МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИБКОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ С НЕАНДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ, ПЕРЕНАЛАДКОЙ, КАК ДО НАЧАЛА ОБРАБОТКИ ЗАКАЗОВ, ТАК И ПОСЛЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Medvedieva M.I.,

Ph. d, Donetsk National Technical University, Pokrovsk, Donetsk region., Ukraine,

Медведева М.И.,

кандидат физико-математических наук, Донецкий национальный технический университет, Покровск, Донецкой обл., Украина

SIMULATION OF FLEXIBLE MANUFACTURING SYSTEMS WITH UNRELIABLE DEVICE, CHANGEOVER, BOTH BEFORE ORDER PROCESSING,

OR AFTER RESTORATION

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИБКОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ С НЕАНДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ, ПЕРЕНАЛАДКОЙ, КАК ДО НАЧАЛА ОБРАБОТКИ ЗАКАЗОВ, ТАК И ПОСЛЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Summary: Flexible manufacturing system is modeled mass on-servicing system in which a processing unit can fail, as in the work, and in a free state, conducts changeover equipments, of how, after receipt of the order in a free system, and after the RESET-ose it is assumed that the output device of the system in working order, a requirement which is in service is lost. It is believed that if the system was one order and the unit is out of order, the flexible pro-duction system goes into recovery state, after which it reverts to its original state. It is assumed that the IME-etsja only one team that performs a changeover, and repair you-who was walking down the equipment. The flow of orders received in the flexible pro-duction system is a Poisson process, the processing of the call-Zak, changeover time and the recovery time of the device also has display-tional distribution laws. Found characteristics of the system are using, when deciding whether outsourcing as the adjustment and repair of equipment.

Key words: flexible manufacturing system, readjustment, repair, random stream of orders, queuing system, outsourcing

Аннотация. Гибкая производственная система моделируется системой массового обслуживания, в которой обрабатывающее устройство может выходить из строя, как в рабочем, так и в свободном состоянии, проводит переналадку оборудования как после поступления заказа в свободную систему, так и после его восстановления, причем предполагается, что при выходе прибора из строя в рабочем состоянии, требование, находящееся на обслуживании теряется. Считается, что если в системе находился один заказ и прибор вышел из строя, то гибкая производственная система переходит в состояние восстановления, после окончания которой она вновь переходит в начальное состояние. Предполагается, что имеется только одна бригада, выполняющая как переналадку, так и ремонт вышедшего из строя оборудования. Поток заказов, поступающих в гибкую производственную систему, является пуассоновским потоком, время обработки заказов, время переналадки и время восстановления прибора также имеют показательные законы распределения. Найденные характеристики системы используются при решении вопроса аутсорсинга как наладки, так и ремонта оборудования.

Ключевые слова: гибкая производственная система, переналадка, ремонт, случайный поток заказов, система массового обслуживания, аутсорсинг.

Для повышения конкурентоспособности любого предприятия необходимо, в качестве основного оборудования, использовать гибкие производственные системы, которые позволяют, после небольшой переналадки оборудования, быстро перестраиваться на выпуск новой продукции. Это позволяет предприятию поддерживать на определенном уровне технологическую гибкость, которая в свою очередь, обеспечивает и ассортиментную гибкость [1,2], которая позволяет оценить способность производственно - экономической системы к обновлению ассортимента выпускаемой продукции. Основными характеристиками ассортиментной гибкости являются сроки и стоимость подготовки (переналадки) оборудования к выпуску нового вида продукции. Гибкость производственно-экономических систем является одним из эффек-

тивных методов обеспечения устойчивости производственных процессов.

