полярной шапки и остальной части сферы с соответствующей постановкой краевых условий на границах областей.

Как отмечалось в [2], данная краевая задача сначала была решена аналитически ценой задания упрощенных распределений параметров задачи, а именно проводимости и продольных токов. Позднее была разработана численная модель, позволяющая учитывать реальное распределение указанных параметров. И, наконец, в работе [3] была представлена модифицированная численная модель, разработанная на основе концепции обобщенного решения. В отличие от версии, изложенной в [2], модифицированная версия модели [3] воспроизводит характерный излом изолиний потенциала на границе тени, где имеет место разрыв производных проводимости.

В настоящей работе в рамках модифицированной модели глобального распределения ионосферных электрических полей [3] исследуется возможность учета разрывов в коэффициентах при старших производных

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

124

Общетехнические задачи и пути их решения

в эллиптических уравнениях системы, обусловленных резкими границами каналов проводимости в окрестности полярных сияний.

где X - тензор интегральной проводимости:

Z

^ во ^ 0ф

^ ф0 ^ фф

(8)

1 Постановка задачи

Согласно [1-3], на проводящей сфере выделены три области - северная Q1 и южная Q2 шапки с границами Г и Г2 на коширотах 91 и 02 = п - 91 соответственно и вся остальная часть сферы Q3. В отличие от шапок, где магнитные силовые линии разомкнуты и связи по потенциалу нет, в области Q3 замкнутые магнитные силовые линии земного диполя эффективно выравнивают электрический потенциал U в сопряженных точках противоположных полушарий. Это позволяет решать уравнение непрерывности интегрального электрического тока J не на всей области Q3, а только на одной ее половине QN (для определенности - северной), c границей Г и экваториальной границей Г3 на кошироте 0 используя в уравнении непрерывности в качестве интегральной проводимости X и источника сумму интегральных проводимостей и источников в сопряженных точках обоих полушарий. С учетом этого краевая задача имеет вид:

dive/i = Л; для Q (9 - 91); (1)

= Jlr для Q2 (п - 91 - 9 - п); (2)

div9,J3 = J3Г для QN (9i - 9 - 93); (3)

Ui (9i, Ф) = U3 (9i, ф) = U2 (92, ф); (4)

J19 (9l, Ф) - J39 (91, Ф) = J29 (92, Ф); (5)

J39 (93, Ф) = 0, (6)

где Ua, Ja (a = l, 2, 3) - потенциалы и токи в соответствующих областях, связанные законом Ома:

Ja=Ta (-grad^а), (7)

где X99=X / sin2 х; Х9ф=-Хф9=Ih /sin х; Хфф=

= Xp; sin х = 2 • cos 9 / (1 + 3 • cos2 9) 1/2; х -магнитное наклонение; div9 ф - угловая часть оператора дивергенции в сферических координатах 9, ф; jj - источники в виде радиальной составляющей продольных токов; ХР и XH зависят от 9 и ф.

Условие (4) означает отсутствие скачка потенциала поперек границы данной шапки и между границами противоположных шапок в каждой точке границ. Условие (5) следует из неразрывности общей токовой цепи и означает, что возможные разрывы нормальной компоненты горизонтальных токов на границах северной и южной шапок взаимно компенсируют друг друга за счет продольных токов перетекания на этих границах. Условие (6) - это однородное граничное условие на нормальную компоненту тока. Оно соответствует непротеканию тока через экватор и является единственным физически обоснованным [2].

Краевая задача (1) - (6) для эллиптической системы уравнений в частных производных имеет следующие специфические особенности:

а) разделение сферы на три подобласти, на границе которых определяются краевые условия нелокального характера;

б) несамосопряженность;

в) вырожденность краевой задачи.

Под нелокальным характером граничных условий (4) и (5) понимается наличие в них потенциалов и токов, относящихся к разным полушариям. Особенность (б) обусловлена наличием в тензоре проводимости (8) ненулевой и неоднородной внедиагональной компоненты, определяемой проводимостью Холла. Особенность (в) отражает тот факт, что при отсутствии источников задача (1) - (6) имеет нетривиальное решение U = const.

