CC BY
33
УДК 53.072:621.791.4
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОПЕРЕНОСА В КОНТАКТНЫХ ЗАЗОРАХ ПРИ НАГРЕВЕ ТИТАНОВЫХ ИЗДЕЛИЙ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОГО ПРИТОКА ГАЗА И.Л. Батаронов, В.Р. Петренко, В.В. Пешков, А.И. Стрыгин
Получено общее квазистационарное аналитическое решение глубины проникновения и распределения концентрации газа в контактном поглощающем зазоре в условиях ограниченного притока газа по каналам сварной конструкции. Построена аппроксимация распределения газа по каналу, на основе которой найдено явное решение для глубины проникновения газа в контактный зазор
Ключевые слова: моделирование, диффузионная сварка, газоперенос
При анализе и проектировании процесса диффузионной сварки титановых изделий важной задачей является определение состояния газовой среды в контактном зазоре свариваемых деталей, существенно влияющее на качество сварного соединения [1-4]. Особенностью процесса здесь является сильное поглощение газа (азота, кислорода) титановым материалом, вследствие чего процесс сварки обычно осуществляется в вакууме, и в зазоре формируется вакуумированная зона, практически не содержащая активных газов [1, 2]. При этом подвод газа происходит по каналам изделия, так что задачу его проникновения в контактный зазор следует рассматривать при условии ограниченного притока газа. Формулировка физико-математической модели движения газа в зазорах с образованием вакуумированной зоны и ее решение для случая неограниченного источника выполнены в [5]. В настоящей работе находится решение модели для ограниченного источника, производится аппроксимация мощности источника, обусловленного движением газа по технологическому каналу, и находится явное аналитическое решение для глубины проникновения газа в контактный зазор.
Для использования модели [5] необходимо вначале определить газокинетические условия, имеющие место для переноса газа по каналу и в зазоре. Для этого воспользуемся известным соотношением для длины свободного пробега молекулы газа [6]:
Я =
2л/2 ППСІ2 '
(1)
где п - атомная концентрация газа, ё - газокинетический диаметр молекулы. Согласно уравнению
состояния идеального газа п = ^А/цт, где р - дав-
Батаронов Игорь Леонидович - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 46-42-22
Петренко Владимир Романович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 78-38-84
Пешков Владимир Владимирович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 78-38-84
Стрыгин Александр Иванович - КБХА, гл. сварщик, тел. (4732) 78-38-84 18
ление, На - число Авогадро, Я - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа, соотношению (1) можно придать вид:
А =
гЛкг
п^рй2 '
Используя здесь значения физических постоянных и принимая й?= 3,7-1(Г10 м (кислород, азот [6]), получим простую оценочную формулу:
ЮОГг
Чмкм]
[К]
Р[ Па]
(2)
Для условий диффузионной сварки титановых изделий [1] Т~ 1000 К, р ~ 0,1^-10 Па, тогда из (2) получаем Я ~ 1 см+1 м, что существенно превышает как поперечные размеры канала, так и толщину контактного зазора. Следовательно, приходим к выводу, что в рассматриваемой системе реализуется режим кнудсеновского течения газа, для которого в случае зазора постоянного сечения в [5] получено уравнение:
с
I
<р(у)<р'(у) ЯПпоОО 1
(3)
Здесь 5иі - площадь и периметр поперечного сечения зазора соответственно, а и К - показатель степени и кинетическая постоянная в уравнении для скорости поглощения газа титаном [1, 2], Б - коэффициент диффузии газа в кнудсеновском режиме, х0 = <р(ґ) - уравнение квазистационарного движения фронта газового потока, п0(і) - граничное условие для концентрации газа на входе в зазор.
После решения уравнения (3) распределение концентрации газа в зазоре сразу определяется интегралом [5]:
*0
, ч ЬК Г (у - х)
X
Здесь <р~1(х') - функция, обратная к <р(С).
Уравнения (3) и (4) определяют решения как для канала, так и для контактного зазора. В канале граничная концентрация п0 является постоянной, и
(4) дает распределение концентрации газа по длине канала, которое будет служить граничным условием для расчета распределения газа в зазоре.
Для канала решение уравнения (3) приведено в
[5] и имеет вид:
х0(г) =
2БОп0 вітга
ЬК
па
(5)
Тогда, вводя в (4) автомодельную переменную ( — х/х0($, перепишем интеграл (4) в универсальном виде, не содержащем физических параметров:
п({) 2бішта Г — ()
Пп
я а
Г—
1 (1-
^2/а^а
СІБ .