Однако, наряду с гибкостью производственно-экономических систем при оценке конкурентоспособности предприятия немаловажную роль играют характеристики надежности оборудования, схемы организации ремонтных и профилактических работ [3]. Такие факторы, как устойчивость, гибкость, маневренность, чувствительность, живучесть, надежность и эффективность работы предприятия определяют потенциал предприятия к активному противостоянию возмущающим факторам. Оптимизация этих показателей может существенно повысить конкурентоспособность продукции предприятия. Поэтому при анализе эффективности функционирования гибких производственных систем (ГПС) необходимо иметь количе-

ственные характеристики их функционирования. Кроме того, следует отметить тот факт, что функционирование любого предприятия в рыночных условиях происходит под воздействием случайных факторов, которые усложняют анализ процессов, происходящих на этих предприятиях. Решение этой проблемы и рассматривается в данной работе.

Отметим, что анализу гибких производственных систем (ГПС) посвящено много работ [4-8], в которых рассмотрены различные варианты поведения надежного прибора обслуживания с переналадкой. В работе [9,10] ставится задача определения характеристик системы с ненадежным оборудованием, выходящим из строя в любом состоянии, после окончания обработки всех заказов. В работах автора [11-14] решаются вопросы анализа ГПС с ненадежным оборудованием и переналадкой. Эта проблема достаточно актуальна в связи с тем, что она тесно связана с вопросами аутсорсинга [15-19].

Предположим, что ГПС представляется в виде одноканальной системы массового обслуживания с одним прибором, с простейшим входным потоком заказов интенсивности Л > 0 . Длительность производственного цикла на изготовление каждой единицы изделий имеет показательный закон распределения с параметром ¡Л> 0. Обрабатывающее устройство обладает особенностью, состоящей в том, что в как только оно переходит в свободное, нерабочее состояние, т.е. когда на предприятии нет заказов, оборудование немедленно отключается. При поступлении новых заказов оно вначале производит переналадку на выпуск новой партии изделий, длительность которой будем также считать показательно распределенной случайной величиной с параметром V > 0, а затем начинает выполнять поступившие в систему заказы.

Кроме того, предположим, что оборудование может выходить из строя и восстанавливаться, причем выход из строя возможен как во время обработки деталей, так и во время простоя оборудования. Если прибор выходит из строя во время работы, то заказ, находящийся на обработке, теряется. Будем считать, что поток отказов обрабатывающего устройства - пуассоновский, с параметром X > 0, а время ремонта или время восстановления обрабатывающего устройства имеет показательный закон распределения с параметром у/ > 0. Будем также считать, что во время проведения переналадки прибор не может выходить из строя. Ремонт или восстановление оборудования выполняет одна бригада, причем после окончания ремонта оборудования, при условии, что в системе имеются заказы, ГПС вновь начинает переналадку, причем она идентична первоначальной.

Отличительной особенностью данной стратегии от ранее рассмотренной в работе [14] является то, что после восстановления оборудования оно заново начинает переналадку, причем эта перена-

ладка не идентична переналадки, начавшейся после поступления заказа в свободную систему (имеет место неидентичная переналадка прибора после восстановления). Будем считать, что длительность этой переналадки является случайной величиной, имеющей показательный закон распределения, но

с параметром равным V . Данная схема организации ремонтных работ применяется в случае малой интенсивности заказов, поступающих на предприятие.

Цель работы - определить числовые характеристики гибкой производственной системы с переналадкой в начале производственного цикла и ненадежным оборудованием, выходящим из строя в любом состоянии, при условии стохастичности всех параметров ее функционирования.

Рассмотрим возможные состояния рассматриваемой системы с ненадежным оборудованием:

(0) - прибор свободен, но не готов к обслуживанию требований;

(0, к) - прибор вышел из строя и находится

на ремонте, в системе к (к > 0) требований;

(1, к) - прибор обслуживает очередную явку и в системе к (к >1) требований;

за-

(0*> к)

- прибор на переналадке, в системе

к (к > 0) требований;

(0 ,0, к) - прибор на переналадке после

ремонта, в системе к (к > 1) требований.