Параметр 91, определяющий размер и границы шапок, в расчетах принимался равным 27°. Экваториальная граница выбиралась

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

125

несколько выше экватора, 93 = 72°, с целью избежать проявления особенностей в тензоре проводимости (8) (sin х = 0 при 93 = 90°).

2 Сходимость итерационного

метода для случая разрывных

распределений проводимости

В работе [3] глобальное распределение электрических полей воспроизводилось для условий равноденствия. В этом случае некоторые различия в распределении проводимости для северного и южного полушарий обусловлены эффектом мирового времени (UT-эффектом), возникающим из-за несовпадения геомагнитных и географических полюсов Земли, причем при UT = 04.40 и 16.40 эти различия максимальны тогда как для UT = 10.40 и 22.40 различий нет.

Возникает вопрос, как изменится скорость сходимости при переходе к наиболее тяжелым с вычислительной точки зрения условиям - сильно выраженной межполушарной асимметрии в распределении проводимости, характерной для солнцестояния (значения коэффициентов уравнений (1), (2) в магнито-сопряженных точках могут отличаться в 30 и более раз), с одной стороны, и наличия каналов повышенной проводимости с резкими границами, с другой стороны. Последнее влечет разрыв коэффициентов при старших производных в системе эллиптических уравнений (1) - (3). Это существенно отличается от условий, принятых в [3].

Поскольку обобщенная формулировка краевой задачи (1) - (6) и последующее получение коэффициентов разностной схемы детально изложены в [3], перейдем непосредственно к результатам исследования сходимости. Отметим только, что в настоящей работе система соответствующих итерационных уравнений решалась попеременнотреугольным методом, в отличие от [3], где применялся метод разделения переменных с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Рассмотрены пять вариантов аппроксимации каналов повышенной проводимости,

расположенных зеркально симметрично в северном и южном полушариях, на границах которых проводимость, а следовательно, и коэффициенты при старших производных в уравнениях (1) - (3) имеют разрыв.

Вариант 1. Кольца усиленной проводимости, ограниченные линиями равной коширо-ты 0к и 0к + Д0к, с коширотной протяженностью Д0к = 2°, вплотную примыкают к границам северной и южной шапок со стороны более низких коширот (т. е. кольца целиком лежат в области Q3).

Вариант 2. То же, что и вариант 1, но кольца вплотную примыкают к границам северной и южной шапок со стороны полюсов (т. е. кольца целиком лежат в шапках).

Вариант 3. Кольца протяженностью Д0к= = 3°, покрывающие границы шапок (т. е. захватывающие и шапки и область Q3 одновременно).

Вариант 4. То же, что и вариант 3, но с некоторым нарушением идеальной формы кольца, когда в ограниченном интервале долгот в ночном секторе приполюсные границы колец смещены к полюсам.

Вариант 5. Тета-образное сияние. То же, что и вариант 1. Но при наличии в шапках «перемычек», ориентированных вдоль линии «день - ночь» и смещенных относительно полюсов (аппроксимация каналов проводимости для случая так называемых 0-сияний).

Численное моделирование глобальных распределений электрических полей с учетом указанных аппроксимаций каналов усиленной проводимости выполнено как для весеннего равноденствия (80-й день года), так и для летнего солнцестояния (170-й день года). Мировое время везде принималось равным UT = 10.40. Продольные токи (правые части уравнений (1) - (3) задавались аналогично [3] в предположении, что магнитосфера является источником «напряжения». Выбиралась сетка с шагом 0,5° по кошироте и шагом 360°/80 по долготе.

Как отмечалось выше, в условиях равноденствия при UT = 10.40 имеет место зеркальная симметрия в распределении проводимости и продольных токов, определяющих коэффициенты и правые части уравнений

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

126

Общетехнические задачи и пути их решения

(1) - (3). Соответствующие этим граничным условиям параметры сходимости приведены в табл. 1 и 2 для в = 5 и в = 10. Здесь в -коэффициент усиления проводимости, показывающий, во сколько раз проводимость внутри каналов (усиленной проводимости) превышает фоновую.

