CC BY
75
ЭНЕРГЕТИКА, ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ, ЭЛЕКТРОПРИВОД
УДК 534.1 (075.8)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИСТЕРЕЗИСА ЭНЕРГОРАССЕЯНИЯ НА ПРИМЕРЕ КОЛЕБАНИЙ ГАСИТЕЛЯ ПЛЯСКИ
ПРОВОДОВ ЛЭП
А.Н. Данилин, Н.Н. Курдюмов, С.С. Тарасов, А. Д. Шалашилин
Исследуются динамические характеристики гасителей «пляски» проводов ЛЭП - низкочастотных колебаний в диапазоне 0,2...0,6 Гц. Разработана математическая модель гистерезиса энергорассеяния в условиях нестационарных колебаний гасителя с целью определения геометрических, массовых и упругих параметров конструкции. Для описания гистерезиса предлагается кинематическая модель, согласно которой силовые и кинематические параметры гасителя связываются специальным дифференциальным уравнением первого порядка, коэффициенты которого определяются по экспериментальным данным для предельного гистерезисного цикла.
Ключевые слова: гаситель «пляски», провода ЛЭП, нестационарные колебания, гистерезис кинематический подход.
«Пляска» (галопирование) проводов воздушных ЛЭП представляет собой низкочастотные колебания (0,2...0,6 Гц) с большой амплитудой и большой длиной волны, которые возникают при сочетании устойчивого или порывистого ветра 5.20 м/сс наличием на проводе гололёдного осадка [1 - 3].Гололёд обычно откладывается с наветренной стороны провода. Как правило, гололёдное отложение имеет в сечении несимметричную форму относительно оси провода, поэтому поворот провода приводит к изменению воздействующей на него подъемной силы. «Пляска» проводов является разновидностью флаттерных колебаний, «пик-пик» - амплитуда которых может приближаться к стреле провеса провода и даже превышать её.
При «пляске» на проводах образуются стоячие волны, когда длина полуволны становится кратной длине пролёта. Чаще всего наблюдаются колебания с одной, двумя и тремя полуволнами в пролете. Поэтому при
«пляске» возникают значительные динамические усилия в проводе, линейной арматуре и в траверсах опор. Последствия «пляски» могут быть катастрофическими и приводить к выходу воздушной ЛЭП из работы на длительное время.
В этой связи важной научно-технической задачей является разработка математических моделей гасителей «пляски» проводов с учётом гистерезиса энергорассеяния. Только корректная модель позволяет определить конструктивные и физические параметры конструкции, обеспечивающие эффективность гасителя колебаний.
1. Конструкция ТББ. На рис. 1 представлен общий вид гасителяд-ля трехфазной ЛЭП[4]. Основными элементами этой конструкции являются: демпферный узел 1; маятник, состоящий из груза 2, противовеса 3 и соединяющего их криволинейного стержня 4; тяги 5 для соединения гасителя с фазными проводами; зажимы 6, с помощью которых устройство крепиться к проводам.
Упрощенная схема демпферного узла гасителя показана на рис. 2. На схеме диск 7 крепится к фазным проводам и является ведущим. Диск 8, скреплённый с маятником 9, является ведомым. Диски имеют общую центральную ось, позволяющую им вращаться относительно друг друга. Ведущий диск имеет специальные каналы (профильные углубления), а ведомый диск - ответные (зеркальные) каналы, между которыми помещаются и с некоторым усилием зажимаются эластомерныеэлементы 10, например, шарики из бутилкаучуковой резины, фрикционно взаимодействующие с поверхностями углублений. На рис. 3 показан демпферный узел 1 в разобранном виде.