Размеченный граф состояний данной системы представлен на рис. 1. При составлении графа используются следующие обозначения:

■ Л(Л > 0) - интенсивность простейшего входящего потока (среднее число заказов, поступающих в систему в единицу времени), или вероятность того, что за промежуток времени

Ы(Ы > 0) на обслуживание поступит к заявок, вычисляется по формуле:

Рк (Ы)

_ (лм )к

к!

е

-ЛЫ

■ Л - параметр показательного закона распределения, которому подчиняется длительность обслуживания заказа;

■ V - параметр показательного закона распределения, характеризующего длительность переналадки;

■ V - параметр показательного закона распределения, характеризующего длительность переналадки оборудования после восстановления;

S W - параметр показательного распреде- n - - ™

г f f f f Пусть gl 1) - случайный процесс, который

ления, характеризующего длительность восста-

с- описывает состояние данной системы и задан на

новления оборудования;

S % - параметр показательного закона рас- фазовом пространстве E , где

пределения, характеризующего момент выхода оборудования из строя.

E={(0),(0,к),(0*,0,к),(1,к), к>1; (0*,l), l>1}

. Введем стационарные вероятности сосхоя- ^ =pjg(t) = (0*,0,к)}, к>1. Введенные

вероятности состояний удовлетворяют следующим системам бесконечных алгебраических уравнений, составленных с помощью размеченного графа состояний, представленного на рис. 1, а именно:

ний процесса

P>=P {#(' )=(0)};

Plt =P{f(t)=(/,к)}, i=0,1, к>1;

P,-1=p{f(')=(^к)} к>0;

Рис. 1. Размеченный граф состояний системы с неидентичной переналадкой после восстановления

оборудования

-(Я+v) р0, +ЯР0 = 0, -(Д+v) р.;+Дро-1 = 0, -(l+v)P,t+Яр0-к-1 =0, к> 2;

-(Я+К1) P0-01+WP = 0,

-(Я+К1) P0-02 +^01+WP02 = 0,

-(Я + К1 )P0■0k +^Pü"ü, к-1 +WP0 к = 0, к > 2;

<

<

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #14, 2016 313k!

-(Л + v) Poo +ZPo + XP1 = 0, -(Л+v) Pol +ЯР00 +XP2 = 0, -(Л+v) Po k -1+ХПМ1 = 0, k > 2;

-(Л + / + Х) P11 +VP0*1 + /P12 +V1P0*01 = 0 -(Л + / + Х) P12 +ÄP11 + P + /P13 +^1P0*02 = 0,

-(Л+м+z)Plk +ÄP,k-1 +vPQ*k +^PP,k+1 +^P,*0k = 0, k>2.

Л с v _V1 p V X

Введем следующие обозначения. Пусть ß = ~, О — —, 01 = —, р = —, у — — .

/Л /Л / / /

Если обе части уравнений, приведенных выше систем, разделить на /Л, то они примут вид

-(р+5) P*1 +PP0 = 0,

(P + °)P0*2 +PP0*1 = 0 (D

-(p+s)P,k +pP0*k-1=a k > 2;

-(p + °1) P0*01 + PP = 0,

-(P + °1) P)*02 +^P0*01 + PP02 = 0, (2)

-(P + °1 )P0*0k +PP0*0,k-1 +PP0k = 0 k > 2; -(p+р) P00 +yP, +yPn=0,

-(p+р) P01 +PP00 + yP2 = 0, (3)

-(p+P) P0k +pP0,k-1 +yPP,k+1 = 0, k > 2;

-(1+p+y) P11+SP01 + P12+ÖP-01 = 0 = 0,

-(1 + P + y) P12 + pPn +OP0*2 + P13 + 0^02 = 0, (4)

-(1+p+y) Plk +pP,k-1+OP0* k + P,k+1+0^ k = 0, k > 2.