(6)
Рассмотрим теперь уравнение (3) для контактного зазора. Применяя преобразование Лапласа для уравнения свертки (3) [7], найдем решение в виде:
г2ГНіЛ 25тпа5кРк Г п(х,Ґ) УоС 1 ^ 7г Ькк](і-і'у-а
Со
(7)
Здесь С0(х) = ^_1(х) - время достижения фронтом газового потока в канале координаты х, а (7) представляет глубину проникновения газа в контактный зазор в точке, удаленной на расстояние х от входа в канал. Индекс к отмечает величины, относящиеся к контактному зазору. Заметим, что зависимость от х в формуле (7) является параметрической.
Затем, с использованием решения (7) распределение газа в контактном зазоре в соответствии с (4) будет определяться интегралом:
пк(у,і\х)
Уо
_ ЬкК г_____________(2-
і (і - Уо1
у)_____
Уо_1(2|х))°
сіг. (8)
Формулы (5)-(8) дают общее аналитическое решение рассматриваемой задачи в квазистационар-ном режиме. Однако фигурирующие в (6)-(8) интегралы выражаются через гипергеометрические функции, поэтому представляются неудобными как для практического использования, так и для анализа решения. Для преодоления этой трудности проведем удобную алгебраическую аппроксимацию решений.
Решение интеграла (6) в области £ -» 1 имеет особенность п ос (1 — £)2_“, тогда решение во всей области по методу выделения особенности можно записать в виде
п = (1- 02~аРЛО + о((1 - 03+к-“),
где Рк(£) - многочлен к-й степени. Ограничиваясь многочленом первой степени, используя асимптотическое разложение интеграла (6) при ^ -» 1 и требуя выполнения граничного условия п(0) = п0, получим следующую аппроксимацию распределения концентрации газа в канале:
П(0
= (1 - 02_“[Ь + (1 - ь)(1 - £)], (9)
где
Ъ =
(а/2)“ Чігага 7г(1 - а) (2 - а)
- первый коэффициент асимптотического разложения.
Численное исследование относительной погрешности аппроксимирующей формулы (9) в сравнении с точным выражением (6) показало, что в интервале значений показателя а £ [0,1; 0,9] среднеквадратичная ошибка не превышает 0,5%, а максимальное отклонение 0,8%. В том числе, для наиболее типичного значения а =0,5 с.к.о. = 0,16% и макс.о. = 0,26%, что является вполне достаточным уровнем точности аппроксимации.
Подставим далее выражение (9) в формулу (7) и учтем, что согласно (6)
Тогда
Уо(Ф) =
^ = х/х0(г) = (г0(.х)/г)а/2.
2зт7га5к1)гсп0 Г v((t0/t')а/2)
п
ик
, Гу((с0/гт,£. і (г-їу-“
*О
Учитывая однородность полученного выражения, сделаем в нем замену переменной интегрирования
В итоге получим представление решения через интеграл, не зависящий от физических параметров:
Уо№) =
2Бтяа 5кОкп0^
сіг. (10)
Здесь обозначает выражение в правой части равенства (9), и введено обозначение т = ґД0(х) для автомодельной переменной.
В выражении (10) подынтегральная функция уже не содержит существенных особенностей, и интеграл может быть оценен стандартными методами. С этой целью, учитывая структуру выражения (9), рассмотрим интеграл
а\ гп-а
<1г. (11)
Этот интеграл выражается только через гипергео-метрические функции, поэтому построим его аппроксимацию. Учитывая монотонный характер подынтегральной функции, воспользуемся для интеграла (11) интегральной теоремой о среднем [7]
(_ а\ т-а
1 - - 0а(т - 1)^ і (Т - 1)“,
(12)
где в Є (0; 1) - некоторый числовой параметр, зависящий от т.
Использование формулы (12) имеет смысл, если зависимость 0(т) слабая, так что можно ее заменить фиксированным числом. Результаты численного исследования этой зависимости представлены на рис. 1, из которого видно, что в широком диапазоне параметр в сохраняет почти постоянное значение.
Рис. 1. Зависимость параметра в от переменной г для различных значений показателя а
Выбор значения параметра в, дающего равномерную точность в широком диапазоне значений параметров акт, приведен в таблице.
Определение параметра в
к 2 3
в 0,66 0,6
В результате, с учетом формул (9) и (12), для выражения (10) глубины проникновения газа в контактный зазор вытекает следующая аппроксимация:
б)
Рис. 2. Величина ошибки формулы (12) при фиксировании параметра в согласно таблице для т = 2 (а) и т = 3 (б) при различных значениях переменной т и показателя а
Уо(Ф) =
гвітга 5кВкщі%
па
ик
[Ьу2(т) + (1 - Ь)Уз (т)]
(13)
Максимальная глубина проникновения в контактный зазор имеет место в точке с координатой х — 0, в которой согласно (9) действует граничное условие п — п0. Тогда аналогично (5) для этой точки сразу получаем:
Уо^ІО) =
25іп7га 5кВкп0 -------------------ґ .