Рис. 1. Конструкция гасителя пляски для трехфазной ЛЭП (Шіеиі.-Ь., VinogradovA.A., 2002)
Рис. 2. Схема конструкции гасителя
Рис. 3. Конструкция демпферного узла
Движение проводов через тяги передаётся к ведущему диску и далее через эластомерные элементы к ведомому диску гасителя. В силу инерционности маятника и эксцентриситета его центра массы (ЦМ) ведомый диск прокручивается относительно ведущего диска, скреплённого с проводами. При этом происходит движение (качение, скольжение) эласто-мерных элементов по каналам при их существенном деформировании, что обеспечивает сопротивление гасителя колебаниям и рассеяние энергии движения.
Конструкция гасителя может содержать дополнительные упругие элементы, которые на схеме изображены как один элемент 11 в виде упругого диска (вставки) толщиной I.
2. Экспериментальные исследования. При построении модели использовались данные, полученные в результате испытаний гасителя «пляски» на специализированном экспериментальном стенде [5]. В экспериментах диск 7 (см. рис. 1) фиксировался. Маятнику9, скрепленному с
112
диском 8, сообщались угловые перемещения. Программанагружения (отклонения маятника)осуществлялась несколькими способами: в автоматическом режиме с использованием программируемого генератора колебаний или вручную путём измерения угла наклона маятника гасителяотноси-тельно исходного состояния.
При отклонении маятника на угол физмерялся крутящий момент М , возникающий в демпферном узле устройства. В результате были получены серии зависимостей крутящего момента М от угла поворотаф диска 8.
Два примера зависимостей М (ф), соответствующих различным программам отклонения маятника, показаны на рис. 4.
(р, град.
-----1---1-----1----1---1----
-60 -40 -20 0 20 40 60
М, Н - м
Рис. 4. Гистерезисные петли при квазистатических колебаниях
маятника гасителя
3. Математическая модель. Пусть ф1, ф2, ф3 - углы поворотов соответственно ведущего и ведомого дисков, а также маятника, которые отсчитываются от вертикали в положительном направлении против часовой стрелки. Моменты, возникающие при прокручивании дисков относительно друг друга, показаны на рис. 5.
МоментМ1 = М1 (ф2 -ф1) порождается в результатевзаимодействия-
ведущего 7 и ведомого8 дисковчерез системурезиновыхэлементов 10. Момент М 2 возникает вследствие скручивания упругого элемента 11. Считается, что этот момент пропорционален углу ф3 -ф2. Тогда по закону Гука М2 = (ф3 -ф2)(GJt|l), где 03\ - крутильная жесткость упругой элемента.
При вращении дисков возникают также инерционные моменты /2ф2 и /3ф3, где /2 и /3- моменты инерции ведущего и ведомого дисков.
С учётом перечисленных моментов уравнения колебаний связанных дисковзаписываются в виде
ф, Град.
М, Н ■ м
12 j2 + M1 M 2 = 0,
I3 фъ + M2 + m3 ge sin j3 = 0.
(1)
Рис. 5. Моменты взаимодействия составных элементов конструкции гасителя
Для анализа эффективности энергорассеяния гасителя закон движения ведущего диска задаётся в виде j\(t) = Ф sin cot, где Ф и w - амплитуда и частота гармонических колебаний.
В итоге уравнения колебаний принимают вид
GJ
12 &2 =( j - j )-J~ - M1(j - jl).
GJ.
I3 &3 =-( j - j2 )—r - m3 ge sin j;
I
(2)
р = Ф ьтог, <р2 (0) = ф2 (0) = ^з(О) = фъ (0), где зависимость М 1(р2 -р1) формулируется в результате экспериментальных исследований.
4. Модель гистерезиса. Следуя результатам экспериментальных исследований [5], зависимость М (р) на диаграмме {М, р} представляется
в виде непрерывной ломаной кривой, состоящей из гладких участков (ветвей), формирующих в совокупности петлеобразную траекторию внутри предельного цикла. Ветви зависимости М (р) образуют два множества,
соответствующие процессам «нагрузки» и «разгрузки». Считается, что в каждом множестве ветви подобны между собой в асимптотическом смысле, т.е. каждая из них асимптотически приближается с ростом или уменьшением р к соответствующим гистерезисным кривым предельного цикла. Скорость асимптотического сближения зависит от параметров конструкции и физических свойств эластомерных элементов.