Кроме того, несложно заметить справедливость равенства

-(Л + х) р0 +¥роо +мрп = 0

или

-{Р + Г) Ро +РР00 + Р = 0. (5)

Решения систем бесконечных алгебраических кой. Эти решения (при условии справедливости

уравнений (1)-(4) позволяют найти ряд показате- равенства (5)) будем искать с помощью следую-

лей надежности и эффективности работы нена- щих производящих функций дежного оборудования с неидентичной переналад-

■

<

■

«0 (z) = XP*zk, «1 (z) = X^ . «0- (z) = XP0-/ ■ «0-0 (z) = XPo•okZk .

к>* к >1 к>1 к >1

После умножения обеих частей уравнений си- степени и суммирования по к , соответственно стем (1)-(4) на 2 (|2| — 1) в соответствующей получим

(р + 8-р2 ) а* ( 2 ) = р2Р*, (6)

(р + 8 - р2)а*** (2) - (За* (2) + (Р** = 0, (7)

2 (р + ( - р2) а* (2) - УС1 (2) = угР*, (8)

(р22 - 2(1 + р + у) + 1)С1 (2) + (2) + 82а* (2) = 2Рц. (9)

Очевидно, что из равенства (6) получаем выражение для производящей функции а* (2) в виде

* / \ р2р

с* ( 2 ) =-с-• (10)

р + 8 - р2

Для вычисления стационарных вероятностей рассмотреть систему, состоящую из первых урав-состояний системы, дополнительно необходимо нений систем (3) и (5), т.е. систему вида:

-(р+() Р** + УР + УР11 =

г(р + У)Р* +(Рю +Р = (11)

Найдем решение системы (11) относительно стационарных вероятностей Р и Р . Несложно показать, что

= у(1+р+у) р р+(+(у

или

P00= QP0. (12)

де

с = Ур+Р+У)

1 P+ß+ßy

P11 = Q P0. (13)

где

p(p+ß+y)

Q = 2 p+ß+ßy

и

Р „ Р образований, соответственно получим, что

Наиденные значения г0 и г^ подставляем ^ ' 3 '

в равенства (7) и (9). Тогда, после несложных пре-

(р + Зх - р2)а0*0 (2) - (За0 (2) = -рСхРо (14)

и

р2 - 2 (1+р+у)+1) а (2)+З2а0„0 (2)+Зга** (2) = 2С2Г> •

Для упрощения дальнейшего вычислений введем следующие обозначения

(2) = 2{р + р-р2) ; (2) = р22 -2(1 + р+у) + 1;

йъ (2) = р+З-р2; (г) = 2С2--р-•

р + З- р2

Из равенств (8), (14) и (15) составим новую систему уравнений, которая принимает следующий вид

Гd1 (z)d3 (z)d4 (z)+ß31C1zd1 (z')-ßy31z

a(z)=-( -

p

d ( z ) d2 ( z) d3 ( z )+ß3yyz

M = [ßyd4 ( z )+ßyzd2 ( z )-ßCd ( z ) d2 ( z )] P0

( ) л л л , as.,..

(15)

ßa0 (z)-d3 (z)a0*0 (z) = ßCiP0>

dx ( z ) ao ( z )-ya ( z )=yzPo, (16)

d2 (z)a (z) + 3iza0*0 (z) = d4 (z)P0.

Несложно показать, что решение системы (16) выглядит следующим образом:

/ ч у[d3 ( 2) (2) + РЗ1С12 + zd2 (2) Д3 (2 )] Г0 ° ( 2) ( 2 ) ^ ( 2 2) + рЗуу2

(18)

а°*° (2) ^ (2) (2) ^ (2) + Зу2 ' (19)

Таким образом, все найденные значения про- теперь определить, используя условие нормиров-изводящих функций выражены через одну неиз- ки: вестную до настоящего момента стационарную

вероятность г , которую, тем не менее, можно

Г + а0 (1) + а0*0 (1) + а (1) + а* (1) =1. (20)

Из (10) и системы (16) легко находим, что

а* (1)=р° • (2')

З

a

i (i) —ß a0 (1)-Po

у

ao'o

(1)—1«0 (l)-|ciPo-

(22)

(23)

Подставив выражения для производящих функций (21)-(23) в условие нормировки, после несложных преобразований находим

P

f п, \ ( 1+

S S 1

1 + ß(r+S) Siy

a

.(i)=i.