Как видно из табл. 1, которой соответствует значение в = 5, число итераций, обеспечивающих требуемую точность, для вариантов 1-4 почти одинаково. Другими словами, число итераций практически не зависит от того, где локализованы каналы усиленной проводимости - в шапках (области и Q2), вне шапок (область Q3) или накрывают границу шапок, находясь одновременно в областях Q12 и Q3. Однако для варианта 5 (случай 0-сияний) число итераций заметно возросло - примерно в 1,3 раза.

Для в = 10, как видно из табл. 2, имеют место точно такие же закономерности -практически одинаковое число итераций для

вариантов 1-4 и рост числа итераций для варианта 5, в данном случае в 2 раза.

Особенностью варианта 5 в сравнении с вариантами 1-4 является 0-образная форма каналов проводимости, содержащая вытянутые вдоль линии «день - ночь» «перемычки» в шапках (области и Q2). Если форма кольца

является «дружественной» для используемой двумерной сетки, то форма «перемычки», наоборот, является «недружественной». Именно это обстоятельство и является причиной установленного замедления сходимости для варианта 5. Как отмечено выше, увеличение числа итераций, по сравнению с вариантами 1-4, для в = 5 и в = 10 составили факторы 1,3 и 2,0 соответственно. Это свидетельствует о возрастании роли конфликта между конфигурацией сетки и конфигурацией 0-каналов с ростом разрывов проводимости на границах каналов.

Наоборот, рост в никак не сказывается на сходимости для вариантов 1-4, как это видно

ТАБЛИЦА 1. Сходимость метода для 80-го дня, в = 5

Задача Оптимальные параметры попеременнотреугольного метода Погрешность на 2000-й итерации Погрешность на 5000-й итерации Всего итераций

1 ю = 10-5, т = 310-5 0,35 0,00034 8600

2 ю = 10-5, т = 310-5 0,34 0,00039 9100

3 ю = 10-5, т = 310-5 0,35 0,00037 8900

4 ю = 10-5, т = 310-5 0,35 0,00034 8500

5 ю = 10-5, т = 210-5 1,26 0,0054 11000

ТАБЛИЦА 2. Сходимость метода для 80-го дня, в = 10

Задача Оптимальные параметры Погрешность на 2000-й итерации Погрешность на 5000-й итерации Всего итераций

1 ю = 10-5, т = 310-5 0,26 0,00033 8500

2 ю = 10-5, т = 310-5 0,34 0,00039 9100

3 ю = 10-5, т = 310-5 0,34 0,00037 8800

4 ю = 10-5, т = 310-5 0,35 0,00033 8400

5 ю = 410-6, т = 710-6 0,080 0,00047 16700

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

127

из сопоставления таблиц 1 и 2. Причиной этого является органичность конфигураций сетки и кольцеобразных каналов.

При сравнении таблиц 1 и 2 обнаруживается ещё одна особенность. Для кольцеобразных каналов (варианты 1-4) число итераций при в = 5 и в = 10 одинаково (для в = 10 оно даже чуть меньше). Напротив, для 0-каналов (вариант 5) число итераций возросло в 1,5 раза при переходе от в = 5 к в = 10, т. е. при увеличении проводимости в каналах в 2 раза (очередное проявление конфликта между конфигурациями 0-каналов и сетки).

Напомним, что результаты в табл. 1 и 2 соответствуют случаю зеркальной симметрии в пространственном распределении параметров системы уравнений (1) - (3), что обусловлено используемыми условиями - равноденствие (день года 80-й) и UT = 10.40. Как показывают расчеты, нарушение указанной симметрии за счет изменения момента мирового времени UT приводит к замедлению сходимости.

Куда более значительное замедление сходимости происходит при максимально выраженной асимметрии, а именно в условиях солнцестояния. Действительно, данные табл. 3 свидетельствуют о сильном снижении скорости сходимости.

Из сопоставления таблиц 3 и 2, соответствующих одинаковому значению в = 10, следует, что при переходе от равноденствия к солнцестоянию (170-й день (лето в северном полушарии, зима - в южном)) число итера-

ций возросло: для варианта 1 - в 9,0 раз, для варианта 2 - в 8,6 раза, для варианта 3 - в 8,8 раза, для варианта 4 - в 9,1 раза и чуть больше для 0-каналов (варианта 5) - в 10,4 раза.