Аналитическое описание зависимости M(р) представляет затруднения. Однако это возможно сделать, например, следуя методологии [5]. Тем не менее, изложенный в этой работе алгоритм опирается на данные серии рутинных экспериментальных измерений и не являет в реализации простым.
Более общим и простым является кинематический метод (Данилин А.Н., 2006 г.), основанный на использовании обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, интеграл которого представляет собой искомую связь между обобщенной силой и соответствующей ей обобщенным перемещением [6, 7]. В рассматриваемом случае обобщенными силой и перемещением являются соответственно, M и р. Предлагаемый метод позволяет одним дифференциальным уравнением описать всевозможные ветви гистерезиса в условиях нестационарного движения, имеющих произвольные точки «старта» внутри предельного цикла.
Метод заключается в использовании обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в общем виде df (д)/dq = R( f, q), решение которого даёт f (д). Правая часть этого уравнения R( f, д) подбирается из класса функций, обеспечивающих асимптотическое приближение решения к кривым предельного цикла гистерезиса.
Для описания гистерезиса энергорассеянияТББ предлагается обыкновенное дифференциальное уравнение вида
где коэффициенты к1 и сопределяются методами приближения, минимизируя невязку аналитического представления dM|dр в виде правой части (3) к множеству значений ЙМ/йр, полученных из экспериментов для предельного цикла. Числа т, п подбираются в результате численных экспериментов. Например, возможными значениями являются т = 1 и п = 5 , для
которых были определены соответствующие к1 и с]: к0 = 650,9,
что позволяет его интегрировать по времени совместно с уравнениями движения (2). Знак йр/определяет направление движения по траектории гистерезиса (процессы «нагрузки» и «разгрузки»).
Мощность энергорассеянияТББ определяется по формуле
ЙМ
т
п
(3)
к1 = 1422,2; с0 =-23,9, с1 =-4,1, с2 =-2,0, с3 =-0,35, с4 = 143,2,
с5 = 419,8.
Уравнение (3) преобразуется к виду
(4)
1 г 1 г
А = - J М1 da = - J Ма dt.
(5)
При исследовании нестационарных колебаний выражение (5) удобно представить в дифференциальной форме и включить в систему уравнений (2), (4). Дифференцирование по времени (5) даёт tA + А = М1(&, откуда
получаем дифференциальное уравнение вида
dA 1
(б)
Решение (6) имеет горизонтальную асимптоту, соответствующую мощности рассеяния установившихся вынужденных колебаний.
5. Результаты моделирования. Ниже представлены результаты анализа эффективности энергорассеяния гасителя пляски, схематично изображенного на рис. 6. Масса и момент инерции ведомого диска принимались соответственно т0 = 1,15 кг и 10 = 0,004 кг • м2.
Рис. 7. Зависимость мощности энергорассеяния от частоты вынужденных колебаний
а б
Рис. 8. Гистерезис зависимостиМ(ф) при гармонических колебаниях ведущего диска с амплитудой Ф=0,3рад.: а - частота 0,4 Гц;
б - частота 0,7 Гц
На рис. 7, а показана зависимость мощности рассеяния энергии от частоты при квазистатическом увеличении частоты гармонических колебаний ведущего диска от 0 до 3 Гц при амплитудеФ = 0,3 рад. На рис. 7, б показана та же зависимость, но в интервале частот от 0 до 0,8 Гц. Примеры гистерезисной зависимости M (j) при различных частотах колебаний ведущего диска даны на рис. 8.