(24)

Таким образом, задача вычисления вероятности Р сведена к вычислению значения производящей функции а(2) в точке 2 = 1.

Так как ^ (1) = 0, <(1) = 0 —р, ¿2 (1) = —у, % (1) = Р~У~ 1, ОД = 8 ,

^з (1) = —р, % (1) = — Р, (1) = С^ — Р(-Р), то из равенства (2.183) с помо-

8

щью предельного перехода при 2 —> 1 (по правилу Лопиталя) получаем, что

(1) = lim ao (z ) =

p2(S-Si) - pS(G2 + S + у) + SS^ + ßCx - 2у-1) у^

z—

S[p(ßy + Siy + ßSi )-ßSi (1 + у)]

Кроме того, легко показать, что C2 + ßC\ — p + у. Тогда

_ [p2(S - S) - pS^2 + Si + у) + SSi(p - у -1)] yPo

(1):

S\_p(ßу + Sxу + ßSx )-ßSi (1 + у)]

Окончательно, подставляя все необходимые выражения в условие нормировки вида (20), получаем, что

Po —

S

(25)

ßУ + SlУ + ßSl [p2(S - Si) - pS(C2 + Si + у) + SSi(p - у -1)]у

SSl S[p(ßу + SlУ + ßSl )-ßSi (1 + у)]

-1

Таким образом, найдены все вероятности состояний рассматриваемой производственно -экономической системы.

Список литературы

1. Комплексные оценки в системе рейтингового управления предприятием /Белый А.П., Лысенко Ю.Г., Мадых А.А., Макаров К.Г.; под общ. ред. Ю.Г. Лысенко. - Донецк: ООО «Юго-Восток, Лтд», 2003. - 120 с.

2. Николайчук В.Е. Теория и практика управ-

ления материальными потоками (логистическая концепция). Монография./В.Е.Николайчук,

В.Г.Кузнецов. - Донецк: ДонГУ, «КИТИС», 1999. - 413 с

3. Лысенко Ю.Г. Повышение экономических показателей предприятия за счет оптимизации логистических процессов/ Ю.Г.Лысенко, Н.В.Румянцев //Шжнародний науковий журнал «Економiчна шбернетика».-2004.- 1-2 (25-26).- С 14-20.

0

4. Matendo Sadrac K. Some performance measures for vacation models with a batch Markovian arrival process // J. Appl. Math. And Stochast. Anal. -1994. - 7, № 2. - P. 111 - 124.

5. Choi Bong Dae. G/Ma,b /1 queues with server vacations/ Choi Bong Dae, Han Dong Hwan // J. Oper. Res. Soc. Jap. - 1994. - 37, № 3. -P. 171 - 181.

6. Chaudhury Gautam. On a Poisson queue with general setup time and vacation period / Gautam Chaudhury // Indian J. Pure and Appl. Math., 1996. -27. - № 12. - P. 1199 - 1211.

7. Tian Naishuo. Conditional Stochastic decompositions in the M/M/C queue with server vacations /Naishuo Tian, Li Quan-Lim, Cao Jinhua //Commun. Statist. Stoch. Models, 1999. - 15. - № 2. - P. 367 -377.

8. Reddy G.V. Krishna. Analysis of a bulk queue with N - policy multiple vacations and setup times /G.V.Krishna Reddy, R.Nadarajan, R.Arumyganathan // Comput. And Operat. Res. - 1998. - 25. - № 11. -P. 957 - 967.