Как влияет на сходимость конфигурация каналов в этих новых условиях солнцестояния? Как и в рассмотренных выше условиях, число итераций для вариантов 1-4 практически одинаково, а для 0-каналов (вариант 5) число итераций в 2,3 раза больше, что близко к фактору 2,0 для равноденствия.

Заключение

Как и следовало ожидать, сходимости удалось достичь во всех рассмотренных случаях, что свидетельствует, в частности, о преимуществах используемого нами вариационноразностного метода [3], основанного на концепции обобщенного решения, по сравнению с обычным конечно-разностным методом, описанным в [2].

Доступная в настоящее время вычислительная техника позволяет решать задачи моделирования глобального распределения электрических полей при учете специфических локальных особенностей в распределении параметров задачи за счет учащения сетки. В то же время попытка моделировать сильно локализованные возмущения, находящиеся внутри подобласти размером несколько градусов по кошироте и долготе, с использованием равномерной сетки, привела

ТАБЛИЦА 3. Сходимость метода для 170-го дня, в = 10

Задача Оптимальные параметры Погрешность на 5000-й итерации Погрешность на 20 000-й итерации Погрешность на 50000-й итерации Всего итераций

1 ю = 10-5, т = 310-5 175,4 3,48 0,00083 76 800

2 ю = 10-5, т = 310-5 128,06 0,95 0,0012 78 000

3 ю = 10-5, т = 310-5 175,47 4,00 0,0010 77 200

4 ю = 10-5, т = 310-5 172,95 3,43 0,00082 76 700

5 ю = 410-6, т = 710-6 48,54 1,94 0,0020 173000

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

128

Общетехнические задачи и пути их решения

бы к необходимости участить сетку минимум в пять раз, что сделает процедуру расчета непозволительно долгой. Поэтому сильно локализованные возмущения следует моделировать на основе отдельной краевой задачи для подобласти, заимствуя граничные условия из глобальной задачи.

Библиографический список

1. Возможный подход к проблеме возбуждения электрических полей и токов, обуслов-

ленных B^-компонентой ММП / В. М. Уваров // Геомагнетизм и аэрономия. - 1981. - № 1. Т. 21. -С. 114-120.

2. Электрические поля в ионосфере Земли. Численные модели / В. М. Уваров, Б. А. Само-киш. - Санкт-Петербург : Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2009. - 63 с.

3. Модифицированная численная модель глобального распределения электрического потенциала. UT-эффект обращения ионосферной конвекции / А. Б. Кондаков, Б. А. Самокиш, В. М. Уваров // Геомагнетизм и аэрономия. - 1999. - № 6. Т. 39. - С. 50-55.

УДК 609.6(075.8)

С. Г. Подклетнов

Петербургский государственный университет путей сообщения

АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЯЗЫКА AUTOLISP

Показана возможность применения языка AutoLISP для создания параметрических чертежей в AutoCAD. Рассмотрены основные понятия и области применения широко известного языка программирования AutoLISP, используемого в инженерных расчетах, позволяющего разрабатывать макропрограммы и функции, хорошо сочетающего с прикладной графикой AutoCAD. Приведен текст программы для создания блока построения чертежа параметрической детали. Сделан вывод о возможности применения данного языка для создания параметрических чертежей уже более сложных моделей.

автоматизированное проектирование, язык AutoLISP, параметрические чертежи.

Введение

Особого внимания среди CAD-систем заслуживает программный комплекс AutoCAD. Эта система автоматизированного проектирования не только предоставляет пользователю удобный графический интерфейс и обеспечивает получение высококачественной графики, но и располагает широким набором инструментов программирования.

К средствам программирования AutoCAD относятся следующие языки: AutoLISP, Visual C++, Visual Basic for Application (VBA, ARX, DCL) [1, 2, 3, 4]. Будучи частью AutoCAD,

AutoLISP позволяет оперировать переменными различных типов и передавать их значения командам AutoCAD при вводе данных. При ответах на запросы команд AutoCAD существует возможность использования выражений AutoLISP, в которых могут выполняться различные арифметические и условные операции с числовыми значениями и значениями определенных переменных.

Возможности, которые обеспечивает AutoLISP:

- использование переменных и выражений при ответах на запросы команд AutoCAD;

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University