па
ик
(14)
На рис. 2 показана ошибка, допускаемая формулой (12) при фиксировании величины в на уровне, указанном в таблице. Ошибка определялась сравнением результата, даваемого формулой (12), и прямого численного расчета интеграла (11). Точность численного расчета контролировалась методом уменьшения шага квадратурной формулы.
Как следует из рис. 2, формула (12) гарантирует удовлетворительную точность 5-ь 10% в практически важном диапазоне автомодельной переменной времени т > 1. Область т < 1, как показано в [5], приходится на переходной режим, в котором квази-стационарное приближение неприменимо.
Нормируя глубину проникновения (13) на ее максимальное значение (14):
Уо№)
‘ Уо(С|0)'
получим универсальную безразмерную зависимость, определяющую конфигурацию фронта газового потока в контактном зазоре:
Ь/2(т) + (1 -Ь)/з(т)
’ ” -а '
С учетом определения коэффициента Ь (9), на эту зависимость может оказывать влияние только величина показателя а. Остальные же параметры влияют только как масштабные множители.
Результаты численного расчета зависимости (15) как функции £(0 приведены на рис. 3.
Рис. 3. Рассчитанная форма фронта газового потока в контактном зазоре при значении показателя а ОД; 0,5 и
0,9
Как видно из рис. 3, в пределах ошибки аппроксимации форма фронта не зависит от показателя а и описывается линейной функцией, так что на основе проведенного исследования можно записать следующее уравнение для глубины проникновения газа в контактный зазор:
Уо№)+ *
y0(t|0) x0(t)
= 1,
(16)
где знаменатели дробей определяются формулами
(5) и (14). Отсюда зависимость глубины проникновения от времени для данной координаты х имеет
вид:
у0№) = Ak(yft“ - - t0), (17)
где
Лъ —
2siiwra SkDkn0
па
UK
и *7(0 - единичная ступенчатая функция.
Подстановка выражения (17) в формулу (8) позволяет затем найти и распределение концентрации газа в контактном зазоре в условиях его ограниченного притока. Вид этого распределения в силу однородности равенства (17) дается выражением (9), в котором следует положить f = y/y0(t| 0) + x/x0(t). В этом случае изоконцентрационные линии будут прямыми, параллельными приведенной на рис. 3.
Литература
1. Диффузионная сварка титана и его сплавов / А.В. Бондарь, В.В. Пешков, Л.С. Киреев, В.В. Шурупов. Воронеж: Изд. ВГУ, 1998. - 256 с.
2. Физико-химия схватывания титана со стальной оснасткой при диффузионной сварке / А.В. Бондарь, Ю.П. Камышников, В.В. Пешков, С.Н. Федоров, В.В. Шурупов. Воронеж: Изд. ВГТУ, 1999. - 186 с.
3. Пешков В.В. Кинетика образования соединения при диффузионной сварке титанового сплава ВТ5 / В.В. Пешков, В.Н. Родионов, В.Н. Милютин, М.Б. Никголов // Автоматическая сварка. - 1984. - №7. - С. 27-31.
4. Пешков В.В. Технологические параметры процесса диффузионной сварки сотовых конструкций из титановых сплавов / В.В.Пешков, С.И.Гусев // Сварочное производство. - 1984. - №10. - С. 12-14.
5. Батаронов И.Л. Физико-математическое моделирование течения газа по технологическим зазорам переменного сечения при диффузионной сварке / И.Л. Батаронов, В.Р. Петренко, В.В. Пешков // Вестник ВГТУ. - 2006. - Т.2, № 8. С. 5-12.
6. Прохоров А.М. Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - 944 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1974. -832 с.
Воронежский государственный технический университет ОАО «Конструкторское бюро химавтоматики», г. Воронеж
MODELING OF GAS TRANSFER IN CONTACT GAPS AT THE HEATING OF TITANIUM PRODUCTS IN THE CONDITIONS OF RESTRICTED GAS INFLOW I.L. Bataronov, V.R. Petrenko, V.V. Peshkov, A.I. Strigin
General quasi-stationary analytic solution for depth of gas penetration and gas distribution in contact absorbing gap in the conditions of restricted gas inflow along channels of welding construction are obtained. Approximation of gas distribution along channel is constructed, on the base of which clear solution for depth of gas penetration in contact gap is found
Key words: modeling, diffusion welding, gas transfer