9. Гнеденко Б.В. Введение в теорию массового обслуживания/ Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко. -М.: Наука, 1987. - 336 с.

10. Jain Madhu. M/M/R machine repairmen problem with spares and additional repairmen/ Jain Madhu // Indian J. Pure and Appl. Masth. - 1998. -29. № 5. - P. 517 - 524.

11. Медведева М.И. Об одном подходе к определению оптимальной партии товара с учетом ненадежности оборудования/ Румянцев Н.В., М.И.Медведева // Вюн. Донец. ун-ту. Сер. В. - Еко-номжа i право. Спецвыпуск. - Донецьк: 2006. - т. 2 - С. 24-31.

12. Медведева М.И. Об одном подходе к определению оптимальной партии товара с учетом ненадежности оборудования /Н.В.Румянцев, М.И.Медведева //Вюник Хмельницького нацюна-льного ушверситету: Економiчнi науки. - Хмель-ницький, 2007, № 3. - Т. 1 (92). - С. 27-32.

13. Медведева М.И. Анализ одной модели системы с ненадежным прибором и переналадкой в конце периода занятости/ М.И.Медведева // Мiжнародний науковий журнал «£кономiчна шбернетика».- Донецьк: ДонНУ. - 2009. - № 1-2 (55-56).- С. 73-79.

14. Медведева М.И. Моделирование производственного процесса с ненадежным оборудованием /М.И.Медведева// Вюник Схвдноевропейсь-кого ушверситету економiки i менеджменту. Се-рiя: Економжа i менеджмент, №1(16), 2014 р.-С.159-167.

15. Bertolini M., Bevilacqua M., Braglia M., Frosolini M.: An analytical metod for maintenance outsourcing service selection, International Journal of Quality & Reliability Management, Vol. 21, No. 7, 2004.

16. Placzek E. Analiza outsourcingu w prak-tyce funkcjonowania MSP produkcyjnych/ E.Placzek.-Logistyka 6/2008.

17. Мухина И.С. К вопросу о целесообразности использования аутсорсинга организацией // Корпоративный менеджмент. - 2010. - № 3. - С. 143-148.

18. Медведева М.И. Оценка стратегий организации ремонтных работ для промышленного аутсорсинга оборудования. Коллективная монография: «Модели оценки и анализа сложных социально-экономических систем». Под редакцией В.С.Пономаренко, Т.С.Клебановой, Н.А.Кизима /

H.В.Румянцев, М.И.Медведева. - Харьков: ФЛП Александрова К.М.; ИД «ИНЖЭК». - 2013. - 659с. (с.537-554). - ISBN 978-966-392-413-7.

19. Поповиченко 1.В. Аутсорсинг як шстру-мент тдвищення конкурентоспроможносп тдприемства в сучасних економiчних умовах /

I.В.Поповиченко, С.Г.Дубинська //Науковий вюник Ужгородського ушверситету: [зб. ст.]. -Ужгород, 2010. - Вип. 31. - С. 177-181. - (Серiя: Економжа).

Nusinov V.Y.

doctor of economics, professor, head of department of accounting, taxation, public management and administration State institution of higher education «Kryvyi Rih National University» Academician Academy of economic Sciences of Ukraine

Нусинов Владимир Яковлевич

доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой учета, налогообложения, публичного управления и администрирования ГВУЗ «Криворожский национальный университет» Академик Академии экономических наук Украины

ASSESSMENT OF SEVERITY OF THE FINANCIAL CRISIS UKRAINIAN

COMPANIES

ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ТЯЖЕСТИ ФИНАНСОВОГО КРИЗИСА УКРАИНСКИХ

КОМПАНИЙ

Summary: The nature of financial crisis is researched and the main methodical approaches to diagnostics its severity are offered. The interrelation of financial crisis and possible bankruptcy of the company is established. The analysis of methods of bankruptcy prediction by using discriminant models is carried out and their