Заключение
В работе предложен подход к моделированию колебаний гасителей пляски с гистерезисом энергорассеяния в условиях нестационарного движения. Для учёта энергорассеяния предложен феноменологический метод, основанный на использовании кинематических уравнений, коэффициенты которых определяются из анализа экспериментальных данных для предельных циклов стационарных колебаний. На основе разработанной методологии предложен алгоритм для расчёта эффективности энергорассеяния гасителя в заданном частотном диапазоне колебаний.
Разработанный подход может быть использован при решении иных задач о нестационарных колебаниях различных конструкций и механизмов с гистерезисным характером рассеяния энергии.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ: код проекта 13-01-00471-а.
Список литературы
1. Бекметьев Р.М., Жакаев А.Ш., Ширинских Н.В. Пляска проводов воздушных линий электропередачи. Алма-Ата: Изд-во «Наука» Казахской ССР, 1979. 151 с.
2. Глазунов А.А. Основы механической части воздушных линий электропередачи. Т.1. Работа и расчет проводов и тросов. М.;Л.: Госэнер-гоиздат, 1956. 192 с.
3. State of the art of conductor galloping. Cigre: Task force B2.11.06. June 2007, 140 p.
4. Damper for galloping conductors for overhead power transmission lines. Patent WO 2005/117228, PCT/RU2005/000302.
5. Данилин А.Н., Захаров А.П. Подход к описанию гистерезиса с использованием данных серии типовых экспериментов на примере гасителя «пляски» проводов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т.14. №4. С.604-622.
6. Козлов К.С., Данилин А.Н. О колебаниях многочастотного гасителя вибрации с учётом гистерезиса энергорассеяния // Известия ТулГУ. Техническиенауки. 2013. Вып.6. Ч.2. С.252-262.
7. Kinematicmodeloftherheologicalbehaviorofnon-Newtonianfluids in conditions of nonstationary cyclic loading / Danilin A.N. [et al]// Composites:
117
Mechanics, Computations, Applications. An International Journal. 2012. V.3. No.4. P.1-15.
Данилин Александр Николаевич, д-р физ. мат. наук, проф., ведущий научный сотрудник, andanilin@yandex. ru, Россия, Москва, Институт прикладной механики РАН,
Курдюмов Николай Николаевич, ст. преподаватель,
nick.n.kurdyumov@gmail.com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Тарасов Сергей Сергеевич, канд.техн.наук, научный сотрудник,
maitarasov@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
Шалашилин Александр Дмитриевич, научный сотрудник,
ashalashilin@gmail. com, Россия, Москва, Институт прикладной механики РАН
MODELLING DISSIPATION ENERGY HYSTERESIS ON THE SAMPLE OF ANTI-GALLOPING DAMPER FOR CONDUCTORS OF OVERHEAD
TRANSMISSION LINES
A.N. Danilin, N.N. Kurdjumov, S.S. Tarasov, A.D.Shalashilin
Dynamic characteristics of the anti-galloping damper for suppressing low-frequencyvibrationsin the range of0.2-0.6Hz are studied.To determine the geometric, mass and elastic parameters of a damper in conditions of non-stationary vibrations, a mathematical model of energy dissipation hysteresis is developed. The kinematic model using experimental data of hysteresis is suggested. According the approach the torque and the rotation angle are related by a special differential equation of the first order with coefficients which are defined after experimental data of the limit hysteretic cycle.
Keywords: anti-galloping damper and detuner, overhead transmission lines, nonsta-tionary vibrations, hysteresis, kinematic model.
Danilin Alexander Nikolaevich, doctor of physical and mathematical sciences, senior researcher, professor, andanilin@yandex. ru, Russia, Moscow, Institute Of Applied Mechanics RAS,
KurdjumovNikolayNikolaevich, senior lecturer, nick. n. kurdyumov@gmail. com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Tarasov Sergey Sergeevich, researcher, maitarasov@mail. ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Shalashilin Alexander Dmitrievich, researcher, ashalashilin@gmail. com, Russia, Moscow, Institute Of Applied Mechanics RAS
